Ver o código fonte de «Media metálica»

{| class="wikitable floatright"
! colspan="3" align="center" |Media metálica (proporcións metálicas)
!
|-
!N
!Proporción
!Valor
!Nome
|-
|'''0'''
|{{Sfrac|0 + {{sqrt|4}}|2}}
|[[Un|1]]
|
|-
|'''1'''
|{{Sfrac|1 + {{sqrt|5}}|2}}
|[[Número áureo|1.618033989]]{{Efn|{{OEIS|id=A001622}} Expansión decimal da proporción áurea}}
|[[Número áureo|Ouro]]
|-
|'''2'''
|{{Sfrac|2 + {{sqrt|8}}|2}}
|2.414213562{{Efn|{{OEIS|id=A014176}}, Expansión decimal da proporción de prata, 1+sqrt(2).}}
|Prata
|-
|'''3'''
|{{Sfrac|3 + {{sqrt|13}}|2}}
|3.302775638{{Efn|{{OEIS|id=A098316}}, Expansión decimal da fracción continua [3, 3, ...]; {{=}} (3 + sqrt(13))/2.}}
|Bronce
|-
|'''4'''
|{{Sfrac|4 + {{sqrt|20}}|2}}
|4.236067978{{Efn|{{OEIS|id=A098317}}, Expansión decimal da fracción continua [4, 4, ...] {{=}} 2 + sqrt(5).}}
|
|-
|'''5'''
|{{Sfrac|5 + {{sqrt|29}}|2}}
|5.192582404{{Efn|{{OEIS|id=A098318}}, Expansión decimal da fracción continua [5, 5, ...] {{=}} (5 + sqrt(29))/2.}}
|
|-
|'''6'''
|{{Sfrac|6 + {{sqrt|40}}|2}}
|6.162277660{{Efn|{{OEIS|id=A176398}}, Expansión decimal da fracción continua [6, 6, ...] {{=}} 3+sqrt(10).}}
|
|-
|'''7'''
|{{Sfrac|7 + {{sqrt|53}}|2}}
|7.140054945{{Efn|{{OEIS|id=A176439}}, Expansión decimal da fracción continua [7, 7, ...] {{=}}  (7+sqrt(53))/2.}}
|
|-
|'''8'''
|{{Sfrac|8 + {{sqrt|68}}|2}}
|8.123105626{{Efn|{{OEIS|id=A176458}}, Expansión decimal da fracción continua [8, 8, ...] {{=}} 4+sqrt(17).}}
|
|-
|'''9'''
|{{Sfrac|9 + {{sqrt|85}}|2}}
|9.109772229{{Efn|{{OEIS|id=A176522}}, Expansión decimal da fracción continua [9, 9, ...] {{=}}  (9+sqrt(85))/2.}}
|
|-
|'''10'''
|{{Sfrac|10+ {{sqrt|104}}|2}}
|10.099019513{{Efn|{{OEIS|id=A176537}}, Expansión decimal da fracción continua [10, 10, ...] {{=}}  (10+sqrt(104)/2.}}
|
|-
|&nbsp; ⋮
|-
|'''n'''
|{{Sfrac|''n'' + {{sqrt|''n''<sup>2</sup>+4}}|2}}
|}
 
As '''medias metálicas''' (ou '''ratios''' ou '''constantes''') dos sucesivos [[Número natural|números naturais]] son as [[Fracción continua|fraccións continuas]] con coeficientes constantes:

<math>
n + \cfrac{1}{n+\cfrac{1} {n+\cfrac{1} {n+\cfrac{1} {n+\ddots\,}}}}
= [n;n,n,n,n,\dots] = \frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}.
</math>

A [[Número áureo|proporción áurea]] (1.618...) é a media metálica situada entre 1 e 2, mentres que a proporción de prata (2.414...) é a media metálica situada entre 2 e 3. O termo "proporción de bronce" (3.303...), e outros nomes de metais (como cobre ou níquel), empréganse ocasionalmente para denominar as medias metálicas posteriores. <ref>[[Vera W. de Spinadel]] (1999). [http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/spinadel/index.html The Family of Metallic Means], ''Vismath'' 1(3) from Mathematical Institute of [[Serbian Academy of Sciences and Arts]].</ref> <ref>{{Cita publicación periódica|title=. "The Metallic Means and Design". |páxinas=141–157|url=https://www.nexusjournal.com/the-nexus-conferences/nexus-1998/119-n1998-spinadel.html}}</ref> Os valores das dez primeiras medias metálicas móstranse na táboa da dereita. <ref><templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|title=Table of Silver means}}</ref> <ref>"[http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html#silver An Introduction to Continued Fractions: The Silver Means]", ''maths.surrey.ac.uk''.</ref> Observe que cada media metálica é unha raíz da ecuación cadrática simple: <math>x^2-nx=1</math>, onde <math>n</math> é calquera número natural positivo.

A proporción áurea está conectada co [[pentágono]] (primeira diagonal/lado), a proporción de prata está conectada co [[octógono]] (segunda diagonal/lado).  A proporción áurea está conectada aos [[Sucesión de Fibonacci|números de Fibonacci]], a proporción de prata está conectada aos [[Número de Pell|números de Pell]], e a proporción de bronce está conectada a {{OEIS|id=A006190}}.

Así para cada <math>n</math> temos as recorrencias lineais de segunda orde: <math>a_i= n a_{i-1} + a_{i-2}, \text{ con } a_{0} = 0, a_{1}=1.</math> 

Fibonacci (ouro): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...

Pell (prata): 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70 ...

{{OEIS|id=A006190}} (bronce): 0, 1, 3, 10, 33, 109 ... 

== Propiedades ==
Estas propiedades só son válidas para [[Número enteiro|números enteiros]]. Para os non enteiros as propiedades son lixeiramente diferentes.

Chamamos <math>S_n</math> á media metálica relacionada coa constante {{Mvar|n}}.

Sendo <math>\dfrac{p_i}{q_i}</math> os converxentes da [[fracción continua]]  <math> [n;n,n,n,n,\dots]</math> temos que
: <math> {S_n} = \lim_{i \to \infty} \dfrac{p_i}{q_i}</math>

A recorrencia asociada a cada <math>S_n</math> son os denominadores <math>q_i</math> (ou os numeradores <math>p_i</math> excluído o cero) dos converxentes da  fracción continua <math> [n;n,n,n,n,\dots]</math>.

Sendo <math>a_i= n a_{i-1} + a_{i-2}, \text{ con } a_{0} = 0, a_{1}=1.</math>  a recorrencia asociada a <math>S_n</math> temos que
: <math> {S_n} = \lim_{i \to \infty} \dfrac{a_i}{a_{i-1}}</math>

Unha relación para a inversa da media metálica <math>S_n</math>
: <math> \frac{1}{S_n} = S_n - n </math>

por tanto os inversos das medias metálicas son a parte decimal do número correspondente.

Se descompomos <math>S_n</math> en para enteira {{Mvar|a}} e parte fraccional {{Mvar|b}}, temos:

: <math> S_n = a + b </math>,  e resulta 

: <math> S_n^2 = a^2 + nb + 1. </math>

As medias metálicas de ''n'' en forma de integral,

: <math> S_n = \int_0^n {\left( \dfrac{x} {2\sqrt{x^2+4}} + \dfrac{n+2}{2n} \right)} \, dx. </math>

En relación a funcións hiperbólicas,

: <math> \frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2} = e^{\operatorname{arsinh(n/2)}} </math>

== Expresións trigonométricas ==

{| class="wikitable"
! colspan="3" align="center" |Expresión trigonométrica
|-
!N
!Fórmula
!Polígono regular asociado
|-
|1 
|<math>2\cos\frac{\pi}{5}</math> 
|[[pentágono]]
|-
|2 
|<math>\tan\frac{3\pi}{8}</math>
|[[octógono]]
|-
|3 
|<math>8\cos\frac{\pi}{13}\cos\frac{3\pi}{13}\cos\frac{4\pi}{13}</math>
|
[[tridecágono]]
|-
|4 
|<math>8\cos^3\frac{\pi}{5}</math>
|}

== Construción xeométrica ==
A media metálica <math>S_n</math> para calquera número enteiro dado <math>n</math> pódese construír xeométricamente do seguinte xeito. Defínese un [[triángulo rectángulo]] con lados <math>A</math> e <math>B</math> tendo lonxitudes  <math>1</math> e <math>n/2</math>, respectivamente. A  media metálica <math>S_n</math> é simplemente a suma da lonxitude de <math>B</math> e a [[hipotenusa]] <math>H</math>. <ref>{{Cita publicación periódica|title= "Polygons & Metallic Means"|volume=20|ano=2021|páxinas=32–33|url=https://rajpub.com/index.php/jam/article/view/8945}}</ref>

Para <math>n = 1</math> ,
[[Ficheiro:Golden_ratio_"tinted"_triangle.png|alt=Triangle with "embedded" golden ratio|miniatura|100x100px| N = 1]]
<math>H = \sqrt{(n/2)^2 + 1^2} = \sqrt{5/4} = 1.1180339...</math>

e logo

<math>S_{1} = B + H = 1/2 + 1.1180339... = 1.6180339... = </math> φ.

Con <math>n = 2</math> dá a proporción de prata.
[[Ficheiro:Silver_ratio_"tinted"_triangle.png|alt=Triangle with "embedded" silver ratio|miniatura|100x100px| N = 2]]
<math>H = \sqrt{(2/2)^2 + 1^2} = \sqrt{2} = 1.4142135...</math>

<math>S_2 = B + H = 2/2 + 1.4142135... = 2.4142135...</math>

A proporción de bronce con <math>n = 3</math>,
[[Ficheiro:Bronze_ratio_"tinted"_triangle.png|alt=Triangle with "embedded" bronze ratio|miniatura|100x100px| N = 3]]
<math>H = \sqrt{(3/2)^2 + 1^2} = \sqrt{13/4} = 1.8027756...</math>

<math>S_{3} = B + H = 3/2 + 1.8027756... = 3.3027756...</math>

Os argumentos non enteiros ás veces producen triángulos cunha media que é un número enteiro. Un exemplo con <math>n = 1.5</math>, temos
[[Ficheiro:Twos_triangle.png|alt=Triangle with "embedded" with the number 2|dereita|miniatura|100x100px| N = 1,5]]
<math>H = \sqrt{(1.5/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1.5625} = 1.25</math>

<math>S_{1.5} = B + H = 1.5/2 + 1.25 = 2</math>

que é simplemente unha versión reducida do [[triángulo pitagórico]] 3–4–5.




== Notas ==
{{reflist|30em}}
{{notelist}}

==Véxase tamén==
=== Bibliografía ===

* Stakhov, Alekseĭ Petrovich (2009). ''The Mathematics of Harmony: From Euclides to Contemporary Mathematics and Computer Science'', p.&nbsp;228, 231.World Scientific.{{ISBN|9789812775832}}.

=== Ligazóns externas ===
* Cristina-Elena Hrețcanu and Mircea Crasmareanu (2013). "[http://inmabb.criba.edu.ar/revuma/pdf/v54n2/v54n2a02.pdf Metallic Structures on Riemannian Manifolds]", ''Revista de la Unión Matemática Argentina''.
* Rakočević, Miloje M. "[https://arxiv.org/abs/math/0611095 Further Generalization of Golden Mean in Relation to Euler's 'Divine' Equation]", ''Arxiv.org''.

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números]]