Ver o código fonte de «Plano complexo»

{{ap|Número complexo}}
En matemáticas, o '''plano complexo''' é unha forma de visualizar o espazo dos [[Número complexo|números complexos]]. Pódese entender como un [[Sistema de coordenadas cartesianas|plano cartesiano]] modificado, no que a parte real está representada no eixo x e a parte imaxinaria no eixo y. O eixo x tamén se denomina eixo real e o eixo y eixo imaxinario.
[[Ficheiro:Complex_conjugate_picture.svg|miniatura| Un número pódese representar visualmente mediante un par de números que forman un vector nun diagrama chamado [[diagrama de Argand]].]]
O plano complexo tamén se denomina '''plano de Argand''', xa que se usa nos '''diagramas de Argand'''. Estes levan o nome de [[Jean-Robert Argand]] (1768-1822). Os diagramas de Argand úsanse a miúdo para representar as posicións dos polos e ceros dunha función no plano complexo.

O concepto de plano complexo permite unha interpretación xeométrica dos [[Número complexo|números complexos]]. A adición de números complexos pódese relacionar coa suma de vectores e a multiplicación de dous números complexos pódese expresar máis facilmente en coordenadas polares: a magnitude ou módulo do produto é o produto dos dous valores absolutos, ou módulos, e o ángulo ou argumento do produto é a suma dos dous ángulos, ou argumentos. En particular, a multiplicación por un número complexo de módulo 1 actúa como unha [[Rotación (xeometría)|rotación]].

A teoría das funcións complexas é unha das áreas máis ricas das matemáticas, que atopa aplicación en moitas outras áreas das matemáticas e tamén na física, a electrónica e moitos outros campos.

== Convencións de notación ==

=== Números complexos ===
Na [[análise complexa]], os números complexos son normalmente representados polo símbolo ''z'', que se pode separar nas súas partes reais (''x'') e imaxinarias (''y''): <math display="block">z = x + iy = |z|\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) = |z|e^{i\theta}</math>No plano cartesiano o punto (''x'', ''y'') tamén se pode representar en [[coordenadas polares]] como <math display="block">|z| = \sqrt{x^2+y^2}; \quad \theta = \arg(z) = \frac{1}{i}\ln\frac{z}{|z|} = -i\ln\frac{z}{|z|}.</math>No plano cartesiano pódese supoñer que a [[Funcións trigonométricas inversas|arcotanxente]] toma valores de − ''π'' /2 a ''π'' /2 (en [[Radián|radiáns]]), e hai que ter coidado de definir a función arcotanxente máis completa para os puntos (''x'', ''y'') cando ''x'' ≤ 0.{{Refn|Na descrición da función atan2 pódese atopar unha definición detallada do argumento complexo en termos da arctanxente ''completa''.}} No plano complexo estas coordenadas polares adoptan a forma <math display="block">z = x + iy; \qquad f(z) = w = u + iv</math><math display="block">z = x + iy</math>Aquí |''z''| é o ''valor absoluto'' ou ''módulo'' do número complexo ''z''; ''θ é'' o ''argumento'' de ''z'', adoita tomarse no intervalo {{Math|0 ≤ ''θ'' &lt; 2''π''}} ; e a última igualdade (z = |''z''|''e''<sup>''iθ''</sup> ) tómase da [[fórmula de Euler]]. Sen a restrición de rango de ''θ'', o argumento de ''z'' é multivalor, porque a [[función exponencial|función exponencial complexa]] é periódica, con período 2''πi''. Así, se ''θ'' é un valor de arg(''z''), os demais valores veñen dados por {{Math|1=arg(''z'') = ''θ'' + 2''nπ''}}, onde ''n'' é calquera número enteiro distinto de cero.<ref>{{Cita Harvard|Whittaker|Watson|1927}}, p. 10.</ref>

Case toda  a análise complexa ten que ver con [[Análise complexa|funcións complexas]], é dicir, con funcións que mapean algún subconxunto do plano complexo noutro subconxunto (posíbelmente superposto, ou mesmo idéntico) do plano complexo. Aquí é costume falar do [[Dominio de definición|dominio]] de ''f'' (''z'') como situado no plano ''z'', mentres se refire ao [[Camiño (matemáticas)|rango]] de ''f'' (''z'') como un conxunto de puntos no plano ''w''. Escribimos con símbolos <math display="block">z = x + iy; \qquad f(z) = w = u + iv</math>e moitas veces pensas na función ''f'' como unha transformación do plano ''z'' (con coordenadas (''x'', ''y'')) ao plano ''w'' (con coordenadas (''u'', ''v'')).

O plano complexo denotase como <math>\mathbb{C}</math>.

== Proxección estereográfica ==
{{ap|proxección estereográfica}}
Pode ser útil pensar que o plano complexo ocupa a superficie dunha esfera. Dada unha esfera de raio unidade, coloque o seu centro na orixe do plano complexo, orientado de xeito que o ecuador da esfera coincida co círculo unitario do plano, e o polo norte estea "por enriba" do plano.

Podemos estabelecer unha correspondencia un a un entre os puntos da superficie da esfera menos o polo norte e os puntos do plano complexo do seguinte xeito. Dado un punto no plano, traze unha liña recta que o conecte co polo norte da esfera. Esta liña corta a superficie da esfera exactamente noutro punto. O punto z = 0 proxéctase sobre o polo sur da esfera. Desde o interior do círculo unitario dentro da esfera, toda a rexión (|z| <1) mapearase no hemisferio sur. O propio círculo unitario (|z| = 1) proxéctase sobre o ecuador e o exterior do círculo unitario (|z|> 1) mapearase ao hemisferio norte, menos o polo norte. Claramente, este procedemento é reversíbel: tendo en conta calquera punto da superficie da esfera que non sexa o polo norte, podemos trazar unha liña recta que une ese punto co polo norte e corta o plano exactamente nun punto.
[[Ficheiro:Stereographic_projection_in_3D.svg|miniatura| [[Esfera de Riemann]] que mapea todos os puntos dunha esfera menos un a todos os puntos do plano complexo]]
[[Esfera de Riemann]]. Falamos dun único ''punto no infinito'' cando falamos de análise complexa. Hai dous puntos no infinito (positivo e negativo) na [[Recta numérica|recta numérica real]], mais só hai un punto no infinito (o polo norte) no plano complexo estendido. <ref> {{Cita Harvard|Flanigan|1983}}, p. 305.</ref>

== Diagrama de Argand ==
'''O diagrama de Argand''' refírese a unha trama xeométrica de números complexos como puntos {{Math|1=''z'' = ''x'' + ''iy''}}, como falado na introdución, úsanse a miúdo para representar as posicións dos [[Polo (análise complexa)|ceros e polos]] dunha función no plano complexo.


[[Ficheiro:Complex number illustration.svg|thumb|right|Un número pode ser visualmente representado por un par de números formando un vector nun diagrama chamado [[diagrama de Argand]].]] 
== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
*{{cita libro |first=Francis J. |last=Flanigan |title=Complex Variables: Harmonic and Analytic Functions |publisher=Dover |date=1983 |isbn=0-486-61388-7  |url=https://archive.org/details/complexvariables00flan }}
*{{cita libro |first=Gino |last=Moretti |title=Functions of a Complex Variable |publisher=Prentice-Hall |date=1964 }}
*{{cita libro |first=H. S. |last=Wall |title=Analytic Theory of Continued Fractions |url=https://archive.org/details/bwb_T2-CGU-777 |publisher=D. Van Nostrand Company |date= 1948 }} Reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company {{ISBN|0-8284-0207-8}}.
*{{cita libro |author-link=E. T. Whittaker |first=E. T. |last=Whittaker |author-link2=G. N. Watson |first2=G. N. |last2=Watson |title=A Course in Modern Analysis |edition=Fourth |publisher=Cambridge University Press |year=1927 }}
=== Outros artigos ===
* [[Número complexo]].


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Xeometría]]
[[Categoría:Análise matemática]]