Ver o código fonte de «Matriz ortogonal»

En [[álxebra linear]], unha '''matriz ortogonal''', ou '''matriz ortonormal''', é unha [[matriz cadrada]] de coeficientes reais cuxas columnas e filas son [[Vector |vectores]] [[Ortonormalidade|ortonormais]].

Unha forma de expresalo é
:<math>Q^\mathrm{T} Q = Q Q^\mathrm{T} = I,</math>
onde {{math|''Q''<sup>T</sup>}} é a [[matriz transposta|transposta]] de {{mvar|Q}} e {{mvar|I}} é a [[matriz identidade]].

Isto leva á caracterización equivalente: unha matriz {{mvar|Q}} é ortogonal se a súa transposición é igual á súa [[Matriz invertíbel|inversa]]:
:<math>Q^\mathrm{T}=Q^{-1},</math>
onde {{math|''Q''<sup>−1</sup>}} é a inversa de {{mvar|Q}}.

Unha matriz ortogonal {{mvar|Q}} é necesariamente invertíbel (con inverso {{math|1=''Q''<sup>−1</sup> = ''Q''<sup>T</sup>}}), [[Matriz unitaria|unitaria]] ({{math|1=''Q''<sup>−1</sup> = ''Q''<sup>∗</sup>}}), onde {{math|1=''Q''<sup>∗</sup>}} é a adxunta hermitiana ([[conxugada transposta]]) de {{mvar|Q}} e, polo tanto, [[Matriz normal|normal]] ({{math|1=''Q''<sup>∗</sup>''Q'' = ''QQ''<sup>∗</sup>}})  nos [[números reais]]. O [[determinante (matemáticas)|determinante]] de calquera matriz ortogonal é +1 ou −1. Como [[Mapa linear|transformación linear]], unha matriz ortogonal conserva o [[produto interno]] dos vectores e, polo tanto, actúa como unha [[isometría]] do [[espazo euclidiano]], como unha [[Rotación (xeometría)|rotación]] ou unha [[Reflexión (matemáticas)|reflexión]] Noutras palabras, é unha [[transformación unitaria]].

O conxunto das matrices ortogonais {{math|''n'' × ''n''}}, baixo multiplicación, forma o [[grupo (matemáticas)|grupo]] {{math|O(''n'')}}, coñecido como [[grupo ortogonal]]. O [[subgrupo]] {{math|SO(''n'')}} que consta das matrices ortogonais co determinante +1 chámase grupo ortogonal especial. Como transformación linear, cada matriz ortogonal especial actúa como unha rotación.

==Descrición xeral==
[[Ficheiro:Hands matrix multiplication.svg|thumb|275px|Se A é unha matriz ortogonal e B é a súa transposta A<sup>T</sup>, o ij-ésimo elemento do produto AA<sup>T</sup> desaparecerá se i≠j, porque a i-ésima fila de A é ortogonal á j-ésima fila de A e por tanto en B estará como columna.]]

Aínda que aquí só consideramos matrices de reais, a definición pódese usar para matrices con entradas de calquera [[corpo (matemáticas)|corpo]]. No entanto, as matrices ortogonais xorden naturalmente a partir do [[produto escalar]], mais para as matrices de números complexos hai que remitirse ao requisito de unitario. 

As matrices ortogonais preservan o produto escalar,<ref>[http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/LinAlg/OrthogonalMatrix.aspx "Apuntes de matemáticas en liña de Paul"], The Paulmar University]8. 3(c)</ref> polo tanto, para os vectores {{math|'''u'''}} e {{math|'''v'''}} nun [[espazo euclidiano]] real {{mvar|n}}-dimensional
:<math>{\mathbf u} \cdot {\mathbf v} = \left(Q {\mathbf u}\right) \cdot \left(Q {\mathbf v}\right) </math>
onde {{mvar|Q}} é unha matriz ortogonal.

Así as isometrías lineares de [[dimensión (espazo vectorial)|dimensión finita]] (rotacións, reflexións e as súas combinacións) producen matrices ortogonais. E viceversa: as matrices ortogonais implican transformacións ortogonais. No entanto, a álxebra linear inclúe transformacións ortogonais entre espazos que poden non ser nin de dimensión finita nin da mesma dimensión, e estes non teñen un equivalente en matriz ortogonal.

As matrices ortogonais son importantes por varias razóns, tanto teóricas como prácticas. As matrices ortogonais {{math|''n'' × ''n''}} forman un [[grupo (matemáticas)|grupo]] baixo a multiplicación matricial, o [[grupo ortogonal]] denotado por {{math|O(''n'')}}, que xunto aos seus subgrupos, é moi utilizado en matemáticas e ciencias físicas.

==Exemplos==
Abaixo amósanse algúns exemplos de pequenas matrices ortogonais e posíbeis interpretacións.
*<math>
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}</math> &emsp;&emsp; (Transformación identidade)
*<math>
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}</math> &emsp;&emsp; (rotación sobre a orixe)
*<math>
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{bmatrix}</math> &emsp;&emsp; (reflexión a través do eixo "x")
*<math>
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{bmatrix}</math> &emsp;&emsp; (permutación de eixos de coordenadas)

==Construcións elementais==

===Dimensións máis baixas===
As matrices ortogonais máis simples son as matrices [1] e [−1] de dimensións  {{nowrap|1 × 1}}, que podemos interpretar como a identidade e o como a reflexión da liña real a través da orixe.

As matrices de dimensións {{nowrap|2 × 2}} teñen a forma
:<math>\begin{bmatrix}
p & t\\
q & u
\end{bmatrix},</math>
nas que a ortogonalidade esixe satisfacer as tres ecuacións
:<math>\begin{align}
1 & = p^2+t^2, \\
1 & = q^2+u^2, \\
0 & = pq+tu.
\end{align}</math>

Tendo en conta a primeira ecuación, sen perda de xeneralidade sexa {{math|1=''p'' = cos ''θ''}}, {{math|1=''q'' = sen ''θ''}}; entón {{math|1=''t'' = −''q''}}, {{math|1=''u'' = ''p''}} ou {{math|1=''t'' = ''q''}}, {{math|1=''u'' = −''p''}}. Podemos interpretar o primeiro caso como unha rotación de {{mvar|θ}} (onde {{math|1=''θ'' = 0}} é a identidade), e o segundo como unha reflexión a través dunha liña nun ángulo de {{math|{{sfrac|''θ''|2}}}}.

:<math>
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}\text{ (rotación), }\qquad
\begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
\sin \theta & -\cos \theta \\
\end{bmatrix}\text{ (reflexión)}
</math>

O caso especial da matriz de reflexión con {{math|1=''θ'' = 90°}} xera unha reflexión sobre a recta a 45° dada por {{math|1=''y'' = ''x''}} e polo tanto troca {{mvar|x}} e {{mvar|y}}; é unha [[matriz de permutación]], cun único 1 en cada columna e fila (e doutro xeito 0):
:<math>\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}.</math>

A identidade tamén é unha matriz de permutación.

Unha reflexión é a [[Matriz involutiva|súa propia inversa]], o que implica que unha matriz de reflexión é [[matriz simétrica|simétrica]] (igual á súa transposta) así como ortogonal. O produto de dúas matrices de rotación é unha [[matriz de rotación]], e o produto de dúas matrices de reflexión tamén é unha matriz de rotación.

===Dimensións máis altas===
Independentemente da dimensión, sempre é posíbel clasificar as matrices ortogonais como puramente rotacionais ou non, mais para matrices {{nowrap|3 × 3}} e maiores, as matrices non de rotación poden ser máis complicadas que as reflexións. Por exemplo,
:<math>
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}\text{ e }
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}</math>

representan unha ''[[simetría central]]'' a través da orixe e unha ''[[rotación impropia]]'', respectivamente, sobre o eixo {{math|z}}.

As rotacións complícanse en dimensións máis altas; xa non poden caracterizarse completamente por un ángulo e poden afectar a máis dun subespazo plano. É común describir unha matriz de rotación {{nowrap|3 × 3}} en termos dun eixo e un ángulo, mais isto só funciona en tres dimensións. Por riba das tres dimensións son necesarios dous ou máis ángulos, cada un asociado a un [[plano de rotación]].

No entanto, temos bloques de construción elementais para permutacións, reflexións e rotacións que se aplican en xeral.

===Primitivas===
A permutación máis elemental é unha transposición obtida a partir da matriz identidade trocando dúas filas. Calquera matriz de permutación {{math|''n'' × ''n''}} pode construírse como un produto de non máis de {{math|''n'' − 1}} transposicións.

Unha [[reflexión de Householder]] constrúese a partir dun vector non nulo {{math|'''v'''}} como
:<math>Q = I - 2 \frac{{\mathbf v}{\mathbf v}^\mathrm{T}}{{\mathbf v}^\mathrm{T}{\mathbf v}} .</math>

Aquí o numerador é unha matriz simétrica mentres que o denominador é un número, a magnitude ao cadrado de {{math|'''v'''}}.

Unha [[rotación de Givens]] actúa nun subespazo bidimensional (planar) abranguido por dous eixos de coordenadas, xirando nun ángulo elixido.

Unha [[rotación de Jacobi]] ten a mesma forma que unha rotación de Givens, mais úsase para poñer a cero as dúas entradas fóra da diagonal dunha submatriz simétrica {{nowrap|2 × 2}}.

==Propiedades==

===Propiedades da matriz===
Unha matriz cadrada real é ortogonal [[se e só se]] as súas columnas forman unha [[base ortonormal]] do [[espazo euclidiano]] {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} co [[produto escalar|produto escalar euclidiano]], que tamén e o caso se e só se as súas filas forman unha base ortonormal de {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. 

O [[determinante (matemáticas)|determinante]] de calquera matriz ortogonal é +1 ou −1. Isto despréndese dos feitos básicos sobre os determinantes, como segue:
:<math>1=\det(I)=\det\left(Q^\mathrm{T}Q\right)=\det\left(Q^\mathrm{T}\right)\det(Q)=\bigl(\det(Q)\bigr)^2 .</math>

A inversa non é verdade; ter un determinante de ±1 non é garantía de ortogonalidade, mesmo con columnas ortogonais, como mostra o seguinte contraexemplo.
:<math>\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}</math>

Nas matrices de permutación o determinante coincide coa sinatura, sendo +1 ou −1 xa que a paridade da permutación é par ou impar, pois o determinante é unha función alterna das filas.

Máis forte que a restrición do determinante é o feito de que unha matriz ortogonal sempre pode ser [[matriz diagonalizábel|diagonalizada]] sobre os [[números complexos]] para mostrar un conxunto completo de [[eigenvalor|valores propios]] onde todos eles deben ter [[valor absoluto|módulo (complexo)]] 1.

===Propiedades do grupo===
O inverso de toda matriz ortogonal é de novo ortogonal, así como o produto matricial de dúas matrices ortogonais. De feito, o conxunto de todas as matrices ortogonais {{math|''n'' × ''n''}} satisfai todos os axiomas dun [[grupo (matemáticas)|grupo]]. É un  [[grupo de Lie]] [[espazo compacto|compacto]]  de dimensión {{math|{{sfrac|''n''(''n'' − 1)|2}}}}, chamado [[grupo ortogonal]] e denotado por {{math|O(''n'')}}.

As matrices ortogonais cuxo determinante é +1 forman un  [[subgrupo normal]] [[espazo conexo|conexo]] de {{math|O(''n'')}} de [[índice dun subgrupo|índice]] 2, o [[grupo ortogonal especial]] {{math|SO(''n'')}} de rotacións. O [[grupo cociente]] {{math|O(''n'')/SO(''n'')}} é isomorfo a {{math|O(1)}}, co mapa de proxección escollendo [+1] ou [−1] segundo o determinante. 

As matrices ortogonais co determinante −1 non inclúen a identidade, polo que non forman un subgrupo senón só un [[coset]]; tamén é (separadamente) conexo.

Considere agora as matrices {{math|(''n'' + 1) × (''n'' + 1)}} ortogonais  coa entrada inferior dereita igual a 1. O resto da última columna (e da última fila) deben ser ceros e o produto de dúas matrices calquera ten a mesma forma. O resto da matriz é unha matriz ortogonal {{math|''n'' × ''n''}}; así {{math|O(''n'')}} é un subgrupo de {{math|O(''n'' + 1)}} (e de todos os grupos superiores).

:<math>\begin{bmatrix}
 & & & 0\\
 & \mathrm{O}(n) & & \vdots\\
 & & & 0\\
 0 & \cdots & 0 & 1
\end{bmatrix}</math>

Dado que unha reflexión elemental en forma de [[Matriz de Householder]] pode reducir calquera matriz ortogonal a esta forma restrinxida, unha serie desas reflexións pode levar calquera matriz ortogonal á identidade; polo tanto, un grupo ortogonal é un [[grupo de reflexión]]. A última columna pódese fixar a calquera vector unitario, e cada opción dá unha copia diferente de {{math|O(''n'')}} en {{math|O(''n'' + 1)}}; deste xeito {{math|O(''n'' + 1)}} é un [[fibrado]] sobre a esfera unitaria {{math|''S''<sup>''n''</sup>}} con fibra {{math|O(''n'')}}.

Do mesmo xeito, {{math|SO(''n'')}} é un subgrupo de {{math|SO(''n'' + 1)}}; e calquera matriz ortogonal especial pode xerarse cunha [[Rotación de Givens]] usando un procedemento análogo. A estrutura do fibrado persiste: {{math|SO(''n'') ↪ SO(''n'' + 1) → ''S''<sup>''n''</sup>}}. Unha soa rotación pode producir un cero na primeira fila da última columna, e a series de rotacións {{math|''n'' − 1}} poñerán a cero todas menos a última fila da última columna dunha matriz de rotación {{math|''n'' × ''n''}}. Dado que os planos son fixos, cada xiro só ten un grao de liberdade, o seu ángulo. Por indución, {{math|SO(''n'')}} ten, polo tanto
:<math>(n-1) + (n-2) + \cdots + 1 = \frac{n(n-1)}{2}</math>
graos de liberdade, e tamén o fai {{math|O(''n'')}}.

As matrices de permutación son aínda máis sinxelas; non forman un grupo de Lie, senón só un grupo finito, de orde [[factorial|{{math|''n''!}}]] que é a do [[grupo simétrico]] {{math|S<sub>''n''</sub>}}. Polo mesmo tipo de argumento, {{math|S<sub>''n''</sub>}} é un subgrupo de {{math|S<sub>''n'' + 1</sub>}}. As permutacións pares producen o subgrupo de matrices de permutación do determinante +1, de orde {{math|{{sfrac|''n''!|2}}}} que é o [[grupo alternante]].

===Forma canónica===
De forma máis ampla, o efecto de calquera matriz ortogonal sepárase en accións independentes en subespazos bidimensionais ortogonais. É dicir, se {{mvar|Q}} é ortogonal especial, sempre se pode atopar unha matriz ortogonal {{mvar|P}}, unha [[mudanza de base]] (rotacional), que leva a {{mvar|Q}} en forma diagonal de bloque:

:<math>P^\mathrm{T}QP = \begin{bmatrix}
R_1 & & \\ & \ddots & \\ & & R_k
\end{bmatrix}\ (n\text{ par}),
\ P^\mathrm{T}QP = \begin{bmatrix}
R_1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & R_k & \\ & & & 1
\end{bmatrix}\ (n\text{ impar}).</math>

onde as matrices {{math|''R''<sub>1</sub>, ..., ''R''<sub>''k''</sub>}} son matrices {{nowrap|2 × 2}} de rotación, e coas entradas restantes a cero. 

Excepcionalmente, un bloque de rotación pode ser diagonal, {{math|±''I''}}. Así, negando unha columna se é necesario, e observando que unha reflexión {{nowrap|2 × 2}} diagonaliza a +1 e −1, calquera matriz ortogonal pódese levar á forma
:<math>P^\mathrm{T}QP = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}R_1 & & \\ & \ddots & \\ & & R_k\end{matrix} & 0 \\
0 & \begin{matrix}\pm 1 & & \\ & \ddots & \\ & & \pm 1\end{matrix} \\
\end{bmatrix},</math>

As matrices {{math|''R''<sub>1</sub>, ..., ''R''<sub>''k''</sub>}} dan pares conxugados de valores propios situados na circunferencia unitaria no [[número complexo|plano complexo]]; polo que esta descomposición confirma que todos os [[eigenvalor|valores propios]] teñen [[valor absoluto]] 1. Se {{mvar|n}} é impar, hai polo menos un autovalor real, +1 ou −1; para unha rotación {{nowrap|3 × 3}}, o vector propio asociado a +1 é o eixo de rotación.

===Álxebra de Lie===
Supoña que as entradas de {{mvar|Q}} son funcións diferenciábeis de {{mvar|t}} e que {{math|1=''t'' = 0}} dá {{math|1=''Q'' = ''I''}}. Diferenciar a condición de ortogonalidade
:<math>Q^\mathrm{T} Q = I</math>
produce
:<math>\dot{Q}^\mathrm{T} Q + Q^\mathrm{T} \dot{Q} = 0</math>

A avaliación en {{math|1=''t'' = 0}} ({{math|1=''Q'' = ''I''}}) implica entón
:<math>\dot{Q}^\mathrm{T} = -\dot{Q} .</math>

En termos de grupos de Lie, isto significa que a [[álxebra de Lie]] dun grupo de matrices ortogonais consta de [[matriz antisimétrica|matrices antisimétricas]]. Indo na outra dirección, a [[exponencial dunha matriz]] de calquera matriz antisimétrica é unha matriz ortogonal (de feito, ortogonal especial).

Por exemplo, a física de obxectos tridimensionais que se chama [[velocidade angular]] é unha rotación diferencial e por tanto un vector da álxebra de Lie <math>\mathfrak{so}(3)</math> tanxente a {{math|SO(3)}}. 

Dado {{math|1='''ω''' = (''xθ'', ''yθ'', ''zθ'')}}, sendo {{math|1='''v''' = (''x'', ''y'', ''z'')}} un vector unitario, a forma correcta de [[matriz antisimétrica]] de ''ω'' é 
:<math>
\Omega = \begin{bmatrix}
0 & -z\theta & y\theta \\
z\theta & 0 & -x\theta \\
-y\theta & x\theta & 0
\end{bmatrix} .</math>

A exponencial desta é a matriz ortogonal para a rotación arredor do eixo {{math|'''v'''}} polo ángulo {{mvar|θ}}; facendo {{math|1=''c'' = cos {{sfrac|''θ''|2}}}}, {{math|1=''s'' = sen {{sfrac|''θ''|2}}}}, temos
:<math>\exp(\Omega) = \begin{bmatrix}
1 - 2s^2 + 2x^2 s^2 & 2xy s^2 - 2z sc & 2xz s^2 + 2y sc\\
2xy s^2 + 2z sc & 1 - 2s^2 + 2y^2 s^2 & 2yz s^2 - 2x sc\\
2xz s^2 - 2y sc & 2yz s^2 + 2x sc & 1 - 2s^2 + 2z^2 s^2
\end{bmatrix}.</math>

==Álxebra linear numérica==

===Beneficios===
A [[análise numérica]] aproveita moitas das propiedades das matrices ortogonais para a álxebra linear numérica, e xorden de forma natural. Por exemplo, moitas veces é desexábel calcular unha base ortonormal para un espazo, ou unha mudanza ortogonal de bases; ambos transformacións adoptan a forma de matrices ortogonais. 

Ter determinante ±1 e todos os eigenvalores de magnitude 1 é de gran beneficio para a [[estabilidade numérica]]. Unha implicación é que o [[número de condicionamento]] é 1 (que é o mínimo), polo que os erros non se amplían ao multiplicar cunha matriz ortogonal. Moitos algoritmos, por este motivo, usan matrices ortogonais como as [[reflexión de Householder|reflexións de Householder]] e as [[rotación de Givens|rotacións de Givens]].

As permutacións son esenciais para o éxito de moitos algoritmos, incluíndo o cabalo de batalla da [[eliminación de Gauss]] con pivote parcial (onde as permutacións fan o pivote). Porén, raramente aparecen explicitamente como matrices; a súa forma especial permite unha representación máis eficiente, como unha lista de índices {{mvar|n}}.

Así mesmo, os algoritmos que usan matrices de Householder e Givens normalmente usan métodos especializados de multiplicación e almacenamento. Por exemplo, unha rotación de Givens afecta só a dúas filas dunha matriz que multiplica, mudando unha multiplicación matricial completa de orde {{math|''n''<sup>3</sup>}} a unha orde moito máis eficiente {{mvar|n}}. Cando os usos destas reflexións e rotacións introducen ceros nunha matriz, o espazo libre é suficiente para almacenar datos suficientes para reproducir a transformada e facelo de forma robusta. (Seguindo a  {{harvtxt|Stewart|1976}}, "non" almacenamos un ángulo de rotación, que non é efectivo computacionalmente.)

===Descomposicións===
Unha serie de [[descomposición matricial|descomposicións matriciais]] importantes {{harv|Golub|Van Loan|1996}} implican matrices ortogonais, incluíndo especialmente:

;[[Descomposición QR|Descomposición {{mvar|QR}}]] : {{math|1=''M'' = ''QR''}}, {{mvar|Q}} ortogonal, {{mvar|R}} triangular superior.
;[[Descomposición de valores singulares]] : {{math|1=''M'' = ''U''Σ''V''<sup>T</sup>}}, {{mvar|U}} e {{mvar|V}} matriz ortogonal, {{math|Σ}} diagonal.
;[[Descomposición propia dunha matriz|Desomposición propia dunha matriz simétrica]] (descomposición segundo o [[teorema espectral]]) :{{math|1=''S'' = ''Q''Λ''Q''<sup>T</sup>}}, {{mvar|S}} simétrica, {{mvar|Q}} ortogonal, {{math|Λ}} diagonal.
;[[Descomposición polar]] : {{math|1=''M'' = ''QS''}}, {{mvar|Q}} ortogonal, {{mvar|S}} positiva-semidefinida simétrica.

====Exemplos====
Considere un [[sistema sobredeterminado|sistema sobredeterminado de ecuacións lineares]], como pode ocorrer con medicións repetidas dun fenómeno físico para compensar os erros experimentais. 

Escribimos <math>Ax = b</math>, onde <math>A</math> é de dimensións {{math|''m'' × ''n''}}, {{math|''m'' > ''n''}}.
Unha descomposición {{mvar|QR}} reduce <math>A</math> a {{mvar|R}} triangular superior. Por exemplo, se <math>A</math> é de dimensións {{nowrap|5 × 3}} entón {{mvar|R}} ten a forma
:<math>R = \begin{bmatrix}
\cdot & \cdot & \cdot \\
0 & \cdot & \cdot \\
0 & 0 & \cdot \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.</math>

O problema de [[mínimos cadrados lineares|mínimos cadrados lineares]] consiste en atopar o {{math|'''x'''}} que minimiza <math>||Ax - b||</math>, o que equivale a proxectar {{math|''b''}} no subespazo abranguido polas columnas de <math>A</math>. Asumindo que as columnas de {{mvar|A}} (e, polo tanto, {{mvar|R}}) son independentes, a solución de proxección atópase a partir de {{math|1=''A''<sup>T</sup>''A'''''x''' = ''A''<sup>T</sup>'''b'''}}.

Agora {{math|''A''<sup>T</sup>''A''}} é cadrada ({{math|''n'' × ''n''}}) e invertíbel, e tamén é igual a {{math|''R''<sup>T</sup>''R''}}. Pero as filas inferiores de ceros en {{mvar|R}} son superfluas no produto, que xa está en forma factorizada triangular superior triangular inferior, como na [[eliminación gaussiana]] ([[descomposición de Cholesky]]). Aquí a ortogonalidade é importante non só para reducir {{math|1=''A''<sup>T</sup>''A'' = (''R''<sup>T</sup>''Q''<sup>T</sup>)''QR''}} a {{math|''R''<sup>T</sup>''R''}}, senón tamén para permitir a solución sen aumentar os problemas numéricos.

No caso dun sistema linear que está indeterminado, que se corresponde con unha '''matriz non invertíbel''', a descomposición de valores singulares (SVD) é igualmente útil. Con {{mvar|A}} factorizado como {{math|''U''Σ''V''<sup>T</sup>}}, unha solución satisfactoria usa a [[pseudoinversa de Moore-Penrose]], {{math|''V''Σ<sup>+</sup>''U''<sup>}}, onde {{math|Σ<sup>+</sup>}} só substitúe cada entrada diagonal distinta de cero polo seu recíproco. Estabelece {{math|'''x'''}} como {{math|''V''Σ<sup>+</sup>''U''<sup>T</sup>'''b'''}}.

O caso dunha matriz invertíbel cadrada tamén ten interese. Supoña, por exemplo, que {{mvar|A}} é unha matriz de rotación {{nowrap|3 × 3}} que foi calculada como a composición de numerosas voltas e voltas. A coma flotante non coincide co ideal matemático dos números reais, polo que {{mvar|A}} perdeu gradualmente a súa verdadeira ortogonalidade. Un [[proceso de Gram-Schmidt]] podería [[ortogonalización|ortogonalizar]] as columnas, mais non é o método máis fiábel, nin o máis eficiente nin o máis invariante. 

A [[descomposición polar]] factoriza unha matriz nunha parella de matrices, onde unha delas é a única matriz ortogonal ''máis próxima'' á matriz dada, ou unha das máis próximas se a matriz dada é singular. (A proximidade pódese medir mediante calquera [[norma matricial]] invariante baixo unha mudanza de base ortogonal). 

Para unha matriz case ortogonal, pódese conseguir unha converxencia rápida cara ao factor ortogonal mediante unha variante do "[[Método de Newton]]" debido a {{harvtxt|Higham|1986}}, promediando repetidamente a matriz coa súa transposta inversa. {{harvtxt|Dubrulle|1999}} publicou un método acelerado cun test de converxencia adecuado.

Por exemplo, considere unha matriz non ortogonal para a cal o algoritmo de media simple leva sete pasos
:<math>\begin{bmatrix}3 & 1\\7 & 5\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}1,8125 & 0,0625\\3,4375 & 2,6875\end{bmatrix}
\rightarrow \cdots \rightarrow
\begin{bmatrix}0,8 & -0,6\\0,6 & 0,8\end{bmatrix}</math>
e no que a aceleración recórtao a dous pasos (con {{mvar|γ}} = 0,353553, 0,565685).

:<math>\begin{bmatrix}3 & 1\\7 & 5\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}1,41421 & -1,06066\\1,06066 & 1,41421\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}0,8 & -0,6\\0,6 & 0,8\end{bmatrix}</math>

Gram-Schmidt produce unha solución inferior, mostrada por unha distancia de Frobenius de 8,28659 en lugar do mínimo 8,12404.

:<math>\begin{bmatrix}3 & 1\\7 & 5\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}0,393919 & -0,919145\\0,919145 & 0,393919\end{bmatrix}.</math>

===Matriz ortogonal máis próxima===

O problema de atopar a matriz ortogonal {{mvar|Q}} máis próxima a unha matriz dada {{mvar|M}} está relacionado co [[problema de Procusto ortogonal]]. Hai varias formas diferentes de obter a solución única, a máis sinxela é tomar a [[descomposición en valores singulares]] de {{mvar|M}} e substituír os valores singulares por uns. 

Outro método expresa o {{mvar|R}} explicitamente pero require o uso dunha [[raíz cadrada dunha matriz]]:<ref>[http://people.csail.mit.edu/bkph/articles/Nearest_Orthonormal_Matrix.pdf "Buscando a matriz ortonormal máis próxima"], [[Berthold K.P. Corno]], [[MIT]].</ref>
:<math>Q = M \left(M^\mathrm{T} M\right)^{-\frac 1 2}</math>

Isto pódese combinar co método babilónico para extraer a raíz cadrada dunha matriz para dar unha recorrencia que converxe a unha matriz ortogonal cadráticamente:
:<math>Q_{n + 1} = 2 M \left(Q_n^{-1} M + M^\mathrm{T} Q_n\right)^{-1}</math>
onde {{math|1=''Q''<sub>0</sub> = ''M''}}.

Estas iteracións son estábeis sempre que o [[número de condicionamento]] de {{mvar|M}} sexa inferior a tres.<ref>[http://www.maths.manchester.ac.uk/~nareports/narep91.pdf "Método de Newton para a raíz cadrada da matriz"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110929131330/http://www.maths.manchester.ac.uk/~nareports/narep91.pdf |date=2011-09-29 }}, Nicholas J. Higham, Mathematics of Computation, Number 191846, Volume 19.</ref>

Usando unha aproximación de primeira orde do inverso e a mesma inicialización resulta na iteración modificada:

:<math>N_{n} = Q_n^\mathrm{T} Q_n</math>.
:<math>P_{n} = \frac 1 2 Q_n N_{n}</math>.
:<math>Q_{n + 1} = 2 Q_n + P_n N_n - 3 P_n</math>.

== Spin e pin ==
Un problema técnico sutil afecta algúns usos das matrices ortogonais. Non só os compoñentes do grupo co determinante +1 e −1 non son  [[Espazo conexo|conexos]] entre si, mesmo a compoñente +1, {{math|SO(''n'')}}, non é [[espazo simplemente conexo|simplemente conexo]] (agás SO(1), que é trivial). Así, ás veces é vantaxoso, ou mesmo necesario, traballar cun [[recubrimento (topoloxía)|recubrimento]] de SO(''n''),o [[grupo spin]], {{math|Spin(''n'')}}.

Así mesmo, {{math|O(''n'')}} ten grupos de recubrimento, os [[grupo de pin|grupos de pin]], Pin(''n''). Para {{math|''n'' > 2}}, {{math|Spin(''n'')}} é simplemente conexo e, polo tanto, o grupo de recubrimento universal para {{math|SO(''n'')}}. De lonxe, o exemplo máis famoso dun grupo de spin é {{math|Spin(3)}}, que non é máis que {{math|SU(2)}}, ou o grupo de [[cuaternión]]s unitarios.

Os grupos Pin e Spin atópanse dentro das [[álxebra de Clifford|álxebras de Clifford]], que se poden construír a partir de matrices ortogonais.

==Matrices rectangulares==
{{Principal|Matriz semiortogonal}}

Se {{mvar|Q}} non é unha matriz cadrada, as condicións {{math|1=''Q''<sup>T</sup>''Q'' = ''I''}} e {{math|1=''QQ''<sup>T</sup> = ''I''}} non son equivalentes. A condición {{math|1=''Q''<sup>T</sup>''Q'' = ''I''}} di que as columnas de ''Q'' son ortonormais. Isto só pode ocorrer se {{mvar|Q}} é unha matriz {{math|''m'' × ''n''}} con {{math|''n'' ≤ ''m''}} (debido á dependencia linear). Do mesmo xeito, {{math|1=''QQ''<sup>T</sup> = ''I''}} di que as filas de {{mvar|Q}} son ortonormais, o que require {{math|''n'' ≥ ''m''}}.

Non existe unha terminoloxía estándar para estas matrices. Chámanse de varias maneiras "matrices semi-ortogonais", "matrices ortonormais", "matrices ortogonais" e ás veces simplemente "matrices con filas/columnas ortonormais".

Para o caso {{math|''n'' ≤ ''m''}}, as matrices con columnas ortonormais poden denominarse [[k-marco|k-marcos ortogonais]] e son elementos da [[variedade de Stiefel]].

== Notas ==
{{reflist|30em}}
== Véxase tamén ==
==Bibliografía==
* {{cita revista
 | last1 = Diaconis
 | first1 = Persi
 | author-link1 = Persi Diaconis
 | first2 = Mehrdad |last2= Shahshahani
 | title = The subgroup algorithm for generating uniform random variables
 | journal = Probability in the Engineering and Informational Sciences
 | volume = 1
 | pages = 15–32
 | year = 1987
 | issn = 0269-9648
 | doi = 10.1017/S0269964800000255 
 }}
* {{cita libro
 | last= Dubrulle
 | first=Augustin A.
 | title = An Optimum Iteration for the Matrix Polar Decomposition
 | journal = Electronic Transactions on Numerical Analysis
 | volume = 8
 | pages = 21–25
 | year = 1999
 | url = http://etna.mcs.kent.edu/}}
* {{cita libro
 | last1 = Golub
 | first1 = Gene H.
 | author-link1 = Gene H. Golub
 | first2 = Charles F.|last2=Van Loan|author-link2=Charles F. Van Loan
 | title = Matrix Computations
 | edition = 3/e
 | publisher = Johns Hopkins University Press
 | year = 1996
 | location = Baltimore
 | isbn = 978-0-8018-5414-9 }}
* {{cita revista
 | last = Higham
 | first = Nicholas
 | author-link = Nicholas Higham
 | title = Computing the Polar Decomposition—with Applications
 | journal = SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing
 | volume = 7
 | issue = 4
 | pages = 1160–1174
 | year = 1986
 | issn = 0196-5204
 | doi = 10.1137/0907079 | url = http://eprints.maths.manchester.ac.uk/694/1/high86p.pdf
 }}
* {{cita vevista
 | last1 = Higham
 | first1 = Nicholas
 | author-link1 = Nicholas Higham
 | first2 = Robert |last2=Schreiber
 | title = Fast polar decomposition of an arbitrary matrix
 | journal = SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing
 | volume = 11
 | issue = 4
 | pages = 648–655
 | date = July 1990
 | issn = 0196-5204
 | doi = 10.1137/0911038 | citeseerx = 10.1.1.230.4322
 }} [https://web.archive.org/web/20051016153437/http://www.ma.man.ac.uk/~higham/pap-mf.html]
* {{cita revista
 | last = Stewart
 | first = G. W.
 | author-link = G. W. Stewart
 | title = The Economical Storage of Plane Rotations
 | journal = Numerische Mathematik
 | volume = 25
 | issue = 2
 | pages = 137–138
 | year = 1976
 | doi = 10.1007/BF01462266
 | issn = 0029-599X }}
* {{cita revista
 | last = Stewart
 | first = G. W.
 | author-link = G. W. Stewart
 | title = The Efficient Generation of Random Orthogonal Matrices with an Application to Condition Estimators
 | journal = SIAM Journal on Numerical Analysis
 | volume = 17
 | issue = 3
 | pages = 403–409
 | year = 1980
 | issn = 0036-1429
 | doi = 10.1137/0717034 | bibcode = 1980SJNA...17..403S
 }}
* {{cita revista
 | last = Mezzadri
 | first = Francesco
 | title = How to generate random matrices from the classical compact groups
 | journal = Notices of the American Mathematical Society
 | volume = 54
 | year = 2006 | arxiv = math-ph/0609050
 | bibcode = 2006math.ph...9050M
 }}

=== Outros artigos ===
* [[Sistema biortogonal]]
* [[Ortogonal]]
* [[Ortonormal]]
* [[Matriz nilpotente]]
* [[Valor propio, vector propio e espazo propio]]
=== Ligazóns externas ===
* {{springer|title=Orthogonal matrix|id=p/o070320}}
* [http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/LinearAlgebra/MatrixOrthogonal.html Tutorial and Interactive Program on Orthogonal Matrix]

{{control de autoridades}}

[[Categoría:Matrices]]