Ver o código fonte de «Número complexo»

{{1000}}
{{Números}}

Os '''números complexos''' son unha extensión dos [[número real|números reais]] que teñén estrutura de [[Corpo (álxebra)|corpo]]. O conxunto dos números complexos represéntanse pola letra <math>\mathbb{C}</math>, cumpríndose que <math>\mathbb{R}\sub\mathbb{C}</math>, onde <math>\mathbb{R}</math> é o conxunto dos números reais.

A necesidade de introducir o conxunto dos números complexos veu dunha gran deficiencia que teñen os números reais: a de que non toda función polinómica ten unha raíz real. O exemplo máis sinxelo é o de que non existe ningún número real ''x'' que satisfaga <math>x^2+1=0</math>. Esta deficiencia é tan grave que os matemáticos sentiron a necesiadade de ''inventar'' un número <math>\mathrm{i}</math> coa propiedade de que <math>\mathrm{i}^2+1=0</math>. A introdución deste número <math>\mathrm{i}</math> "imaxinario" parecía simplificar en gran medida moitos cálculos alxébricos, especialmente cando se admitían os "números complexos" <math>a+bi</math> (para <math>a,b\in\mathbb{R}</math>) e se supoñían válidas todas as leis do cálculo aritmético dos números reais<ref>{{cita Harvard sen parénteses|Spivak|1975|p=639|ref=Spivak}}</ref>.

Coa introdución dos números complexos, todas as funcións polinómicas con coeficientes reais teñen raíces (reais ou complexas); ademais o número de raíces coincide co grao da función. Esta propiedade segue a ser válida se os coeficientes son complexos: é o que se coñece como [[teorema fundamental da álxebra]]. Como consecuencia desta propiedade, o corpo dos números complexos é [[Corpo alxebricamente pechado|alxebricamente pechado]].

Os números complexos son a ferramenta de traballo da [[álxebra]] ordinaria, chamada álxebra dos números complexos, así como de ramas das [[Matemática pura|matemáticas puras]] e aplicadas como variábel complexa, [[aerodinámica]] e [[electromagnetismo]] entre outras de grande importancia.

Conteñen os [[Número real|números reais]] e os [[Número imaxinario|imaxinarios]] puros e constitúen posibelmente unha das construcións teóricas máis dignas da intelixencia humana. Os análogos do [[cálculo diferencial]] e [[integral]] con números complexos reciben o nome de [[análise complexa]].

== Historia ==
A primeira referencia fugaz á [[raíz cadrada]] dun [[número negativo]] pode dicirse que quizais ocorreu no traballo do [[matemático]] grego do [[século I]] [[Herón de Alexandría]], cando na súa obra ''Stereometrica'' considerou, aparentemente por erro, o [[Volume (magnitude)|volume]] dun [[tronco de pirámide]] imposíbel, chegando no seus cálculos á expresión <math>\sqrt{81 - 144} = 3i\sqrt{7}</math>. Pero como non se concibían cantidades negativas na [[matemática helenística]], Herón simplemente reemprazouna pola positiva <math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}</math><ref>{{Cita libro |título=An Imaginary Tale: The Story of Sqrt(−1) |apelidos=Nahin |nome=Paul J. |ano=2007 |editorial=Princeton University Press |isbn=978-0-691-12798-9 |url=http://mathforum.org/kb/thread.jspa?forumID=149&threadID=383188&messageID=1181284 |dataacceso=11 de abril de 2020 |urlarquivo=https://web.archive.org/web/20121012090553/http://mathforum.org/kb/thread.jspa?forumID=149&threadID=383188&messageID=1181284 |dataarquivo=12 de outubro de 2012 |lingua=en}}</ref>.

O pulo no estudo dos números complexos con carácter de seu, xurdiu no [[século XVI]] cando matemáticos italianos, como [[Niccolò Fontana Tartaglia|Tartaglia]] e [[Gerolamo Cardano|Cardano]], encontraron [[Solución alxébrica|solucións alxébricas]] para [[ecuación]]s polinómicas de terceiro e cuarto grao. Decatáronse pronto de que estas fórmulas, mesmo se só había solucións reais, requirían ás veces o uso de raíces cadradas de números negativos. Por exemplo, para a ecuación cúbica da forma <math>x^3 = px + q</math>, Tartaglia atopou que as súas solucións veñen dadas pola fórmula <math>\tfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\left(\sqrt{-1}\right)^{1/3}+\left(\sqrt{-1}\right)^{-1/3}\right)</math>.

A primeira vista, isto parece non ter sentido, porén os cálculos formais con números complexos mostran que a ecuación <math>z^3=i</math> ten por solucións <math>-\mathrm{i}</math>, <math>{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}+{\tfrac{1}{2}}i</math> e <math>{\tfrac{-\sqrt{3}}{2}}+{\tfrac{1}{2}}i</math>. Substituíndo sucesivamente estas tres solucións por <math>{\sqrt{-1}^{1/3}}</math> na fórmula de Tartaglia mencionada e simplificando, obtéñense as solucións 0, 1 e −1 como solucións da ecuación <math>x^3=x</math>. Obviamente, esta ecuación pódese resolver dun xeito máis directo e sinxelo, pero este exemplo ilustra que cando se usan fórmulas xerais (sen utilizar funcións trigonométricas) para resolver ecuacións cúbicas con tres raíces reais distintas, como séculos máis tarde outros matemáticos demostraron rigorosamante<ref>{{cita libro |título=The Unattainable Attempt to Avoid the Casus Irreducibilis for Cubic Equations: Gerolamo Cardano's De Regula Aliza |nome=Sara |apelidos=Confalonieri |editorial=Springer |ano=2015 |isbn=3658092750 |lingua=en}}</ref>, o uso dos números complexos é inevitábel. Mesmo esta situación non se pode rectificar factorizando coa axuda do [[teorema das raíces racionais]], se o polinomio cúbico que aparece na ecuación igualado a 0 é [[Polinomio irredutíbel|irredutíbel]] (o chamado ''[[casus irreducibilis]]''). Este enigma levou a Cardano a concibir os números complexos dun xeito rudimentario, arredor de 1545<ref>{{cita libro |nome=Morris |apelidos=Kline |título=Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, volume 1 |páxina=253 |editorial=Oxford University Press |ano=1990 |isbn=0199840415 |lingua=en}}</ref>. [[Rafael Bombelli]] foi o primeiro en abordar explicitamente estas solucións aparentemente paradoxais das ecuacións cúbicas, e desenvolveu as regras para a adición, subtracción, multiplicación e extracción de raíces de números complexos<ref>{{Cita libro |apelidos=Katz |nome=Victor J. |título=A History of Mathematics, Brief Version |sección=sec. 9.1.4 |editorial=Addison-Wesley |isbn=978-0-321-16193-2 |ano=2004 |lingua=en}}</ref>.

O termo '''imaxinario''' para estas cantidades foi acuñado por [[René Descartes|Descartes]] en [[1637]], aínda que estivo a piques de subliñar a súa natureza imaxinaria<ref>{{Cita libro |título=La Géométrie &#124; The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition |apelidos=Descartes |nome=René |ligazónautor=René Descartes |ano=1954 |ano-orixinal=1637 |editorial=Dover Publications |isbn=978-0-486-60068-0 |lingua=en |url=https://archive.org/details/geometryofrenede00rend |dataacceso=12 de abril de 2020}}</ref>.

Unha posterior fonte de confusión foi que a igualdade <math>\sqrt{-1}^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1</math> semellaba ser caprichosamente inconsistente coa identidade alxébrica <math>\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}</math>, válida para números reais non negativos ''a'' e ''b'', e que foi tamén usada en cálculos con números complexos con algún dos ''a'', ''b'' real positivo e o outro negativo. O uso incorrecto desta identidade (e tamén da identidade <math>\tfrac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\tfrac{1}{a}}</math>) no caso en que ambos ''a'' e ''b'' son negativos, mesmo preocupou a [[Leonhard Euler|Euler]]. Esta dificultade levouno á convención de usar o símbolo <math>\mathrm{i}</math> no canto de <math>\sqrt{-1}</math> para superar este atranco. Aínda así, Euler considerou natural introducir aos estudantes nos números complexos moito antes do que se fai hoxe en día. No seu libro de texto de álxebra elemental, Elementos de Álxebra, introducía estes números case de inmediato e usábaos logo de forma natural.

No [[século XVIII]] estendeuse o uso dos números complexos pois se advertiu que a manipulación formal de expresións complexas podería usarse para simplificar os cálculos no que interveñen funcións trigonométricas. Por exemplo, en [[1730]] [[Abraham de Moivre]] observou que as complicadas identidades que relacionan as funcións trigonométricas dun múltiplo enteiro dun ángulo coas potencias das funcións trigonométricas dese ángulo poderían simplemente volverse a expresar mediante a seguinte coñecida fórmula que leva o seu nome, a fórmula de [[Abraham de Moivre|De Moivre]]: <math>(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta</math>. En [[1748]], traballando formalmente con [[Serie de potencias|series de potencias]] complexas, [[Leonhard Euler]] foi máis alá e obtivo a fórmula de Euler da análise complexa: <math>\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta }</math>, observando que esta fórmula podía usarse para reducir calquera identidade trigonométrica a outras identidades exponenciais moito máis simples.

A representación gráfica dos números complexos no plano foi descrita por primeira vez por [[Caspar Wessel]] en [[1799]], aínda que fora anticipada en [[1685]] por [[John Wallis]] no seu ''De Algebra tractatus''. Esta achega de Wessel apareceu nas actas da Real academia de Belas Artes de Dinamarca pero pasaron desapercibidas. Independentemente, en [[1806]], [[Jean-Robert Argand]] publicou un caderniño sobre números complexos e deu unha demostración rigorosa do teorema fundamental da álxebra. Anteriormente [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] publicara en [[1797]] unha demostración esencialmente [[Topoloxía|topolóxica]] deste teorema, mais nese momento expresou as súas dúbidas acerca da "verdadeira metafísica da raíz cadrada de −1". Non foi ata [[1831]] que superou esas dúbidas e publicou o seu tratado dos números complexos coma puntos no plano<ref name=Gauss1831>{{cita web |apelidos=Gauss |nome=Carl Friedrich |ligazón-autor=Carl Friedrich Gauss |título=Anzeige von Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda |revista=Göttingische gelehrte Anzeigen |páxina=638 |ano=1831 |url=http://www.deutschestextarchiv.de/book/view/gauss_theoria_1831?p=21 |dataacceso=12 de abril de 2020 |lingua=de}}</ref><ref name=Ewald>{{cita web |apelidos=Ewald |nome=William B. |título=From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics |volume=1 |páxina=313 |ano=1996 |editorial=Oxford University Press |url=https://books.google.ca/books?id=rykSDAAAQBAJ&pg=PA313 |dataacceso=12 de abril de 2020 |lingua=en}}</ref>, establecendo en gran medida a notación e a terminoloxía modernas. A comezos do [[século XIX]], outros autores (Buée, [[C. V. Mourey|Mourey]], [[John Warren (matemático)|Warren]], os irmáns Français e [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]]) descubriron de xeito independente a representación xeométrica dos números complexos<ref>{{Cita libro |título=Two Cultures |editor= Kim Williams |apelidos=Caparrini |nome=Sandro |capítulo=On the Common Origin of Some of the Works on the Geometrical Interpretation of Complex Numbers |ano=2000 |editorial=Birkhäuser |isbn= 978-3-7643-7186-9 |páxina=139 |url=https://books.google.com/books?id=voFsJ1EhCnYC&pg=PA139 |dataacceso=12 de abril de 2020 |lingua=en}}</ref>.
[[Ficheiro:Carl Friedrich Gauss 1840 by Jensen.jpg|miniatura|150px|Retrato de [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], considerado o primeiro matemático en usar os complexos dun xeito científico.]]
Se ben algúns matemáticos como [[Niels Henrik Abel|Abel]] e [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Jacobi]] usaban rutineiramente os números complexos antes da publicación do tratado de Gauss en 1831, o matemático inglés [[Godfrey Harold Hardy]] sinala que foi Gauss o primeiro en usar os números complexos 'con confianza e dun xeito científico'<ref>{{Cita libro |título=An Introduction to the Theory of Numbers |url=https://archive.org/details/introductiontoth00ghha_922 |apelidos1=Hardy |nome1=G.H. |ligazón-autor1=Godfrey Harold Hardy |apelidos2=Wright |nome2=E.M. |ano=2000 |ano-orixinal=1938 |editorial=Oxford University Press |isbn= 978-0-19-921986-5 |páxina=[https://archive.org/details/introductiontoth00ghha_922/page/n207 189] |edición=4ª |lingua=en}}</ref>.

[[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] e [[Bernhard Riemann|Riemann]] achegaron ideas fundamentais da análise complexa, elevándoa a un alto estado de acabamento. Un formalismo máis abstracto para os números complexos foi desenvolvido posteriormente por [[Rowan Hamilton|Hamilton]], quen estendeu esta abstracción á teoría dos [[cuaternión]]s.

Os termos comúns usados na teoría débense principalmente aos fundadores. Argand nomeou a <math>\cos \phi + i\sin \phi</math> o ''factor dirección'', e a <math>r = \sqrt{a^2+b^2}</math> o ''módulo''; Cauchy en 1828 chamou a <math>\cos \phi + i\sin \phi</math> a ''forma reducida'' e aparentemente introduciu o termo ''argumento''; Gauss usou <math>\mathrm{i}</math> para <math>\sqrt{-1}</math>, ideou a forma binómica <math>a+b\mathrm{i}</math>, e chamou a <math>a^2 + b^2</math> a ''norma''. A expresión ''coeficiente de dirección'', usada frecuentemente para <math>\cos \phi + i\sin \phi</math>, débese a Hankel (1867), e ''valor absoluto'' para ''módulo'' foi idea de Weierstrass.

Escritores clásicos posteriores da teoría dos números complexos son, entre outros: [[Richard Dedekind]], [[Otto Hölder]], [[Felix Klein]], [[Henri Poincaré]], [[Hermann Schwarz]] e [[Karl Weierstrass]].

== Definición ==
Un '''número complexo''' é  un [[par ordenado]] de números reais; se <math>z=(a,b)</math> é un número complexo, dise que ''a'' é a parte real de ''z'', <math>a = \mathrm{Re}(z)</math>, e que ''b'' é a parte imaxinaria de ''z'', <math>b = \mathrm{Im}(z)</math>. O conxunto de todos os números complexos desígnase por <math>\mathbb{C}</math>.

Se <math>(a,b)</math> e <math>(c,d)</math> son dous números complexos, defínense en <math>\mathbb{C}</math> as [[Operación interna|operacións internas]]:
: Suma:  <math>(a, b) + (c, d) = (a+c,\; b+d)</math>
: Produto: <math>(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd,\; ad + bc) </math>

(O + e o <math>\cdot</math> que aparecen na esquerda das igualdades son operacións novas que se están definindo, mentres que o + e o <math>\cdot</math> que aparecen na dereita representan á suma e ó produto de números reais)<ref name=Spivak647>{{cita Harvard sen parénteses|Spivak|1975|p=647|ref=Spivak}}</ref>.

Díxose na introdución que <math>\mathbb{R}\sub\mathbb{C}</math>. En realidade, isto non é certo nun sentido estrito pois un número real non é un par ordenado de números reais, porén esta dificultade é menor xa que os números complexos da forma <math>(a,0)</math> compórtanse respecto á suma e multiplicación de números complexos do mesmo xeito que o fan os números reais respecto á súa suma e multiplicación. En efecto:
: <math>(a, 0) + (b, 0) = (a+b,\; 0+0) = (a+b,\; 0)</math>
: <math>(a, 0) \cdot (b, 0) = (ab - 0\cdot 0,\; a\cdot 0 + 0\cdot c) = (ab,\;0) </math>

Por esta razón convense en designar <math>(a,0)</math> simplemente por ''a''<ref name=Spivak647/>.

Pola contra, os números complexos cuxa parte real é nula, chámanse [[Número imaxinario|imaxinarios puros]]

Dous números complexos son iguais se coinciden as súas partes reais e as súas partes imaxinarias, é dicir:
: <math>(a, b) = (c, d) \iff a = c \land b = d</math>

== Unidade imaxinaria. Forma binómica ==
Defínese a unidade imaxinaria, que se representa por <math>\mathrm{i}</math>, como o número complexo imaxinario puro:
:<math>\mathrm{i} = (0,1)</math>

O nome de unidade imaxinaria vén dado polo feito de que calquera número imaxinario puro pode expresarse como o produto da súa parte imaxinaria por <math>\mathrm{i}</math>. En efecto:
: <math>(0, a) = (a, 0) \cdot (0, 1) = a \cdot\mathrm{i} </math>

Obsérvese que <math>\mathrm{i}^2 = \mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1 </math> (a última igualdade xustifícase polo convenio de identificar os números reais cos complexos cuxa parte imaxinaria é nula)<ref name=Spivak647/>. Polo tanto, <math>\mathrm{i} = \sqrt{-1} </math>.

Ademais<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Spivak|1975|p=648|ref=Spivak}}</ref>:
: <math> (a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (b,0) \cdot (0,1) = a+b\mathrm{i} </math>
Esta forma <math> a+b\mathrm{i} </math> de expresar un número complexo, coñécese como forma binómica.

== Representación gráfica dos complexos ==
[[Ficheiro:Complex number illustration.svg|miniatura|150px|Representación gráfica do complexo ''a+bi'' no [[plano complexo]].]]
As sucesivas catergorías de números (naturais, enteiros, racionais...) pódense representar sobre a recta. Os números reais énchena por completo de modo que a cada número real lle corresponde un punto da recta e viceversa. É por iso que se fala da recta real.

Para representar os complexos hai que saír da recta e ir ao plano, o [[plano complexo]], chamado así pola mesma razón que a recta real: cada punto do plano representa a un número complexo e viceversa<ref name=Spivak650>{{cita Harvard sen parénteses|Spivak|1975|p=650|ref=Spivak}}</ref>.

Tomando uns [[Sistema de coordenadas cartesianas|eixes de coordenadas perpendiculares]], no eixe horizontal, ou eixe real, represéntase a parte real do número complexo; e a parte imaxinaria represéntase no eixe vertical, ou eixe <ref name=Spivak650/>. Do mesmo xeito que se representan vectores no plano, a representación dun número complexo é a frecha que une a orixe co punto que determinan ás súas partes reais e imaxinaria. Dito punto chámase ''afixo'' do número complexo<ref name=Colera47/>.

== Operacións con números complexos ==
A forma binómica é moi útil para realizar operacións con números complexos, sen máis que seguir as regras das operacións dos números reais e tendo en conta que <math>\mathrm{i}^2 = -1 </math><ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Colera|Guzmán|Gaztelu|Oliveira|1995|p=48|ref=Colera}}</ref>.

As operacións xa definidas da suma e a multiplicación, expresadas en forma binómica son:
:*Suma: <math>(a+b\mathrm{i})+(c+d\mathrm{i}) = (a+c) + (b+d)\mathrm{i} </math>
:*Multiplicación: <math>(a+b\mathrm{i})\cdot(c+d\mathrm{i}) = (ac-bd) + (ad+bc)\mathrm{i} </math>

Os números complexos poden tamén restarse e dividilos (se o divisor non é nulo). Para definir estas operacións necesítase definir o oposto e o conxugado dun número complexo.

O ''oposto'' dun número complexo ''z'', que se representa por ''-z'' é aquel cuxas partes real e imaxinaria son as opostas das do número dado; así, o oposto de <math>z= a+b\mathrm{i} </math> é <math>-z= -a-b\mathrm{i} </math>. O ''conxugado'' dun número complexo ''z'', que se representa por <math>\bar{z}</math>, é o que resulta de cambiarlle de signo á parte imaxinaria, é dicir, o complexo conxugado de <math>z= a+b\mathrm{i} </math> é <math>\bar{z} = a-b\mathrm{i} </math><ref name=Colera47>{{Cita Harvard sen parénteses|Colera|Guzmán|Gaztelu|Oliveira|1995|p=47|ref=Colera}}</ref>.

Para restar dous complexos súmaselle ao minuendo o oposto do subtraendo:
:*Resta: <math>(a+b\mathrm{i})-(c+d\mathrm{i}) = (a-c) + (b-d)\mathrm{i} </math>
Para dividir dous números complexos, multiplícanse o dividendo e o divisor polo conxugado do divisor: 
:*División: <math> \frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}} = \frac{(a+b\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}{(c+d\mathrm{i})({c-d\mathrm{i}})} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm{i} </math>

A potencia dun número complexo pódese facer reiterando a multiplicación do complexo por si mesmo, pero é máis doado facer esta operación, así como a radicación, traballando coa ''forma polar'' do complexo.

== Forma polar ==
Un xeito alternativo de definir un punto ''P(x, y)'' no plano complexo en vez de empregar as coordenadas ''x'' e ''y'', é empregar a distancia do punto á orixe de coordenadas O(0, 0), xunto co ángulo entre o eixe positivo real e o vector <small><math> \overrightarrow{OP}</math></small> no sentido positivo (contrario ás agullas do reloxo). Isto conduce á idea da forma polar dos números complexos.

O [[Módulo (vector)|módulo]] dun número complexo ''z'' é a lonxitude do vector <small><math> \overrightarrow{OP}</math></small> que o representa, o que une a orixe de coordenadas co afixo P(a, b) do complexo. Represéntase por |z|.

O [[argumento (matemáticas)|argumento]] de ''z'' é o ángulo que forma o vector <small><math> \overrightarrow{OP}</math></small> que o representa, co eixo real positivo. Escríbese <math>\arg(z)</math>.

Se |z| = ''r'' e <math>\arg(z) = \alpha</math>, o número complexo pódese expresar así: ''z = r<sub>α</sub>''. Esta é a forma ''módulo-argumento'' ou ''polar'' dun número complexo<ref name=Colera50>{{Cita Harvard sen parénteses|Colera|Guzmán|Gaztelu|Oliveira|1995|p=50|ref=Colera}}</ref>.

Obsérvese que un número complexo admite infinitos argumentos:
:<math>r_\alpha = r_{\alpha \pm 360^o k}</math> con <math>k \in \mathbb{Z}</math> (usando graos sesaxesimais).
:<math>r_\alpha = r_{\alpha \pm 2k \pi}</math> con <math>k \in \mathbb{Z}</math> (usando radiáns).
De entre todos eles elíxese por convenio só un está entre 0<sup>o</sup> e 360<sup>o</sup> ou entre 0 e 2π radiáns, que é o que se elixe como argumento principal<ref name=Colera50/><ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Spivak|1975|pp=653-654|ref=Spivak}}</ref>. No estudo das [[Análise complexa|funcións de variable complexa]] séguese o mesmo criterio<ref>{{cita Harvard sen parénteses|Spivak|1975|pp=662-663|ref=Spivak}}</ref>, aínda que algúns autores elixen o argumento principal entre -π e π radiáns (-180<sup>o</sup> e 180<sup>o</sup>)<ref>{{cita libro |título=Complex Variables: Theory And Applications |edición=2ª |capítulo=1 |nome1=H.S. |apelidos1=Kasana |editorial=PHI Learning Pvt. Ltd |data=2005 |isbn=81-203-2641-5 |páxina=14 |url=https://books.google.com/?id=rFhiJqkrALIC&pg=PA14 |lingua=en}}</ref>.

Non ten sentido poñer o número complexo 0 en forma polar<ref name=Colera50/>, mais é común escoller arbitrariamente 0.

=== Paso da forma binómica á polar ===
Dado o complexo <math>z = a + b \mathrm{i}</math> en forma binómica, o módulo de ''z'' vén dado polo [[teorema de Pitágoras]]: <math>\textstyle |z|=\sqrt{a^2+b^2}</math>.

O argumento calcúlase tendo en conta que a tanxente do argumento é o cociente entre as partes imaxinaria e real: <math>\tan \alpha = \frac{b}{a}</math>, polo tanto <math>\alpha = \arctan {\frac{b}{a}}</math><ref name=Colera50/>.
[[Ficheiro:Affixe.svg|miniatura|]]
Propiedades:
* Se ''z = a'' é un número real (é dicir, <math>z=a+0\mathrm{i}</math>), entón o módulo coincide co [[valor absoluto]] do número: ''r'' = |a|.
* O produto dun complexo polo seu conxugado é igual ao cadrado do módulo, é dicir: <math>\textstyle z \cdot \bar{z} = |z|^2= a^2+b^2</math>.

=== Paso da forma polar á binómica ===
Dado o complexo ''z=r<sub>α</sub>'', por trigonometría sábese que: <math>\cos\alpha=\frac{a}{r}</math> , <math>\sin\alpha=\frac{b}{r}</math>.

de onde: <math>a=r\cos\alpha</math> , <math>b=r\sin\alpha</math>.

En consecuencia, a forma binómica do complexo é: <math>z=r\cos\alpha+(r\sin\alpha) \mathrm{i}</math>.

Sacando factor común, obtense: <math>z=r(\cos\alpha+\mathrm{i} \sin\alpha )</math>.

Esta última expresión é o que se coñece como forma trigonométrica do número complexo e serve para pasar da forma polar á binómica<ref name=Colera50/>. Usando a [[identidade de Euler]] pode escribirse <math>z = r e^{\mathrm{i} \alpha}.\,</math>.

== Operacións con complexos en forma polar ==
A forma polar non é de moita axuda para realizar a suma e a resta de números complexos, porén, para o produto e, en consecuencia, para potencia e a división, a forma polar conduce a un xeito sinxelo de realizaren estas operacións<ref>{{cita Harvard sen parénteses|Colera|1995|p=52|ref=Colera}}</ref>.

=== Produto ===
Para efectuar o produto, primeiramente escríbense os complexos a multiplicar en forma polar, e usando as fórmulas trigonométricas do coseno e o seno da suma de dous ángulos, chégase á expresión en forma polar:
:<math>r_\alpha \cdot r'_\beta = r (\cos\alpha+\mathrm{i} \sin\alpha ) \cdot r' (\cos\beta+\mathrm{i} \sin\beta ) = r \cdot r' [(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + \mathrm{i}  (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)]</math>
::<math> = r \cdot r' [\cos (\alpha + \beta) +\mathrm{i} \sin (\alpha + \beta)] = (r \cdot r')_{\alpha + \beta} </math>

É dicir, o produto de dous complexos é outro complexo cuxo módulo é o produto dos seus módulos e cuxo argumento é igual á suma dos argumentos dos factores: 
: <math>r_\alpha \cdot r'_\beta = (r \cdot r')_{\alpha + \beta} </math>

Unha consecuencia interesante é que se se multiplica un complexo calquera <math>z=r_\alpha</math> por outro de módulo un <math>1_\beta</math>, o resultado é xirar en sentido positivo ''z'' un ángulo β arredor da orixe.

=== Potencia ===
Ao elevar un complexo a unha potencia natural, o modulo queda elevado a esa potencia e o argumento queda multiplicado por esa potencia:
: <math>(r_\alpha)^n = (r^n)_{n\alpha} </math>
pois a potencia non é máis que multiplicar o complexo por si mesmo ''n'' veces.

=== División ===
Para dividir dous complexos divídense os seus módulos e réstanse os seus argumentos:
: <math>(r_\alpha):(r'_\beta) =\left ( \frac{r}{r'} \right )_{\alpha - \beta} </math>
pois, aplicando a fórmula do produto: <math>\left (\frac{r}{r'}\right )_{\alpha - \beta} \cdot r'_\beta =\left ( \frac{r}{r'} \cdot r\prime \right )_{\alpha - \beta +\beta} = r_\alpha</math>.

=== Fórmula de De Moivre ===
Escribindo en forma trigonométrica o resultado obtido para a potencia dun complexo <math>(r_\alpha)^n = (r^n)_{n\alpha}</math>, obtemos: <math>[r(\cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha)]^n = r^n (\cos n\alpha + \mathrm{i} \sin n\alpha)</math>

Facendo <math>r=1</math>, obtemos a fórmula de De Moivre:
: <math>(\cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + \mathrm{i} \sin n\alpha</math>
que é moi útil en [[trigonometría]] pois permite calcular <math>\cos n\alpha</math> e <math>\sin n\alpha</math>, en función de <math>\cos \alpha</math> e <math>\sin \alpha</math><ref>{{cita Harvard sen parénteses|Colera|1995|p=53|ref=Colera}}</ref>.

== Radicación de números complexos ==
Os números reais poden ter dúas, unha ou ningunha raíz real cando o índice da raíz é par, segundo que o número sexa respectivamente positivo, cero ou negativo. No caso de ser o índice impar, existe unha única raíz real. Porén, o número de raíces dos números complexos, agás o 0, é igual ao índice da raíz.

En efecto, sexa <math>R_\beta</math> un número complexo do que se queren calcular as raíces n-ésimas. Por definición, se <math>\sqrt[n]{R_\beta} = r_\alpha</math> entón <math>(r_\alpha)^n = R_\beta</math>. Pero como <math>(r_\alpha)^n = (r^n)_{n\alpha}</math>, débense dar as igualdades:
:<math>R_\beta = (r^n)_{n\alpha} \longrightarrow \begin{cases} R=r^n \rightarrow r=\sqrt[n]{R}\\ \\ \beta = n\alpha \rightarrow \alpha = \frac{\beta}{n} \end{cases}</math>
Polo tanto, a raíz n-ésima dun complexo ten por módulo a raíz n-ésima do módulo do complexo e de argumento o seu argumento dividido polo índice ''n'' da raíz. Porén, tendo en conta que o argumento dun complexo non é único (podemos obter infinitos argumentos a partir do principal, sumándolle ou restándolle 360º ou 2π radiáns as veces que se queira), a división por ''n'' dos distintos argumentos non será o mesmo ángulo. Na expresión anterior, substituíndo β por outro argumento <math>\beta + 360^\circ k, k \in \mathbb{Z}</math> ou <math>\beta + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}</math>, obtéñense ''n'' argumentos distintos:
: <math>\frac{\beta + 360^\circ k}{n} = \frac{\beta}{n} + \frac{360^\circ}{n}k</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math> ou en radiáns: <math>\frac{\beta + 2k\pi}{n} = \frac{\beta}{n} + \frac{2k\pi}{n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>
(Obsérvese que para ''k=n'' se obtería o mesmo argumento que para ''k=0'', e comezarían a repetirse os argumentos. O mesmo ocorre se se toman valores enteiros negativos de ''k'').

En conclusión, un número complexo <math>R_\beta</math> ten n raíces complexas, todas elas co mesmo módulo <math>r=\sqrt[n]{R}</math> e de argumentos<ref>{{cita Harvard sen parénteses|Colera|1995|p=54|ref=Colera}}</ref>:
: <math>\alpha_k = \frac{\beta}{n} + \frac{360^\circ}{n}k</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math> en graos ou, traballando con radiáns: <math>\alpha_k = \frac{\beta}{n} + \frac{2k\pi}{n}</math> con <math>k=0,1,\ldots,n-1</math>.

== Estruturas alxébricas ==
=== Corpo ===
O conxunto dos números complexos coas dúas operacións suma e produto definidas nel, ten estrutura de [[Corpo (álxebra)|corpo]]. En efecto, cúmprense todos os [[axioma]]s da definición de corpo<ref>{{cita Harvard sen parénteses|Spivak|1975|pp=648-649|ref=Spivak}}</ref>:
:<math>(\mathbb{C},+)</math> é un [[grupo abeliano]]:
::1) A suma é [[Asociatividade (álxebra)|asociativa]]:  <math>z+(v+w) = (z+v)+w </math>, <math>\forall z,v,w \in \mathbb{C}</math>
::2) A suma é [[Conmutatividade|conmutativa]]: <math>z+w = w+z </math>, <math>\forall z,w \in \mathbb{C}</math>
::3) O número real <math>0=0+0\mathrm{i}</math> é o [[elemento neutro]] para a suma: <math>z+0 = 0+z =z</math>, <math>\forall z \in \mathbb{C}</math>
::4) O elemento oposto do complexo <math>z=a+b\mathrm{i}</math> é <math>-z=-a-b\mathrm{i}</math>, pois: <math>z+(-z) = -z+z =0</math>, <math>\forall z \in \mathbb{C}</math>
:<math>(\mathbb{C},\cdot)</math> é un [[grupo abeliano]]:
::1) O produto é asociativo:  <math>z\cdot (v\cdot w) = (z\cdot v)\cdot w </math>, <math>\forall z,v,w \in \mathbb{C}</math>
::2) O produto é conmutativo: <math>z\cdot w = w\cdot z </math>, <math>\forall z,w \in \mathbb{C}</math>
::3) O número real <math>1=1+0\mathrm{i}</math> é o elemento neutro para produto (elemento unitario): <math>z\cdot 1 = 1\cdot z =z</math>, <math>\forall z \in \mathbb{C}</math>
::4) O elemento inverso do complexo non nulo <math>z=a+b\mathrm{i}</math> é <math>z^{-1}=\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{-b}{a^2+b^2}\mathrm{i}</math>, pois: <math>z\cdot z^{-1} = z^{-1}\cdot z =1</math>, <math>\forall z \in \mathbb{C} - \{ 0 \}</math>
:O produto é [[Distributividade|distributivo]] respecto da suma: <math>z\cdot (v+w) = z\cdot v+z\cdot w </math>, <math>\forall z,v,w \in \mathbb{C}</math>
Polo tanto <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> é un corpo. É un corpo non ordenado pois non é posible establecer unha relación de orde total en <math>\mathbb{C}</math>, como ocorre en <math>\mathbb{R}</math>.

O corpo dos números reais <math>(\mathbb{R},+,\cdot)</math> é un subcorpo de <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math>, se identificar o número real <math>a</math> co complexo <math>a+0\mathrm{i}</math>.

=== Espazo vectorial ===
O conxunto dos números complexos é un [[espazo vectorial]] real coa operación interna suma de complexos xa definida, e a externa produto por un número real (escalar)<ref>{{cita libro |título=Matemáticas C.O.U. |apelidos1=Negro |nome1=A. |apelidos2=Poncela |nome2=J.M. |editorial=Alhambra |ano=1987 |páxina=14 |isbn=84-205-1611-2 |lingua=es}}</ref> definida do seguinte xeito:
:  Sexan <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> e <math>z=a+b\mathrm{i}</math>, defínese o produto <math>\alpha z</math> como <math>\alpha z = \alpha a+ \alpha b \mathrm{i} \in \mathbb{C}</math>
Efectivamente, <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> é un espazo vectorial sobre <math>\mathbb{R}</math> (nótese que se usan os mesmos símbolos + para a suma de complexos e a suma de reais, e <math>\cdot</math> para o produto de números complexos e o produto por escalar, e mesmo ambos produtos se expresan sen ningunha notación) xa que verifica os oito axiomas de espazo vectorial:
: 1 a 4) Os catro primeiros axiomas son os que dan a <math>(\mathbb{C},+)</math> estrutura de [[grupo abeliano]], xa coñecidos pola estrutura de corpo que ten <math>\mathbb{C}</math>.
: 5) <math>(\alpha +\beta)\cdot z = \alpha \cdot z + \beta \cdot z</math>, <math> \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R} , \forall z \in \mathbb{C}</math>
: 6) <math>\alpha \cdot (z+w)  = \alpha \cdot z + \alpha \cdot w</math>, <math> \forall \alpha \in \mathbb{R} , \forall z,w \in \mathbb{C}</math>
: 7) <math>(\alpha \cdot \beta)\cdot z = \alpha \cdot (\beta \cdot z)</math>, <math> \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R} , \forall z \in \mathbb{C}</math>
: 8) <math> 1 \cdot z = z</math>,   <math>\forall z \in \mathbb{C}</math>

A [[Dimensión#Dimensión dun espazo vectorial|dimensión]] deste espazo vectorial é 2. A [[Base (álxebra linear)|base]] canónica é a formada polas unidades real e imaxinaria: <math>\mathcal{B} = \{1, \mathrm{i}\}</math>.

== Notas ==
{{Listaref|30em}}

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}}

=== Bibliografía ===
* {{cita libro|last=Ahlfors |first=Lars |authorlink=Lars Ahlfors |title=Complex analysis |url=https://archive.org/details/complexanalysisi0000ahlf_v7n1 |publisher=McGraw-Hill |year=1979 |edition=3rd |isbn=978-0-07-000657-7}}
* {{cita libro |apelidos1=Colera |nome1=José |apelidos2=de Guzmán |nome2=Miguel |apelidos3=Gaztelu |nome3=Ignacio |apelidos4=Oliveira |nome4=Mª José |título=Bachillerato. Matemáticas 3 |editorial=Anaya |ano=1995 |isbn=84-207-6351-9 |lingua=es |ref=Colera}} 
* {{cita libro|last=Conway |first=John B. |title=Functions of One Complex Variable I |year=1986 |publisher=Springer |isbn=0-387-90328-3}}
* {{cita libro|last1=Joshi |first1=Kapil D. |title=Foundations of Discrete Mathematics |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=Nova York |isbn=978-0-470-21152-6 |year=1989}}
* {{cita libro|last=Pedoe |first=Dan |authorlink=Dan Pedoe |title=Geometry: A comprehensive course |url=https://archive.org/details/geometrycomprehe0000pedo |publisher=Dover |year=1988 |isbn=0-486-65812-0}}
* {{cita libro |last1=Press |first1=WH |last2=Teukolsky |first2=SA |last3=Vetterling |first3=WT |last4=Flannery |first4=BP |year=2007 |title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |edition=3rd |publisher=Cambridge University Press |publication-place=Nova York |isbn=978-0-521-88068-8 |chapter=Section 5.5 Complex Arithmetic |chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=225 |data-acceso=06 de marzo de 2016 |data-arquivo=13 de marzo de 2020 |url-arquivo=https://web.archive.org/web/20200313111530/http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=225 |url-morta=yes }}
* {{cita libro |apelidos=Spivak |nome=Michael |título=Calculus |ano=1975 |editorial=Reverté |isbn=84-291-5141-9 |lingua=es |ref=Spivak}}

=== Outros artigos ===
* [[Cuaternión]]
* [[Vector]]es
* [[Leonhard Euler]]
* [[Identidade de Euler]]

=== Ligazóns externas ===
* [https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers/the-complex-numbers/v/complex-number-intro Introduction to Complex Numbers from Khan Academy]
* [http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/eulers-investigations-on-the-roots-of-equations Euler's Investigations on the Roots of Equations] at Convergence. MAA Mathematical Sciences Digital Library.
* [http://mathforum.org/johnandbetty/ John and Betty's Journey Through Complex Numbers]
* [https://web.archive.org/web/20170429200948/http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/c2003/complexnumberorigin.html The Origin of Complex Numbers by John H. Mathews and Russell W. Howell]
* [http://www.dimensions-math.org/Dim_regarder_E.htm Dimensions: a math film.]

{{Control de autoridades}}

{{ORDENAR:Numero complexo}}
[[Categoría:Números]]
[[Categoría:Artigos que toda Wikipedia debería ter (Ciencia)]]