Ver o código fonte de «Número primo»

[[Ficheiro:Primes-vs-composites pt.svg|miniatura|Os [[número composto|números compostos]] poden ser organizados en rectángulos, mais os números primos non.]]
{{Números}}
'''Número primo''' é un [[número natural]] maior que 1 e que ten exactamente dous [[divisor]]es positivos distintos: 1 e el mesmo. Se un número natural é maior que 1 e non é primo, dise que é [[número composto|composto]]. Por convención, os números [[cero|0]] e [[un|1]] non son primos nin compostos.
 
O concepto de número primo é moi importante na [[teoría dos números]]. Un dos resultados da teoría dos números é o [[Teorema fundamental da aritmética|Teorema Fundamental da Aritmética]], que afirma que calquera número enteiro positivo pode ser escrito univocamente como o produto de varios números primos (chamados "factores primos"). Ao proceso que recibe como argumento un número e devolve os seus factores primos chámase [[factorización|descomposición en factores primos]]. Antes do desenvolvemento do cálculo automático, a determinación dos factores primos era un proceso traballoso en extremo, mais a finais do século XVIII xa existían, grazas ao labor dalgúns matemáticos, entre os cales estaban [[Anton Felkel]] e [[Jurij Vega|Jurij Bartolomej Vega]], extensas táboas abranguendo o intervalo desde a unidade ata algúns millóns. 

Colocando os números primos en orde crecente, temos que os primeiros elementos son:

[[dous|2]], [[Tres|3]], [[Cinco|5]], [[Sete|7]], [[Once|11]], [[Trece (número)|13]], [[Dezasete|17]], [[Dezanove|19]], [[Vinte e tres|23]], [[Vinte e nove|29]], [[Trinta e un|31]], [[Trinta e sete|37]], [[Carenta e un|41]], [[Carenta e tres|43]], 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...

Exemplos de decomposicións:

* 4 = 2 ⋅ 2
* 6 = 2 ⋅ 3
* 8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2
* 9 = 3 ⋅ 3
* 10 = 2 ⋅ 5

== Teoremas dos números primos ==
===Factorización única===
{{Main|Teorema fundamental da aritmética}}
Escribir un número como produto de números primos chámase ''descomposición en factores primos'' do número. Por exemplo:
:<math>\begin{align}
   50 &= 2\times 5\times 5\\
   &=2\times 5^2.
 \end{align}</math>
Os termos do produto chámanse ''factores primos''. O mesmo factor primo pode ocorrer máis dunha vez; este exemplo ten dúas copias do factor primo <math>5.</math> Cando un número primo ocorre varias veces, a [[potenciación|exponenciación]] pódese usar para agrupar varias copias do mesmo número primo: por exemplo, na segunda forma de escribir o produto anterior, <math>5^2</math> denota o [[Cadrado (álxebra)|cadrado]] ou a segunda potencia de <math>5.</math>

Algunhas probas da unicidade das factorizacións en primos baséanse no [[lema de Euclides]]: se <math>p</math> é un número primo e <math>p</math> divide un produto <math>ab</math > de enteiros <math>a</math> e <math>b</math>, entón <math>p</math> divide <math>a</math> ou <math>p</math> divide <math>b</math> (ou ambos os dous)<ref>{{harvnb|Dudley|1978}}, [https://books.google.com/books?id=tr7SzBTsk1UC&pg=PA15 Section 2, Lemma 5, p. 15]; {{cite book|title=Mathematics for the Curious|first=Peter M.|last=Higgins|publisher=Oxford University Press |year=1998 |isbn=978-0-19-150050-3 |pages=77–78|url=https://books.google.com/books?id=LeYH8P8S9oQC&pg=PA77}}</ref> Pola contra, se un número <math>p</math> ten a propiedade de que cando divide un produto sempre divide polo menos un factor do produto, entón <math>p</math> debe ser primo.<ref>{{cite book|title=A First Course in Abstract Algebra|url=https://archive.org/details/firstcourseinabs0000rotm_e5g6|first=Joseph J.|last=Rotman|edition=2nd|publisher=Prentice Hall|year=2000|isbn=978-0-13-011584-3|at=Problem 1.40, p. 56}}</ref>
===Infinitude===
{{ap|Teorema de Euclides}}
Sábese que, á medida que avanzamos na secuencia dos números enteiros, os primos tórnanse cada vez máis raros. Isto levanta dúas cuestións:
# O conxunto dos números primos sería finito ou infinito?
# Dado un número natural <math>n</math>, cal é a proporción de números primos entre os números menores que <math>n</math>?

A resposta a primeira cuestión é que o conxunto dos primos é infinito. Podemos demostralo da seguinte forma:

Supoña, por absurdo, que o número de primos sexa finito e sexan <math> p_1, p_2, p_3,..., p_n </math> os primos. Sexa <math>P</math> o número tal que

<math>P</math> = <math>\prod_{i=1}^n p_i +1</math> onde <math>\prod</math> denota o produto.

Temos que <math>P</math> non é primo (por hipótese), logo existe un número primo <math>q</math> tal que <math>q \mid\ P </math>. 
Mais obviamente <math> q \ne\ p_1,p_2,...p_n </math>. Logo existe un novo número primo, o que é unha contradición.

A resposta para a segunda pregunta é que esa proporción se aproximará máis a <math>n:\ln (n)</math> canto maior sexa n, onde <math>\ln</math> é o logaritmo natural.

== Grupos e secuencias de números primos ==
{{principal|Teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas|Teorema de Green–Tao}}
Coñécense dous grupos de números primos, dos tipos:

:(4n+1) - pódense sempre escribir como (<math>x^2+y^2</math>).

:(4n-1), que é o mesmo que (4n+3) - nunca se poden escribir como (<math>x^2+y^2</math>).

Tratándose de números primos, é perigoso facer unha xeneralización apenas con base nunha observación, non solidamente comprobada matematicamente. Por exemplo, [[trinta e un|31]], 331, 3&nbsp;331, 33&nbsp;331, 333&nbsp;331, 3&nbsp;333&nbsp;331 e 33&nbsp;333&nbsp;331 son primos, mais 333&nbsp;333&nbsp;331 non é primo (333&nbsp;333&nbsp;331 = 17&nbsp;⋅&nbsp;19&nbsp;607&nbsp;843).

Unha [[progresión aritmética]] é unha sucesión finita ou infinita de números tal que os números consecutivos da secuencia teñen todos a mesma diferenza.<ref>{{cita libro |last1=Gelfand |first1=Israel M. |author1-link= Israel Gelfand |url=https://books.google.com/books?id=Z9z7iliyFD0C&pg=PA37 |title=Álxebra |last2=Shen |first2=Alexander |publisher=Springer |year=2003 |isbn=978-0-8176-3677-7 |page=37}}</ref> Esta diferenza chámase [[Aritmética modular |módulo]] da progresión.<ref>{{cita libro|title=Fundamental Number Theory with Applications|series=Discrete Mathematics and Its Applications|first=Richard A.|last=Mollin|publisher=CRC Press|year=1997|isbn=978-0-8493-3987-5|page=76}}</ref> Por exemplo,
:3, 12, 21, 30, 39, ...,
é unha progresión aritmética infinita con módulo 9. Nunha progresión aritmética, todos os números teñen o mesmo resto cando se dividen polo módulo; neste exemplo, o resto é 3. Como tanto o módulo 9 como o resto 3 son múltiplos de 3, tamén o son todos os elementos da secuencia. Polo tanto, esta progresión contén só un número primo, o propio 3. En xeral, a progresión infinita
:<math>a, a+q, a+2q, a+3q, \dots</math>
pode ter máis dun primo só cando o seu resto <math>a</math> e o seu módulo <math>q</math> son [[coprimo|primos relativos]]. Se son primos relativos, o [[teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas]] afirma que a progresión contén infinitos números primos.<ref>{{harvnb|Crandall|Pomerance|2005}}, [https://books.google.com/ libros?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA Teorema 1.1.5, p. 12].</ref>
{{panorama|Prime numbers in arithmetic progression mod&nbsp;9 zoom in.png|815px|Números primos nas progresións aritméticas módulo 9. Cada fila da banda horizontal fina mostra unha das nove posibles progresións mod 9, cos números primos marcados en vermello. As progresións dos números que comezan por 0, 3 ou 6 mod 9 conteñen como máximo un número primo (realmente un a que comeza polo número 3, as outras ningún); as restantes progresións de números que son 2, 4, 5, 7 e 8 mod 9 teñen infinitos números primos, con unha cantidade similar de números primosen cada progresión.|alt=Números primos en progresión aritmética mod 9}}
O [[teorema de Green–Tao]] mostra que hai progresións aritméticas finitas arbitrariamente longas que consisten só en números primos.<ref name="neale-18-47">{{harvnb|Neale|2017}}, pp. 18, 47.</ref>
<ref>{{cite journal|first1=Ben|last1= Green|author1-link=Ben J. Green|first2=Terence|last2=Tao|author2-link=Terence Tao|título=Os números primos conteñen progresións aritméticas arbitrariamente longas|revista=[[Anais de Matemáticas]]|volume=167|issue=2|year=2008|pages=481–547|doi=10.4007/annals.2008.167.481|arxiv=math.NT/0404188}}</ref>

== Primalidade e obtención de números primos ==
A propiedade de ser primo chámase '''primalidade'''. Un [[test de primalidade|método sinxelo pero lento para comprobar a primalidade]] dun número determinado <math>n</math>, chamado '''división de proba''', proba se <math>n</math> é un múltiplo de calquera número enteiro entre 2 e <math>\sqrt{n}</math>. Os algoritmos máis rápidos inclúen o [[test de primalidade de Miller–Rabin]], que é rápida mais ten unha pequena probabilidade de erro, e o [[test de primalidade AKS]], que sempre produce a resposta correcta en [[tempo polinómico]] mais é demasiado lento para ser práctico. Hai métodos especialmente rápidos dispoñíbeis para números de formas especiais, como os [[número de Mersenne|números de Mersenne]]. Desde 2024 o  número primo máis grande coñecido  é un primo de Mersenne con 41.024.320 díxitos.<ref name="GIMPS-2024">{{cita web |title=GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2<sup>136279841</sup> − 1 |url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841 |date=21 October 2024 |work=Mersenne Research, Inc. |access-date=21 October 2024}}</ref><ref>{{Cita revista|last=Sparkes |first=Matthew |date=November 2, 2024 |title=Amateur sleuth finds largest-known prime number |journal=New Scientist |page=19}}</ref>

===cribos===
[[Ficheiro:Sieve of Eratosthenes animation.gif|frame|A [[criba de Eratóstenes]] comeza con todos os números sen marcar (gris). Procura repetidamente o primeiro número sen marcar, márcao como primo (cores escuras) e marca o seu cadrado e todos os múltiplos posteriores como compostos (cores máis claras). Despois de marcar os múltiplos de 2 (vermello), 3 (verde), 5 (azul) e 7 (amarelo), procésanse todos os números primos ata a raíz cadrada do tamaño da táboa e todos os números sen marcar restantes (11, 13). , etc.) son os marcados como primos (maxenta).|alt=Animación do cribo de Eratóstenes]]

{{ap|Criba de Eratóstenes}}
Antes dos ordenadores, as  táboas matemáticas  que enumeraban todos os números primos ou factorizacións de primos ata un determinado límite eran moi comúns.<ref>{{cita revista|first=Maarten|last=Bullynck|title=A history of factor tables with notes on the birth of number theory 1657–1817|journal=Revue d'Histoire des Mathématiques|year=2010|pages=133–216|volume=16|issue=2|url=https://hal-univ-paris8.archives-ouvertes.fr/hal-01103903/}}</ref>  O métod máis antigo coñecido para xerar unha lista de números primos chámase criba de Eratóstenes.<ref>{{cita libro|title=The Joy of Factoring|volume=68|series=Student mathematical library|first=Samuel S. Jr.|last=Wagstaff|author-link=Samuel S. Wagstaff Jr.|publisher=American Mathematical Society|year=2013|isbn=978-1-4704-1048-3|page=191}}</ref> A animación mostra unha variante optimizada deste método.<ref>{{cita libro|title=Prime Numbers: A Computational Perspective|url=https://archive.org/details/primenumberscomp0002cran|edition=2nd|first1=Richard|last1=Crandall|author1-link=Richard Crandall|first2=Carl|last2=Pomerance|author2-link=Carl Pomerance|publisher=Springer|year=2005|isbn=978-0-387-25282-7|page=[https://archive.org/details/primenumberscomp0002cran/page/n140 121]}}</ref> Outro método de criba asintóticamente máis eficiente para o mesmo problema é o [[cribo de Atkin]].<ref>{{cita revista | last1 = Farach-Colton | first1 = Martín | author1-link = Martin Farach-Colton | last2 = Tsai | first2 = Meng-Tsung | editor1-last = Elbassioni | editor1-first = Khaled | editor2-last = Makino | editor2-first = Kazuhisa | arxiv = 1504.05240 | title = On the complexity of computing prime tables | doi = 10.1007/978-3-662-48971-0_57 | pages = 677–688 | publisher = Springer | series = Lecture Notes in Computer Science | title = Algorithms and Computation: 26th International Symposium, ISAAC 2015, Nagoya, Japan, December 9-11, 2015, Proceedings | volume = 9472 | year = 2015| isbn = 978-3-662-48970-3 }}</ref> En matemáticas avanzadas, a [[teoría da criba]] aplica métodos similares a outros problemas.<ref>{{cita libro|title=Sieves in Number Theory|volume=43|series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge)|first=George|last=Greaves|publisher=Springer|year=2013|isbn=978-3-662-04658-6|page=1|url=https://books.google.com/books?id=G0TtCAAAQBAJ&pg=PA1}}</ref>

Algunhas das probas modernas máis rápidas para determinar se un número dado arbitrario <math>n</math> é primo son os [[algoritmo probabilístico|algoritmos probabilísticos]] (ou [[algoritmo de Montecarlo|Algoritmos de Montecarlo]]), o que significa que teñen unha pequena oportunidade aleatoria de producir unha resposta incorrecta.<ref name="hromkovic">{{cita libro| last = Hromkovič | first = Juraj | author-link = Juraj Hromkovič  | doi = 10.1007/978-3-662-04616-6 | isbn = 978-3-540-66860-2 | mr = 1843669 | pages = 383–385 | publisher = Springer-Verlag, Berlin | series = Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series | title = Algorithmics for Hard Problems | year = 2001}}</ref> Por exemplo, o [[test de primalidade de Sololovay–Strassen]] para un número dado <math>p</math> escolle un número <math>a</math> aleatoriamente entre <math>2 </math> e <math>p-2</math> e usa a [[exponenciación modular]] para comprobar
se <math>a^{(p-1)/2}\pm 1</math> é divisíbel por <math>p</math>.{{efn|Nesta proba, en <math>\pm 1</math> o termo é negativo se <math>a</math> é un cadrado módulo do (suposto) primo <math>p</math>, e positivo se non. De forma máis xeral, para valores non primos de <math>p</math>, o termo <math>\pm 1</math> é o 
 [[Símbolo de Jacobi]] (negado), que se pode calcular mediante a [[reciprocidade cadrática]].}} En caso afirmativo, responde que si e, en caso contrario, non. Se <math>p</math> realmente é primo, sempre responderá si, pero se <math>p</math> é composto entón responde que si con probabilidade como máximo 1/2 e non con probabilidade polo menos 1/2.<ref name="koblitz"/> Se este test se repíte <math>n</math> veces no mesmo número,
a probabilidade de que un número composto poida pasar o test cada vez é como máximo <math>1/2^n</math>. Debido a que  diminúe exponencialmente co número de probas, proporciona unha alta confianza (aínda que non a certeza) de que un número que pasa a proba repetidamente é primo. Por outra banda, se a proba falla algunha vez, entón o número é certamente composto.<ref>{{cita libro | title = Fundamentals of Computer Security | first1 = Josef | last1 = Pieprzyk | first2 = Thomas | last2 = Hardjono | first3 = Jennifer | last3 = Seberry | author3-link =  Jennifer Seberry | publisher = Springer | year = 2013 | isbn = 978-3-662-07324-7 | contribution = 2.3.9 Probabilistic Computations | pages = 51–52 }}</ref>
Un número composto que supera tal proba chámase [[pseudoprimo]].<ref name="koblitz">{{cita libro | last = Koblitz | first = Neal | author-link = Neal Koblitz | contribution = Chapter V. Primality and Factoring | doi = 10.1007/978-1-4684-0310-7_5 | isbn = 978-0-387-96576-5 | mr = 910297 | pages = 112–149 | publisher = Springer-Verlag, New York | series = Graduate Texts in Mathematics | title = A Course in Number Theory and Cryptography | volume = 114 | year = 1987}}</ref>

{| class="wikitable sortable"
|-
! Test
! Desenvolvido en
! Tipo
! Tempo de execución
! Notas
! class=unsortable| Referencias
|-
| [[Test de primalidade AKS]]
| 2002
| determinístico
| <math>O((\log n)^{6+\varepsilon})</math>
|
|<ref name="tao-aks">{{cita libro| last = Tao | first = Terence | author-link = Terence Tao | contribution = 1.11 The AKS primality test | contribution-url = https://terrytao.wordpress.com/2009/08/11/the-aks-primality-test/ | doi = 10.1090/gsm/117 | isbn = 978-0-8218-5280-4 | location = Providence, RI | mr = 2780010 | pages = 82–86 | publisher = American Mathematical Society | title = An epsilon of room, II: Pages from year three of a mathematical blog | volume = 117 | year = 2010| series = Graduate Studies in Mathematics }}</ref><ref>{{cita revista|last1=Lenstra|first1=H. W. Jr.|author1-link=Hendrik Lenstra|last2=Pomerance|first2=Carl|author2-link=Carl Pomerance|doi=10.4171/JEMS/861|issue=4|journal=[[Journal of the European Mathematical Society]]|mr=3941463|pages=1229–1269|title=Primality testing with Gaussian periods|url=https://math.dartmouth.edu/~carlp/aks111216.pdf|volume=21|year=2019|hdl=21.11116/0000-0005-717D-0 }}</ref>
|-
| [[Test de primalidade de curva elíptica]]
| 1986
| Las Vegas
| <math>O((\log n)^{4+\varepsilon})</math> ''heuristically''
|
| <ref name="morain">{{cita revista | last = Morain | first = F. | doi = 10.1090/S0025-5718-06-01890-4 | issue = 257 | journal = [[Mathematics of Computation]] | mr = 2261033 | pages = 493–505 | title = Implementing the asymptotically fast version of the elliptic curve primality proving algorithm | volume = 76 | year = 2007| arxiv = math/0502097 | bibcode = 2007MaCom..76..493M  }}</ref>
|-
| [[Test de primalidade  Baillie–PSW]]
| 1980
| Montecarlo
| <math>O((\log n)^{2+\varepsilon})</math>
|
| <ref name="PSW">{{cita revista|last1=Pomerance |first1=Carl |author-link1=Carl Pomerance |last2=Selfridge |first2=John L. |author-link2=John L. Selfridge |last3=Wagstaff, Jr. |first3=Samuel S. |author-link3=Samuel S. Wagstaff, Jr. |date=July 1980 |title=The pseudoprimes to 25·10<sup>9</sup> |url=http://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper25.pdf |journal=[[Mathematics of Computation]] |volume=35 |issue=151 |pages=1003–1026 |doi=10.1090/S0025-5718-1980-0572872-7 |jstor=2006210 }}</ref><ref name="lpsp">{{cite journal |last1=Baillie |first1=Robert |last2=Wagstaff, Jr. |first2=Samuel S. |author-link2=Samuel S. Wagstaff, Jr. |date=October 1980 |title=Lucas Pseudoprimes |url=http://mpqs.free.fr/LucasPseudoprimes.pdf |journal=[[Mathematics of Computation]] |volume=35 |issue=152 |pages=1391–1417 |doi=10.1090/S0025-5718-1980-0583518-6 |jstor=2006406 |mr=583518}}</ref>
|-
| [[Test de primalidade Miller–Rabin]]
| 1980
| Montecarlo
| <math>O(k(\log n)^{2+\varepsilon})</math>
| probabilidade de erro <math>4^{-k}</math>
| <ref name="monier">{{cita revista| last = Monier | first = Louis | doi = 10.1016/0304-3975(80)90007-9 | issue = 1 | journal = [[Theoretical Computer Science (journal)|Theoretical Computer Science]] | mr = 582244 | pages = 97–108 | title = Evaluation and comparison of two efficient probabilistic primality testing algorithms | volume = 12 | year = 1980|}}</ref>
|-
| [[Test de primalidade Solovay–Strassen]]
| 1977
| Montecarlo
| <math>O(k(\log n)^{2+\varepsilon})</math>
| probabilidade de erro  <math>2^{-k}</math>
| <ref name="monier"/>
|}


==Álxebra abstracta==
===Elementos primos en aneis===
{{Principal|Elemento primo|Elemento irredutible}}
[[Ficheiro:Gaussian primes.svg|thumb|Os [[Enteiro gaussiano |primos gaussianos]] cunha norma inferior a 500]]
Un [[anel conmutativo]] é unha [[estrutura alxébrica]] onde se definen a suma, a resta e a multiplicación. Os números enteiros son un anel, e os números primos dos enteiros xeneralizáronse a aneis de dúas formas diferentes, ''elementos primos'' e ''elementos irredutíbeis''. Un elemento <math>p</math> dun anel <math>R</math> chámase primo se é distinto de cero, non ten [[inverso multiplicativo]] (é dicir, non é unha [[Unidade (teoría dos aneis)|unidade]]), e cumpre o seguinte requisito: sempre que <math>p</math> divide o produto <math>xy</math> de dous elementos de <math>R</math>, tamén divide polo menos un de <math>x</math> ou <math>y</math>. Un elemento é irredutíbel se non é unha unidade nin o produto doutros dous elementos non unidades. No anel de enteiros, os elementos primos e irredutibles forman o mesmo conxunto,
:<math>\{ \dots, -11, -7, -5, -3, -2, 2, 3, 5, 7, 11, \dots \}\, .</math>
Nun anel arbitrario, todos os elementos primos son irredutibles. A inversa en xeral non se cumpre, mais si se cumpre para [[dominio de factorización única|dominios de factorización única]].<ref>{{cita libro | last = Lauritzen | first = Niels | doi = 10.1017/CBO9780511804229 | isbn = 978-0-521-53410-9 | location = Cambridge | mr = 2014325 | page = 127 | publisher = Cambridge University Press | title = Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases | url = https://books.google.com/books?id=BdAbcje-TZUC&pg=PA127 | year = 2003 }}</ref>

O teorema fundamental da aritmética segue a cumprirse (por definición) en dominios de factorización única. Un exemplo deste dominio é o dos [[enteiro gaussiano]]s <math>\mathbb{Z}[i]</math>, o anel de [[número complexo]]s da forma <math>a+bi </math> onde <math>i</math> denota a [[unidade imaxinaria]] e <math>a</math> e <math>b</math> son números enteiros arbitrarios. Os seus elementos primos coñécense como [[primo gaussiano|primos gaussianos]]. Non todo número que é primo entre os enteiros permanece primo nos enteiros gaussianos; por exemplo, o número 2 pódese escribir como un produto dos dous números primos gaussianos <math>1+i</math> e <math>1-i</math>.

Os primos racionais (os elementos primos dos enteiros) congruentes con 3 mod 4 son primos gaussianos, pero os primos racionais congruentes con 1 mod 4 non o son.<ref>{{harvnb|Lauritzen|2003}}, Corolario 3.5.14, p. 133; Lema 3.5.18, páx. 136.</ref> Esta é unha consecuencia do [[teorema de Fermat sobre a suma de dous cadrados]],
que afirma que un primo impar <math>p</math> é expresable como a suma de dous cadrados, <math>p=x^2+y^2</math>, e polo tanto factorizable como <math>p=( x+iy)(x-iy)</math>, exactamente cando <math>p</math> é 1 mod 4.<ref>{{harvnb|Kraft|Washington|2014}}, [https://books.google.com/books?id=4NAqBgAAQBAJ&pg=PA297 Sección 12.1, Sumas de dous cadrados, páxs. 297–301]. </ref>

===Ideais principais===
{{Principal|Ideal principal}}
Non todos os anels son un dominio de factorización única. Por exemplo, no anel dos números <math>a+b\sqrt{-5}</math> (para os enteiros <math>a</math> e <math>b</math>) o número <math> 21</math> ten dúas factorizacións <math>21=3\cdot7=(1+2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{-5})</math>, onde en ningunha das dúas os factores pódense reducir aínda máis, polo que non ten unha factorización única. 

Para estender a factorización única a unha clase máis grande de aneis, a noción de número pódese substituír pola de [[ideal (teoría dos aneis)|ideal]], que son un subconxunto dos elementos dun anel que contén todas as sumas dos seus propios elementos e todos os produtos dos seus elementos con elementos de todo o anel.

Os ''ideais primos'', que xeneralizan elementos primos no sentido de que o [[ideal principal]] xerado por un elemento primo é un [[ideal primo]], son unha ferramenta importante e obxecto de estudo na [[álxebra conmutativa]], [[teoría de números|teoría de números alxébrica]] e [[xeometría alxébrica]]. Os ideais primos do anel de enteiros son os ideais (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... O teorema fundamental da aritmética xeneralízase ao [[Teorema de Lasker-Noether]], que expresa cada ideal nun [[anel noetheriano|noetheriano]] [[anel conmutativo|conmutativo]] como unha intersección de [[ideal primario|ideais primarios]], que son as xeneralizacións apropiadas das potencias de primos.<ref>{{cita libro | last1=Eisenbud | first1=David | author1-link= David Eisenbud | title=Commutative Algebra | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin; New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94268-1| mr=1322960 | year=1995 | volume=150 | at=Section 3.3| doi=10.1007/978-1-4612-5350-1 }}</ref>

O [[espectro dun anel]] é un espazo xeométrico cuxos puntos son os ideais primos do anel.<ref>{{cita libro | last = Shafarevich | first = Igor R. | author-link = Igor Shafarevich | doi = 10.1007/978-3-642-38010-5 | edition = 3rd | isbn = 978-3-642-38009-9 | mr = 3100288 | publisher = Springer, Heidelberg | title = Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds | year = 2013 | contribution = Definition of Spec A</math> | page = 5 | contribution-url = https://books.google.com/books?id=zDW8BAAAQBAJ&pg=PA5}}</ref>
== Véxase tamén ==

== Notas ==
{{reflist|30em}} 
{{Reflist|group=lower-alpha}}
=== Outros artigos ===
* [[Lista de números primos]]
* [[Emirp]]
=== Ligazóns externas ===
* As páxinas de primos -- http://www.utm.edu/research/primes/ {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20030801082511/http://www.utm.edu/research/primes/ |date=01 de agosto de 2003 }}
* [http://www.primenumbers.net/prptop/prptop.php Lista dos maiores números probabelmente primos]
* [http://www.primepuzzles.net/ The prime puzzles]
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/number/primes.en Primes] de [[WIMS]] é un xerador online de números primos.
* [http://www.alpertron.com.ar/googolm1.pl?digits=12 12 digit primes] Factores primos coñecidos de 12-díxitos de [[Googolplex]]
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Números]]
[[Categoría:Teoría de números]]