Ver o código fonte de «Número perfecto»

{{Números}}
Un '''número perfecto''' é un [[número enteiro|enteiro]] que é igual á [[suma]] dos [[divisor]]es propios menores ca el mesmo.

Así, [[6]] é un número perfecto, porque os seus divisores propios son [[1]], [[2]] e [[3]]; e 6 = 1 + 2 + 3. Os seguintes números perfectos son 28, 496 e 8128.<ref>{{Cita web |title=A000396 - OEIS |url=https://oeis.org/A000396 |access-date=2024-03-21 |website=oeis.org}}</ref>

=== Historia ===
Os matemáticos da [[Idade Antiga|Antigüidade]] fixeron moitas suposicións sobre os números perfectos baseándose nos catro que xa coñecían. Moitas destas suposicións resultaron ser falsas. Unha delas era que, como 2, 3, [[5]] e [[7]] eran precisamente os catro primeiros números primos, o quinto número perfecto obteríase con ''n'' = [[11]], o quinto número primo. Porén, 2<sup>11</sup> - 1 =2047= 23 · 89 non é primo e polo tanto ''n'' = 11 non xera un número perfecto. Dúas das outras suposicións equivocadas eran:
* O quinto número perfecto tería cinco díxitos, xa que os catro primeiros teñen 1, 2, 3 e 4, respectivamente.
* Os números perfectos rematarían alternativamente en 6 e en 8.

O quinto número perfecto (33550336) ten 8 díxitos, falseando así a primeira suposición. En canto á segunda, o quinto número perfecto remata en 6, pero tamén o sexto (8589869056) remata en 6.

É verdade que se ''2<sup>n</sup> - 1'' é un número primo, entón 2<sup>''n''-1</sup>(2<sup>''n''</sup> − 1) é un número perfecto, pero o recíproco non é necesariamente certo. Hoxe en día, aos números primos xerados pola fórmula 2<sup>''n''</sup> - 1 coñécense como [[Número primo de Mersenne|números primos de Mersenne]], na honra ó monxe do [[século XVII]] [[Marin Mersenne]], quen estudou teoría de números e números perfectos.

Posteriormente, [[Leonhard Euler|Euler]] demostrou no [[século XVIII]] que todos os números perfectos pares son xerados a partir da fórmula que xa descubriu Euclides.

=== Números perfectos pares ===
{{unsolved|matemáticas|2=Existen infinitos números perfectos pares?}}
O matemático [[Grecia|grego]] [[Euclides]] descubriu que os catro primeiros números perfectos veñen dados pola fórmula 2<sup>''n''-1</sup>(2<sup>''n''</sup> - 1):
:''n'' = 2: &nbsp; 2<sup>1</sup>(2<sup>2</sup> - 1) = 6
:''n'' = 3: &nbsp; 2<sup>2</sup>(2<sup>3</sup> - 1) = 28
:''n'' = 5: &nbsp; 2<sup>4</sup>(2<sup>5</sup> - 1) = 496
:''n'' = 7: &nbsp; 2<sup>6</sup>(2<sup>7</sup> - 1) = 8128

{{OEIS|id=A000396}}: <math>6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, \ldots </math>

Ó darse conta de que 2<sup>''n''</sup> - 1 é un [[número primo]] en cada caso, Euclides demostrou que a fórmula 2<sup>''n''-1</sup>(2<sup>''n''</sup> - 1) xera un número perfecto sempre que 2<sup>''n''</sup> - 1 sexa [[número primo|primo]].

En binario forman unha curiosa representación debida á fórmula anterior: <math> 110, 11100, 111110000, 1111111000000, \ldots</math>.

=== Números perfectos impares ===
{{unsolved|matemáticas|2=Existe algún número perfecto impar?}}
Non se coñece a existencia de números perfectos impares. Porén, existen algúns resultados parciais. Se existe un número perfecto impar debe ser maior que 10<sup>300</sup>; debe ter polo menos 8 factores primos distintos (e polo menos 11 se non é divisible por 3); un deses factores debe ser maior que 10<sup>7</sup>; dous deles deben ser maiores que 10&nbsp;000 e tres factores deben ser maiores que 100.

=== Conceptos relacionados ===
Considerando a suma dos divisores propios existen outros tipos de números.
* [[Número defectivo|Números defectivos]]: a suma dos divisores propios é menor que o número.
* [[Número abundante|Números abundantes]]: a suma é maior que o número.
* [[Números amigos]]: ''a'' e ''b'' tales que ''a'' é a suma dos divisores de ''b'' e viceversa.
* [[Números sociábeis]]: coma os amigos, pero cun ciclo maior de números.

Pódese dicir que un número perfecto é un número amigo de si mesmo.
== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
* Nankar, M.L.: "History of perfect numbers," Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
* {{cita revista | last1 = Hagis | first1 = P. | year = 1973 | title = A Lower Bound for the set of odd Perfect Prime Numbers | journal = [[Mathematics of Computation]] | volume = 27 | issue = 124| pages = 951–953 | doi=10.2307/2005530| jstor = 2005530 }}
* Riele, H.J.J. "Perfect Numbers and Aliquot Sequences" in H.W. Lenstra and R. Tijdeman (eds.): ''Computational Methods in Number Theory'', Vol. 154, Amsterdam, 1982, pp.&nbsp;141–157.
* Riesel, H. ''Prime Numbers and Computer Methods for Factorisation'', Birkhauser, 1985.

=== Outros artigos ===
* [[Número primo]].
=== Ligazóns externas ===
* [https://www.mathsisfun.com/binary-decimal-hexadecimal-converter.html conversor decimal, binario, hexadecimal].

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Teoría de números]]
[[Categoría:Problemas non resoltos da Matemática]]