Ver o código fonte de «Número transcendente»

{{Números}}
Un '''número transcendente''', tamén ''' número transcendental''', é un tipo de [[número irracional]] que non é [[Raíz dunha función|raíz]] de ningún [[polinomio]] non nulo con coeficientes enteiros.

Neste sentido, '''número transcendente''' é [[antónimo]] de '''[[número alxébrico]]'''. A definición non provén dunha simple relación alxébrica, senón que se define como unha propiedade fundamental das matemáticas. Os números transcendentes máis coñecidos son [[número pi|π]] e ''[[Número e|e]]''.

En xeral, se temos dous corpos <math>\scriptstyle (K,+,\cdot)</math> e <math>\scriptstyle (L,+,\cdot)</math> de forma que o segundo é extensión do primeiro, diremos que <math>\scriptstyle \alpha \in L</math> é [[elemento transcendente|transcendente]] sobre <math>\scriptstyle K</math> se non existe ningún polinomio <math>\scriptstyle p \in K[x]</math> do que <math>\scriptstyle \alpha\,</math> sexa raíz (<math>\scriptstyle p(\alpha)=0\,</math>).

O [[conxunto]] de números alxébricos é [[conxunto numerable|numerable]], mentres que o conxunto de [[Número real|números reais]] é non numerable; polo tanto, o conxunto de números transcendentes é tamén non numerable. Non obstante, existen moi poucos números transcendentes coñecidos, e demostrar que un número é transcendente pode ser extremadamente difícil. Por exemplo, aínda non se sabe se a [[constante de Euler-Mascheroni|constante de Euler-Mascheroni]] (<math>\scriptstyle \gamma\,</math>) o é, sendo 
<center>
<math>\textstyle \gamma\,</math> = 
<math>\textstyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\cdots + \frac{1}{n} - \ln(n)</math>,
cando <math>\textstyle n \to +\infty \,\!</math>. 
</center>
De feito, nin sequera se sabe se <math>\scriptstyle \gamma</math> é [[Número racional|racional]] ou [[Número irracional|irracional]].

A propiedade de [[número normal|normalidade]] dun número (a súa secuencia infinita de díxitos distribúese uniformemente) pode contribuír a demostrar se é transcendente ou non.

==Números demostrados como transcendentais==
Números demostrados como transcendentais:

* [[número pi|{{mvar|π}}]] (polo [[teorema de Lindemann-Weierstrass]]).
* {{math|<math>e^a</math>}} se {{Math|<math>a</math>}} é [[Número alxébrico|alxébrico]] e distinto de cero (polo teorema de Lindemann–Weierstrass), en particular o [[número e]].
* {{math|<math> e^{\pi \sqrt n} </math>}} onde {{math|<math>n</math>}} é un enteiro positivo; en particular a [[constante de Gelfond]] {{math|<math>e^\pi</math>}} (polo [[teorema de Gelfond-Schneider]]).
* Combinacións alxébricas de {{math|<math>\pi </math>}} e {{math|<math> e^{\pi \sqrt n} , n\in\mathbb Z^{+}</math >}} como <math> \pi + e^{\pi}</math> e <math> \pi e^{\pi}</math> (deducido da súa [[independencia alxébrica]]).<ref name=":2">{{Cita revista |last=Nesterenko |first=Yu V |date=1996-10-31 |title=Modular functions and transcendence questions |url=https://iopscience.iop.org/article/10.1070/SM1996v187n09ABEH000158 |journal=Sbornik: Mathematics |volume=187 |issue=9 |pages=1319–1348 |doi=10.1070/SM1996v187n09ABEH000158 |bibcode=1996SbMat.187.1319N |issn=1064-5616}}</ref>
* {{math|<math>a^b</math>}} onde {{Math|<math>a</math>}} é alxébrica pero non 0 nin 1, e {{Math|<math>b</math>}} é alxébrica irracional, en particular a [[constante de Gelfond–Schneider]] <math>2^{\sqrt{2}}</math> (polo Teorema de Gelfond-Schneider).
* O [[logaritmo natural]] <math>\ln(a)</math> se <math>a</math> é alxébrica e non é igual a 0 ou 1, para calquera rama da función logarítmica (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
* {{math|<math>\log_b(a)</math>}} se {{math|<math>a</math>}} e {{math|<math>b</math>}} son enteiros positivos non as dúas potencias do mesmo número enteiro, e {{math|<math>a</math>}} non é igual a 1 (polo teorema de Gelfond-Schneider).
* Todos os números da forma <math>\pi + \beta_1 \ln (a_1) + \cdots + \beta_n \ln (a_n)</math> son transcendentais, onde <math>\beta_j</math> son alxébricos para todos os <math>1 \leq j \leq n</math> e <math>a_j</math> son alxébricos distintos de cero para todos os <math>1 \leq j \leq n</math> (polo [[teorema de Baker]]).

*As [[funcións trigonométricas]] {{math|<math>\sin(x), \cos(x), ...</math>}} e os seus [[función hiperbólica|homólogos hiperbólicos]], para calquera número alxébrico distinto de cero {{math|<math>x</math>}}, expresado en [[radián|radiáns]] (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
*Resultados distintos de cero das [[funcións trigonométricas inversas]] {{math|<math>\arcsin(x), \arccos(x), ...</math>}} e as súas [[función hiperbólica inversa| contrapartes hiperbólicas]], para calquera número alxébrico {{math|<math>x</math>}} (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
*<math>\pi^{-1}{\arctan(x)}</math>, para {{math|<math>x</math>}} racional tal que <math>x \notin \{0 ,\pm{1}\}</math>.<ref name=":1">{{Cita web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Transcendental Number |url=https://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html |access-date=2023-08-09 |website=mathworld.wolfram.com }}</ref>
*O  punto fixo  da función coseno (tamén coñecido como [[número de Dottie]] {{math|<math>d</math>}}), solución real única da ecuación {{math|<math>\cos(x)=x</math>}}, onde {{math|<math>x</math>}} está en radiáns (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).<ref name="wolfram_dottie">{{cite web|last1=Weisstein|first1=Eric W.|title=Dottie Number|url=http://mathworld.wolfram.com/DottieNumber.html|website=Wolfram MathWorld|publisher=Wolfram Research, Inc.|access-date=23 xullo 2016}}</ref>
*{{math|<math>W(a)</math>}} se {{math|<math>a</math>}} é alxébrica e distinta de cero, para calquera rama da [[función W de Lambert]] (polo teorema de Lindemann-Weierstrass), en particular a [[constante omega]] {{math|Ω}}.
* {{math|<math>W(r,a)</math>}} se tanto {{math|<math>a</math>}} como a orde {{math|<math>r</math>}} son alxébricas tal que <math>a \neq 0</math>, para calquera rama da función  W xeneralizada de Lambert<ref>{{Cita arXiv |eprint=1408.3999 |class=math.CA |first1=István |last1=Mező |first2=Árpád |last2=Baricz |title=Sobre a xeneralización da función Lambert W |data=22 de xuño de 2015}}</ref>
* {{math|<math>\sqrt x _s</math>}}, a [[Tetración|super-raíz cadrada]] de calquera número natural é un número enteiro ou transcendental (polo Gelfond-Teorema de Schneider).
* Valores da [[función gamma]] dos números racionais que teñen a forma <math>\Gamma(n/2),\Gamma(n/3),\Gamma(n/4)</math> ou <math>\Gamma(n/6)</math>..<ref>{{Cita libro |last=Chudnovsky |first=G. |title=Contributions to the theory of transcendental numbers |date=1984 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-1500-7 |series=Mathematical surveys and monographs |location=Providence, R.I |language=en, ru}}</ref>
* Combinacións alxébricas de {{math|<math>\pi </math>}} e {{math|<math>\Gamma(1/3)</math>}} ou de {{math|<math>\ pi </math>}} e {{math|<math>\Gamma(1/4)</math>}} como a [[constante de Gauss|constante lemniscata]] <math>\varpi</math> (deducido a partir das súas respectivas independencias alxébricas).<ref name=":2" />
* Os valores da [[función beta]] <math>\Beta(a,b)</math> se <math>a, b</math> e <math>a+b</math> son números racionais non enteiros.<ref name=":3">{{Cita web |last=Waldschmidt |first=Michel |date=September 7, 2005 |title=Transcendence of Periods: The State of the Art |url=https://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/TranscendencePeriods.pdf |website=webusers.imj-prg.fr}}</ref>
* A [[función de Bessel|función de Bessel do primeiro tipo]] {{math|<math>J_\nu(x)</math>}}, a súa primeira derivada e o cociente <math>\tfrac{J'_\nu (x)}{J_\nu (x)}</math> son transcendentais cando ''{{math|<math>\nu</math>}}'' é racional e ''{{math|<math>x</math>}}'' é alxébrica e distinta de cero,<ref>{{cita libro |last1=Siegel |first1=Carl L. |title=Sobre algunhas aplicacións das aproximacións diofánticas | chapter=Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen: Abhandlungen der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Physikalisch-Mathematische Klasse 1929, Nr. 1 |data=2014 |editor=Scuola Normale Superiore |isbn=978-88-7642-520-2 |pages=81–138 |chapter-url=https://doi.org/10.1007/978-88-7642- 520-2_2  |doi=10.1007/978-88-7642-520-2_2 }}</ref> e todas as raíces distintas de cero de {{math|<math>J_\nu(x)</math>}} e {{math|<math>J'_\nu(x)</math>}} son transcendentais cando ''{{math|<math>\nu</math>}}'' é racional.<ref>{{cita revista |last1=Lorch |first1=Lee |last2=Muldoon |first2=Martin E. |title=Transcendentality of zeros of higher dereivatives of functions involving Bessel functions |journal=International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences |date=1995 |volume=18 |issue=3 |pages=551–560 |doi=10.1155/S0161171295000706  }}</ref>
* O número <math>\tfrac{\pi}{2} \tfrac{Y_0 (2)}{J_0 (2)} - \gamma</math>, onde {{math|<math>Y_\alpha(x )</math>}} e {{math|<math>J_\alpha(x)</math>}} son funcións de Bessel e {{math|<math>\gamma</math>}} é o [[Constante de Euler-Mascheroni]].<ref>{{Cita revista|last1=Mahler |first1=Kurt |last2=Mordell |first2=Louis Joel |date=1968-06-04 |title=Applications of a theorem by A. B. Shidlovski |url=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1968.0111 |journal=Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences |volume=305 |issue=1481 |pages=149–173 |bibcode=1968RSPSA.305..149M |doi=10.1098/rspa.1968.0111}}</ref><ref>{{Cita revista |last=Lagarias |first=Jeffrey C. |date=2013-07-19 |title=Euler's constant: Euler's work and modern developments |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=50 |issue=4 |pages=527–628 |arxiv=1303.1856 |doi=10.1090/S0273-0979-2013-01423-X |issn=0273-0979}}</ref>
* Calquera [[número de Liouville]], en particular: a constante de Liouville.
* Números cunha [[medida de irracionalidade]] grande, como a [[constante de Champernowne]] <math>C_{10}</math> (polo [[teorema de Roth]]).
* Números construídos artificialmente para non ser períodicos alxébricos.<ref>{{cite arXiv |eprint=0805.0349 |class=math.AG |first=Masahiko |last=Yoshinaga |title=Periods and elementary real numbers |date=2008-05-03}}</ref>
* Calquera [[número non computábel]], en particular: a [[constante de Chaitin]].
* Números irracionais construídos que non son simplemente [[Número normal|normal]] en ningunha base.{{sfn|Bugeaud|2012|page=113}}
* Calquera número para o cal os díxitos con respecto a algunha base fixa formen unha [[palabra de Sturmian]].<ref>{{harvnb|Pytheas Fogg|2002}}</ref>
* A [[Constante de Prouhet-Thue-Morse]]<ref>{{harvnb|Mahler|1929}}; {{harvnb|Allouche|Shallit|2003|p=387}}</ref>.<ref>{{Cita web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Rabbit Constant |url=https://mathworld.wolfram.com/ |access-date=2023-08-09 |website=mathworld.wolfram.com }}</ref>
* A [[constante de Komornik-Loreti]].<ref>{{cita libro |last1=Allouche |first1=Jean-Paul |title=The Komornik-Loreti constant is transcendental |journal=American Mathematical Monthly |volume=107 |issue=5 |pages=448–449 |year=2000 |doi=10.2307/2695302 |jstor=2695302 |mr=1763399 |last2=Cosnard |first2=Michel}}</ref>
* Os valores da serie infinita cunha [[Taxa de converxencia|taxa de converxencia]] rápida, segundo a definición de Y. Gao e J. Gao, como <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{3^ n}{2^{3^n}}</math>.<ref>{{Cita web |title=A140654 - OEIS |url=https://oeis.org/A140654 |access-date=2023-08-12 |website=oeis.org}}</ref>
* Os valores da [[Fracción continua de Rogers-Ramanujan|Fracción continua de Rogers-Ramanujan]] <math>R(q)</math> onde <math>{{q}} \in \mathbb C</math> é alxébrica e <math>0 < |q| <1</math><ref>{{Cita revista |last1=Duverney |first1=Daniel |last2=Nishioka |first2=Keiji |last3=Nishioka |first3=Kumiko |last4=Shiokawa |first4=Iekata |date=1997 |title=Transcendence of Rogers-Ramanujan continued fraction and reciprocal sums of Fibonacci numbers |journal=Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences |volume=73 |issue=7 |pages=140–142 |doi=10.3792/pjaa.73.140 |issn=0386-2194 }}</ref>. Os valores da lemniscáta da [[función theta]] <math>\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}</math> (nas mesmas condicións para <math>{{q}} </math>) tamén son transcendentais<ref>{{Cita revista |last=Bertrand |first=Daniel |date=1997 |title=Theta functions and transcendence |url=http://link.springer.com/10.1023/A:1009749608672 |journal=The Ramanujan Journal |volume=1 |issue=4 |pages=339–350 |doi=10.1023/A:1009749608672 }}</ref> 
== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
*{{cita revista
 | last1=Adamczewski | first1=Boris
 | last2=Bugeaud     | first2=Yann
 | year=2005
 | title=On the complexity of algebraic numbers, II. Continued fractions
 | journal=[[Acta Mathematica]]
 | volume=195 | issue=1 | pages=1–20
 | doi=10.1007/BF02588048 | arxiv=math/0511677
 | bibcode=2005math.....11677A 
}}
*{{cita libro
 | last=Bourbaki | first=N. |author-link=Nicolas Bourbaki 
 | year=1994
 | title=Elements of the History of Mathematics
 | publisher=Springer
 | isbn=9783540647676
 | url=https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour
 |via=Internet Archive
}}
*{{cita revista
 | last1=Davison | first1=J. Les
 | last2=Shallit | first2=J.O.    | author2-link=Jeffrey Shallit
 | year=1991
 | title=Continued fractions for some alternating series
 | journal=[[Monatshefte für Mathematik]]
 | volume=111 | issue=2 | pages=119–126
 | doi=10.1007/BF01332350 
}}
*{{cita revista
 | last1=Erdős  | first1=P. | author1-link=Paul Erdős
 | last2=Dudley | first2=U. | author2-link=Underwood Dudley
 | year=1983
 | title=Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler
 | journal=Mathematics Magazine
 | volume=56 | issue=5 | pages=292–298
 | jstor=2690369 | doi=10.2307/2690369 
 | url=https://users.renyi.hu/~p_erdos/1983-27.pdf
}}
*{{cita libro
 | last=Gelfond | first=A. | author-link=Alexander Gelfond
 | year=1960 | orig-year=1956
 | title=Transcendental and Algebraic Numbers  | edition = reprint
 | publisher=Dover
}}
*{{cite book
 | last1=Natarajan   | first1=Saradha   | author1-link=:fr:Saradha Natarajan
 | last2=Thangadurai | first2=Ravindranathan
 | year=2020
 | publisher=[[Springer Verlag]]
 | title=Pillars of Transcendental Number Theory
 | isbn=978-981-15-4154-4
}}
=== Outros artigos ===
* [[Aproximación diofantiana]].
* [[Medida da irracionalidade]].
* [[Número e]]
=== Ligazóns externas ===
* {{MathWorld |title=Transcendental Number |id=TranscendentalNumber}}
* {{MathWorld |title=Liouville Number      |id=LiouvilleNumber}}
* {{MathWorld |title=Liouville's Constant  |id=LiouvillesConstant}}
* {{cita web
 |title=Proof that {{mvar|e}} is transcendental 
 |website=planetmath.org
 |url=http://planetmath.org/EIsTranscendental
}}
* {{cita web
 |title=Proof that the Liouville constant is transcendental
 |website=deanlmoore.com
 |url=https://deanlmoore.com/liouvilles-proof
 |access-date=2018-11-12
 }}
{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Álxebra]]