Ver o código fonte de «Octonión»

En [[matemáticas]], '''os octonións''' son unha extensión non asociativa dos [[Cuaternión|cuaternións]]. Forman unha [[Álxebra sobre un corpo|álxebra]] de oito dimensións sobre o [[Corpo (álxebra)|corpo]] ℝ dos [[Número real|números reais]]. A álxebra de octonións é xeralmente denotada por 𝕆.

Ao perder a importante propiedade da [[Asociatividade (álxebra)|asociatividade]], os octonións recibiron menos atención que os cuaternións. Malia isto, conservan a súa importancia en [[álxebra]] e [[xeometría]], especialmente entre os [[Grupo de Lie|grupos de Lie]].

== Definición ==

=== Estrutura do espazo vectorial ===
O espazo 𝕆 de octonións é un [[espazo vectorial]] real de dimensión 8 relacionado cunha [[Base (álxebra linear)|base]] denotada como {{Math|(1, i, j, k, l, il, jl, kl)}} (anticipando lixeiramente a definición de multiplicación).

Noutras palabras : cada octonion {{Math|''x''}} escríbese de forma única como [[Combinación linear|unha combinación linear]] con coeficientes reais <math>x_n </math> destes oito elementos:
:<math>x=x_0+x_1{\rm i}+x_2{\rm j}+x_3{\rm k}+x_4{\rm l}+x_5{\rm il}+x_6{\rm jl}+x_7{\rm kl}</math>
e as dúas operacións espaciais vectoriais (suma de dous octonións e multiplicación pola esquerda dun octonión por un número real) fanse coordenada por coordenada.

=== Multiplicación ===
A [[multiplicación]] de octonións defínese entón como a única [[aplicación bilinear]], e verifica
:<math>\forall a,b,c\in\mathbb O,\forall\lambda\in\R,\qquad\left\{\begin{matrix}(a+b)c=ac+bc\\a(b+c)=ab+ac\\(\lambda a)b=a(\lambda b)=\lambda(ab)\end{matrix}\right.</math>
e cuxos valores nos vectores da base veñen dados pola [[Táboa de multiplicar|táboa de multiplicación]] que aparece a continuación:
{| class="wikitable centre" style="text-align:center;background:transparent"
|
! scope="col" style="width:3em" | 1
! scope="col" style="width:3em" | {{Math|i}}
! scope="col" style="width:3em" | {{Math|j}}
! scope="col" style="width:3em" | {{Math|k}}
! scope="col" style="width:3em" | {{Math|l}}
! scope="col" style="width:3em" | {{Math|il}}
! scope="col" style="width:3em" | {{Math|jl}}
! scope="col" style="width:3em" | {{Math|kl}}
|-
! scope="row" style="text-align:center" | 1
| style="background:#FFF" | 1
| style="background:#FFF" | {{Math|i}}
| style="background:#FFF" | {{Math|j}}
| style="background:#FFF" | {{Math|k}}
| style="background:#FFF" | {{Math|l}}
| style="background:#FFF" | {{Math|il}}
| style="background:#FFF" | {{Math|jl}}
| style="background:#FFF" | {{Math|kl}}
|-
! scope="row" style="text-align:center" | {{Math|i}}
| style="background:#FFF" | {{Math|i}}
| style="background:#FFF" | –1
| style="background:#DFD" | {{Math|k}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–j}}
| style="background:#DFD" | {{Math|il}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–l}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–kl}}
| style="background:#DFD" | {{Math|jl}}
|-
! scope="row" style="text-align:center" | {{Math|j}}
| style="background:#FFF" | {{Math|j}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–k}}
| style="background:#FFF" | –1
| style="background:#DFD" | {{Math|i}}
| style="background:#DFD" | {{Math|jl}}
| style="background:#DFD" | {{Math|kl}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–l}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–il}}
|-
! scope="row" style="text-align:center" | {{Math|k}}
| style="background:#FFF" | {{Math|k}}
| style="background:#DFD" | {{Math|j}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–i}}
| style="background:#FFF" | –1
| style="background:#DFD" | {{Math|kl}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–jl}}
| style="background:#DFD" | {{Math|il}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–l}}
|-
! scope="row" style="text-align:center" | {{Math|l}}
| style="background:#FFF" | {{Math|l}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–il}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–jl}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–kl}}
| style="background:#FFF" | –1
| style="background:#DFD" | {{Math|i}}
| style="background:#DFD" | {{Math|j}}
| style="background:#DFD" | {{Math|k}}
|-
! scope="row" style="text-align:center" | {{Math|il}}
| style="background:#FFF" | {{Math|il}}
| style="background:#DFD" | {{Math|l}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–kl}}
| style="background:#DFD" | {{Math|jl}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–i}}
| style="background:#FFF" | –1
| style="background:#DFD" | {{Math|–k}}
| style="background:#DFD" | {{Math|j}}
|-
! scope="row" style="text-align:center" | {{Math|jl}}
| style="background:#FFF" | {{Math|jl}}
| style="background:#DFD" | {{Math|kl}}
| style="background:#DFD" | {{Math|l}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–il}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–j}}
| style="background:#DFD" | {{Math|k}}
| style="background:#FFF" | –1
| style="background:#DFD" | {{Math|–i}}
|-
! scope="row" style="text-align:center" | {{Math|kl}}
| style="background:#FFF" | {{Math|kl}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–jl}}
| style="background:#DFD" | {{Math|il}}
| style="background:#DFD" | {{Math|l}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–k}}
| style="background:#DFD" | {{Math|–j}}
| style="background:#DFD" | {{Math|i}}
| style="background:#FFF" | –1
|}
Inmediatamente notamos que:

* (casas brancas) 1 é [[Elemento neutro|neutro]] (primeira fila e columna da táboa) e os outros 7 elementos da base teñen o cadrado –1 (diagonal);
* (casas verdes) dous elementos distintos ''a'' e ''b'', entre os 7 elementos da base distintos de 1, [[anticomutativo]] ( ''ab = –ba'' ) (agás nas filas e columnas 1 e na diagonal onde o produto é conmutativo, a táboa é antisimétrica en signo con respecto á diagonal).
* O cuarto superior esquerdo da táboa é idéntico á [[Cuaternión|táboa de multiplicación de cuaternións]]. En particular: {{Math|ij {{=}} k, jk {{=}} i, ki {{=}} j}}.

A escolla inicial de {{Math|(1, i, j, k, l, il, jl, kl)}} como base é, madía leva, arbitraria: como veremos máis adiante, hai moitas outras opcións para {{Math|i}} e {{Math|j}} tal que, configurando {{Math|k {{=}} ij}} e escollendo {{Math|l}} adecuadamente, obtemos a mesma táboa. A maiores, dada esa opción, outra base é por exemplo {{Math|(1, i, j, k, l, li, lj, lk)}}: a táboa modifícase logo por cambios de signos.

==== Plano mnemotécnico de Fano ====
[[Ficheiro:Fano_mnemonic3.png|dereita|miniatura| Plano mnemotécnico de Fano]]
Unha [[Mnemotécnica|forma mnemotécnica]] de lembrar os produtos dos ''octonións unitarios'' vén dada polo diagrama superior.

Este diagrama de sete puntos e sete "círculos" (na figura plana, os segmentos que unen 3 puntos considéranse círculos estendéndoos ata o infinito por cada lado onde se unen) chámase ''plano de Fano'' (en realidade é o [[plano proxectivo]] construído sobre o corpo de dous elementos '''Z'''/2'''Z'''). Os círculos están orientados neste diagrama. Os sete puntos corresponden aos sete elementos non reais da base de 𝕆. Cada par de puntos atópase nun único círculo, e cada círculo pasa exactamente por tres puntos.

Sexa {{Math|(''a'', ''b'', ''c'')}} unha terna ordenada de puntos situados nun dos círculos dados coa orde dada pola dirección da frecha. A multiplicación vén dada por:

* {{Math|''ab {{=}} c''}}, {{Math|''ba {{=}} –c''}}

con permutacións circulares conservando a orde relativa dada pola dirección do círculo:

* {{Math|''bc {{=}} a''}}, {{Math|''cb {{=}} –a''}}
* {{Math|''ca {{=}} b''}}, {{Math|''ac {{=}} –b''}}

As multiplicacións operan coa oitava dimensión (real) do seguinte xeito :

* {{Math|1}} é o [[elemento neutro|elemento neutro]] para a multiplicación,
* <math>e^2 = -1 </math> para cada punto {{Math|''e''}} do diagrama define completamente a [[Estrutura matemática|estrutura ]] [[Estrutura alxébrica|alxébrica]] de octonións.

Cada un dos sete círculos xera unha subálxebra de 𝕆 [[Isomorfismo|isomorfa]] aos cuaternións ℍ.

==== Conxugado ====
O ''conxugado'' dun octonión
:<math>x=x_0+x_1{\rm i}+x_2{\rm j}+x_3{\rm k}+x_4{\rm l}+x_5{\rm il}+x_6{\rm jl}+x_7{\rm kl}</math> 
está dado por 
:<math>x^*=x_0-x_1{\rm i}-x_2{\rm j}-x_3{\rm k}-x_4{\rm l}-x_5{\rm il}-x_6{\rm jl}-x_7{\rm kl}.</math>
A ''conxugación'' é unha [[Involución (matemáticas)|involución]] de 𝕆 e satisfai
:<math>(xy)^*=(y^*)(x^*)</math> (nótese o cambio na orde de sucesión).

==== Partes reais e imaxinarias ====
A ''parte real'' do octonión {{Math|''x''}} defínese do seguinte xeito

* <math>{\rm Re}(x)=\frac{x+x^*}2=x_0</math>

e a súa ''parte imaxinaria''

* <math>{\rm Im}(x)=\frac{x-x^*}2=x_1{\rm i}+x_2{\rm j}+x_3{\rm k}+x_4{\rm l}+x_5{\rm il}+x_6{\rm jl}+x_7{\rm kl}</math>

==== Norma ====
A ''[[Norma (matemáticas)|norma]]'' dun octonión ''x'' defínese como a [[raíz cadrada]] dun número real [[Número positivo|positivo]] :

* <math>\|x\|\ =\ \sqrt{x\ \ x^*}=\sqrt{x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2}</math> .

Esta ''norma'' corresponde á norma [[Espazo euclidiano|euclidiana]] en <math>\mathbb{R}^8</math>.

: <math>\|x\|^2=[{\rm Re}(x)]^2-[{\rm Im}(x)]^2</math> .

==== Inversa ====
A existencia dunha norma en 𝕆 implica a existencia dun [[Inverso multiplicativo|inverso]] para todo elemento distinto de cero en 𝕆. O inverso de calquera ''x'' distinto de cero vén dado por:
:<math>x^{-1}\ =\ \|x\|^{-2}\ x^* = \frac{x^*}{\|x\|^2}.</math>

== Propiedades ==
Así como os cuaternións (definidos proporcionando unha multiplicación do espazo vectorial de base {{Math|(1, i, j, k {{=}} ij)}} ) forman unha ℝ.álxebra xerada por {{Math|i}} e {{Math|j}}, os octonións (definidos proporcionando unha multiplicación do espazo vectorial de base {{Math|(1, i, j, ij, l, il, jl, (ij)l)}} ) forma unha ℝ-álxebra xerada por {{Math|i}}, {{Math|j}} e {{Math|l}} .

A multiplicación de octonións non é

* nin conmutativa: {{Math|ij {{=}} –ji}} ,
* nin asociativa: {{Math|(ij)l {{=}} kl {{=}} –i(jl)}} .

Satisfai unha propiedade máis débil que a asociatividade: a [[Álxebra alternativa|alternatividade]], é dicir que dous elementos calquera {{Math|''a''}} e {{Math|''b''}} satisfán:<center><math>(ab)b=a(bb).</math></center>A multiplicación de octonións é a maiores asociativa de potencias, é dicir, que as potencias están definidas de forma unívoca.

Os octonións comparten unha propiedade importante con ℝ, ℂ e ℍ: a ''norma'' sobre 𝕆  satisfai<center><math>\|xy\|\ =\ \|x\|\ \ \|y\|.</math></center>Isto implica que os octonións forman unha [[álxebra de división normada]]. As álxebras de dimensións superiores definidas pola construción de Cayley-Dickson (por exemplo os [[Sedenión|sedenións]]) non cumpren esta propiedade: todos teñen [[Divisor de cero|divisores de cero]] e as súas multiplicacións xa non satisfán a conservación das normas.

Segundo un teorema de Hurwitz, as únicas álxebras normadas ℝ con división son ℝ, ℂ, ℍ e 𝕆. Outro teorema, debido a Zorn, estabelece que estas catro álxebras tamén forman as únicas ℝ-álxebras de división alternativas de dimensión finita.

Dado que a multiplicación de octonións non é asociativa, os elementos distintos de cero de 𝕆 non forman un [[Grupo (matemáticas)|grupo]] senón só un cuasigrupo.

=== Automorfismos ===
Un [[Álxebra sobre un corpo|automorfismo da álxebra]] dos octonións é un [[Aplicación linear|automorfismo do espazo vectorial]] {{Math|''A''}} de 𝕆 que satisfai
: <math>A(xy)=A(x)A(y).</math>
O grupo de automorfismos de 𝕆 é o  [[G2 (matemáticas)|grupo ''G''{{Sub|2}}]]. É un [[grupo de Lie]] real [[simplemente conexo]] e [[Espazo compacto|compacto]], de [[Variedade diferenciable|dimensión]] 14. Este grupo é o máis pequeno dos cinco [[Grupo de Lie excepcional|grupos de Lie excepcionais]].
== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{Cita revista | last1 = Baez | first1 = John C. | author-link = John Baez| title = The Octonions | journal = Bulletin of the American Mathematical Society | issn = 0273-0979 | volume = 39 | issue = 2 | pages = 145–205 | year = 2002 | url = http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ | doi = 10.1090/S0273-0979-01-00934-X | arxiv = math/0105155| mr = 1886087|}}
* {{Cita revista | last1 = Baez | first1 = John C. | author-link = John Baez| doi = 10.1090/S0273-0979-05-01052-9 | title = Errata for ''The Octonions'' | journal = Bulletin of the American Mathematical Society | volume = 42 | issue = 2 | pages = 213–214 | year = 2005 | url = https://www.ams.org/journals/bull/2005-42-02/S0273-0979-05-01052-9/S0273-0979-05-01052-9.pdf }}
* {{Cita libro|author-link=John Horton Conway|last1=Conway|first1=John Horton|last2=Smith|first2=Derek A.|year=2003|title=On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry|publisher=A. K. Peters, Ltd.|isbn=1-56881-134-9| zbl=1098.17001 }}.
*{{Cita libro|mr=0019111 |last=Coxeter|first= H. S. M.
|title=Integral Cayley numbers.
|journal=Duke Math. J. |volume=13|issue=4|year=1946|pages= 561–578|doi=10.1215/s0012-7094-46-01347-6}}
* {{Cita libro|last1=Dixon|first1=Geoffrey M.|year=1994|title=Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers and the Algebraic Design of Physics|publisher=Kluvwer Academic Publishers|isbn=0-7923-2890-6}}
*{{Cita libro|mr=0797151 |last=Freudenthal|first= Hans |title=Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie|journal= Geom. Dedicata |volume=19 |year=1985|issue= 1|pages= 7–63|orig-year=1951|doi=10.1007/BF00233101}}
*{{Cita libro|last=Graves|first=John T.|journal=Phil. Mag. |volume=26 |year=1845|pages=315–320|title=On a Connection between the General Theory of Normal Couples and the Theory of Complete Quadratic Functions of Two Variables|url=http://zs.thulb.uni-jena.de/receive/jportal_jparticle_00207304|doi=10.1080/14786444508645136}}
*{{Cita libro|last=Kirmse |title=Über die Darstellbarkeit natürlicher ganzer Zahlen als Summen von acht Quadraten und über ein mit diesem Problem zusammenhängendes nichtkommutatives und nichtassoziatives Zahlensystem|journal=Ber. Verh. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math. Phys. Kl.|volume= 76|pages= 63–82 |year=1924}}
*{{Cita libro
 | last1=Lahti
 | first1=Usko
 | title=Prof. Corvus Adamas: Luvut ja todistusmenetelmät. Johdanto matematiikan perusteisiin innokkaiden opiskelijoiden seurassa.
 | publisher=Books on Demand
 | place=Helsinki
 | date = 2015
 | isbn =978-952-318-558-6
}}
* {{Cita libro|last1=Salzmann|first1=Helmut|last2=Betten|first2=Dieter|last3=Grundhöfer|first3=Theo|last4=Hähl|first4=Hermann|last5=Löwen|first5=Rainer|last6=Stroppel|first6=Markus|year=1995|title=Compact Projective Planes, With an Introduction to Octonion Geometry|publisher=Walter de Gruyter|isbn=3-11-011480-1|issn=0938-6572|oclc=748698685|series=De Gruyter Expositions in Mathematics}}
*{{Cita libro|mr=0130283
|last=van der Blij|first= F.
|title=History of the octaves.
|journal=Simon Stevin|volume= 34|year=1961|pages= 106–125}}
=== Outros artigos ===
* [[Cuaternión]].
* [[Sedenión]].
* [[Número complexo]].
=== Ligazóns externas ===
* {{cita web|url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions|title=The Octonions|author=John Baez|publisher=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=39|ano=2002|page=145-205}}
* [http://framy.free.fr/galerie.php Images fractales octonioniques réalisées avec Gecif] a partir dos octonións
* [http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/ImagOcta.htm Octavions], Dicionario de números, Gérard Villemin

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Números]]
[[Categoría:Álxebra abstracta]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]