Ver o código fonte de «Norma dun corpo»

En [[matemáticas]], a '''norma dun corpo''' é unha asignación particular definida na [[Corpo (álxebra)|teoría de corpos]], que mapea elementos dun corpo máis grande nun subcorpo.

== Definición formal ==
Sexa ''K'' un [[Corpo (álxebra)|corpo]] e ''L'' unha [[Extensión dun corpo|extensión]] finita (e polo tanto unha extensión alxébrica) de ''K''.

O corpo ''L'' é entón un [[espazo vectorial]] de dimensión finita sobre ''K'' .

A multiplicación por ''α''  dun elemento de ''L'',

: <math>m_\alpha\colon L\to L</math>
: <math>m_\alpha (x) = \alpha x</math>,

é unha transformación ''K''-[[Aplicación linear|linear]] deste [[espazo vectorial]] en si mesmo.

A '''norma''', '''N''' <sub>''L''/''K''</sub> (''α''), defínese como o [[Determinante (matemáticas)|determinante]] desta [[Aplicación linear|transformación linear]].<ref name="ROT940">{{Cita Harvard sen parénteses|Rotman|2002}}</ref>

Se ''L''/''K'' é unha [[extensión de Galois]], pódese calcular a norma de ''α'' &#x2208; ''L'' como o produto de todos os conxugados de Galois de ''α'':

: <math>\operatorname{N}_{L/K}(\alpha)=\prod_{\sigma\in\operatorname{Gal}(L/K)} \sigma(\alpha),</math>

onde Gal(''L''/''K'') denota o [[grupo de Galois]] de ''L''/''K''.<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Rotman|2002}}</ref> (Teña en conta que pode haber unha repetición nos termos do produto).


Para unha extensión xeral do corpo ''L''/''K'', e ''α'' distinto de cero en ''L'', sexan ''σ''{{Sub|1}}(''α''), ... , σ{{Sub|''n''}} (''α'') as raíces do [[Polinomio mínimo (teoría de corpos)|polinomio mínimo]] de ''α'' sobre ''K'' (raíces listadas con multiplicidade e situadas nalgún corpo de extensión de ''L''); entón

: <math>\operatorname{N}_{L/K}(\alpha)=\left (\prod_{j=1}^n\sigma_j(\alpha) \right )^{[L:K(\alpha)]}</math> .


Se ''L''/''K'' é separábel, entón cada raíz aparece só unha vez no produto (aínda que o expoñente, o grao da extensión [''L'':''K''(''α'')], aínda pode ser maior que 1).

== Exemplos ==

=== Extensións de corpo cadrático ===
Un dos exemplos básicos de normas provén das [[Extensión dun corpo|extensións]] [[Corpo cadrático|de corpos cadráticos]] <math>\Q(\sqrt{a})/\Q</math> onde <math>a</math> é un enteiro libre de cadrados.

Despois, o mapa de multiplicación por <math>\sqrt{a}</math> sobre un elemento <math>x + y \cdot \sqrt{a}</math> é

: <math>\sqrt{a}\cdot (x + y\cdot\sqrt{a}) = y \cdot a + x \cdot \sqrt{a}.</math>

O elemento <math>x + y \cdot \sqrt{a}</math> pode ser representado polo vector

: <math>\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix},</math>

xa que hai unha descomposición de suma directa <math>\Q(\sqrt{a}) = \Q\oplus \Q\cdot\sqrt{a}</math> como a <math>\Q</math>-espazo vectorial.

A [[Matriz (matemáticas)|matriz]] de <math>m_\sqrt{a}</math> é daquela

: <math>m_{\sqrt{a}} = \begin{bmatrix}
0 & a \\
1 & 0
\end{bmatrix}</math>

e a norma é <math>N_{\Q(\sqrt{a})/\Q}(\sqrt{a}) = -a</math>, xa que é o [[Determinante (matemáticas)|determinante]] desta [[Matriz (matemáticas)|matriz]].

==== Norma de Q(√2) ====
Considere o [[corpo de números alxébricos]] <math>K=\Q(\sqrt{2})</math> .

O [[grupo de Galois]] de <math>K</math> sobre <math>\Q</math> ten orde <math>d = 2</math> e é xerado polo elemento que envía <math>\sqrt{2}</math> a <math>-\sqrt{2}</math>. Logo, a norma de <math>1+\sqrt{2}</math> é:

: <math>(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = -1.</math>


A norma do corpo tamén se pode obter sen o grupo de Galois .

Fixemos  unha <math>\Q</math>-base de <math>\Q(\sqrt{2})</math>, digamos:

: <math>\{1,\sqrt{2}\}</math> .

Daquela a multiplicación polo número <math>1+\sqrt{2}</math> envía

: 1 a <math>1+\sqrt{2}</math> e
: <math>\sqrt{2}</math> a <math>2+\sqrt{2}</math> .

Daquela, o [[Determinante (matemáticas)|determinante]] de "multiplicar por <math>1+\sqrt{2}</math> " é o [[Determinante (matemáticas)|determinante]] da [[Matriz (matemáticas)|matriz]] que envía o vector

: <math>\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}</math> (correspondente ao primeiro elemento da base, é dicir, 1) a <math>\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}</math>,
: <math>\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}</math> (correspondente ao segundo elemento da base, é dicir, <math>\sqrt{2}</math> ) a <math>\begin{bmatrix}2 \\ 1\end{bmatrix}</math>,

a saber:

: <math>\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 1 \end{bmatrix}. </math>

O [[Determinante (matemáticas)|determinante]] desta [[Matriz (matemáticas)|matriz]] é −1.

=== extensións do corpo raíz ''p''-ésima ===
Outra clase sinxela de exemplos provén das extensións de corpo da forma <math>\mathbb{Q}(\sqrt[p]{a})/\mathbb{Q}</math> onde a factorización prima de <math>a \in \mathbb{Q} </math> non contén potencias <math>p</math>-ésimas, para <math>p</math> un primo impar fixo.

O mapa de multiplicación por <math>\sqrt[p]{a}</math> dun elemento é<blockquote><math>\begin{align}
m_{\sqrt[p]{a}}(x) &= \sqrt[p]{a} \cdot (a_0 + a_1\sqrt[p]{a} + a_2\sqrt[p]{a^2} + \cdots + a_{p-1}\sqrt[p]{a^{p-1}} )\\
&= a_0\sqrt[p]{a} + a_1\sqrt[p]{a^2} + a_2\sqrt[p]{a^3} + \cdots + a_{p-1}a 
\end{align}</math></blockquote>dando a [[Matriz (matemáticas)|matriz]]<blockquote><math>\begin{bmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & a \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{bmatrix}</math></blockquote>O [[Determinante (matemáticas)|determinante]] dá a norma

: <math>N_{\mathbb{Q}(\sqrt[p]{a})/\mathbb{Q}}(\sqrt[p]{a}) = (-1)^{p-1} a = a.</math>

=== Números complexos sobre os reais ===
A norma de corpo dos [[Número complexo|números complexos]] nos [[Número real|números reais]] envía

: {{Nowrap|''x'' + ''iy''}}

a

: {{Nowrap|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}},

porque o grupo de Galois de <math>\Complex</math> sobre <math>\R</math> ten dous elementos,

* o elemento identidade e
* a conxugación complexa,

e tomando o produto obtense {{Nowrap|1=(''x'' + ''iy'')(''x'' − ''iy'') = ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}}.

=== Corpos finitos ===
Sexa ''L'' = GF(''q''<sup>''n''</sup>) unha [[Extensión de corpo|extensión]] finita dun [[corpo finito]] ''K'' = GF( ''q'').

Dado que ''L''/''K'' é unha extensión de Galois, se ''α'' está en ''L'', entón a norma de ''α'' é o produto de todos os conxugados de Galois de ''α'', é dicir <ref name="LN57">{{Cita Harvard sen parénteses|Lidl|Niederreiter|1997}}</ref>

: <math> \operatorname{N}_{L/K}(\alpha)=\alpha \cdot \alpha^q \cdot \alpha^{q^2} \cdots \alpha^{q^{n-1}} = \alpha^{(q^n - 1)/(q-1)}. </math>

Nesta configuración temos as propiedades adicionais, <ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Mullen|Panario|2013}}</ref>

* <math>\forall \alpha \in L, \quad \operatorname{N}_{L/K}(\alpha^q) = \operatorname{N}_{L/K}(\alpha) </math>
* <math>\forall a \in K, \quad \operatorname{N}_{L/K}(a) = a^n.</math>

== Propiedades da norma ==
Hai varias propiedades da función norma para calquera extensión finita.<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Roman|2006|p=151}}</ref> <ref name=":0"></ref>

=== Homomorfismo de grupos ===
A norma '''N'''{{Sub|''L''/''K''}} : ''L''* → ''K''* é un [[homomorfismo de grupos]] do grupo multiplicativo de ''L'' no grupo multiplicativo de ''K'', é dicir

: <math>\operatorname{N}_{L/K}(\alpha \beta) = \operatorname{N}_{L/K}(\alpha) \operatorname{N}_{L/K}(\beta) \text{ para todo }\alpha, \beta \in L^*.</math>

A maiores, se ''a'' en ''K'' :

: <math>\operatorname{N}_{L/K}(a \alpha) = a^{[L:K]} \operatorname{N}_{L/K}(\alpha) \text{ para todo }\alpha \in L.</math>

Se ''a'' ∈ ''K'' entón <math>\operatorname{N}_{L/K}(a) = a^{[L:K]}.</math>

=== Composición con extensións de corpo ===
A maiores, a norma compórtase ben en [[Torre de corpos|torres de corpos]] :

se ''M'' é unha extensión finita de ''L'', entón a norma de ''M'' en ''K'' é só a composición da norma de ''M'' en ''L'' coa norma de ''L'' en ''K'', é dicir.

: <math>\operatorname{N}_{M/K}=\operatorname{N}_{L/K}\circ\operatorname{N}_{M/L}.</math>

=== Redución da norma ===
A norma dun elemento nunha extensión de corpo arbitraria pode reducirse a un cálculo máis sinxelo se xa se coñece o grao da extensión de corpo. Isto é<blockquote><math>N_{L/K}(\alpha) = N_{K(\alpha)/K}(\alpha)^{[L:K(\alpha)]}</math> <ref name=":0">{{Cita libro|title=Introduction to Algebraic Number Theory|url=http://www1.spms.ntu.edu.sg/~frederique/ANT10.pdf|páxinas=15|data-acceso=08 de novembro de 2024|data-arquivo=23 de outubro de 2014|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20141023023935/http://www1.spms.ntu.edu.sg/~frederique/ANT10.pdf|url-morta=yes}}<cite class="citation book cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFOggier">Oggier.  <span class="cs1-format">(PDF)</span>. p.&nbsp;15. Archived from [http://www1.spms.ntu.edu.sg/~frederique/ANT10.pdf the original] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141023023935/http://www1.spms.ntu.edu.sg/~frederique/ANT10.pdf |date=23 de outubro de 2014 }} <span class="cs1-format">(PDF)</span> on 2014-10-23<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2020-03-28</span></span>.</cite></ref></blockquote>Por exemplo, para <math>\alpha = \sqrt{2}</math> na extensión de corpo <math>L = \mathbb{Q}(\sqrt{2},\zeta_3), K =\mathbb{Q}</math>, a norma de <math>\alpha</math> é<blockquote><math>\begin{align}
N_{\mathbb{Q}(\sqrt{2},\zeta_3)/\mathbb{Q}}(\sqrt{2}) &= N_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\sqrt{2})^{[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\zeta_3):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]}\\
&= (-2)^{2}\\
&= 4
\end{align}</math></blockquote>xa que o grao de extensión do corpo <math>L/K(\alpha)</math> é <math>2</math>.

=== Detección de unidades ===
Para <math>\mathcal{O}_K</math> o anel de números enteiros dun [[Corpo de números alxébricos|corpo numérico alxébrico]] <math>K</math>, un elemento <math>\alpha \in \mathcal{O}_K</math> é unha unidade se e só se <math>N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) = \pm 1</math> .

Por exemplo

: <math>N_{\mathbb{Q}(\zeta_3)/\mathbb{Q}}(\zeta_3) = 1</math>

onde

: <math>\zeta_3^3 = 1</math> .

Así, calquera corpo numérico <math>K</math> cuxo anel de enteiros <math>\mathcal{O}_K</math> contén <math>\zeta_3</math> teno como unidade.
== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* {{cita libro | first1=Rudolf | last1=Lidl | first2=Harald | last2=Niederreiter | author2-link=Harald Niederreiter | title=Finite Fields | series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications | volume=20 | year=1997 | orig-year=1983 | edition=Second | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=0-521-39231-4 | zbl=0866.11069 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/finitefields0000lidl_a8r3 }}
* {{cita libro |first1=Gary L.|last1=Mullen|first2=Daniel|last2=Panario|title=Handbook of Finite Fields|year=2013|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4398-7378-6}}
* {{cita libro | last=Roman | first=Steven | title=Field theory | edition=Second | year=2006 | publisher=Springer | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=158 | at=Chapter 8 | isbn=978-0-387-27677-9 | zbl=1172.12001 }}
* {{cita libro |first=Joseph J.|last=Rotman|title=Advanced Modern Algebra|url=https://archive.org/details/advancedmodernal0000rotm|year=2002|publisher=Prentice Hall|isbn=978-0-13-087868-7}}

=== Outros artigos ===
* [[Traza dun corpo]].
* [[Norma dun ideal]].

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números alxébricos]]

[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]