Ver o código fonte de «Número euleriano»

{{non confundir|Número de Euler|Números de Euler}}
En [[combinatoria]], o '''número euleriano''' <math display="inline">A(n,k)</math> é o número de [[Permutación|permutacións]] dos números 1 a ''<math display="inline">n</math>'' no que exactamente ''<math display="inline">k</math>'' elementos son maiores que o elemento anterior (permutacións con ''<math display="inline">k</math>'' "ascendentes").

[[Leonhard Euler]] investigounos e tamén os seus  [[Polinomio|polinomios]] asociados no seu libro de 1755 ''Institutiones calculi differentialis.''
[[Ficheiro:EulerianPolynomialsByEuler1755.png|dereita|miniatura|303x303px| Os polinomios actualmente coñecidos como polinomios eulerianos no traballo de Euler de 1755, [[Institutiones calculi differentialis]], parte 2, p. 485/6. Os coeficientes destes polinomios coñécense como números eulerianos.]]
Outras notacións para <math display="inline">A(n,k)</math> son <math display="inline">E(n,k)</math> e <math>\textstyle \left\langle {n \atop k} \right\rangle</math>.

== Definición ==
Os '''polinomios eulerianos''' <math>A_n(t)</math> están definidos pola [[función xeradora]] exponencial

: <math>\sum_{n=0}^{\infty} A_{n}(t) \,\frac{x^n}{n!} = \frac{t-1}{t - e^{(t-1)\,x}}.</math>

Os '''números eulerianos''' <math>A(n,k)</math> pódense definir como os coeficientes dos polinomios eulerianos:

: <math>A_{n}(t) = \sum_{k=0}^n A(n,k)\,t^k.</math>

Unha [[fórmula explícita]] para <math display="inline">A(n,k)</math> é 

: [[Ficheiro:EulerianNumberPlot.svg|alt=A plot of the Eulerian numbers with the second argument fixed to 5.|miniatura| Un gráfico dos números eulerianos co segundo argumento fixado en 5.]] <math>A(n,k)=\sum_{i=0}^{k}(-1)^i \binom{n+1}{i} (k+1-i)^n.</math>

== Propiedades básicas ==

* Para un ''<math display="inline">n</math>'' fixo hai unha única permutación que ten 0 ascendentes: <math display="inline">(n, n-1, n-2, \dots, 1)</math>. De feito, como <math>{\tbinom n 0}=1</math> para todos os <math>n</math>, <math display="inline">A(n, 0) = 1</math>. Isto inclúe formalmente o conxunto baleiro de números, <math display="inline">n=0</math>. E <math display="inline">A_0(t)=A_1(t)=1</math>.
* Para <math display="inline">k=1</math>, a fórmula explícita implica que <math display="inline">A(n,1)=2^n-(n+1)</math>, unha sucesión en <math>n</math> que consiste nos números <math display="inline">0, 0, 1, 4, 11, 26, 57, \dots</math>.
* Invertir completamente unha permutación con ''<math display="inline">k</math>'' ascendentes crea outra permutación na que hai ''<math display="inline">n-k-1</math>'' ascendentes. Polo tanto <math display="inline">A(n, k) = A(n, n-k-1)</math>. Así que tamén hai unha única permutación que ten ''<math display="inline">n-1</math>'' ascendentes, esta é  a permutación ascendente <math display="inline">(1, 2, \ldots, n)</math>. Así, tamén <math display="inline">A(n, n-1)</math> é igual a <math>1</math>.
* Para <math display="inline">k\ge n > 0</math>, os valores son formalmente cero, o que significa que moitas sumas sobre <math display="inline">k</math> pódense escribir cun índice superior só ata <math display="inline">n-1</math>. Tamén significa que os polinomios <math>A_{n}(t)</math> son realmente de [[Grao dun polinomio|grao]] <math display="inline">n-1</math> para <math display="inline">n>0</math>.

A tabulación dos números nunha [[matriz triangular]] chámase '''triángulo de Euler'''. Comparte algunhas características comúns co [[triángulo de Pascal]]. Valores de <math display="inline">A(n, k)</math> {{OEIS|id=A008292}}     para <math display="inline">0 \le n \le 9</math> son:

:{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
! {{diagonal split header|''n''&nbsp;|&nbsp;''k''}}
! width="50" | 0
! width="50" | 1
! width="50" | 2
! width="50" | 3
! width="50" | 4
! width="50" | 5
! width="50" | 6
! width="50" | 7
! width="50" | 8
|-
! 0
| 1 || || || || || || || ||
|-
! 1
| 1 || || || || || || || ||
|-
! 2
| 1 || 1 || || || || || || ||
|-
! 3
| 1 || 4 || 1 || || || || || ||
|-
! 4
| 1 || 11 || 11 || 1 || || || || ||
|-
! 5
| 1 || 26 || 66 || 26 || 1 || || || ||
|-
! 6
| 1 || 57 || 302 || 302 || 57 || 1 || || ||
|-
! 7
| 1 || 120 || 1191 || 2416 || 1191 || 120 || 1 || ||
|-
! 8
| 1 || 247 || 4293 || 15619 || 15619 || 4293 || 247 || 1 ||
|-
! 9
| 1 || 502 || 14608 || 88234 || 156190 || 88234 || 14608 || 502 || 1
|}

== Cálculo ==
Para valores maiores de <math display="inline">n</math>, <math display="inline">A(n,k)</math> tamén se pode calcular usando a fórmula [[Recursividade|recursiva]]<ref>{{cita libro|last1=Comtet |first1=Louis |title=Advanced Combinatorics |page=51 |url=https://ia801306.us.archive.org/27/items/Comtet_Louis_-_Advanced_Coatorics/Comtet_Louis_-_Advanced_Combinatorics.pdf}}</ref>

: <math>A(n,k)=(n-k)\,A(n-1,k-1) + (k+1)\,A(n-1,k).</math>

Esta fórmula pode ser motivada a partir da definición combinatoria e, polo tanto, serve como punto de partida natural para a teoría.

Aplicando a recorrencia a un exemplo, podemos atopar

: <math>A(4,1)=(4-1)\,A(3,0) + (1+1)\,A(3,1)=3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 11.</math>

Así mesmo, os polinomios eulerianos pódense calcular pola recorrencia

: <math>A_{0}(t) = 1,</math>
: <math>A_{n}(t) = A_{n-1}'(t)\cdot t\,(1-t) + A_{n-1}(t)\cdot (1+(n-1)\,t),\text{ for } n > 1.</math>

A segunda fórmula pódese transformar nunha forma con [[sumatorio]],

: <math>A_{n}(t) = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} A_{k}(t)\cdot (t-1)^{n-1-k}, \text{ for } n > 1.</math>

== Identidades ==
Os números eulerianos dividen as permutacións de <math>n</math> elementos, polo que a súa suma é igual ao [[factorial]] <math>n!</math> . Así temos

: <math>\sum_{k=0}^{n-1} A(n,k) = n!, \text{ for }n > 0.</math>

con <math>A(0,0)=0!</math>. Para evitar conflitos coa convención de suma baleira, é conveniente simplemente indicar os teoremas só para <math>n>0</math>.

Moito máis xeralmente, para unha función fixada <math>f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}</math> integrábel no intervalo <math>(0, n)</math>

: <math>\sum_{k=0}^{n-1} A(n, k)\, f(k) = n!\int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left(\left\lfloor x_1 + \cdots + x_n\right\rfloor\right) {\mathrm d}x_1 \cdots {\mathrm d}x_n </math>

'''A identidade de Worpitzky'''<ref>{{cita revista|last1=Worpitzky |first1=J. |title=Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |date=1883 |volume=94 |pages=203–232 |url=https://eudml.org/doc/148532}}</ref>  expresa <math display="inline">x^n</math> como a [[combinación linear]] de números eulerianos con [[Coeficiente binomial|coeficientes binomiais]]:

: <math>\sum_{k=0}^{n-1}A(n,k)\binom{x+k}{n}=x^n.</math>

Dela, despréndese que

: <math>\sum_{k=1}^{m}k^n=\sum_{k=0}^{n-1} A(n,k) \binom{m+k+1}{n+1}.</math>

=== Fórmulas que implican sumas alternadas ===
A [[Serie alternada|suma alternada]] dos números eulerianos para un valor fixo de ''<math display="inline">n</math>'' está relacionado co [[número de Bernoulli]] <math display="inline">B_{n+1}</math> do seguinte xeito

: <math>\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k A(n,k) = 2^{n+1}(2^{n+1}-1) \frac{B_{n+1}}{n+1}, \text{ para }n > 0.</math>

=== Fórmulas que implican polinomios ===
A propiedade de simetría implica:

: <math>A_n(t) = t^{n-1} A_n(t^{-1}) </math>

Os números eulerianos están implicados na [[función xeradora]] da secuencia das potencias ''n-''ésimas:

: <math>\sum_{i=1}^\infty i^n x^i = \frac{1}{(1-x)^{n+1}}\sum_{k=0}^n A(n,k)\,x^{k+1} = \frac{x}{(1-x)^{n+1}}A_n(x)</math>

Unha expresión explícita para os polinomios eulerianos é<ref>{{Cita xornal |last1=Qi |first1=Feng |last2=Guo |first2=Bai-Ni |date=2017-08-01 |title=Explicit formulas and recurrence relations for higher order Eulerian polynomials |journal=Indagationes Mathematicae |volume=28 |issue=4 |pages=884–891 |doi=10.1016/j.indag.2017.06.010 |issn=0019-3577 }}</ref>

<math display="block">A_n(t) = \sum_{k=0}^n \left\{ {n \atop k} \right\} k! (t-1)^{n-k}</math>

onde <math display="inline">\left\{ {n \atop k} \right\}</math> son os [[Número de Stirling do segundo tipo|números de Stirling do segundo tipo]].

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{cita revista|first1=L. |last1=Carlitz|title=Eulerian Numbers and polynomials | year=1959|journal=Math. Mag.|volume=32 | number=5 | pages=247–260|doi=10.2307/3029225|jstor=3029225}}
* {{cita revista|first1=Jacques | last1=Desarmenien | first2=Dominique | last2=Foata | title=The signed Eulerian numbers| journal=Discrete Math.
|year=1992|volume=99 | number=1–3| pages=49–58|doi=10.1016/0012-365X(92)90364-L}}
*{{cita revista|first1=Leetsch C. |last1=Hsu |author1-link=Leetsch C. Hsu | first2=Peter | last2=Jau-Shyong Shiue| title=On certain summation problems and generalizations of Eulerian polynomials and numbers|journal=Discrete Math. | volume=204 | year=1999 |issue=1–3 | doi=10.1016/S0012-365X(98)00379-3|pages=237–247}}
* {{cita arXiv|eprint=0710.1124 |title=Apostol-Bernoulli functions, derivative polynomials and Eulerian polynomials|year=2007|first1=Khristo N. |last1=Boyadzhiev|class=math.CA}}
=== Outros artigos ===
* [[Número de Bernoulli]].
=== Ligazóns externas ===
*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_polynomials Eulerian Polynomials] at [[OEIS]] Wiki. 
*{{MathWorld|title=Eulerian Number|urlname=EulerianNumber}}
*{{MathWorld|title=Euler's Number Triangle|urlname=EulersNumberTriangle}}
*{{MathWorld|title=Worpitzky's Identity|urlname=WorpitzkysIdentity}}
*{{MathWorld|title=Second-Order Eulerian Triangle|urlname=Second-OrderEulerianTriangle}}
*[http://go.helms-net.de/math/binomial_new/01_12_Eulermatrix.pdf Euler-matrix] (generalized rowindexes, divergent summation)
{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números]]