Ver o código fonte de «Número p-ádico»

[[Ficheiro:3-adic_integers_with_dual_colorings.svg|miniatura| Os enteiros 3-ádicos, cos caracteres correspondentes seleccionados no seu [[dualidade de Pontryagin|grupo dual de Pontryagin]].]]
En [[teoría de números]], dado un [[número primo]] {{Mvar|p}}, os '''números {{Mvar|p}}-ádicos''' forman unha extensión dos [[Número racional|números racionais]] que é distinta dos [[Número real|números reais]], aínda que con algunhas propiedades similares; os números {{Mvar|p}}-ádicos poden escribirse nunha forma similar aos números usuais (unha tira de números en base 10 posibelmente [[Infinito|infinita]]), pero con díxitos baseados nun [[número primo]] {{Mvar|p}} en lugar do número dez, e estendéndose cara á esquerda e non cara á dereita.

Formalmente, dado un número primo {{Mvar|p}}, un número {{Mvar|p}}-ádico pódese definir como unha [[serie formal de potencias]]

: <math>s=\sum_{i=k}^\infty a_i p^i = a_k p^k + a_{k+1} p^{k+1} + a_{k+2} p^{k+2} + \cdots</math>

onde {{Mvar|k}} é un [[número enteiro]] (que pode ser negativo), e cada  <math>a_i</math> é un número enteiro tal que <math>0\le a_i < p.</math> 

Os '''enteiros {{Mvar|p}}-ádicos''' (<math>\mathbb{Z}_p </math>) son as series só con potencias positivas <math>k\ge 0.</math> Cando as series que representan os números '''{{Mvar|p}}-ádicos''' teñen termos negativos entón temos os '''racionais {{Mvar|p}}-ádicos''' (<math>\mathbb{Q}_p </math>).

Todo número racional pode expresarse de forma única como a suma dunha serie, como se indica arriba, con respecto ao valor absoluto {{mvar|p}}-ádico. Isto permite considerar os números racionais como números {{mvar|p}}-ádicos especiais e, alternativamente, definir os números {{mvar|p}}-ádicos como o [[espazo completo|completamento]] dos números racionais para o valor absoluto {{mvar|p}}-ádico, exactamente como os números reais son o completamento dos números racionais para o valor absoluto habitual.

== Motivación ==
En liñas xerais, a [[aritmética modular]] módulo un número enteiro positivo {{Mvar|n}} consiste en "aproximar" cada número enteiro polo resto da súa [[División euclidiana|división]] por {{Mvar|n}}, chamado o seu ''residuo módulo'' {{Mvar|n}}. A principal propiedade da aritmética modular é que o residuo módulo {{Mvar|n}} do resultado dunha sucesión de operacións sobre números enteiros é o mesmo que o resultado da mesma sucesión de operacións sobre residuos módulo {{Mvar|n}}. 

Un método antigo, aínda de uso común, consiste en utilizar varios módulos pequenos que son coprimos por pares e aplicar o [[teorema chinés do resto]] para recuperar o resultado módulo o produto dos módulos.

Outro método descuberto por Kurt Hensel consiste en utilizar un módulo primo {{Mvar|p}}, e aplicar o [[lema de Hensel]] para recuperar de forma iterativa o módulo resultado das potencias de {{Mvar|p}}, <math>p^2, p^3, \ldots, p^n, \ldots</math> Se o proceso continúa infinitamente, isto proporciona finalmente un resultado que é un número {{Mvar|p}}-ádico.

== Notación e exemplos ==
Existen varios xeitos de escribir un número {{Mvar|p}}-ádico, as tres máis frecuentes son:
* Como unha serie de potencias de {{Mvar|p}}.
* Posicional: como unha tira de números que son os coeficientes da serie de potencias
* Como unha secuencia de números que representan o número módulo as potencias de {{Mvar|p}}.

Como se comentou na introdución os enteiros {{Mvar|p}}-ádicos son os que teñen na serie só potencias positivas (<math>\mathbb{Z}_p </math>) e poden representar números usuais que son enteiros, racionais, irracionais e mesmo complexos. Por outra parte os racionais {{Mvar|p}}-ádicos (<math>\mathbb{Q}_p </math>) ao ter potencias negativas, como se verá máis adiante, serían fraccións de <math>\mathbb{Z}_p </math>.

=== Enteiros p-ádicos <math>\mathbb{Z}_p </math>===
11 en {{Mvar|2}}-ádico:<ref name=bc>[https://billcookmath.com/sage/becimalCalculator.html Becimal Calculator]</ref>
:<math> 11_2 = 1\cdot 2^0 + 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^3</math>
: <math> 11_2 = \ldots 1011</math> (coincide con base 2)
: <math> 11_2  = (11 \operatorname{mod} 2,  11 \operatorname{mod} 2^2,  11 \operatorname{mod} 2^3,  \ldots) = (1, 3, 3, 11, 11, \ldots) </math>

1/15 en {{Mvar|7}}-ádico:
:<math> 1/15_{7} = 1\cdot 7^0 + 5\cdot 7^1 + 3\cdot 2^2 + 6\cdot 2^3 + 0\cdot 2^4 +  5\cdot 2^5 + 6\cdot 2^6 + \ldots</math>
: <math> 1/15_{7} = \ldots \overline{0635}1 </math> (neste caso a similitude base 7, <math>0.\overline{0316} </math>, é máis complicada pois sería o complemento en base 7 e temos que -1/15 = <math>\overline{6130}_7 </math> en 7-ádico. A maiores como en p-ádico non ten potencias negativas o número esténdese cara a esquerda mentres que nos racionais usuais esténdese en potencias negativas cara a dereita).
: <math> 1/15_{7}  = (15x \equiv 1 \pmod{7}, 15x \equiv 1 \pmod{7^2}, 15x \equiv 1 \pmod{7^3},  \ldots) = (1, 36, 183, 2241, \ldots) </math>.

Imos ver un cálculo de <math>\sqrt{2}  </math> en {{Mvar|7}}-ádico:
<ref>{{Cita libro|title=p-adic numbers and Diophantine equations|first=Yuri|last=Bilu|page=5|url=https://cadadr.org/bordeaux-master/bilu-p-adic.pdf}}</ref>
* Primeiro termo <math> x_0 </math>:
:Queremos que <math> x_0^2 \equiv 2 \pmod{7} </math>.
:Atopamos que <math> x_0 = 3 </math> cumpre porque <math> 3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7} </math>.

* Segundo termo <math> x_1 </math>:
:Agora, procuramos <math> x_1 = 3 + u \cdot 7</math> tal que <math>(3 + u \cdot 7)^2 \equiv 2 \pmod{7^2}</math>.
:<math>(3 + u \cdot 7)^2 = 9 + 6 \cdot u \cdot 7 + (x_1 \cdot 7)^2 \equiv 2 \pmod{7^2}, \quad u=1</math>
:por tanto temos  <math> x_1 =10 </math>

* Terceiro termo <math>x_2 </math>:
:Repetimos o proceso para  <math> x_2 = 7^2 u + x_1 </math> que satisfaga <math>(7^2 u + x_1)^2 \equiv 2 \pmod{7^3}</math>, lévanos a <math>u = 2 , x_2 = 108</math>.
: Logo temos <math>\sqrt{2}_7 = (3, 10, 108 \ldots )</math>
Se escribimos este resultado como [[serie formal de potencias]] temos (con máis termos):
: <math>\sqrt{2}_7 = 3 + 1 \cdot 7 + 2 \cdot 7^2 + 6  \cdot 7^3 + 1  \cdot 7^4 + \ldots</math><ref>[https://ericmoorhouse.org/handouts/p-adic.pdf Computation in p-adic fields] </ref>
Que posicionalmente sería:
: <math>\sqrt{2}_7 = \ldots 16213 </math>
esta secuencia é infinita non periódica e como a raíz ten dúas solucións con signo cambiado a outra solución será o complemento a 7 da anterior:
: <math>\sqrt{2}_7 =\ldots 50454 </math>

<math>\sqrt{-1}  </math> en {{Mvar|5}}-ádico, pódese calcular do mesmo modo que o exemplo anterior:<ref>[https://math.stackexchange.com/questions/2381141/which-is-the-5-adic-number-sqrt-1 which-is-the-5-adic-number-sqrt-1 MSE]</ref><ref>[https://math.stackexchange.com/questions/2309918/on-5-adic-representation-of-square-root-of-1 on-5-adic-representation-of-square-root-of-1 MSE]</ref>
: Temos <math> x_0^2 \equiv -1 \pmod{5} </math> implica <math> x_0=2 \text{ ou }  x_0=3</math> e podemos seguir ambos os dous camiños.
: <math>\sqrt{-1}_5 = \ldots 43212</math> ou <math>\sqrt{-1}_5 = \ldots 13233</math> (con dous valores igual que acontece nas raíces dos números usuais, e vemos que módulo 5 suman cero).
: Para -1 non existe a raíz cadrada en 7-ádico pois non existe  <math> x_0^2 \equiv -1 \pmod{7} </math>.

=== Racionais p-ádicos <math>\mathbb{Q}_p </math>===
<math>\frac{22}{85}  </math> en {{Mvar|5}}-ádico:<ref>{{Cita libro|title=Hasse-Minkowski and the Local-to-Global Principle|first=Jeffrey|last=Hatley|ano=2009|page=4|url=https://www.math.union.edu/~hatleyj/Capstone.pdf}}</ref><ref name=bc />
: <math>22_5 = 2 \cdot 5^0 + 4 \cdot 5^1</math> e <math>85_5 = 2 \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^2</math>
: Como veremos máis adiante a valoración da fracción é  <math>-1</math>, por tanto procuramos <math>2 \cdot 5^0 + 4 \cdot 5^1 =  (2 \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^2) (a_{-1}5^{-1} + a_{0}5^{0} + a_{1}5^{1} + \cdots)</math>. 
: E agora resolvemos esa ecuación módulo 5 para obter  <math>a_{-1}=1</math>, módulo <math>5^2</math> para obter <math>a_{0}=3</math>, etc.
: Así temos  <math>22/85_{5} = \ldots 1213403.1 = 1\cdot 5^{-1} + 3\cdot 5^{0}+ 4\cdot 5^{2} + \cdots </math>

== Valoración e valor absoluto ==
'''Valoración''': Todo número racional distinto de cero pódese escribir <math display=inline>p^v\frac{m}{n},</math> onde {{mvar|v}}, {{mvar|m}} e {{mvar|n}} son números enteiros e nin {{mvar|m}} nin {{mvar|n}} son divisíbeis por {{mvar|p}}.'' O expoñente {{mvar|v}} está determinado unicamente polo número racional e chámase a súa valoración ''valoración {{mvar|p}}-ádica''. A demostración do lema resulta directamente do [[teorema fundamental da aritmética]]. 

Dunha forma simple: obtemos a descomposición en factores primos do numerador e ten unha valoración que ven dada polo expoñente do factor {{mvar|p}}, facemos igual para o denominador e restamos os dous valores (por ese motivo no exemplo <math> 22/85 </math> tiña unha valoración {{math|-1}}, pois {{math|22}} non ten ningún factor {{math|5}} e {{math|85}} ten un factor {{math|5<sup>1}}).

'''Valor absoluto''': O ''valor absoluto {{mvar|p}}-ádico'' dun número {{mvar|p}}-ádico distinto de cero {{mvar|x}}, é <math>|x|_p=p^{-v(x)};</math> para o número {{mvar|p}}-ádico cero, temos <math>|0|_p=0.</math>

Así temos que o valor absoluto {{mvar|p}}-ádico dun número é o recíproco do primo {{mvar|p}} elevado á súa valoración. Por tanto canto maior sexa na súa descomposición o valor da potencia de {{mvar|p}} máis pequeno é o seu valor absoluto.

== Definición ==
Existen varias definicións equivalentes de números {{Mvar|p}}-ádicos. Por exemplo como o [[espazo completo|completamento]] dun anel de valoración discreta (ver {{slink||Enteiros p-ádicos}}), ou o completamento dun espazo métrico (ver {{slink||Propiedades topolóxicas}}), ou como o [[Límite inverso|límites inversos]] (ver {{slink||Propiedades modulares}}).

== ''Enteiros p-''ádicos ==
Os '''enteiros {{Mvar|p}}-ádicos''' son os números {{Mvar|p}}-ádicos cunha valoración non negativa.

Un enteiro {{Mvar|p}}-ádico pódese representar como unha secuencia

: <math> x = (x_1 \operatorname{mod} p, ~ x_2 \operatorname{mod} p^2, ~ x_3 \operatorname{mod} p^3, ~ \ldots)</math>

de residuos {{Mvar|x<sub>e</sub>}} mod {{Mvar|p<sup>e</sup>}} para cada enteiro {{Mvar|e}}, satisfacendo as relacións de congruencia <math>x_i \equiv x_j ~ (\operatorname{mod} p^i)</math> para {{Mvar|i < j}}.

Todo [[número enteiro]] é un enteiro {{Mvar|p}}-ádico. Os números racionais da forma <math display="inline"> \tfrac nd p^k</math> con {{Mvar|d}} coprimos con {{Mvar|p}} e <math>k\ge 0</math> tamén son enteiros {{Mvar|p}}-ádicos (pola razón de que {{Mvar|d}} ten un inverso multiplicativo módulo {{Mvar|p<sup>e</sup>}} para cada {{Mvar|e}}).

Os números p-ádicos con expoñentes negativos na súa expansión non son enteiros p-ádicos.

Os enteiros {{Mvar|p}}-ádicos forman un [[anel conmutativo]], denotado <math>\Z_p</math> ou <math>\mathbf Z_p</math>, que ten as seguintes propiedades.

* É un [[dominio de integridade]], xa que é un subanel dun corpo, ou xa que o primeiro termo da representación en serie do produto de dúas series {{Mvar|p}}-ádicas non nulas é o produto dos seus primeiros termos.
* As [[Unidade (teoría dos aneis)|unidades]] (elementos invertibles) de <math>\Z_p</math> son os números {{Mvar|p}}-ádicos de valoración cero.
* É un [[Dominio ideal principal|dominio de ideal principal]] (PID), de xeito que cada [[Ideal (teoría dos aneis)|ideal]] é xerado por unha potencia de {{Mvar|p}}.
* É un [[anel local]] de [[Dimension de Krull|dimensión un de Krull]], xa que os seus únicos ideais primos son o ideal cero e o ideal xerado por {{Mvar|p}}, o ideal máximo único.
* É un anel de valoración discreto, xa que isto resulta das propiedades anteriores.
* É o [[espazo completo|completamento]] do anel local <math>\Z_{(p)} = \{\tfrac nd \mid n, d \in \Z,\, d \not\in p\Z \},</math> que é a [[Localización (álxebra)|localización]] de <math>\Z</math> no ideal primo <math>p\Z.</math>

A última propiedade proporciona unha definición dos números {{Mvar|p}}-ádicos: o corpo dos números {{Mvar|p}}-ádicos é o corpo das fraccións do completamento da localización dos enteiros no ideal primo xerado por {{Mvar|p}}.

== Propiedades topolóxicas ==
A valoración {{Mvar|p}}-ádica permite definir un [[valor absoluto]] en números {{Mvar|p}}-ádicos: o valor absoluto {{Mvar|p}}-ádico dun número {{Mvar|p}}-ádico distinto de cero {{Mvar|x}} é

: <math>|x|_p = p^{-v_p(x)},</math>

onde <math>v_p(x)</math> é a valoración {{Mvar|p}}-ádica de {{Mvar|x}}. O valor absoluto {{Mvar|p}}-ádico de <math>0</math> é <math>|0|_p = 0.</math> Este é un valor absoluto que satisfai a desigualdade forte do triángulo xa que, para cada {{Mvar|x}} e {{Mvar|y}} temos

* <math>|x|_p = 0</math> se e só se <math>x=0;</math>
* <math>|x|_p\cdot |y|_p = |xy|_p</math>
* <math>|x+y|_p\le \max(|x|_p,|y|_p) \le |x|_p + |y|_p.</math>

Máis aínda, se <math>|x|_p \ne |y|_p,</math> temos <math>|x+y|_p = \max(|x|_p,|y|_p).</math>

Isto fai que os números {{Mvar|p}}-ádicos sexan un [[espazo métrico]], e mesmo un [[espazo ultramétrico]], coa distancia {{Mvar|p}}-ádica definida por <math>d_p(x,y)=|x-y|_p.</math>

Como a métrica se define a partir dunha valoración discreta, cada [[Bóla (matemáticas)|bóla aberta]] tamén está [[Bóla (matemáticas)|pechada]]. Máis precisamente, a bóla aberta <math>B_r(x) =\{y\mid d_p(x,y)<r\}</math> é igual á bóla pechada <math>B_{p^{-v}}[x] =\{y\mid d_p(x,y)\le p^{-v}\},</math> onde {{Mvar|v}} é o menor enteiro tal que <math>p^{-v}< r.</math> Do mesmo xeito, <math>B_r[x] = B_{p^{-w}}(x),</math> onde {{Mvar|w}} é o maior enteiro tal que <math>p^{-w}>r.</math>

Isto implica que os números {{Mvar|p}}-ádicos forman un [[espazo localmente compacto]] e os enteiros {{Mvar|p}}-ádicos, é dicir, a bóla <math>B_1[0]=B_p(0)</math>, forma un [[espazo compacto]].

== ''E''xpansión p-ádica dos números racionais ==
A expansión decimal dun [[número racional]] positivo <math>r</math> é a súa representación como [[Serie (matemáticas)|serie]]

: <math>r = \sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math>

A ''expansión'' {{Mvar|p}}-ádica dun número racional defínese de xeito similar, pero cun paso de división diferente. Máis precisamente, dado un [[número primo]] fixo <math>p</math>, todo número racional distinto de cero <math>r</math> pódese escribir unicamente como <math>r=p^k\tfrac n d,</math> onde <math>k</math> é un número enteiro (posiblemente negativo), <math>n</math> e <math>d</math> son [[Números primos entre si|enteiros coprimos]] con  <math>p</math>, e <math>d</math> é positivo. O número enteiro <math>k</math> é a '''valoración {{Mvar|p}}-ádica''' de <math>r</math>, denotado <math>v_p(r),</math> e <math>p^{-k}</math> é o seu '''valor absoluto {{Mvar|p}}-ádico''', denotado <math>|r|_p</math> (o valor absoluto é pequeno cando a valoración é grande). O paso da división consiste en

onde {{Mvar|k}} é un [[número enteiro]] (posiblemente negativo), e cada  <math>a_i</math> é un número enteiro tal que <math>0\le a_i < p.</math> Un '''enteiro {{Mvar|p}}-ádico''' é un número {{Mvar|p}}-ádico tal que <math>k\ge 0.</math>

''A expansión <math>p</math>-ádica'' de <math>r</math> é a serie formal de potencias

Se <math>r=p^k \tfrac n 1</math> con <math>n > 0</math>, o proceso detense eventualmente cun resto cero; neste caso, a serie complétase con termos finais cun coeficiente cero, e daquela a representación de <math>r</math> coincide coa representación en [[Notación posicional|base-{{Mvar|p}}]].

O anel cociente <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> pode identificarse co [[Anel (álxebra)|anel]] <math>\Z/p^n\Z</math> dos números enteiros [[Aritmética modular|módulo]] <math>p^n.</math> Isto pódese demostrar observando que todo enteiro {{Mvar|p}}-ádico, representado pola súa serie {{Mvar|p}}-ádica normalizada, é congruente módulo  <math>p^n</math> coa súa [[Serie (matemáticas)|suma parcial]] <math display="inline">\sum_{i=0}^{n-1}a_ip^i,</math> cuxo valor é un número enteiro no intervalo <math>[0,p^n-1].</math> Unha verificación sinxela mostra que isto define un [[isomorfismo de aneis]] de <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> en <math>\Z/p^n\Z.</math>

: <math>\frac15 = \dots 121012102_3.</math>

: <math>\begin{alignat}{3}
\tfrac15 &{}= 0.01210121\ldots \ (\text{base } 3)
     &&{}= 0\cdot 3^0 + 0\cdot 3^{-1} + 1\cdot 3^{-2} + 2\cdot 3^{-3} + \cdots \\[5mu]
\tfrac15 &{}= \dots 121012102 \ \ (\text{3-ádica})
     &&{}= \cdots + 2\cdot 3^3 + 1 \cdot 3^2 + 0\cdot3^1 + 2 \cdot 3^0.
\end{alignat}</math>

Os números {{Mvar|p}}-ádicos forman un [[Corpo (álxebra)|corpo]] chamado '''corpo de números {{Math|''p''}}-ádicos''' e denotado <math>\Q_p</math>. Hai un único [[homomorfismo de corpos]] dos números racionais nos números {{Mvar|p}}-ádicos, que mapea un número racional coa súa expansión {{Mvar|p}}-ádica. A [[Imaxe (matemáticas)|imaxe]] deste homomorfismo identifícase habitualmente co corpo dos números racionais. Isto permite considerar os números {{Math|''p''}}-ádicos como unha [[extensión do corpo]] dos números racionais, e os números racionais como un subcorpo dos números {{Math|''p''}}-ádicos.

O [[límite inverso]] dos aneis <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> defínese como o anel formado polas secuencias <math>a_0, a_1, \ldots</math> tal que <math>a_i \in \Z/p^i \Z</math> e <math display="inline">a_i \equiv a_{i+1} \pmod {p^i}</math> para cada {{Mvar|i}}.

Cando se realiza a aritmética nesta notación, os díxitos lévanse á esquerda. Tamén é posible escribir expansións {{Mvar|p}}-ádicas para que as potencias de {{Mvar|p}} aumenten de esquerda a dereita e os díxitos sexan levados cara á dereita. Con esta notación de esquerda a dereita a expansión 3-ádica de <math>\tfrac15</math> é

== Propiedades modulares ==
O [[anel cociente]] <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> pódese identificar co [[anel (matemáticas)|anel]] <math>\Z/p^n\Z</math> dos enteiros [[aritmética modula número enteiro {{mvar|p}}-ádico, representado pola súa serie {{mvar|p}}-ádica normalizada, é congruente módulo <math>p^n</math> coa súa [[suma parcial]] <math display = inline>\sum_{i=0 }^{n-1}a_ip^i,</math> cuxo valor é un número enteiro no intervalo <math>[0,p^n-1].</math> Unha verificación sinxela mostra que isto define un [[isomorfismo de aneis]] desde <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> ata <math>\Z/p^n\Z.</math>

O [[límite inverso]] dos aneis <math>\Z_p/p^n\Z_p</math> defínese como o anel formado polas secuencias <math>a_0, a_1, \ldots</math> tal que <math>a_i \in \Z/p^i \Z</math> e <math display = inline>a_i \equiv a_{i+1} \pmod {p^i}</math> para todo {{mvar|i}}.

A correspondencia que mapea unha serie {{Mvar|p}}-ádica normalizada coa secuencia das súas sumas parciais é un isomorfismo de aneis de <math>\Z_p</math> no límite inverso de <math>\Z_p/p^n\Z_p.</math> Isto proporciona outra forma de definir os números enteiros {{Mvar|p}}-ádicos (ata un isomorfismo).

Esta definición de enteiros {{mvar|p}}-ádicos é especialmente útil para cálculos prácticos, xa que permite construír enteiros {{mvar|p}}-ádicos mediante aproximacións sucesivas.

Por exemplo, para calcular o inverso {{mvar|p}}-ádico (multiplicativo) dun número enteiro, pódese usar o [[método de Newton]], comezando polo inverso módulo {{mvar|p}}; entón, cada paso de Newton calcula o inverso módulo  <math display = inline>p^{n^2}</math> a partir do inverso módulo <math display = inline>p^n.</math>

O mesmo método pódese usar para calcular a [[raíz cadrada]]{{mvar|p}}-ádica dun número enteiro que é un [[residuo cuadrático]] módulo {{mvar|p}}. Este parece ser o método máis rápido coñecido para comprobar se un enteiro grande é un cadrado: abonda con comprobar se o enteiro dado é o cadrado do valor atopado en <math>\Z_p/p^n\Z_p</math>. Aplicar o método de Newton para atopar a raíz cadrada require que <math display = inline>p^n</math> sexa maior que o duplo do número enteiro dado, o que se satisfai rapidamente.

O [[lema de Hensel|levantamento de Hensel]] é un método similar que permite "elevar" o módulo de factorización {{mvar|p}} dun polinomio con coeficientes enteiros a un módulo de factorización <math display = inline>p^n</math> para valores grandes de {{mvar|n}}. Isto úsase habitualmente nos algoritmos de [[factorización polinómica]].

== Cardinalidade ==
Tanto <math>\Z_p</math> como <math>\Q_p</math> son [[conxunto numerable |non numerábeis]] e teñen a [[cardinalidade do continuo]].<ref>{{Harv|Robert| 2000|loc=Capítulo 1 Sección 1.1}}</ref> Para <math>\Z_p,</math> isto resulta da representación  {{mvar|p}}-ádica, que define unha [[función bixectiva|bixección]] de <math>\Z_p</math> no [[conxunto de partes]] <math>\{0,\ldots,p-1 \}^\N.</math> Para <math>\Q_p</math> isto resulta da súa expresión como unha [[unión (conxuntos)|unión]]   
[[conxunto numerable|numerabelmente infinita]] de copias de <math>\Z_p</math>:
: <math>\Q_p=\bigcup_{i=0}^\infty \frac 1{p^i}\Z_p.</math>

== Principio local-global ==
O  '''principio local-global''' de Helmut Hasse, é a idea de que se pode atopar unha  [[Ecuación diofantiana|solución en enteiros dunha ecuación]] utilizando o [[Teorema chinés do resto|teorema chinés dos restos]] para unir solucións  [[Aritmética modular|módulo]] potencias de cada [[número primo]] diferente. Isto faise examinando a ecuación no completamento dos [[Número racional|números racionais]]: os [[Número real|números reais]] e os números [[número p-ádico|p-ádicos]].Este principio vale, por exemplo, para ecuacións dadas por [[forma cadrática|formas cadráticas]], pero falla para polinomios superiores en varias indeterminadas.

== Completamento dos racionais ==
Os reais e os números {{mvar|p}}-ádicos son os completamentos dos racionais; tamén é posíbel completar outros corpos, por exemplo os [[Corpo dos números alxébricos|corpos numéricos alxébricos]] en xeral, dun xeito análogo, como imos ver.

Supoña que ''D'' é un [[dominio de Dedekind]] e que ''E'' é o seu [[corpo de fraccións]]. Escollemos un [[ideal principal]] distinto de cero ''P'' de ''D''. Se ''x'' é un elemento distinto de cero de ''E'', entón ''xD'' é un [[ideal fraccional]] e pódese factorizar de forma única como un produto de potencias positivas e negativas de potencias distintas de cero de ideais principais de ''D''. Escribimos ord<sub>''P''</sub>(''x'') para denotar o expoñente de ''P'' nesta factorización, e para calquera opción de número ''c'' maior que 1 podemos definir
:<math>|x|_P = c^{-\!\operatorname{ord}_P(x)}.</math>
O completamento con respecto a este valor absoluto {{nowrap begin}}|⋅|<sub>''P''</sub>{{nowrap end}} é un corpo ''E''<sub>''P'' </sub>, esta é a xeneralización natural do corpo dos números ''p''-ádicos para esta definición. A elección de ''c'' non muda o completamento (diferentes opcións producen o mesmo concepto de secuencia de Cauchy, polo tanto o mesmo completamento). É conveniente, cando o [[corpo de residuos]] ''D''/''P'' é finito, tomar como ''c'' o tamaño de ''D''/''P''.

Por exemplo, cando ''E'' é un [[corpo numérico]], o [[teorema de Ostrowski]] di que todo [[valor absoluto|valor absoluto non arquimediano]] non trivial en ''E' ' xorde como algúns {{nowrap begin}}|⋅|<sub>''P''</sub>{{nowrap end}}. Os restantes valores absolutos non triviais en ''E'' xorden dos diferentes metgullos de ''E'' nos números reais ou complexos. (De feito, os valores absolutos non arquimedianos poden considerarse simplemente como os diferentes mergullos de ''E'' nos corpos '''C'''<sub>''p''</sub>, poñendo así o descrición de todos
os valores absolutos non triviais dun corpo numérico nunha base común.)

Moitas veces, hai que facer un seguimento simultáneo de todos os completamentos arriba mencionados cando ''E'' é un corpo numérico (ou máis xeralmente un corpo global), que se ven como unha especie de codificación de información "local". Isto conséguese mediante os [[anel adélico|aneis adélicos]] e os [[grupo de ideles|grupos de ideles]].

Os enteiros ''p''-ádicos pódense estender a solenoides p-ádicos <math>\mathbb{T}_p</math>. Hai un mapa desde <math>\mathbb{T}_p</math> ata o [[grupo de círculos]] cuxas fibras son os enteiros ''p''-ádicos <math>\mathbb{Z}_p</math >, en analoxía a como hai un mapa desde <math>\mathbb{R}</math> ata o círculo cuxas fibras son <math>\mathbb{Z}</math>.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{Cita libro |last=Cassels |first=J. W. S. |author-link=J. W. S. Cassels |title=Local Fields |series=London Mathematical Society Student Texts |volume=3 |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1986 |isbn=0-521-31525-5 |zbl=0595.12006}}
* {{Cita libro|title=Theory of Algebraic Functions of One Variable|volume=39|series=History of mathematics|first1=Richard|last1=Dedekind|author1-link=Richard Dedekind|first2=Heinrich|last2=Weber|author2-link=Heinrich Martin Weber|publisher=American Mathematical Society|year=2012|isbn=978-0-8218-8330-3}}. &mdash; Translation into English by [[John Stillwell]] of ''Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen'' (1882).
* {{Cita libro|last=Gouvêa|first=F. Q.|date=March 1994|title=A Marvelous Proof|journal=[[American Mathematical Monthly]]|pages=203–222|volume=101|issue=3 |jstor=2975598|doi=10.2307/2975598}}
* {{Cita libro|last=Gouvêa |first=Fernando Q. |year=1997 |title=''p''-adic Numbers: An Introduction |edition=2nd |publisher=Springer |isbn=3-540-62911-4 | zbl=0874.11002}}
* {{Cita libro|title=Handbook of Algebra|volume=6|editor-first=M.|editor-last=Hazewinkel|publisher=North Holland|date=2009|isbn=978-0-444-53257-2|page=342|page=342 }}}}
* {{Cita libro|last=Hehner|first=Eric C. R.|author-link=Eric C. R. Hehner|last2=Horspool|first2=R. Nigel|year=1979|title=A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic|journal=[[SIAM Journal on Computing]]|pages=124–134 |volume=8 |issue=2 |doi=10.1137/0208011 |url=https://www.researchgate.net/publication/220617770}}
* {{Cita libro| last = Hensel | first = Kurt | author-link=Kurt Hensel | title = Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen | journal = Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung | volume = 6 | year = 1897 | issue = 3 | pages = 83–88 | url = http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN00211612X&L=2}}
* {{Cita libro|last1=Kelley|first1=John L.|author-link=John Leroy Kelley|title=General Topology|date=2008|orig-year=1955|publisher=Ishi Press|location=New York|isbn=978-0-923891-55-8}}
* {{Cita libro|last=Koblitz |first=Neal |author-link=Neal Koblitz |title=''p''-adic analysis: a short course on recent work |series=London Mathematical Society Lecture Note Series |volume=46 |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1980 |isbn=0-521-28060-5 |zbl=0439.12011}}
* {{Cita libro|last=Robert |first=Alain M. |year=2000 |title=A Course in ''p''-adic Analysis |url=https://archive.org/details/courseinpadicana0000robe |publisher=Springer |isbn=0-387-98669-3}}
Outras obras:
* {{Cita libro |last=Bachman |first=George |title=Introduction to ''p''-adic Numbers and Valuation Theory |year=1964 |publisher=Academic Press |isbn=0-12-070268-1}}
* {{Cita libro|last=Borevich|first=Z. I.|author-link=Zenon Ivanovich Borevich|last2=Shafarevich|first2=I. R.|author2-link=Igor Rostislavovich Shafarevich|year=1986|title=Number Theory|publisher=Academic Press|location=Boston, MA|series=Pure and Applied Mathematics|volume=20|isbn=978-0-12-117851-2}}|mr=0195803}}
* {{Cita libro|last=Koblitz |first=Neal |author-link=Neal Koblitz |year=1984 | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=58 | title=''p''-adic Numbers, ''p''-adic Analysis, and Zeta-Functions | edition=2nd |publisher=Springer |isbn=0-387-96017-1}}
* {{Cita libro| last=Mahler | first=Kurt | author-link=Kurt Mahler | title=''p''-adic numbers and their functions | edition=2nd | zbl=0444.12013 | series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=76 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1981 | isbn=0-521-23102-7 | url=https://archive.org/details/padicnumbersthei0000mahl }}
* {{Cita libro|last=Steen |first=Lynn Arthur |author-link=Lynn Arthur Steen |year=1978 |title=Counterexamples in Topology |publisher=Dover |isbn=0-486-68735-X|title-link=Counterexamples in Topology }}
=== Outros artigos ===
* [[Non arquimedeano]]
* [[Mecánica cuántica p-ádica ]]
* [[Teoría p-ádica de Hodge]]
* [[Teoría p-ádica de Teichmuller]]
* [[Análise p-ádia]]
* [[1 + 2 + 4 + 8 + ...]]
* [[Lema de Hensel]]
* [[Teorema de Mahler]]
* [[Complemento a dous]]
=== Ligazóns externas ===
* {{MathWorld|urlname=p-adicNumber|title=p-adic Number}}
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/P-adic_number ''p''-adic number] at [[Encyclopaedia of Mathematics|Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics]]

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números]]
[[Categoría:Teoría de corpos]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]