Ver o código fonte de «Notación de Einstein»

En [[matemáticas]], especialmente na [[álxebra linear]], na [[física matemática]] e a [[xeometría diferencial]], a '''notación de Einstein''' (tamén coñecida como '''convención de suma de Einstein''' ou '''convención de Einstein''') é unha convención de notación que implica un [[sumatorio]] de termos indexados nunha fórmula, conseguindo así brevidade na escrita. 

Como parte das matemáticas é un subconxunto da notación do [[cálculo de Ricci]]; porén, úsase a miúdo en aplicacións de física que non se distingue entre [[espazo tanxente|espazo tanxente]] e [[espazo cotanxente]]. 

Foi introducido na física por [[Albert Einstein]] en 1916.<ref name=Ein1916>{{cita revista|last=Einstein |first=Albert |author-link=Albert Einstein |title=The Foundation of the General Theory of Relativity |journal=Annalen der Physik |year=1916 |volume=354 |issue=7 |page=769 |url=http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html |doi=10.1002/andp.19163540702 |format=[[PDF]] |access-date=2006-09-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20060829045130/http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html |archive-date=2006-08-29 | bibcode=1916AnP...354..769E }}</ref>

== Introdución ==

===Enunciado da convención===

Segundo esta convención, cando un índice dunha variábel  aparece dúas veces nun único termo da suma e non está definida doutro xeito (ver [[variábel libre e variábel vinculada]]), implica a suma dese termo sobre todos os valores do índice. Entón, por exemplo, se temos que os índices poden variar sobre o [[Conxunto|conxunto]] {{math|{1, 2, 3}<nowiki/>}},
:<math>y = \sum_{i = 1}^3 x^i e_i = x^1 e_1 + x^2 e_2 + x^3 e_3 </math>
simplifícase polo convenio como:
:<math>y = x^i e_i </math>.

Isto pode lerse como <math>y</math> igual a <math>x</math> super <math>i</math> por <math>e</math> sub <math>i</math>.

Os índices superiores non son [[Exponenciación|expoñentes]] senón que son índices de coordenadas, [[coeficiente]]s ou [[base (álxebra linear)| unha base]]. É dicir, neste contexto {{math|''x''<sup>2</sup>}} debería entenderse como o segundo compoñente de {{math|''x''}} en lugar do cadrado de {{math|''x''}} (isto pode ocasionalmente levar á ambigüidade). 
A posición superior do índice en {{math|''x''<sup>''i''</sup>}} débese a que, normalmente, un índice aparece unha vez nunha posición superior (superíndice) e unha vez nunha posición inferior (subíndice) nun mesmo termo.  (Consulte ''{{section link|#Aplicación}}'' a continuación). Normalmente, {{math|(''x''<sup>1</sup> ''x''<sup>2</sup> ''x''<sup>3</sup>)}} sería equivalente ao tradicional {{math|(''x'' ''y'' ''z'')}}.

Na [[relatividade xeral]], unha convención común é que
* o [[alfabeto grego]] úsase para os compoñentes do espazo e do tempo, onde os índices toman valores 0, 1, 2 ou 3 (as letras de uso frecuente son {{math|''μ'', ''ν'', ...}}),
* o [[alfabeto latino]] úsase só para compoñentes espaciais, onde os índices toman valores 1, 2 ou 3 (as letras de uso frecuente son {{math|''i'', ''j'', ...}}),

En xeral, os índices poden variar en calquera [[Familia indexada|conxunto de indexación]], incluíndo un [[conxunto infinito]]. Isto non debe confundirse con outra convención tipográficamente similar usada para distinguir entre a [[notación de índice tensor]] e a [[notación de índice abstracta]] moi relacionada pero independente da base.

Un índice que se suma é un ''índice de suma'', neste caso o "{{math|''i''&hairsp;}}". Tamén se lle chama [[variábel vinculada|variábel vinculada ou índice ficticio]] xa que calquera símbolo pode substituír o "{{math|''i''&hairsp;}}" sen mudar  o significado da expresión (sempre que non choque con outros símbolos de índice no mesmo termo).

Un índice que non se suma é unha [[variábel libre|variábel libre ou índice libre]] e só debe aparecer unha vez por termo. Se tal índice aparece, normalmente tamén aparece en calquera outro termo nunha ecuación. Un exemplo de índice libre é o "{{math|''i''&hairsp;}}" na ecuación <math>v_i = a_i b_j x^j</math>, que é equivalente á ecuación <math display="inline">v_i = \sum_j(a_{i} b_{j} x^{j})</math>.

===Aplicación===

A notación de Einstein pódese aplicar de xeitos lixeiramente diferentes. Normalmente, cada índice aparece unha vez nunha posición superior (superíndice) e unha vez nunha posición inferior (subíndice) nun termo; porén, a convención pódese aplicar de forma máis xeral a calquera índice repetido dentro dun termo.<ref name="wolfram">{{cita web |url=http://mathworld.wolfram.com/EinsteinSummation.html |title=Einstein Summation |access-date=13 April 2011 |publisher=Wolfram Mathworld }}</ref>

Cando se trata de vectores [[Covarianza e contravarianza de vectores|covariantes e contravariantes]], onde a posición dun índice indica o tipo de vector, adoita aplicarse o primeiro caso; un vector covariante só se pode contraer cun vector contravariante correspondente á suma dos produtos dos coeficientes. Por outra banda, cando hai unha base de coordenadas fixa (ou cando non se consideran vectores de coordenadas), pódese optar por usar só subíndices; consulte ''{{section link||Superíndices e subíndices fronte a só subíndices}}'' a continuación.

==Representacións vectoriais==

=== Superíndices e subíndices fronte a só subíndices ===

En termos de [[covarianza e contravarianza de vectores]],
* os índices superiores representan compoñentes de [[Covarianza e contravarianza de vectores|vectores contravariantes]] ([[vector|vectores]]),
* os subíndices  representan compoñentes de vectores [[Covarianza e contravarianza de vectores|covariantes]] ([[Covarianza e contravarianza de vectores|covectores]]).

Transfórmanse de forma contravariante ou covariante, respectivamente, en relación ao [[cambio de base]].

En recoñecemento deste feito, a seguinte notación usa o mesmo símbolo tanto para un vector ou covector como para os seus ''compoñentes'', como en:
:<math>\begin{align}
v = v^i e_i = \begin{bmatrix} e_1 & e_2 & \cdots & e_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v^1 \\ v^2 \\ \vdots \\ v^n \end{bmatrix} \\
w = w_i e^i = \begin{bmatrix} w_1 & w_2 & \cdots & w_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^1 \\ e^2 \\ \vdots \\ e^n \end{bmatrix}
\end{align}</math>

onde <math> v </math> é o vector e <math> v^i </math> son os seus compoñentes (non o <math> i </math>-ésimo covector <math> v </math>), <math> w </math> é o covector e <math> w_i </math> son os seus compoñentes. Os elementos vectores da base <math>e_i</math> son vectores de cada columna, e os elementos da base de covectores <math>e^i</math> son covectores de cada fila.
(Consulte tamén a continuación {{slink|#Descrición abstracta}}. Tamén [[base dual|dualidade]] e os [[Base dual#Exemplos|exemplos]]).

Na presenza dunha [[Forma bilinear dexenerada|forma non dexenerada]] (un [[isomorfismo]] <math>V \rightarrow V^*</math>, por exemplo unha [[métrica de Riemann]] ou [[métrica de Minkowski]]), pódense [[subir e baixar índices|subir e baixar índices]].

Cando se traballa en {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} cunha [[métrica euclidiana]] e unha [[base ortonormal]] fixa, temos a opción de traballar só con subíndices.

Porén, se mudan as coordenadas, a forma en que mudan os coeficientes depende da varianza do obxecto, e non se pode ignorar a distinción; ver [[Covarianza e contravarianza de vectores]].

===Repaso dos usos===

No exemplo anterior, os vectores represéntanse como [[matriz (matemáticas)|matrices]] {{math|''n'' ×&thinsp;1}} (vectores columna), mentres que os covectores represéntanse como matrices {{math|1&thinsp;× ''n''}} (covectores fila).

Cando se usa a convención do vector columna:

* Os covectores son vectores filas:  
:<math>\begin{bmatrix} w_1 & \cdots & w_k \end{bmatrix}.</math> 
Polo tanto o índice inferior indica en que "columna" estás.
* Os vectores contravariantes son vectores columna:  
:<math>\begin{bmatrix} v^1 \\ \vdots \\ v^k \end{bmatrix}</math> 
Polo tanto o índice superior indica en que ''fila'' estás.

=== Descrición abstracta ===

A virtude da notación de Einstein é que representa as cantidades [[Invariantes (matemáticas)|invariantes]] cunha notación simple.

En física, un [[Escalar (física)|escalar]] é invariante baixo transformacións da base. En particular, un [[escalar de Lorentz]] é invariante baixo unha [[transformación de Lorentz]]. Os termos individuais da suma non o son. Cando se muda de base, os ''compoñentes'' dun vector mudan por unha [[transformación linear]] descrita por unha matriz. Isto levou a Einstein a propoñer a convención de que os índices repetidos implican que hai que facer a suma.

En canto aos covectores, mudan pola [[matriz inversa]]. Isto está deseñado para garantir que a función linear asociada ao covector, a suma anterior, sexa a mesma sen importar cal sexa a base.

O valor da convención de Einstein é que se aplica a outros [[espazo vectorial|espazos vectoriais]] construídos a partir de {{math|''V''}} usando o [[produto tensorial]] e a [[espazo dual|dualidade]]. Por exemplo, <math>V \otimes V</math>, o produto tensor de {{math|''V''}} consigo mesmo, ten unha base formada por tensores da forma <math>\mathbf{e}_{ij} = \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j</math>. Calquera tensor {{math|'''T'''}} en <math>V \otimes V</math> pódese escribir como:
:<math>\mathbf{T} = T^{ij}\mathbf{e}_{ij}.</math>

<math>V^*</math>, o dual de <math>V</math>, ten unha base {{math|'''e'''<sup>1</sup>}}, {{math|'''e'''<sup>2</sup>}}, ..., {{math|'''e'''<sup>''n''</sup>}} que obedece a regra
:<math>\mathbf{e}^i (\mathbf{e}_j) = \delta^i_j.</math>
onde {{math|''δ''}} é o [[delta de Kronecker]] (valor un cando coinciden os índices e cero no resto de casos). 

Como
:<math>\operatorname{Hom}(V, W) = V^* \otimes W</math>
as coordenadas da fila/columna nunha matriz corresponden aos índices superior/inferior do produto tensor.

== Operacións comúns nesta notación ==

Na notación de Einstein, a referencia habitual do elemento <math>A_{mn}</math> para a fila <math>m</math> e a columna <math>n</math> da matriz <math>A</math> pasa a ser <math>A_n^{m}</math>. Móstrase a continuación como escribir varias operacións frecuentes en notación de Einstein.

=== Produto interno ===

O [[produto interno]] de dous vectores é a suma dos produtos dos seus compoñentes do mesmo índice, cos índices dun vector baixados (ver [[#Subir e baixar índices]]):
:<math>\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle = \langle\mathbf e_i, \mathbf e_j\rangle u^i v^j = u_j v^j</math>
No caso dunha [[base ortonormal]], temos <math>u^j = u_j</math>, e a expresión simplifícase a:
:<math>\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle = \sum_j u^j v^j = u_j v^j</math>

=== Produto vectorial ===

En tres dimensións, o [[produto vectorial]] de dous vectores en relación a unha base ortonormal [[Orientación (espazo vectorial)|orientada positivamente]], o que significa que <math>\mathbf e_1\times\mathbf e_2=\mathbf e_3</math>, pódese expresar como:
:<math>\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \varepsilon^i_{jk} u^j v^k \mathbf{e}_i</math>

Aquí, <math>\varepsilon_{jk}^{i} = \varepsilon_{ijk}</math> é o [[símbolo de Levi-Civita]]. Dado que a base é ortonormal, subir  o índice <math>i</math> non altera o valor de <math>\varepsilon_{ijk}</math>, cando se trata como tensor.

=== Multiplicación matriz-vector ===

O produto dunha matriz {{math|''A<sub>ij</sub>''}} por un vector columna {{math|''v<sub>j</sub>''}} é:
:<math>\mathbf{u}_{i} = (\mathbf{A} \mathbf{v})_{i} = \sum_{j=1}^N A_{ij} v_{j}</math>
equivalente a
:<math>u^i = A_j^i v^j </math>

Este é un caso paticular de multiplicación matricial.

=== Multiplicación matricial ===

O [[multiplicación matricial|produto matricial]] de dúas matrices {{math|''A<sub>ij</sub>''}} e {{math|''B<sub>jk</sub>''}} é:
:<math>\mathbf{C}_{ik} = (\mathbf{A} \mathbf{B})_{ik}  =\sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}</math>

equivalente a
:<math>C_k^i = A_j^i B_k^j</math>.

=== Traza ===

Para unha [[matriz cadrada]]  <math>A_j^i</math>, a [[Traza (álxebra linear)|traza]] é a suma dos elementos diagonais, polo tanto, a suma sobre un índice común <math>A_i^i</math>.

=== Produto exterior ===

O [[produto exterior]] do vector columna {{math|''u<sup>i</sup>''}} polo vector fila {{math|''v<sub>j</sub>''}} dá unha matriz {{math|''m''&thinsp;×&thinsp;''n''}} {{math|'''A'''}}:
:<math>A_j^i = u^i v_j = (u v)_j^i</math>

Dado que {{math|''i''}} e {{math|''j''}} representan dous índices ''diferentes'', non hai sumatorio e os índices non se eliminan pola multiplicación.

=== Subir e baixar índices ===

Dado un [[tensor]], pódense [[Subir e baixar índices|subir ou baixar un índice]] contraendo o tensor co [[tensor métrico]], {{math|''g<sub>μν</sub>''}}. Por exemplo, se temos o tensor {{math|''T<sup>α</sup><sub>β</sub>''}}, pódese baixar un índice:
:<math>g_{\mu\sigma} T_\beta^\sigma = T_{\mu\beta}</math>,

ou pódese elevar un índice:
:<math>g^{\mu\sigma} T^\alpha_\sigma = T^{\mu\alpha}</math>.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* {{springer|id=E/e035220|first=L. P.|last=Kuptsov|title=Einstein rule}}.
=== Outros artigos ===
* [[Tensor]]
* [[Notación de índice abstracto]]
* [[Notación Bra-ket]]
* [[Símbolo de Levi-Civita]]
=== Ligazóns externas ===
* {{cita web |title=Vector Calculation in Index Notation (Einstein's Summation Convention) |url=https://www.goldsilberglitzer.at/Rezepte/Rezept004E.pdf}}
* {{cita web |title=Understanding NumPy's einsum |url=https://stackoverflow.com/a/33641428 |website=Stack Overflow}}


{{control de autoridades}}

[[Categoría:Física]]
[[Categoría:Álxebra lineal]]