Ver o código fonte de «Matemáticas e arte»

[[Ficheiro:Dürer_Melancholia_I.jpg|miniatura|318x318px|As matemáticas na arte: gravado sobre placa de cobre de [[Albrecht Dürer]] (Durero) ''Melancolía I'', 1514. As referencias inclúen un compás para a [[xeometría]], un [[cadrado máxico]] e un romboedro truncado, mentres a medición está indicada polas escalas e o [[reloxo de area]].<ref name="Ziegler">{{Cita novas|apelidos=Ziegler|nome=Günter M.|título=Dürer's polyhedron: 5 theories that explain Melencolia's crazy cube|url=https://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2014/dec/03/durers-polyhedron-5-theories-that-explain-melencolias-crazy-cube|data-acceso=18 de abril de 2021|data=3 de decembro de 2014|lingua=en}}</ref>]]
[[Ficheiro:Paolo_uccello,_studio_di_vaso_in_prospettiva_02.jpg|miniatura|362x362px|Debuxo precursor dos ''[[Wireframe]]'' dun vaso como sólido de revolución, obra de [[Paolo Uccello]].<ref name="ColomboDel Bimbo2005">{{Cita publicación periódica|apelidos=Colombo|nome=C.|apelidos2=Del Bimbo|nome2=A.|apelidos3=Pernici|nome3=F.|título=Metric 3D reconstruction and texture acquisition of surfaces of revolution from a single uncalibrated view|volume=27|número=1|páxinas=99–114|doi=10.1109/TPAMI.2005.14|PMID=15628272|data=2005|revista=IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence|ISSN=0162-8828|lingua=en}}</ref> S. [[XV]]]]
As '''matemáticas e a arte''' están relacionadas de varios xeitos. É frecuente atopar as [[matemáticas]] descritas como unha arte debido á beleza ou elegancia das súas formulacións, e pódese atopar a súa presenza na música, [[danza]], [[pintura]], [[arquitectura]], [[escultura]], [[Arte|artes]] [[Téxtil|téxtiles]], [[cine]]...

Os vínculos de ambas as disciplinas son múltiples e moi diversos, desde o uso de patróns [[Xeometría|xeométricos]], [[Módulo (álxebra)|módulos]] e [[rede]]s, ás aplicacións da perspectiva, creación ou corrección de [[Ilusión óptica|ilusións ópticas]] (desde as [[columnas gregas]] ao [[Op art|Op-Art]]), o uso de distintas medicións con uso de aparellos tecnolóxicos que foron posíbeis grazas ao desenvolvemento das matemáticas ([[Lente (óptica)|lentes]], aplicacións do [[láser]] etc.), até o feito de que as matemáticas foron determinantes en varias [[vangardas]] do [[século XX]].

Este artigo céntrase na influencia das matemáticas nas [[artes visuais]], máis do que a análise das obras de arte en base ás matemáticas. En [[2006]] un estudo afirmou que as pinceladas das [[Estrela (astronomía)|estrelas]] e o [[ceo]] pintados o [[19 de xuño]] de [[1889]] por [[Vincent van Gogh]] no seu cadro ''[[A noite estrelada|A noite estrelecida]]'' se axustan á [[ecuación]] de [[turbulencia]]s creada en 1941 por [[Andrei Kolmogorov]]. Van Gogh era afeccionado á [[astronomía]] e mesmo procuraba explicacións científicas do cromatismo das estrelas, porén non cabe inferir unha influencia directa das teorías das turbulencias nesta obra.

As matemáticas e a arte teñen longa relación histórica, desde os principios da historia da arte até artistas recentes como [[Liz Paley]]. Está documentada a existencia de artistas matemáticos desde o [[Século -IV|século IV a. C.]], cando o [[Escultura|escultor]] grego [[Policleto]] escribiu o seu ''Canon'', prescribindo proporcións baseadas na relación <math>1:\sqrt{2}</math> para o [[Nudez na arte|espido]] masculino ideal. Curiosamente, cada vez son máis frecuentes presuntas evidencias do uso do [[número áureo]] na arte e a arquitectura antigas, aínda que sen bases fiables que apoien as teorías. Mesmo algunhas obras poden ter relación casual e non causal coa proporción áurea. No [[Renacemento]] italiano, Luca Pacioli escribiu o influente tratado ''De divina proportione'' (1509), ilustrado con xilogravuras de [[Leonardo da Vinci]], sobre o uso da proporción áurea na arte. Outro italiano, [[Piero della Francesca]], desenvolveu as ideas de [[Euclides]] sobre a [[perspectiva (gráfica)|perspectiva]] en tratados como ''De Prospectiva Pingendi'' e nas súas propias pinturas. O gravador [[Albrecht Dürer|Dürer]] efectuou numerosas referencias ás matemáticas na súa obra. Nos tempos modernos, o [[Artes gráficas|artista gráfico]] [[Maurits Cornelis Escher|M. C. Escher]] fixo un uso intensivo do teselado e da [[xeometría hiperbólica]] coa axuda do matemático [[Harold Scott MacDonald Coxeter]], mentres que o movemento [[De Stijl]] liderado por [[Theo van Doesburg]] e [[Pieter Mondrian]] abarcou explicitamente as formas xeométricas. As matemáticas inspiraron tamén as artes téxtiles de teares, alfombras e outras creacións. Na [[arte islámica]], as simetrías son evidentes en formas tan variadas como o ''girih'' persa e o [[azulexo]] ''zellige'' marroquí, as [[Bóveda|bóvedas]] decoradas etc.

O influxo directo das matemáticas sobre a arte evidénciase no uso de ferramentas como a perspectiva, a análise da [[simetría]], ou a presenza en diversas obras de obxectos matemáticos que exerceron atracción sobre artistas de distintas épocas, como os [[poliedro]]s (en pinturas e debuxos de [[Albrecht Dürer|Dürer]], [[Marcus Wenninger]], [[Wenzel Jamnitzer]], [[Lorenz Stoer]], [[Giorgio de Chirico]] e outros, e por suposto na escultura e na arquitectura), ou a [[banda de Möbius]] descuberta de maneira independente polos matemáticos [[August Ferdinand Möbius|August F. Möbius]] e [[Johan Benedict Listing|J. Benedict Listing]], e polo escultor [[Max Bill]], quen pensou ser o primeiro en describir a forma.

Conceptos matemáticos como a [[recursividade]] e paradoxos lóxicos pódense ver nas pinturas de [[René Magritte]] e en gravados do citado [[Maurits Cornelis Escher|M. C. Escher]]. A arte computacional a miúdo fai uso de [[Fractal|fractais]], incluído o [[conxunto de Mandelbrot]], e ás veces, explora obxectos matemáticos como os autómatas celulares. De forma controvertida, ligando a [[óptica]] coa pintura, o artista [[David Hockney]] argumentou que desde o [[Renacemento]] en diante a maioría dos artistas utilizaron a [[cámara lúcida]] para debuxar representacións precisas de escenas; e o arquitecto [[Philip Steadman]] argumentou de maneira similar que [[Johannes Vermeer]] usou a [[cámara escura]] na composición das súas pinturas.

Outras relacións inclúen a análise algorítmica das obras de arte mediante a fluorescencia de [[raios X]], ou o achado de que os ''batik'' tradicionais de diferentes rexións da [[Xava|illa de Xava]] teñen composicións fractais. A arte serviu en ocasións como estímulo para a investigación matemática, especialmente no caso da teoría da perspectiva de [[Filippo Brunelleschi]], que finalmente levou a [[Girard Desargues]] ao desenvolvemento da [[xeometría proxectiva]]. Unha visión persistente, baseada en última instancia na noción pitagórica da harmonía musical, sostén que o universo está organizado segundo relacións numéricas, que Deus é o xeómetra do mundo e que, por tanto, a xeometría é sacra, tal como se reflicte en obras de arte como ''O ancián dos días'' de [[William Blake]].

== Orixes: desde a antiga Grecia até o Renacemento ==

=== ''Canon'' e ''simetría'' de Policleto ===
[[Ficheiro:Doryphoros_MAN_Napoli_Inv6011-2.jpg|miniatura|Copia romana en mármore do ''[[Doríforo]]'' de [[Policleto]].]]
{{Artigo principal|Policleto}}
[[Policleto]] (c. 450–420&nbsp;a.C.) foi un [[Escultura|escultor]] [[Pobo grego|grego]] da escola de [[Argos, Grecia|Argos]]. A temática das súas obras consistía principalmente en atletas. Segundo o matemático Xenócrates, Policleto foi un dos escultores máis importantes da [[Antigüidade clásica|Antigüidade]] polo seu traballo no ''[[Doríforo]]'' e na estatua de [[Hera]].<ref name="Stewart">{{Cita publicación periódica|apelidos=Stewart|nome=Andrew|título=Polykleitos of Argos," One Hundred Greek Sculptors: Their Careers and Extant Works|data=novembro 1978|volume=98|páxinas=122–131|doi=10.2307/630196|JSTOR=630196|revista=The Journal of Hellenic Studies|ISSN=0075-4269|editorial=The Society for the Promotion of Hellenic Studies|lingua=en}}</ref> As súas esculturas poden non ser tan famosas como as de [[Fidias]], pero tamén foron moi admiradas. No seu ''Canon'', un tratado que escribiu para documentar as proporcións "perfectas" da [[anatomía]] do espido masculino introduciu un enfoque matemático para esculpir o corpo humano.

Utilizaba a lonxitude da falanxeta do [[Dedo maimiño|maimiño da man]] de módulo básico para determinar as proporcións do corpo humano.<ref name="Tobin">{{Cita publicación periódica|apelidos=Tobin, Richard|título=The ''Canon'' of Polykleitos|volume=79|número=4|data=October 1975|páxinas=307–321|doi=10.2307/503064|JSTOR=503064}}</ref> Multiplicaba a súa lonxitude por <math>\sqrt{2}</math> para obter a distancia da segunda [[Falanxe (ósos)|falanxe]] (falanxina) e multiplicaba a lonxitude novamente por <math>\sqrt{2}</math> para obter a lonxitude da terceira falanxe. A continuación, tomaba a lonxitude dese [[dedo]] e multiplicábaa por <math>\sqrt{2}</math> para obter a lonxitude da palma desde a base do dedo até o [[cúbito]]. Esta serie xeométrica de medidas avanza até formar o brazo, o tórax e o corpo completo con todas as súas partes.<ref name="Lawton">{{Cita publicación periódica|apelidos=Lawton|nome=Arthur J.|título=Pattern, Tradition and Innovation in Vernacular Architecture|data=2013|volume=36|url=http://www.pioneeramerica.org/past2013/past2013artlawton.html|cita=A figura base é un cadrado da lonxitude e largura da falanxe distal do dedo pequeno. As súas diagonais viradas cara un lado transforman o cadrado nun rectángulo <math>1:\sqrt{2}</mathZ. Na figura 5, esta figura rectangular marca o largo e a lonxitude da falanxe medial adxacente. A lonxitude da falanxe medial xírase en diagonal para obter a falanxe proximal e, de xeito semellante, dende alí ata o pulso, dende o pulso ata o cóbado e dende o cóbado ata a parte superior do ombreiro. Cada novo paso avanza o punto de pivote da diagonal.|data-acceso=18 de abril de 2021|revista=Past}}</ref>

A influencia do ''Canon'' de Policleto é inmensa na escultura da [[antiga Grecia]], [[Roma antiga|Roma]] e o [[Renacemento]], e numerosos escultores seguiron as súas prescricións. Aínda que non se conserva ningunha das súas obras orixinais, as copias romanas mostran o seu canon ideal e a súa precisión matemática. Algúns estudosos argumentan que o pensamento pitagórico influíu en Policleto, aplicando os conceptos matemáticos básicos da xeometría grega, como a relación, a proporción e a ''simetría'' (en grego significa "harmonía nas proporcións") e convérteos nun sistema capaz de describir a forma humana a través dunha serie de series xeométricas continuas.<ref name="Raven">{{Cita publicación periódica|apelidos=Raven|nome=J. E.|título=Polyclitus and Pythagoreanism|data=xullo 1951|volume=1|número=3–4|páxinas=147–152|doi=10.1017/s0009838800004122|revista=The Classical Quarterly|ISSN=0009-8388|lingua=en|editor=The Classical Association}}</ref><ref name="Tobin"/>

=== Perspectiva e proporción ===
{{Artigo principal|Perspectiva (gráfica)}}
[[Ficheiro:Brunelleschi's_perspective_experiment.jpg|miniatura|Experimento de [[Filippo Brunelleschi|Brunelleschi]] sobre a perspectiva.]]
Na Antigüidade clásica, en vez de axustar o tamaño das figuras dunha composición de acordo coa súa distancia ao observador (segundo as regras da perspectiva), os pintores establecían o tamaño de obxectos e figuras segundo a súa importancia temática. Na Idade Media, algúns artistas usaron a perspectiva invertida para salientaren determinados motivos. O matemático musulmán [[Alhazen]] (Ibn al-Haytham), describiu unha teoría xeométrica da óptica no seu ''Libro de Óptica'' en 1021, e aínda que non a aplicou á arte, influíu en artistas e científicos posteriores, chegando a ser considerado un dos pais do método científico.<ref name="StAndrews">{{Cita web|título=Mathematics and art – perspective|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Art.html|editorial=Universidade de St Andrews|data-acceso=1 de setembro de 2015|data=xaneiro de 2003|páxina-web=history.mcs.st-and.ac.uk|apelidos=O'Connor|nome=J. J.|apelidos2=Robertson|nome2=E. F.|lingua=en}}</ref> O Renacemento viu o rexurdir das ideas gregas e romanas clásicas na cultura, incluído o estudo das matemáticas para comprender a [[natureza]] e a arte. Dous motivos principais levaron os artistas de finais da Idade Media e do Renacemento cara ás matemáticas: en primeiro lugar, os pintores necesitaban descubrir como representar escenas tridimensionais nun lenzo bidimensional; e en segundo lugar, tanto os filósofos como os artistas estaban convencidos de que as matemáticas eran a esencia do mundo físico e que todo o universo, incluídas as artes, se podía explicar en termos numéricos.<ref name="Emmer">{{Cita libro|apelidos-editor=Emmer|nome-editor=Michelle|título=The Visual Mind II|editorial=MIT Press|data=2005|ISBN=9780262050760|url=https://archive.org/details/visualmindartmat0000unse|ano=2005|lugar=Cambridge, Mass / Londres|lingua=en}}</ref>

Os rudimentos da perspectiva chegaron con [[Giotto di Bondone|Giotto]] (1266/7-1337), que tentou debuxar usando un método [[álxebra|alxebraico]] para determinar as localización das liñas distantes. En 1415, o arquitecto italiano [[Filippo Brunelleschi|Brunelleschi]] e o seu amigo [[Leon Battista Alberti|Alberti]] demostraron en [[Florencia]] o método necesario para aplicar a perspectiva, utilizando o [[Semellanza (xeometría)|principio de semellanza]] tal como o formulou [[Euclides]] para determinar a altura aparente de obxectos distantes.<ref>{{Cita libro||apelidos=Vasari|nome=Giorgio|ligazónautor=Giorgio Vasari|data=1550|título=Lives of the Artists|editorial=Torrentino|páxina=Chapter on Brunelleschi}}</ref><ref>{{Cita libro|apelidos=Alberti|nome=Leon Battista|apelidos2=Spencer|nome2=John R.|título=On Painting|data=1956|editorial=Yale University Press|url=http://www.noteaccess.com/Texts/Alberti/}}</ref> Aínda que se perderon as pinturas de Brunelleschi, os frescos de [[Masaccio]] da Santísima Trindade mostran os seus principios.<ref name="StAndrews" /><ref>{{Cita libro|apelidos=Field|nome=J. V.|título=The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance|url=https://archive.org/details/inventionofinfin0000fiel|data=1997|editorial=Oxford University Press|ISBN=978-0-19-852394-9}}</ref><ref>{{Cita web|título=Art History Resources|url=http://arthistoryresources.net/renaissance-art-theory-2012/perspective.html|data-acceso=5 de setembro de 2015}}</ref>

O pintor italiano [[Paolo Uccello]] (1397-1475) estaba fascinado pola perspectiva, como mostran as súas pinturas da ''[[Batalla de San Romano]]'' (c. 1435–1460): as lanzas rotas converxen segundo liñas de perspectiva.<ref name="Hart">{{Cita web|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/art.html|título=Polyhedra in Art|apelidos=Hart|nome=George W.|ligazónautor=George W. Hart|data-acceso=24 de xuño de 2015}}</ref><ref name="CunninghamReich2014">{{Cita libro|apelidos=Cunningham|nome=Lawrence|apelidos2=Reich|nome2=John|apelidos3=Fichner-Rathus|nome3=Lois|título=Culture and Values: A Survey of the Western Humanities|url=https://books.google.com/books?id=0t0bCgAAQBAJ&pg=PA375|data=1 de xaneiro de 2014|editorial=Cengage Learning|ISBN=978-1-285-44932-6|páxina=375|cita=que ilustran a fascinación de Uccello pola perspectiva. Os combatentes amóldanse a un campo de batalla cheo de lanzas rotas caídas sobre unha cuadrícula virtual próxima e apuntan cara a un punto de fuga en algures na distancia.}}</ref>

O pintor [[Piero della Francesca]] (c. 1415–1492) exemplificou este cambio no pensamento do Renacemento italiano, axuntando a súa condición de artista coa de experto [[matemático]] e [[Xeometría|xeómetra]], autor de libros sobre espazo xeométrico e perspectiva, incluíndo ''De Prospectiva pingendi'' (Sobre a perspectiva para pintar), ''Trattato d'Abaco'' (Tratado do [[Ábaco]]), e ''De corporibus regularibus'' (Sobre os Sólidos Regulares).<ref>{{Cita libro|apelidos=della Francesca|nome=Piero|título=De Prospectiva Pingendi|apelidos-editor=G. Nicco Fasola|lugar=Florence|ano=1942}}</ref><ref>{{Cita libro|apelidos=della Francesca, Piero|título=Trattato d'Abaco|apelidos-editor=Arrighi|nome-editor=G.|lugar=Pisa|ano=1970}}</ref><ref>{{Cita libro|apelidos=della Francesca|nome=Piero|título=L'opera "De corporibus regularibus" di Pietro Franceschi detto della Francesca usurpata da Fra Luca Pacioli|apelidos-editor=Mancini|apelidos=G.|ano=1916}}</ref>

O historiador [[Giorgio Vasari|Vasari]] na súa obra ''[[Le vite de' più eccellenti pittori, scultori e architettori]]'' chámao o "xeómetra máis grande do seu tempo, ou quizais de calquera época".<ref>{{Cita libro|apelidos=Vasari, G.|título=Le Opere, volume 2|apelidos-editor=G. Milanesi|data=1878|páxina=490}}</ref> O interese de Piero della Francesca pola perspectiva pódese ver en pinturas súas coma o ''Políptico de San Antonio'', o ''Retablo de Santo Agostino'' e ''Cristo na columna''.<ref>{{Cita libro|título=Piero della Francesca|url=https://archive.org/details/pierodellafrance00zuff|editorial=L'Unità – Mondadori Arte|ano=1991|páxina=[https://archive.org/details/pierodellafrance00zuff/page/n52 53]}}</ref> O seu traballo influíu en matemáticos e artistas posteriores, como en [[Luca Pacioli]] na súa obra ''De divina proportione'', e en [[Leonardo da Vinci]]. Estudou matemáticas clásicas e os traballos de [[Arquímedes]], e aprendeu aritmética comercial en "escolas do ábaco".<ref>{{Cita libro|apelidos=Heath|nome=T.L.|título=The Thirteen Books of Euclid's Elements|url=https://archive.org/details/bub_gb_lxkPAAAAIAAJ|editorial=Cambridge University Press|ano=1908|páxina=[https://archive.org/details/bub_gb_lxkPAAAAIAAJ/page/n101 97]}}</ref> O formato dos seus escritos lembra ao dos libros de texto da escola do ábaco, seguindo moi posiblemente o estilo do ''Liber abaci'', publicado en [[1202]] por Leonardo de Pisa (coñecido como [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]]).<ref>{{Cita libro|apelidos=Grendler, P.|título=What Piero Learned in School: Fifteenth-Century Vernacular Education|apelidos-editor=M.A. Lavin|editorial=University Press of New England|ano=1995|páxinas=161–176}}</ref> Alberti explicou no seu tratado de 1435 ''De pictura'' que: "Os raios de luz viaxan en liña recta desde os puntos na escena observada até o ollo, formando unha especie de [[Pirámide (construción)|pirámide]] co ollo como vértice". Unha pintura construída mediante a perspectiva lineal é unha sección transversal desa pirámide.<ref>{{Cita libro|apelidos=Alberti|nome=Leon Battista|título=On Painting|url=https://archive.org/details/onpainting0000albe|apelidos-editor=Kemp|nome-editor=Martin|editorial=Penguin Classics|ano=1991}}</ref>

En ''De Prospectiva Pingendi'', Piero transformou as súas observacións empíricas da forma en que os aspectos dunha figura cambian co punto de vista, en probas matemáticas. O seu tratado parte do traballo de Euclides: define o punto como "a cousa máis pequena que o ollo comprende".<ref name="Emmer" /><ref>No italiano de Piero della Francesca: "Una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere"</ref> Utiliza o [[Dedución|razoamento dedutivo]] para guiar o lector á representación en perspectiva dun corpo tridimensional.<ref>{{Cita web|apelidos=Peterson|nome=Mark|url=http://www.mtholyoke.edu/courses/rschwart/mac/Italian/geometry.shtml|título=The Geometry of Piero della Francesca|cita=despois dalgunhas construcións elementais para introducir a idea de que o tamaño aparente dun obxecto é realmente o seu ángulo subtendido no ollo, e referíndose aos Libros I e VI dos Elementos de Euclides e á Óptica de Euclides, recorre, na Proposición 13, á representación dun cadrado deitado no chan diante do espectador. Que debería debuxar realmente o artista? Despois disto, constrúense obxectos no cadrado (baldosas, por exemplo, para representar un chan de baldosas) e constrúense os obxectos correspondentes en perspectiva; no Libro II érguense prismas sobre estes obxectos planos, para representar casas, columnas etc.; pero a base do método é o cadrado orixinal, do que segue todo o demais|data-acceso=15 de abril de 2021|data-arquivo=01 de xullo de 2016|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20160701204113/https://www.mtholyoke.edu/courses/rschwart/mac/Italian/geometry.shtml|url-morta=yes}}</ref>

O artista [[David Hockney]] argumentou no seu libro ''Secret Knowledge: Rediscovering the lost techniques of the Old Masters'' que os artistas comezaron a usar unha cámara lúcida a partir da década de 1420, o que deu como resultado un cambio repentino na precisión e no realismo en moi pouco tempo, e que esta práctica foi continuada polos principais artistas, incluídos [[Jean Auguste Dominique Ingres|Ingres]], [[Jan van Eyck|Van Eyck]] e [[Caravaggio]].<ref>{{Cita libro|título=Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters|ano=2006|editorial=Thames and Hudson|ISBN=978-0-500-28638-8}}</ref> Os críticos non se poñen de acordo sobre se a tese de Hockney é correcta ou non.<ref>{{Cita web|título=Hockney's 'Lucid' Bomb At the Art Establishment|url=https://www.washingtonpost.com/wp-srv/photo/essays/vanRiper/030220.htm|editorial=The Washington Post|data-acceso=4 de setembro de 2015}}</ref><ref>{{Cita novas|apelidos=Marr|nome=Andrew|título=What the eye didn't see|url=https://www.theguardian.com/theobserver/2001/oct/07/featuresreview.review1|data-acceso=4 de setembro de 2015|data=7 de outubro de 2001}}</ref> Do mesmo xeito, o arquitecto Philip Steadman argumentou tamén con controversia que [[Johannes Vermeer]] usara un dispositivo diferente, unha [[cámara escura]], para axudalo a crear as súas pinturas.<ref>{{Cita web|título=An Interview with Philip Steadman|url=http://www.essentialvermeer.com/interviews_newsletter/steadman_interview.html#.VeqxKJdUWHg|editorial=Essential Vermeer|data-acceso=5 de setembro de 2015|data=25 de abril de 2003}}</ref><ref>{{Cita libro|apelidos=Steadman|nome=Philip|título=Vermeer's Camera: Uncovering the Truth Behind the Masterpieces|data=2002|editorial=Oxford|ISBN=978-0-19-280302-3|url=https://archive.org/details/vermeerscameraun0000stea}}</ref>
[[Ficheiro:De_divina_proportione_-_Vigintisex_Basium_Planum_Vacuum.jpg|miniatura|217x217px|Rombicuboctaedro oco en perspectiva, obra de [[Leonardo da Vinci|Leonardo]].]]
En [[1509]], [[Luca Pacioli]] (c. 1447-1517) publicou ''De divina proportione'' sobre a relación das [[matemáticas]] e a [[arte]] a través da [[Proporcionalidade|proporción]], abordando mesmo por este método cuestións como a representación do rostro humano. [[Leonardo da Vinci]] (1452–1519) ilustrou o texto con gravados de sólidos regulares mentres estudaba con Pacioli na década de 1490. Os debuxos de Leonardo son probablemente as primeiras ilustracións realistas de sólidos xeométricos reducidos a un armazón de arestas.<ref>{{Cita web|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/pacioli.html|título=Luca Pacioli's Polyhedra|apelidos=Hart|nome=George|ligazónautor=George W. Hart|data-acceso=13 de agosto de 2009}}</ref> Figuras como o rombicuboctaedro foron das primeiras a ser debuxadas así para mostrar a perspectiva mediante a superposición das arestas  en primeiro plano sobre as do fondo, que podían á súa vez verse polos ocos das caras. O traballo discute a perspectiva nos traballos de [[Piero della Francesca]], Melozzo dá Forlì e Marco Palmezzano.<ref>{{Cita novas|apelidos=Morris|nome=Roderick Conway|título=Palmezzano's Renaissance: From shadows, painter emerges|url=https://www.nytimes.com/2006/01/27/arts/27iht-conway.html?pagewanted=all&_r=0|data-acceso=22 de xullo de 2015|data=27 de xaneiro de 2006}}</ref>

Da Vinci estudou a ''Summa'' de Pacioli, da que copiou as táboas de proporcións.<ref>{{Cita web|url=http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit14/unit14.html|apelidos=Calter, Paul|título=Geometry and Art Unit 1|editorial=[[Dartmouth College]]|data-acceso=13 de agosto de 2009|data-arquivo=21 de agosto de 2009|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20090821025325/http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit14/unit14.html|url-morta=yes}}</ref> Na [[Gioconda]] e na [[A Última Cea|Última Cea]], incorporou unha perspectiva lineal cun punto de fuga para obter unha aparencia de profundidade.<ref>{{Cita libro|apelidos=Brizio|nome=Anna Maria|título=Leonardo the Artist|url=https://archive.org/details/leonardoartist00briz|editorial=McGraw-Hill|ano=1980}}</ref> [[A Última Cea (Leonardo)|''A Última Cea'']] ideouse cunha proporción estreita de 12:6:4:3, do mesmo xeito que a ''A escola de Atenas'' de [[Rafael]] inclúe a Pitágoras cunhas táboas de proporcións ideais, sacras para os pitagóricos.<ref name="Ladwein2006">{{Cita libro|título=Leonardo Da Vinci, the Last Supper: A Cosmic Drama and an Act of Redemption|url=https://books.google.com/books?id=wMFem_x1M04C&pg=PA62|ano=2006|editorial=Temple Lodge Publishing|ISBN=978-1-902636-75-7|páxinas=61–62}}</ref><ref>{{Cita libro|apelidos=Turner|nome=Richard A.|título=Inventing Leonardo|editorial=Alfred A. Knopf|ano=1992}}</ref> No ''[[O home de Vitruvio|Home de Vitruvio]]'', Leonardo expresou as ideas do arquitecto romano [[Marco Vitruvio]], mostrando a figura masculina centrándoa nun círculo e nun cadrado.<ref>{{Cita web|apelidos=Wolchover|nome=Natalie|título=Did Leonardo da Vinci copy his famous 'Vitruvian Man'?|url=http://www.nbcnews.com/id/46204318/ns/technology_and_science-science/#.Vi_b7msvuHg|editorial=NBC News|data-acceso=27 de outubro de 2015|data=31 de xaneiro de 2012}}</ref>

Xa no [[Século XV|s. XV]], a perspectiva curvilínea atopou camiño nas pinturas de artistas interesados nas distorsións da imaxe. O ''[[O matrimonio Arnolfini|Retrato do matrimonio Arnolfini]]'' , pintado por [[Jan van Eyck]] en 1434, contén un espello convexo con reflexos das persoas na escena, mentres que o pintor Parmigianino, no seu ''Autorretrato nun espello convexo'' ([[1524]]), mostra a cara case sen distorsión do artista no centro, cun fondo moi curvado e a man do artista ao redor do bordo.<ref>{{Cita publicación periódica|apelidos3=Kang|nome3=S. B.|url=http://research.microsoft.com/pubs/72436/Criminisi_ReflectionsOfReality_2003.pdf|título=Reflections of Reality in Jan van Eyck and Robert Campin|volume=37|número=3|páxinas=109–121|ano=2004|doi=10.3200/hmts.37.3.109-122}}</ref><ref name="Cucker299">{{Cita libro|apelidos=Cucker|nome=Felix|título=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics|url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck|data=2013|editorial=Cambridge University Press|ISBN=978-0-521-72876-8|páxinas=299–300<!--Parmigianino-->, 306–307<!--van Eyck-->}}</ref>

O espazo tridimensional pode representarse de maneira convincente na arte, como no [[debuxo técnico]], por medios distintos á perspectiva. Os sistemas de proxección oblicua, incluída a perspectiva cabaleira (utilizada por artistas militares franceses para representar fortificacións no século XVIII), foron utilizados de forma continua por artistas chineses desde o primeiro ou segundo século até o século XVIII. Os chineses adquiriron a técnica da India, que a adquiriu da Antiga Roma. A proxección oblicua tamén aparece na arte xaponesa, como nas pinturas [[Ukiyo-e]] de [[Torii Kiyonaga]] (1752–1815).<ref name="Cucker269">{{Cita libro|apelidos=Cucker|nome=Felix|título=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics|url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck|data=2013|editorial=Cambridge University Press|ISBN=978-0-521-72876-8|páxinas=[https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck/page/269 269]–278}}</ref>
<gallery perrow="6" widths="200">
Ficheiro:Pacioli De Divina Proportione Head Equilateral Triangle 1509.jpg|Gravado de Luca Pacioli de ''De divina proportione'' ([[1509]]) cun [[triángulo equilátero]] sobre un rostro humano.
Ficheiro:Camera Lucida in use drawing small figurine.jpg|[[Cámara lúcida]] en uso. ''[[Scientific American]]'', [[1879]].
Ficheiro:Camera obscura2.jpg|Ilustración dun artista utilizando unha [[cámara escura]]. Século [[XVII]].
Ficheiro:Da Vinci Vitruve Luc Viatour.jpg|Proporción: O ''[[Home de Vitruvio]]'' de [[Leonardo da Vinci|Leonardo]], c. [[1490]].
Ficheiro:Masaccio, trinità.jpg|Teoría da perspectiva de [[Filippo Brunelleschi]]: la ''Trinità'' de [[Masaccio]], c. [[1426]]–[[1428]], na Basílica de Santa María Novella.
Ficheiro:Della Pittura Alberti perspective pillars on grid.jpg|Diagrama de [[Leon Battista Alberti]] da súa obra ''De pictura'' ([[1435]]), con piares en perspectiva sobre unha cuadrícula.
Ficheiro:Piero - The Flagellation.jpg|[[Perspectiva]] de [[Piero della Francesca]] na ''Flaxelación de Cristo'', c. [[1455]]–[[1460]].
Ficheiro:The Arnolfini Portrait, détail (2).jpg|[[Perspectiva curvilínea]]: Espello curvo no ''[[O matrimonio Arnolfini|Retrato de Giovanni Arnolfini e a súa dona]]'' de [[Jan van Eyck]], [[1434]]
Ficheiro:Parmigianino Selfportrait.jpg|[[Parmigianino]], ''Autorretrato nun espello convexo'', c. [[1523]]–1524
Ficheiro:Pythagoras with tablet of ratios.jpg|Pitágoras cunha táboa de proporcións, na ''Escola de Atenas'' de [[Rafael Sanzio]], [[1509]].
Ficheiro:Xu Yang - Entrance and yard of a yamen.jpg|[[Proxección oblicua]]: ''Entrada e patio dun iamen''. Detalle do rolo sobre a cidade de [[Suzhou]], obra de Xu Yang encargada polo emperador [[Qianlong]]. [[Século XVIII]].
Ficheiro:3 Brettspiele.jpg|[[Proxección oblicua]]: mulleres xogando [[shōgi]], [[go]] e [[Sugoroku|ban-sugoroku]]. Pintura de [[Torii Kiyonaga]], [[Xapón]], c. [[1780]].
</gallery>

=== Proporción áurea ===
O [[número áureo]] (aproximadamente igual a 1.618) xa era coñecido por [[Euclides]].<ref>{{Cita web|título=Euclid's Elements, Book II, Proposition 11|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookII/propII11.html|editorial=Clark University|data-acceso=24 de setembro de 2015|data=1996}}</ref> A proporción áurea foi reivindicada de forma persistente en tempos modernos pola súa presunta utilización na arte e especialmente na arquitectura do antigo Exipto, Grecia e outras culturas sen evidencias fiables.<ref>{{Cita publicación periódica|apelidos3=Destefano, G. A.|título=The Golden Proportion and Beauty|volume=34|número=4|páxinas=382–386|data=1964|doi=10.1097/00006534-196410000-00007}}</ref><ref>{{Cita libro|apelidos=Mainzer, Klaus|título=Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science|editorial=Walter de Gruyter|data=1996|páxina=118}}</ref><ref>{{Cita web|url=http://mathsforeurope.digibel.be/amphi.htm|título=Mathematical properties in ancient theatres and amphitheatres|data-acceso=29 de enero de 2014|urlarquivo=https://web.archive.org/web/20170715212252/http://mathsforeurope.digibel.be/amphi.htm|dataarquivo=15 de xullo de 2017|url-morta=yes}}</ref><ref>{{Cita web|url=http://www.the-colosseum.net/architecture/ellipsis.htm|título=Architecture: Ellipse?|editorial=The-Colosseum.net|data-acceso=29 de enero de 2014|data-arquivo=11 de decembro de 2013|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20131211055626/http://www.the-colosseum.net/architecture/ellipsis.htm|url-morta=yes}}</ref><ref name="Markowsky">{{Cita publicación periódica|apelidos=Markowsky, George|url=http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/maa/markowsky.pdf|título=Misconceptions about the Golden Ratio|volume=23|número=1|páxinas=2–19|data=January 1992|doi=10.2307/2686193|JSTOR=2686193|data-acceso=2 de abril de 2019|urlarquivo=https://web.archive.org/web/20080408200850/http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/maa/markowsky.pdf|dataarquivo=8 de abril de 2008}}</ref>

Esta situación pode derivar en parte da confusión da "relación áurea" coa "medida dourada" ou "regra de ouro", que para os antigos gregos significaba "evitar o exceso en calquera dirección", non unha relación xeométrica.<ref name="Markowsky"/> Desde o século XIX, moitos expertos e afeccionados á ''piramidoloxía'' argumentaron utilizando dubidosos razoamentos matemáticos para achar a proporción de ouro no deseño das pirámides, continuando a fantasía en filmes de historia-ficción.<ref>Por exemplo, hai afirmacións como: ''A relación do lado inclinado á metade da lonxitude da base é 1,619, menos do 1% con respecto á proporción áurea, o que implica o uso do [[triángulo de Kepler] ] (ángulo entre os lados de 51°49')''. É máis probable que as pirámides fosen feitas con [[Triángulos rectángulos especiais|3-4-5 triángulos]] (ángulo entre os lados 53°8'), coñecido polo [[Papiro de Ahmes]]; ou co triángulo con relación base/hipotenusa 1:4/π (ángulo da cara 51°50').</ref><ref>{{Cita libro|título=Back in Time 3104 B.C. to the Great Pyramid|url=https://archive.org/details/backintime3104bc0000tase|editorial=SOC Publishers|data=1990}}</ref><ref>{{Cita libro|título=Gnomon: From Pharaohs to Fractals|volume=20|páxinas=523|editorial=Princeton University Press|data=1999|ISBN=978-0-691-00514-0|bibcode=1999EJPh...20..523G}}</ref> Afirmouse que no [[Partenón]], un templo do século V a. C. en Atenas, utilízase a proporción áurea na súa [[fachada]] e no seu plano de planta, pero estas afirmacións tamén son refutadas polas medidas do monumento.<ref>{{Cita libro|apelidos=Huntley, H.E.|título=The Divine Proportion|editorial=Dover|ano=1970}}</ref><ref>{{Cita libro|apelidos=Hemenway, Priya|ano=2005|título=Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science|editorial=Sterling|páxina=96}}</ref><ref>{{Cita web|título=Mathematics of the Parthenon|url=http://www.mathematicsmagazine.com/Articles/Mathematics_ofTheParthenon.php#.VYqGl0Z0dIQ|editorial=Mathematics Magazine|data-acceso=24 de junio de 2015}}</ref>

Da Gran Mesquita de Kairuán en Tunes tamén se afirmou que utilizou a proporción áurea no seu deseño, pero a citada proporción non aparece nas partes orixinais da mesquita.<ref>{{Cita publicación periódica|url=http://www.nexusjournal.com/BouMaz.html|título=The Use of the Golden Section in the Great Mosque of Kairouan|volume=6|número=1|data=Spring 2004|páxinas=7–16|doi=10.1007/s00004-004-0002-y|cita=A técnica xeométrica de construción da sección áurea parece ter determinado as principais decisións de organización espacial. A sección áurea aparece repetidamente nalgunhas partes das medidas do edificio. Atópase na proporción xeral da planta e no dimensionamento do espazo de oración, do patio e do minarete. A existencia da sección áurea nalgunhas partes da mesquita de Kairouan indica que elementos deseñados e xerados con este principio puideron terse feito no mesmo período.|urlarquivo=https://web.archive.org/web/20081004154727/http://www.nexusjournal.com/BouMaz.html|dataarquivo=04 de outubro de 2008|data-acceso=15 de abril de 2021|url-morta=yes}}</ref><ref>{{Cita publicación periódica|título=The Place of Mathematics|volume=57|número=3|ano=2001|páxina=2}}</ref> O historiador da arquitectura Frederik Macody Lund argumentou en 1919 que a [[Catedral de Chartres]] (século XIII), a Catedral de [[Laon]] (1157-1205) e a de Notre Dáme ([[París]]) (1160) están deseñadas de acordo co [[número áureo]], debuxando liñas auxiliares para mostrar a súa tese.<ref>{{Cita libro|apelidos=Chanfón Olmos, Carlos|título=Curso sobre Proporción. Procedimientos reguladores en construcción|editorial=Convenio de intercambio Unam–Uady. México – Mérica|data=1991}}</ref> Outros estudosos argumentan que até o traballo de [[:pt:Luca_Pacioli|Pacioli]] en 1509, a proporción de ouro era descoñecida para os artistas e arquitectos.<ref>{{Cita libro|apelidos=Livio, Mario|ligazónautor=Mario Livio|ano=2002|título=The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number|bibcode=2002grsp.book.....L}}</ref> Por exemplo, a altura e o ancho da parte dianteira de Notre-Dáme de [[Laon]] teñen a proporción 8/5 ou 1.6, non 1.618. Tales termos da [[sucesión de Fibonacci]] convértense rapidamente en difíciles de distinguir da proporción áurea.<ref>{{Cita publicación periódica|apelidos=Smith|nome=Norman A. F.|título=Cathedral Studies: Engineering or History|url=http://pubs-newcomen.com/tfiles/73ap095.pdf|data=2001|volume=73|páxinas=95–137|doi=10.1179/tns.2001.005|urlarquivo=https://www.webcitation.org/6dh0wipJN?url=http://pubs-newcomen.com/tfiles/73ap095.pdf|dataarquivo=11 de decembro de 2015|data-acceso=15 de abril de 2021|url-morta=yes}}</ref> Despois de Pacioli, a proporción áurea é máis perceptible nas obras de arte, incluída ''[[Mona Lisa|A Gioconda]]'' de Leonardo.<ref>{{Cita novas|apelidos=McVeigh|nome=Karen|título=Why golden ratio pleases the eye: US academic says he knows art secret|url=https://www.theguardian.com/artanddesign/2009/dec/28/golden-ratio-us-academic|data-acceso=27 de octubre de 2015|data=28 de diciembre de 2009}}</ref>

Outro número morfolóxico do que se escribiu profusamente é o ''número plástico'', ideado en 1928 polo arquitecto holandés Hans van der Laan (orixinalmente en francés "''noméelle radiant''", ''o número radiante'').<ref>{{Cita publicación periódica|apelidos=Aarts|nome=J.|apelidos2=Fokkink|nome2=R.|apelidos3=Kruijtzer|nome3=G.|título=Morphic numbers|serie=5|volume=2|número=1|ano=2001|páxinas=56–58|url=http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2001-02-1-056.pdf}}</ref><ref>'[[Artes plásticas|Plástico]]' hace referencia a la capacidad de tomar una forma tridimensional elegida.</ref><ref name="Padovan">{{Cita publicación periódica|url=http://www.nexusjournal.com/conferences/N2002-Padovan.html|título=Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number|ligazónautor=Richard Padovan|páxinas=181–193|ano=2002}}</ref> O seu valor é a solución da ecuación cúbica

: <math>x^3=x+1\,</math>

un número irracional, aproximadamente 1.325. Segundo o arquitecto Richard Padovan, está conectado coas fraccións características 3/4 e 1/7, que gobernan os límites da percepción humana ao relacionar un tamaño físico con outro. Van der Laan usou estas proporcións ao deseñar a igrexa de St. Benedictusberg Abbey (1967) nos Países Baixos.<ref name="Padovan"/>
{| class="wikitable" style="font-size:85%; line-height:125%;"
| valign="top" |[[Ficheiro:Mathematical_Pyramid.svg|centro|337x337px]]'''[1]'''<br /><br /><br /><br />
| valign="top" |[[Ficheiro:Laon_Cathedral's_regulator_lines.jpg|centro|220x220px]]'''[2]'''<br /><br /><br /><br />
| valign="top" |[[Ficheiro:Mona_Lisa_Golden_Ratio.jpg|centro|220x220px]]'''[3]'''<br /><br /><br /><br />
| valign="top" |[[Ficheiro:Interieur_bovenkerk,_zicht_op_de_middenbeuk_met_koorbanken_voor_de_monniken_-_Mamelis_-_20536587_-_RCE.jpg|centro|296x296px]]'''[4]'''<br /><br /><br /><br />
|-
| colspan="4" style="background:Azure;" |
* '''[1]''' O cociente Base:Hipotenusa (b:a) da [[Gran Pirámide de Gizeh|Gran Pirámide de Guiza]], relacionouse con: 1:φ (Triángulo de Kepler), 3:5 (Triángulo 3-4-5), ou 1:4/π
* '''[2]''' Supostas liñas de proporción: Catedral de Laon
* '''[3]''' Rectángulos áureos superpuestos sobre [[Mona Lisa|A Gioconda]]
* '''[4]''' A igrexa da St. Benedictusberg Abbey (1967), obra de Hans van der Laan, utiliza nas súas proporcións o número plástico
|}

=== Simetrías planas ===
{{Véxase tamén|Simetría|Grupo do papel pintado|Patróns xeométricos islámicos|Kilim}}
[[Ficheiro:Carpet_with_Double_Medallion.jpg|esquerda|miniatura|Alfombra con dobre medallón.<ref name="Salingaros">{{Cita publicación periódica|apelidos=Salingaros, Nikos|título=The 'life' of a carpet: an application of the Alexander rules|url=http://zeta.math.utsa.edu/~yxk833/life.carpet.html|data=November 1996}} Reprinted in {{Cita libro|apelidos-editor=Eiland|título=Oriental Carpet and Textile Studies V|data=1998|editorial=Conference on Oriental Carpets|lugar=Danville, CA}}</ref> [[Anatolia]] Central (Konya-Karapınar), paso do século XVI ao XVII. Mesquita Alâeddin]]
As [[Simetría|simetrías no plano]] utilizáronse durante milenios en obras téxtiles como alfombras, celosías e todo tipo de adornos.<ref name="Cucker89">{{Cita libro|apelidos=Cucker|nome=Felix|título=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics|url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck|data=2013|editorial=Cambridge University Press|ISBN=978-0-521-72876-8|páxinas=[https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck/page/89 89]–102}}</ref><ref name="Lerner">{{Cita libro|apelidos=Lerner|nome=Martin|título=The flame and the lotus : Indian and Southeast Asian art from the Kronos collections|data=1984|editorial=Metropolitan Museum of Art|edición=Exhibition Catalogue|url=http://libmma.contentdm.oclc.org/cdm/compoundobject/collection/p15324coll10/id/105494}}</ref><ref name="Ellison">{{Cita libro|apelidos=Ellison|nome=Elaine|apelidos2=Venters|nome2=Diana|editorial=Key Curriculum|título=Mathematical Quilts: No Sewing Required|url=https://archive.org/details/mathematicalquil0000vent|ano=1999}}</ref><ref name="Castera">{{Cita libro|apelidos=Castera|nome=Jean Marc|apelidos2=Peuriot|nome2=Francoise|título=Arabesques. Decorative Art in Morocco|data=1999|editorial=Art Creation Realisation|ISBN=978-2-86770-124-5}}</ref>

Moitas alfombras tradicionais divídense nun campo central e un bordo de encadramento. Ambos poden presentar simetrías, aínda que nas tecidas a man a miúdo están lixeiramente alteradas por detalles, variacións de patrón e cambios de cor introducidos polo tecedor.<ref name="Cucker89"/> Nos ''kilims'' de [[Anatolia]] os motivos utilizados son xeralmente simétricos. No deseño xeral adoita estar presente a simetría, con franxas ou arranxos agrupados de motivos aproximadamente hexagonais. O campo acostuma presentarse como un fondo asimilable a un patrón do ''grupo do papel pintado'' de configuración ''pmm'', mentres o bordo toma a forma dun friso do tipo ''pm11'', pmm2 ou ''pma2''. Os ''kilims'' turcos e de Asia central a miúdo teñen tres ou máis fronteiras entre diferentes grupos de frisos. É obvio que os tecedores certamente buscaban a simetría, sen o coñecemento explícito das súas matemáticas.

O matemático e teórico da arquitectura [[Nikos Salingaros]] suxire que a "poderosa presenza" (efecto estético) dunha "grande alfombra", como as mellores alfombras de dous medallóns Konya do [[século XVII]], créanse mediante técnicas matemáticas relacionadas coas teorías do arquitecto Christopher Alexander. Estas técnicas inclúen introducir zonas de cor como pares opostos; diferenciar áreas xeometricamente, ben utilizando formas complementarias ou equilibrando as direccións dos ángulos agudos; utilizar a complexidade a pequena escala (desde o nivel de nó cara a arriba) e a simetría a pequena e a grande escala; e a utilización de elementos repetidos nunha xerarquía de diferentes escalas (cunha relación de aproximadamente 2.7 de cada nivel ao seguinte). Salingaros sostén que "todas as alfombras consideradas artísticas satisfán polo menos nove das dez regras anteriores", e suxire que podería ser posible crear unha métrica a partir delas.<ref name="Salingaros"/>

Na India atópanse os denominados jali, tallados en mármore para adornar tumbas e palacios.<ref name="Lerner"/> As celosías chinesas existen en 14 dos 17 grupos de simetría planar; a miúdo presentan simetría de espello, de dobre espello ou rotacional. Algunhas presentan un medallón central e outras inclúen un bordo cun friso.<ref name="Cucker103">{{Cita libro|apelidos=Cucker|nome=Felix|título=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics|url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck|data=2013|editorial=Cambridge University Press|ISBN=978-0-521-72876-8|páxinas=[https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck/page/103 103]–106}}</ref> Moitas celosías chinesas foron analizadas matematicamente por Daniel S. Dye, que identificou [[Sichuan]] como o centro desta arte.<ref>{{Cita libro|apelidos=Dye|nome=Daniel S.|título=Chinese Lattice Designs|url=https://archive.org/details/chineselatticede00dyed|data=1974|editorial=Dover|páxinas=[https://archive.org/details/chineselatticede00dyed/page/30 30]–39}}</ref>
[[Ficheiro:Girih_tiles.svg|miniatura|[[Doela|Doelas]] ''girih'']]
As simetrías teñen un papel moi destacado nas artes téxtiles, incluíndo o punto, os encaixes, os bordados<ref>Snook, Barbara. ''Florentine Embroidery''. Scribner, Second edition 1967.</ref><ref>Williams, Elsa S. ''Bargello: Florentine Canvas Work''. Van Nostrand Reinhold, 1967.</ref> e os distintos tipos de tecer, onde estes patróns poden ser decorativos ou indicar o status do  propietario.<ref name="Ellison"/><ref>{{Cita publicación periódica|apelidos=b<!--sic, l/c-->elcastro|nome=s<!--sic, l/c-->arah-m<!--sic, l/c-->arie|título=Adventures in Mathematical Knitting|url=http://www.americanscientist.org/issues/feature/adventures-in-mathematical-knitting/1|volume=101|número=2|páxina=124|data=2013|doi=10.1511/2013.101.124|data-acceso=15 de abril de 2021|data-arquivo=04 de marzo de 2016|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20160304032908/http://www.americanscientist.org/issues/feature/adventures-in-mathematical-knitting/1|url-morta=yes}}</ref><ref>{{Cita libro|apelidos=Taimina, Daina|título=Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes|ano=2009|editorial=A K Peters|ISBN=978-1-56881-452-0}}</ref><ref>{{Cita publicación periódica|doi=10.2307/2690105|ligazónautor=Branko Grünbaum|título=Satins and Twills: An Introduction to the Geometry of Fabrics|data=May 1980|volume=53|número=3|páxinas=139–161|JSTOR=2690105|bibcode=1975MathM..48...12G}}</ref><ref>Gamwell (2015), p.&nbsp;423</ref>

Os artigos de bordado e encaixe como manteis e tapetes de mesa, feitos con bobinas ou con paus ou renda de bilros tradicionais en Europa, desde [[Hungría]] a [[Camariñas]] en [[Galicia]], poden ter unha ampla variedade de reflexións e rotacións simétricas, que foron exploradas matematicamente.<ref>{{Cita publicación periódica|apelidos=Irvine|nome=Veronika|apelidos2=Ruskey|nome2=Frank|título=Developing a Mathematical Model for Bobbin Lace|data=2014|volume=8|número=3–4|páxinas=95–110|doi=10.1080/17513472.2014.982938|arxiv=1406.1532}}</ref> Tamén se atopan simetrías nos [[Entrelazado (arte)|entrelazados medievais]], en todo tipo de obxectos.

A simetría rotacional atópase en estruturas circulares tales como [[cúpula]]s, en ocasións moi decoradas con patróns simétricos por dentro e por fóra, como na [[mesquita do xeque Lotf Allah]] de [[Isfahán]] ([[1619]]).<ref>{{Cita libro|apelidos=Baker|nome=Patricia L.|apelidos2=Smith|nome2=Hilary|título=Iran|url=https://books.google.com/books?id=a40CkMNqU8AC&lpg=PA107&pg=PA108#v=onepage&q&f=false|edición=3|ano=2009|editorial=Bradt Travel Guides|ISBN=978-1-84162-289-7|páxina=107}}</ref>

Na [[arte islámica]], os patróns xeométricos están presentes en moitas formas de arte, especialmente nos embaldosados. Estes teselados fórmanse utilizando un conxunto de cinco formas de baldosas, a saber: un decágono regular, un hexágono alargado, unha ''paxarela'', un rombo e un pentágono regular. Todos os lados destes azulexos teñen a mesma lonxitude; e todos os seus ángulos son múltiplos de 36° (π/5 [[radián]]s), mostrando simetrías de cinco e dez módulos. As baldosas están decoradas con liñas de lacería en relevo (''girih''), xeralmente máis visibles que os límites das baldosas. En 2007, os físicos Peter Lu e Paul Steinhardt argumentaron que o lousado ''girih'' era similar ao cuasicristal definido pola [[Teselado|teselación de Penrose]].<ref>{{Cita publicación periódica|ano=2007|título=Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture|volume=315|páxinas=1106–1110|doi=10.1126/science.1135491|PMID=17322056|número=5815|bibcode=2007Sci...315.1106L}}</ref> As baldosas xeométricas elaboradas con pequenas teselas (''zellige'') son un elemento distintivo na arquitectura de [[Marrocos]].<ref name="Castera"/>

As bóvedas decoradas con mocárabe (almocárabe ou ''muqarna'') son tridimensionais, pero están deseñadas en dúas dimensións con debuxos de celas xeométricas.<ref>{{Cita web|título=Muqarnas-Mathematics in Islamic Arts|url=http://www.wiskuu.nl/muqarnas/Muqarnas_english8.pdf|data-acceso=15 de enero de 2016|urlarquivo=https://web.archive.org/web/20130927070005/http://www.wiskuu.nl/muqarnas/Muqarnas_english8.pdf|dataarquivo=27 de setembro de 2013|url-morta=yes}}</ref>

Tamén se atopan interesantes patróns matemáticos nos estucos da [[Arte hispanomusulmá|arquitectura hispanomusulmá]] e en igrexas cristiás de todos os estilos, desde grandes obras a pequenas igrexas como a de St. Florian Wiedenzhausen de [[Baviera]].<gallery perrow="6" widths="200">
Ficheiro:Hotamis Kilim.jpg|Detalle dun ''kilim'' de Hotamis, [[Anatolia]] central, comezo do século [[Século XIX|XIX]].
Ficheiro:Ming flower brocade (cropped)2.jpg|Detalle dun brocado da [[dinastía Ming]], utilizando un patrón cun [[Teselación|teselado hexagonal]].
Ficheiro:Salim Chishti Tomb-2.jpg|Celosía ''[[Jali]]'' de [[mármore]] na tumba de [[Salim Chishti]], [[Fatehpur Sikri]], [[India]].
Ficheiro:Florentine Bargello Pattern.png|[[Simetría]]s: [[Bargello (bordado)|bargello]] florentino.
Ficheiro:Isfahan Lotfollah mosque ceiling symmetric.jpg|Teito da mesquita do xeque Lotf Allah, [[Isfahán]], [[1619]].
Ficheiro:Frivolité.jpg|[[Simetría rotacional]] nun [[Encaixe de bolillos|encaixe]].
Ficheiro:Darb-i Imam shrine spandrel.JPG|Teselado [[Teselado girih|girih]]: patróns a escalas grandes e pequenas nunha [[enxunta]] do santuario de [[Darb-i Imam]], [[Isfahán|Isfahan]], [[1453]].
Ficheiro:Fes Medersa Bou Inania Mosaique2.jpg|[[Teselado]]s: mosaicos ''[[zellige]]'' na [[Madrasa de Bou Inania]], [[Fez]] ([[Marrocos]]).
Ficheiro:Sally Port of Sheikh Lotf Allah Mosque.JPG|A complexa xeometría e os teitos da bóveda de [[Mocárabe|almocárabe]] da mesquita Sheikh Lotfollah, [[Isfahán]]
Ficheiro:Topkapi Scroll p294 muqarnas.JPG|Plano do arquitecto de unha quinta bóveda de muqarnas. [[Tira do Topkapı]]
Ficheiro:Tupa-inca-tunic.png|[[Túpac Yupanqui]]; túnica procedente do [[Perú]], [[1450]]-[[1540]], un [[téxtil andino]] indicador de un alto rango<ref name="Gamwell423">{{Cita libro|apelidos=Gamwell|nome=Lynn|título=Mathematics and Art: A Cultural History|data=2015|editorial=Princeton University Press|páxina=423|ISBN=978-0-691-16528-8}}</ref>
Ficheiro:Samarcanda, Registán 32.jpg|Detalle decorativo na madrasa de Sherdor. [[Samarcanda]], [[Uzbekistán]].
</gallery>

=== Poliedros ===
[[Ficheiro:Pacioli.jpg|miniatura|Retrato de Luca Pacioli disertando sobre poliedros (1495)]]
Os [[Sólido platónico|sólidos platónicos]] e outros [[poliedro]]s son un tema recorrente na arte occidental. Atópanse, por exemplo, nun [[mosaico]] de mármore onde aparece un ''pequeno dodecaedro estrelado'' atribuído a [[Paolo Uccello]] e que forma parte do chan da [[Basílica de San Marcos]] en Venecia; nos diagramas de poliedros regulares de Leonardo da Vinci debuxados como ilustracións para o libro 1509 de Luca Pacioli ''De Divina Proportione''; como un rombicuboctaedro de cristal no retrato de Pacioli de Jacopo de' Barbari, pintado en 1495; e no poliedro truncado (e varios outros obxectos matemáticos) que aparecen no gravado de [[Albrecht Dürer]] titulado ''Melancolía I''.<ref name="Hart"/> Dürer (1471-1528) foi un artista [[Pobo alemán|alemán]] do Renacemento, que fixo importantes contribucións ao estudo dos poliedros no seu libro de 1525, ''Underweysung der Messung'' (Educación sobre a medición), destinado ao ensino da perspectiva, a [[xeometría]] en [[arquitectura]], os [[Sólido platónico|sólidos platónicos]], e os [[Polígono regular|polígonos regulares]]. Probablemente estivo influenciado polos traballos de [[Piero della Francesca]] e Luca Pacioli durante as súas viaxes a [[Italia]].<ref>{{Cita libro|apelidos=Panofsky|nome=E.|título=The Life and Art of Albrecht Durer|editorial=Princeton|ano=1955}}</ref> Mentres que os exemplos de perspectiva en ''Underweysung der Messung'' están pouco desenvolvidos e conteñen imprecisións, o texto contén unha discusión detallada sobre os poliedros. Dürer foi tamén o primeiro en introducir no texto a idea do desenvolvemento dun poliedro, incluíndo poliedros despregados para que fiquen planos para a súa impresión.<ref>{{Cita web|apelidos=Hart|nome=George W.|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/durer.html|título=Dürer's Polyhedra|data-acceso=13 de agosto de 2009}}</ref> Tamén publicou en 1528 outro libro influente sobre as proporcións do corpo humano, titulado ''"Vier Bücher von Menschlicher Proportion'' (Catro libros sobre a proporción humana)".<ref>{{Cita libro|apelidos=Dürer|nome=Albrecht|título=Hierinn sind begriffen vier Bucher von menschlicher Proportion|url=https://archive.org/details/hierinnsindbegri00dure|dataacceso=24 de xuño de 2015|lugar=Nurenberg|data=1528}}</ref>

O coñecido gravado titulado ''Melancolía I'', representa a un ser alado, sentado en actitude pensativa. A imaxe inclúe un [[cadrado máxico]] e un ''trapezoedro triangular truncado''. Estes dous elementos, e o gravado en conxunto, foron obxecto de máis interpretacións modernas que case calquera outra obra comparable, incluíndo un libro de dous volumes de Peter-Klaus Schuster, e unha influente análise contida na monografía de [[Erwin Panofsky]].<ref name="Ziegler" /><ref>{{Cita publicación periódica|apelidos=Schreiber, P.|título=A New Hypothesis on Durer's Enigmatic Polyhedron in His Copper Engraving 'Melencolia I'|volume=26|número=4|páxinas=369–377|data=1999|doi=10.1006/hmat.1999.2245}}</ref><ref>{{Cita libro|título=Albrecht Dürer|lugar=Londres|editorial=Medici Society|ano=1926|páxina=94}}</ref><ref name="Schuster">{{Cita libro|título=Melencolia I: Dürers Denkbild|páxinas=17–83|lugar=Berlín|editorial=Gebr. Mann Verlag|ano=1991}}</ref><ref name="Panofsky">{{Cita libro|título=Saturn and melancholy|nome=Erwin|apelidos=Panofsky|ligazónautor=Erwin Panofsky|apelidos2=Klibansky|nome2=Raymond|ligazónautor2=Raymond Klibansky|apelidos3=Saxl|nome3=Fritz|ligazónautor3=Fritz Saxl|editorial=Basic Books|ano=1964|url=http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=genpub;cc=genpub;q1=Klibansky;op2=and;op3=and;rgn=works;rgn1=author;rgn2=author;rgn3=author;view=toc;idno=0431529.0001.001}}</ref>

Outro famoso pintor que incluíu poliedros nalgunhas das súas pinturas é [[Salvador Dalí]]. No seu cadro titulado ''A Última Cea'', Cristo e os seus discípulos están representados dentro dun [[dodecaedro]] xigante. Outra das súas obras, a ''Crucifixión'' ([[1954]]), mostra un hipercubo despregado, que fai alusión á perspectiva divina en catro dimensións.<ref>Óleo sobre lenzo, 194.3&nbsp;×&nbsp;123.8&nbsp;cm do [[Museo Metropolitano de Arte]] de Nova York</ref><ref name="Rucker">[https://books.google.com/books?id=0xReBAAAQBAJ Rudy Rucker, ''The Fourth Dimension: Toward a Geometry of Higher Reality''], Courier Corporation, 2014, {{ISBN|0486798194}}</ref><ref name="CorpusHypercubus">{{Cita web|título=Crucifixion (Corpus Hypercubus)|url=http://www.metmuseum.org/collection/the-collection-online/search/488880|editorial=Metropolitan Museum of Art|data-acceso=5 de setembro de 2015}}</ref>

=== Dimensións fractais ===
[[Ficheiro:Batik_pedalaman_-_parang_klithik.JPG|miniatura|Un ''batik'', tecido tradicional procedente de Surakarta, Xava, como este ''parang klithik'' con patrón de espadas, ten unha dimensión fractal de entre 1.2 e 1.5]]
Os deseños tradicionais de batik, tinguidos en Indonesia co procedemento de reserva con cera, combinan motivos figurativos (elementos florais e vexetais) con motivos abstractos e algo caóticos, incluída a imprecisión derivada da aplicación da reserva máis e a variación aleatoria introducida polas gretas da propia cera. Os deseños de batik teñen unha dimensión fractal de entre 1 e 2, que varía en diferentes estilos rexionais. Por exemplo, o batik de Cirebon ten unha dimensión fractal de 1.1; os batiks de [[Yogyakarta]] e Surakarta no centro de Xava teñen unha dimensión fractal de 1.2 a 1.5; e os batiks de Lasem na costa norte de [[Xava]] e de Tasikmalaya en Xava occidental, teñen unha dimensión fractal de entre 1.5 e 1.7.<ref>{{Cita publicación periódica|apelidos=Lukman|nome=Muhamad|apelidos2=Hariadi|nome2=Yun|apelidos3=Destiarmand|nome3=Achmad Haldani|título=Batik Fractal : Traditional Art to Modern Complexity|data=2007|url=http://s3.amazonaws.com/academia.edu.documents/36748400/32.pdf?AWSAccessKeyId=AKIAJ56TQJRTWSMTNPEA&Expires=1474897246&Signature=kXmu3pdTrpZ1pkw8CLV3GHNR%2FVs%3D&response-content-disposition=inline%3B%20filename%3DBatik_Fractal_Traditional_Art_to_Modern.pdf|data-acceso=26 de setembro de 2016}}</ref>

As obras de ''dripping'' do artista moderno [[Jackson Pollock]] son tamén distintivas pola súa dimensión fractal. A súa obra titulada ''Número 14'', de 1948, ten unha dimensión de 1.45, mentres as súas pinturas posteriores tiveron dimensións fractais sucesivamente máis altas e, por conseguinte, patróns máis elaborados. Unha das súas últimas obras, ''Blue Poles'', levoulle seis meses de traballo, e ten unha dimensión fractal de 1.72.<ref>{{Cita novas|apelidos=Ouellette|nome=Jennifer|título=Pollock's Fractals|url=http://discovermagazine.com/2001/nov/featpollock|data-acceso=26 de setembro de 2016|data=novembro de 2001}}</ref>

== Unha relación complexa ==
O astrónomo [[Galileo Galilei]] na súa obra "O ensaiador" escribiu que "''[O universo] está escrito'' na ''linguaxe das matemáticas'', e os seus caracteres son triángulos, círculos e outras figuras xeométricas". Os artistas que se esforzan e buscan estudar a natureza, segundo Galileo, deben primeiro ver e entender completamente as matemáticas.<ref>{{Cita libro|apelidos=Galilei, Galileo|ligazónautor=Galileo Galilei|título=The Assayer|ano=1623}}, as translated in {{Cita libro|apelidos=Drake, Stillman|ligazónautor=Stillman Drake|ano=1957|título=Discoveries and Opinions of Galileo|editorial=Doubleday|páxinas=[https://archive.org/details/discoveriesopini00gali_0/page/237 237–238]|ISBN=978-0-385-09239-5|url=https://archive.org/details/discoveriesopini00gali_0/page/237}}</ref>

Con todo, os matemáticos trataron de interpretar e analizar a arte a través da lente da xeometría e da racionalidade. O matemático Felipe Cucker suxire que as matemáticas, e especialmente a xeometría, son unha fonte de regras para a "creación artística impulsada por regras", aínda que non a única.<ref>Cucker (2013), p.&nbsp;381</ref> Algunhas das moitas cadeas da complexa relación resultante descríbense a continuación.<ref>Cucker (2013), p.&nbsp;10</ref>
[[Ficheiro:Ghhardy@72.jpg|miniatura|O matemático [[Godfrey Harold Hardy]] definiu un conxunto de criterios para cualificar a beleza matemática]]

=== As matemáticas como arte ===
{{Artigo principal|Beleza matemática}}O matemático Jerry P. King describe as matemáticas como unha arte, afirmando que ''"as claves das matemáticas son a beleza e a elegancia e non o aburrimento e os tecnicismos"'', e que a beleza é a forza motivadora da investigación matemática.<ref>King (1992), pp.&nbsp;8–9</ref> King cita o ensaio publicado por [[Godfrey Harold Hardy]] en 1940, titulado ''Apoloxía dun matemático''. Nel, Hardy analiza por que atopa dous teoremas da [[Antigüidade clásica]] como de primeira clase: a proba de [[Euclides]] de que hai infinitos [[Número primo|números primos]], e a proba de que a raíz cadrada de 2 é un [[número irracional]]. King avalía eses teoremas segundo os criterios de Hardy para estimar a elegancia matemática: ''"sobriedade, profundidade, xeneralidade, imprevisibilidade, inevitabilidade"'' e "''economía''" e describe a proba como ''"esteticamente agradable".''<ref>King (1992), pp.&nbsp;135-139</ref> O matemático húngaro [[Paul Erdős]] estivo de acordo en que as matemáticas posuían beleza, pero considerou as razóns máis aló da explicación: ''"Por que son fermosos os números?'' ''É como preguntar por que é fermosa a [[Sinfonía n.º 9 (Beethoven)|Novena Sinfonía de Beethoven]]. Si non ves o porqué, ninguén cho pode explicar. Eu sei que os números son fermosos''".<ref>{{Cita libro|título=The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved And Why Numbers Are Like Gossip|url=https://archive.org/details/mathgene00keit|editorial=Basic Books|ano=2000|páxina=[https://archive.org/details/mathgene00keit/page/140 140]|capítulo=Do Mathematicians Have Different Brains?|ISBN=978-0-465-01619-8}}</ref>

=== Ferramentas matemáticas para a arte ===
[[Ficheiro:Octopod_by_syntopia.jpg|miniatura|''Octopod'', obra de Mikael Hvidtfeldt Christensen. Arte [[Algoritmo|algorítmico]] producido co programa ''Structure Synth'']]As matemáticas aparecen no substrato de basicamente todas as artes: [[música]], [[danza]], [[pintura]], [[arquitectura]], [[Escultura|escultura..]].<ref>{{Cita web|título=Mathematics in the World of Dance|url=http://archive.bridgesmathart.org/2012/bridges2012-453.pdf|editorial=Bridges|data-acceso=1 de setembro de 2015|data=2012}}</ref>

Cada unha está asociada coas matemáticas dun xeito particular.<ref name="Malkevitch">{{Cita web|título=Mathematics and Art|url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art1|editorial=American Mathematical Society|data-acceso=1 de setembro de 2015}}</ref> Grazas á súa conexión coas artes visuais, as matemáticas poden proporcionar ferramentas para os artistas, como as regras da perspectiva descritas por Brook Taylor e Johann Heinrich Lambert, ou os métodos de [[xeometría descritiva]], posteriormente aplicados á modelaxe de sólidos por computador, e cuxos orixes teóricos se remontan a Dürer e a [[Gaspard Monge]].<ref>{{Cita web|título=Mathematics and Art. 2. Mathematical tools for artists|url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art2|editorial=American Mathematical Society|data-acceso=1 de setembro de 2015}}</ref>

Artistas da [[Idade Media]] e do [[Renacemento]] (como Pacioli, Leonardo e Dürer) empregaron e desenvolveron ideas matemáticas ao investigaren  formas novas de realizaren o seu traballo artístico. <ref name="Malkevitch"/><ref>{{Cita web|título=Math and Art: The Good, the Bad, and the Pretty|url=http://www.maa.org/meetings/calendar-events/math-and-art-the-good-the-bad-and-the-pretty|editorial=Mathematical Association of America|data-acceso=2 de setembro de 2015|data-arquivo=09 de setembro de 2015|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20150909085252/http://www.maa.org/meetings/calendar-events/math-and-art-the-good-the-bad-and-the-pretty|url-morta=yes}}</ref> O uso da perspectiva comezou, malia algúns incipientes intentos de arquitectura grega antiga, con pintores italianos como [[Giotto di Bondone|Giotto]] no século XIII; regras como a do punto de fuga foron formuladas por [[Filippo Brunelleschi|Brunelleschi]] ao redor de 1413,<ref name="StAndrews" /> e as súas teorías influíron definitivamente en Leonardo e Dürer.

O traballo de [[Isaac Newton|Newton]] sobre o [[Espectro visible|espectro óptico]] influíu na teoría das cores de [[Johann Wolfgang von Goethe|Goethe]] e, á súa vez, en artistas como Philipp Otto Runge, J. M. W. Turner,  os membros da [[Irmandade Prerrafaelista|Irmandade Prerrafaelita]], os [[Puntillismo|puntillistas]], os [[Impresionismo|impresionistas]], sobre [[Wassily Kandinsky|Kandinski]] etc.<ref>{{Cita publicación periódica|apelidos=Cohen|nome=Louise|título=How to spin the colour wheel, by Turner, Malevich and more|url=http://www.tate.org.uk/context-comment/articles/how-to-spin-the-colour-wheel|editorial=Tate Gallery|data-acceso=4 de setembro de 2015|data=1 de julio de 2014}}</ref><ref>{{Cita libro|apelidos=Kemp|nome=Martin|título=The Science of Art: Optical Themes in Western Art from Brunelleschi to Seurat|data=1992|editorial=Yale University Press|ISBN=978-968-867-185-6}}</ref><ref name="Gage1999">{{Cita libro|título=Color and Culture: Practice and Meaning from Antiquity to Abstraction|url=https://books.google.com/books?id=oq_GtjmoTNgC&pg=PA207|ano=1999|editorial=University of California Press|ISBN=978-0-520-22225-0|páxina=207}}</ref> 

Os artistas tamén analizan a [[simetría]] dunha escena, e traballan sobre ese concepto. As mesmas ferramentas poden ser aplicadas por matemáticos que están a explorar a arte, ou por artistas inspirados nas matemáticas, como M. C. Escher ou o arquitecto [[Frank Gehry]], quen argumentou que o [[CAD|deseño asistido por computadora]] lle permitiu expresarse dunha maneira completamente nova.<ref>{{Cita web|título=Mathematics and Art. 3. Symmetry|url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art3|editorial=American Mathematical Society|data-acceso=1 de setembro de 2015}}</ref><ref>{{Cita web|título=Mathematics and Art. 4. Mathematical artists and artist mathematicians|url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art4|editorial=American Mathematical Society|data-acceso=1 de setembro de 2015}}</ref>

O artista Richard Wright argumenta que os obxectos matemáticos que poden construírse poden verse "como procesos para simular fenómenos" ou como obras de "arte computacional". Considera a natureza do pensamento matemático, observando que os matemáticos coñecían os [[Fractal|fractais]] desde un século antes de que fosen recoñecidos como tales. Wright conclúe afirmando que é apropiado someter os obxectos matemáticos a calquera método utilizado para "''chegar a un acordo con conceptos culturais como a arte, a tensión entre obxectividade e subxectividade, os seus significados metafóricos e o carácter dos sistemas de representación"''. Dá como exemplos unha imaxe do [[conxunto de Mandelbrot]], outra xerada por un algoritmo de autómata celular e unha imaxe [[Renderización|renderizada]], e discute, con referencia ao [[Proba de Turing|Test de Turing]], se os produtos dun [[algoritmo]] poden ser arte.<ref>{{Cita publicación periódica|apelidos=Wright|nome=Richard|título=Some Issues in the Development of Computer Art as a Mathematical Art Form|data=1988|volume=1|número=Electronic Art, supplemental issue|páxinas=103–110|doi=10.2307/1557919|JSTOR=1557919}}</ref> Sasho Kalajdzievski, na súa obra ''"Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics'' (Matemáticas e Arte: unha introdución ás matemáticas visuais) adopta un enfoque similar, analizando temas matemáticos visuais adecuados, como teselados, fractais e xeometría hiperbólica.<ref>{{Cita libro|apelidos=Kalajdzievski|nome=Sasho|título=Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics|url=https://archive.org/details/mathartintroduct0000kala|data=2008|editorial=Chapman and Hall|ISBN=978-1-58488-913-7}}</ref>

Algunhas das primeiras obras de arte computacional foron creadas por "Drawing Machine 1", un sistema ideado por Desmond Paul Henry, que consistía nunha computadora analóxica baseada nun visor de bombardeiro, exhibida en 1962.<ref name="Beddard">{{Cita web|título=Computer art at the V&A|url=http://www.vam.ac.uk/content/journals/research-journal/issue-02/computer-art-at-the-v-and-a/|editorial=Victoria and Albert Museum|data-acceso=22 de setembro de 2015|data=26 de mayo de 2011}}</ref><ref>{{Cita novas|título=Computer Does Drawings: Thousands of lines in each|data=17 de setembro de 1962}} in Beddard, 2015.</ref> A máquina era capaz de crear debuxos lineais complexos, abstractos, asimétricos ou curvilíneos, pero repetitivos.<ref>{{Cita libro|apelidos=O'Hanrahan, Elaine|ano=2005|título=Drawing Machines: The machine produced drawings of Dr. D. P. Henry in relation to conceptual and technological developments in machine-generated art (UK 1960–1968). Unpublished MPhil. Thesis.|editorial=John Moores University, Liverpool}} in Beddard, 2015.</ref> Máis recentemente, Hamid Naderi Yeganeh creou formas suxestivas de obxectos do mundo real, como peixes e aves, usando fórmulas que son sucesivamente variadas para debuxar familias de curvas ou liñas en ángulo.<ref>{{Cita novas|título=Catch of the day: mathematician nets weird, complex fish|url=https://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2015/feb/24/catch-of-the-day-mathematician-nets-weird-complex-fish|data=24 de febrero de 2015|editorial=The Guardian|data-acceso=25 de setembro de 2015}}</ref><ref name="Yeganeh2">{{Cita web|url=http://www.ams.org/mathimagery/displayimage.php?album=40&pid=684#top_display_media|título="A Bird in Flight (2016)," by Hamid Naderi Yeganeh|editorial=[[American Mathematical Society]]|data=23 de marzo de 2016|data-acceso=6 de abril de 2017|data-arquivo=29 de marzo de 2017|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20170329234641/http://www.ams.org/mathimagery/displayimage.php?album=40&pid=684#top_display_media|url-morta=yes}}</ref><ref>{{Cita novas|título=Next da Vinci? Math genius using formulas to create fantastical works of art|url=http://www.cnn.com/2015/09/17/arts/math-art/|data=18 de setembro de 2015}}</ref> Artistas como Mikael Hvidtfeldt Christensen crean obras de ''arte algorítmico'' escribindo rutinas para un sistema de software como ''Structure Synth'': o artista dirixe o sistema para aplicar unha combinación desexada de operacións matemáticas a un conxunto de datos previamente elixido.<ref>{{Cita web|título=Generative Artists|url=http://cmuems.com/2013/a/resources/artists-generative/|editorial=CMUEMS|data-acceso=27 de octubre de 2015|data=2013|data-arquivo=21 de setembro de 2015|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20150921020620/http://cmuems.com/2013/a/resources/artists-generative/|url-morta=yes}} This includes a link to [http://blog.hvidtfeldts.net/index.php/generative-art-links/ Hvidtfeldts Syntopia].</ref><ref>{{Cita web|ligazónautor=Roman Verostko|título=The Algorists|url=http://www.verostko.com/algorist.html|data-acceso=27 de octubre de 2015}}</ref>
<gallery perrow="6" widths="200">
Ficheiro:Bathsheba Grossman geometric art.jpg|Escultura matemática, obra de [[Bathsheba Grossman]], [[2007]]
Ficheiro:Hartmut Skerbisch.jpg|Escultura [[fractal]]: ''3D Fraktal 03/H/dd'', obra de [[Hartmut Skerbisch]], [[2003]]
Ficheiro:FWF Samuel Monnier détail.jpg|''Fibonacci word:'' detalle do traballo de Samuel Monnier, [[2009]]
Ficheiro:Wiki.picture by drawing machine 1.jpg|Imaxe de [[arte computacional]] producida por [[Desmond Paul Henry]] co seu "Drawing Machine 1", exhibido en [[1962]]
Ficheiro:A Bird in Flight by Hamid Naderi Yeganeh 2016.jpg|''[[A Bird in Flight]]'', por [[Hamid Naderi Yeganeh]], [[2016]], construído cunha familia de curvas matemáticas
Ficheiro:Deep Dream of Electric Sheep.jpg|Imaxe modificada mediante o programa ''[[Deep Dream]]'' 
</gallery>

=== Das matemáticas á arte ===
{{Véxase tamén|Protocubismo|Teselación|M. C. Escher|Origami|}}
[[Ficheiro:Theo_van_Doesburg_122.jpg|miniatura|[[Theo van Doesburg]]: ''Seis Momentos no Desenvolvemento do Plano ao Espazo'', 1926 ou 1929]]
O matemático e [[Física teórica|físico]]  [[Henri Poincaré]], autor de ''Ciencias e Hipóteses'', foi lido amplamente polos [[Cubismo|cubistas]], incluíndo a [[Pablo Picasso]] e a Jean Metzinger.{{Sfnp|Miller|2001|p=171}}<ref>{{Cita libro|apelidos=Miller, Arthur I.|título=Insights of Genius: Imagery and Creativity in Science and Art|editorial=Springer|ano=2012|ISBN=978-1-4612-2388-7}}</ref> Poincaré vía a [[xeometría euclidiana]] como unha das moitas configuracións posibles do espazo, non como unha verdade obxectiva absoluta. Picasso, na súa obra de 1907 ''As señoritas d'Avinyó'' explorou a proxección nunha cuarta dimensión para tratar de mostrar simultaneamente as figuras de fronte e de perfil.<ref>{{Cita libro|apelidos=Cucker|nome=Felix|título=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics|url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck|data=2013|editorial=Cambridge University Press|ISBN=978-0-521-72876-8|páxinas=[https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck/page/315 315]–317}}</ref>

A posible existencia dunha cuarta dimensión inspirou aos artistas a posibilidade de cuestionar a perspectiva clásica herdada do Renacemento: a [[xeometría non euclidiana]] converteuse noutra alternativa válida.<ref name="Henderson">{{Cita libro|apelidos=Henderson, Linda D.|título=The Fourth Dimension and Non-Euclidean geometry in Modern Art|editorial=Princeton University Press|ano=1983}}</ref><ref>{{Cita libro|url=http://eres.lndproxy.org/edoc/AH317Antliff-09.pdf|título=Cubism and Culture|editorial=Thames & Hudson|ano=2001|data-acceso=15 de abril de 2021|data-arquivo=26 de xullo de 2020|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20200726154229/http://eres.lndproxy.org/edoc/AH317Antliff-09.pdf|url-morta=yes}} (enlace roto)</ref><ref>{{Cita libro|ligazónautor=William Everdell|título=The First Moderns: Profiles in the Origins of Twentieth-Century Thought|ano=1997|editorial=University of Chicago Press|ISBN=978-0-226-22480-0|páxina=[https://archive.org/details/firstmodernsprof00ever/page/312 312]|url=https://archive.org/details/firstmodernsprof00ever/page/312}}</ref> O concepto de que a pintura se podería expresar matematicamente, en cor e forma, contribuíu ao cubismo, o movemento artístico que conduciu á [[arte abstracta]].<ref>{{Cita libro|apelidos=Green, Christopher|título=Cubism and its Enemies, Modern Movements and Reaction in French Art, 1916–1928|editorial=Yale University Press|ano=1987|páxinas=13–47}}</ref> Metzinger, en 1910, escribiu que ''"[Picasso] presenta unha perspectiva móbil e gratuíta, desde a que ese enxeñoso matemático, Maurice Princet, deduciu toda unha xeometría".''<ref>{{Cita publicación periódica|ligazónautor=Jean Metzinger|data=October–November 1910|título=Note sur la peinture|páxina=60}} in {{Cita libro|título=Einstein, Picasso|ano=2001|url=https://archive.org/details/einsteinpicassos00mill|editorial=Basic Books|páxina=[https://archive.org/details/einsteinpicassos00mill/page/167 167]}}</ref> 
 
O impulso de facer modelos de ensino ou investigación de formas matemáticas crea naturalmente obxectos que teñen simetrías e formas sorprendentes ou agradábeis. Algúns destes obxectos inspiraron a artistas como os [[Dadaísmo|dadaistas]] Man Ray [[Marcel Duchamp]]<ref>{{Cita publicación periódica|apelidos=Adcock|nome=Craig|título=Duchamp's Eroticism: A Mathematical Analysis|data=1987|volume=16|número=1|páxinas=149–167|url=http://ir.uiowa.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1208&context=dadasur|data-acceso=15 de abril de 2021|data-arquivo=24 de novembro de 2015|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20151124231528/http://ir.uiowa.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1208&context=dadasur|url-morta=yes}}</ref> e [[Max Ernst]], e tras [[Man Ray]]<ref>{{Cita web|título=Man Ray–Human Equations A Journey from Mathematics to Shakespeare. February 7 – May 10, 2015|url=http://www.phillipscollection.org/events/2015-02-07-exhibition-man-ray-human-equations|editorial=Phillips Collection|data-acceso=5 de setembro de 2015}}</ref>, a [[Hiroshi Sugimoto]].<ref name="Elder2013">{{Cita libro|título=DADA, Surrealism, and the Cinematic Effect|url=https://books.google.com/books?id=mhXaAgAAQBAJ&pg=PA602|ano=2013|editorial=Wilfrid Laurier University Press|ISBN=978-1-55458-641-7|páxina=602}}</ref><ref>{{Cita libro|apelidos=Tubbs, Robert|título=Mathematics in Twentieth-Century Literature and Art: Content, Form, Meaning|url=https://books.google.com/books?id=h1vBAwAAQBAJ&pg=PA118|ano=2014|editorial=JHU Press|páxina=118|ISBN=978-1-4214-1402-7}}</ref><ref>{{Cita web|título=Hiroshi Sugimoto Conceptual Forms and Mathematical Models February 7 – May 10, 2015|url=http://www.phillipscollection.org/events/2015-02-07-exhibition-hiroshi-sugimoto|editorial=Phillips Collection|data-acceso=5 de setembro de 2015}}</ref>
[[Ficheiro:Museum_Reina_Sofia_(4251493091).jpg|esquerda|miniatura|Retrato de Joella. [[Man Ray]] e [[Salvador Dalí]] ([[Museo Raíña Sofía]])]]
Man Ray fotografou algúns dos modelos matemáticos conservados no Institut Henri Poincaré en París, incluíndo ''"Objet Matemathique"'' (Obxecto Matemático). Sinalou que representaba superficies de Enneper con curvatura constante, derivadas dunha pseudoesfera. Este fundamento matemático era importante para el, xa que lle permitía negar que o obxecto era "abstracto", permitíndolle afirmar que era tan real como o A Fonte (o urinal que Duchamp ''<nowiki/>'converteu''<nowiki/>' nunha obra de arte). Admitiu que a fórmula da superficie de Enneper que definía o obxecto ''"non significaba nada para min, pero as formas en si mesmas eran tan variadas e auténticas como calquera outra na natureza".'' Utilizou as fotografías dos modelos matemáticos como figuras da súa serie sobre as obras de [[William Shakespeare|Shakespeare]], como a súa pintura ''"Antony and Cleopatra"'' de 1934.<ref>{{Cita libro|apelidos=Tubbs|nome=Robert|título=Mathematics in 20th-Century Literature and Art|data=2014|editorial=Johns Hopkins|ISBN=978-1-4214-1380-8|páxinas=8–10}}</ref> O reporteiro de arte Jonathan Keats, nun artigo da revista "ForbesLife", sostén que Man Ray fotografou ''"os paraboloides elípticos e os puntos cónicos coa mesma luz sensual que as súas imaxes de [[Alice Prin]]"'', e ''"reformula enxeñosamente os cálculos xeniais das matemáticas para revelar a topoloxía do desexo".'' Escultores do século XX como [[Henry Moore]], [[Barbara Hepworth]] e Naum Gabo tamén tomaron inspiración dos modelos matemáticos.<ref>{{Cita web|título=See How Man Ray Made Elliptic Paraboloids Erotic At This Phillips Collection Photography Exhibit|url=https://www.forbes.com/sites/jonathonkeats/2015/02/13/see-how-man-ray-made-elliptic-paraboloids-sexy-at-this-phillips-collection-photography-exhibit/|editorial=Forbes|data-acceso=10 de setembro de 2015|data=13 de febrero de 2015}}</ref><ref>{{Cita libro|apelidos=Gamwell|nome=Lynn|título=Mathematics and Art: A Cultural History|data=2015|editorial=Princeton University Press|páxinas=311–312|ISBN=978-0-691-16528-8}}</ref>  Moore escribiu sobre a súa ''Nai e fillo con cordas'' de 1938: ''"Sen dúbida, a fonte das miñas figuras con cordas foi o Museo de Ciencias de Londres ... Fascináronme os modelos matemáticos que vin alí ... "non foi o estudo científico destes modelos, senón a capacidade de mirar a través das cordas como nunha gaiola de paxaros e de ver unha forma dentro doutra, o que me emocionou"''.<ref>{{Cita libro|apelidos-editor=Hedgecoe|título=Henry Moore: Text on His Sculpture|data=1968|editorial=Simon and Schuster|páxina=105}}</ref>

Os artistas [[Theo van Doesburg]] e [[Pieter Mondrian|Piet Mondrian]] fundaron o movemento [[De Stijl]], que pretendía ''"establecer un vocabulario visual de formas xeométricas elementais comprensibles por todos e adaptables a calquera disciplina"''.<ref name="tate">{{Cita web|url=http://www.tate.org.uk/learn/online-resources/glossary/d/de-stijl|título=De Stijl|data-acceso=11 de setembro de 2015|editorial=The Tate|data-arquivo=11 de febreiro de 2017|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20170211033009/http://www.tate.org.uk/learn/online-resources/glossary/d/de-stijl|url-morta=yes}}</ref><ref>{{Cita libro|título=A Dictionary of Architecture and Landscape Architecture|url=https://archive.org/details/dictionaryofarch00curl_0|ano=2006|edición=Second|editorial=Oxford University Press|ISBN=978-0-19-860678-9}}</ref> Moitas das súas obras de arte consisten visiblemente en cadrados e triángulos, ás veces tamén círculos. Os artistas de De Stijl traballaron en pintura, mobiliario e arquitectura. Logo da separación de De Stijl, Van Doesburg fundou o movemento [[Vangardas|de vangarda]] ''Art Concret'', describindo a súa obra de finais dos 1920 titulada ''Seis Momentos no Desenvolvemento do Plano ao Espazo'', como unha serie de cadrados negros sobre a diagonal dun fondo cadrado, como ''"unha estrutura que se pode controlar, unha superficie definida sen elementos aleatorios nin capricho individual"'', porén "''Non lle falta espírito, non lle falta o universal e non lle falta... baleiro, xa que posúe un todo que se axusta ao ritmo interno"''. A crítica Gladys Fabre observou que hai dúas progresións traballando na pintura, os cadrados negros en crecemento e os fondos alternos.<ref>{{Cita libro|apelidos=Tubbs, Robert|título=Mathematics in Twentieth-Century Literature and Art: Content, Form, Meaning|ano=2014|editorial=JHU Press|páxinas=44–47|ISBN=978-1-4214-1402-7}}</ref>

As matemáticas do teselado, os poliedros, a configuración do espazo e a autorreferencia proporcionaron ao artista gráfico M. C. Escher (1898-1972) moito material para os seus gravados en madeira.<ref>{{Cita web|url=http://www.nga.gov/collection/gallery/ggescher/ggescher-main1.html|título=Tour: M.C. Escher – Life and Work|editorial=NGA|data-acceso=13 de agosto de 2009|urlarquivo=https://web.archive.org/web/20090803124602/http://www.nga.gov/collection/gallery/ggescher/ggescher-main1.html|dataarquivo=3 de agosto de 2009}}</ref><ref>{{Cita web|url=http://www.mathacademy.com/pr/minitext/escher/|título=MC Escher|editorial=Mathacademy.com|data=1 de noviembre de 2007|data-acceso=13 de agosto de 2009|urlarquivo=https://web.archive.org/web/20071011061406/http://mathacademy.com/pr/minitext/escher/|dataarquivo=11 de octubre de 2007}}</ref> No ''Bosquexo da Alhambra'' demostrou que se pode crear arte con polígonos e formas regulares como triángulos, cadrados ou hexágonos. Tamén usou polígonos irregulares para teselar o plano e a miúdo usou reflexións e [[Translación (xeometría)|translacións]] para patróns adicionais. Moitas das súas obras conteñen construcións imposibles, con obxectos xeométricos que configuran unha contradición entre a proxección en perspectiva e as tres dimensións, pero son agradables á vista humana. O seu gravado "Ascendente e Descendente" baséase na "escaleira imposible" creada polo científico Lionel Sharples Penrose e o seu fillo o matemático [[Roger Penrose]].<ref>{{Cita publicación periódica|apelidos=Penrose|nome=L.S.|apelidos2=Penrose|nome2=R.|título=Impossible objects: A special type of visual illusion|ano=1958|volume=49|número=1|páxinas=31–33|doi=10.1111/j.2044-8295.1958.tb00634.x|PMID=13536303}}</ref><ref>{{Cita libro|apelidos=Kirousis|nome=Lefteris M.|apelidos2=Papadimitriou|nome2=Christos H.|ligazónautor2=Christos Papadimitriou|título=The complexity of recognizing polyhedral scenes|DOI=10.1109/sfcs.1985.59|páxinas=175–185|ano=1985|ISBN=978-0-8186-0644-1|cita=10.1.1.100.4844}}</ref><ref>{{Cita libro|DOI=10.1007/978-1-84800-229-6_9|ISBN=978-1-84800-229-6|páxinas=[https://archive.org/details/linedrawinginter00coop_873/page/n218 217]–230|editorial=Springer-Verlag|título=Line Drawing Interpretation|url=https://archive.org/details/linedrawinginter00coop_873|ano=2008}}</ref>

Algúns dos moitos debuxos de teselado de Escher inspiráronse en conversas co matemático [[Harold Scott MacDonald Coxeter]] sobre a [[xeometría hiperbólica]].<ref>{{Cita libro|apelidos=Roberts, Siobhan|ligazónautor=Siobhan Roberts|páxina=Chapter 11|título='Coxetering' with M.C. Escher|editorial=Walker|ano=2006}}</ref> Escher estaba especialmente interesado en cinco poliedros que aparecen moitas veces no seu traballo. Os [[Sólido platónico|sólidos platónicos]] ([[Tetraedro|tetraedros]], [[Cubo|cubos]], [[Octaedro|octaedros]], [[Dodecaedro|dodecaedros]] e [[Icosaedro|icosaedros]]) aparecen especialmente destacados en ''"Orde e Caos"'' e ''"Catro Sólidos Regulares"''.<ref>{{Cita libro|apelidos=Escher, M.C.|título=The World of MC Escher|editorial=Random House|data=1988}}</ref> Estas figuras adoitan situarse dentro doutras formas que distorcen aínda máis o ángulo de visión e a conformación dos poliedros, proporcionando unha obra de arte en perspectiva multi-facética.<ref>{{Cita libro|apelidos3=Ford, K.|título=Escher on Escher: Exploring the Infinite|ano=[[1989]]|editorial=HN Abrams}}</ref>

A complexidade visual das estruturas matemáticas, como as teselacións e os poliedros, inspirou unha gran variedade de obras de arte matemáticas. Stewart Coffin deseñou crebacabezas poliédricos en madeiras raras e fermosas; George W. Hart traballou na teoría de poliedros e esculpiu obxectos inspirados neles; Magnus Wenninger tamén realizou destacados modelos de [[Poliedro|poliedros]] estelados complexos.<ref>{{Cita web|título=Mathematics and Art. 5. Polyhedra, tilings, and dissections|url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art5|editorial=American Mathematical Society|data-acceso=1 de setembro de 2015}}</ref>

As perspectivas distorsionadas con efectos de [[Anamorfismo|anamorfoses]] exploráronse na arte desde o s. [[XVI]], cando [[Hans Holbein o Novo]] incorporou un cranio severamente distorto na súa pintura ''"Os embaixadores"'' de [[1533]]. Moitos artistas desde aquela, incluído Escher, fixeron uso de trucos anamórficos.<ref>{{Cita libro|apelidos=Marcolli, Matilde|ligazónautor=Matilde Marcolli|título=The notion of Space in Mathematics through the lens of Modern Art|editorial=Century Books|data=July 2016|url=http://www.its.caltech.edu/~matilde/SpaceMathArticle.pdf|páxinas=23–26}}</ref>

As matemáticas propias da [[topoloxía]] inspiraron a varios artistas modernos. O escultor [[John Robinson]] (1935-2007) creou obras como ''Gordian Knot'' (no gordiano) e ''Bands of Friendship (Bandas de amizade),'' mostrando a [[teoría de nós]] en [[bronce]] puído.<ref name="Emmer" /> 

Outros traballos de Robinson exploran a topoloxía de [[Toro (xeometría e topoloxía)|figuras toroidales]]. A súa obra ''Xénese'' baséase nun ''nó borromeo'', un conxunto de tres aros entrelazados.<ref>{{Cita web|url=http://www.bradshawfoundation.com/jr/|título=John Robinson|data=2007|editorial=Bradshaw Foundation|data-acceso=13 de agosto de 2009}}</ref> O escultor [[Helaman Ferguson]] creou complexas [[Superficie|superficies]] e outros [[Espazo topolóxico|obxectos topolóxicos]].<ref>{{Cita web|url=http://www.helasculpt.com/index.html|título=Helaman Ferguson web site|editorial=Helasculpt.com|data-acceso=13 de agosto de 2009|urlarquivo=https://web.archive.org/web/20090411034819/http://www.helasculpt.com/index.html|dataarquivo=11 de abril de 2009|url-morta=yes}}</ref> As súas obras son representacións de obxectos matemáticos; ''The Eightfold Way'' baséase no grupo lineal especial proxectivo PSL(2,7), un grupo finito de 168 elementos.<ref>{{Cita libro|url=http://www.msri.org/publications/books/Book35/files/thurston.pdf|título=The Eightfold Way: A Mathematical Sculpture by Helaman Ferguson|apelidos=Thurston, William P.|editorial=MSRI Publications|ano=1999|páxinas=1–7|apelidos-editor=Levy, Silvio}}</ref><ref>{{Cita web|url=http://www.maa.org/reviews/eightfold.html|título=MAA book review of ''The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve''|editorial=Maa.org|data=14 de noviembre de 1993|data-acceso=13 de agosto de 2009|data-arquivo=21 de decembro de 2009|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20091221061724/http://www.maa.org/reviews/eightfold.html|url-morta=yes}}</ref> A escultora Bathsheba Grossman baseou o seu traballo en estruturas matemáticas de maneira similar.<ref>{{Cita web|url=http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/the-math-geek-holiday-gift-guide/|título=The Math Geek Holiday Gift Guide|editorial=[[Scientific American]]|data=23 de noviembre de 2014|data-acceso=7 de junio de 2015}}</ref><ref>{{Cita web|título=Gallery: Bathsheba Grossman|url=http://www.symmetrymagazine.org/article/september-2005/gallery-bathsheba-grossman|editorial=Symmetry Magazine|data-acceso=7 de junio de 2015}}</ref>

Un proxecto de investigación sobre artes liberais examina as conexións entre as matemáticas e a arte a través da [[banda de Möbius]], [[Flexágono|flexágonos]], [[Origami|origamis]] e fotografías panorámicas.<ref>{{Cita libro|apelidos=Fleron|nome=Julian F.|apelidos2=Ecke|nome2=Volker|apelidos3=von Renesse|nome3=Christine|apelidos4=Hotchkiss|nome4=Philip K.|título=Art and Sculpture: Mathematical Inquiry in the Liberal Arts|data=January 2015|editorial=Discovering the Art of Mathematics project|edición=2nd|url=https://www.artofmathematics.org/books/art-and-sculpture}}</ref> No caso do ''origami'', do que logo falaremos, podiamos considerar as aplicacións en eidos científicos e tecnolóxicos como a [[aeronáutica]], e recentemente as investigacións de [[Robert Lang]] sobre os origamis descubriron axiomas que gobernan a súa creación, algúns coñecidos desde hai séculos e outros non. Mediante simulacións por ordenador Lang descubriu que se podía crear practicamente calquera figura complexa reducíndoa de forma matemática a un esquema, sendo logo o ordenador o que exploraría as fórmulas para indicar os pregues en papel que o artista tería de realizar. 

Os obxectos matemáticos, incluídos o [[Atractor de Lorenz]] e o plano hiperbólico, creáronse utilizando a arte do tecido, coma o crochet.<ref>{{Cita publicación periódica|apelidos=Henderson|nome=David|apelidos2=Taimina|nome2=Daina|ligazónautor2=Daina Taimina|doi=10.1007/BF03026623|número=2|páxinas=17–28|título=Crocheting the hyperbolic plane|url=http://www.math.cornell.edu/%7Edwh/papers/crochet/crochet.PDF|volume=23|ano=2001}}.</ref><ref>{{Cita publicación periódica|apelidos=Osinga|nome=Hinke M|ligazónautor=Hinke Osinga|apelidos2=Krauskopf|nome2=Bernd|doi=10.1007/BF02985416|número=4|páxinas=25–37|título=Crocheting the Lorenz manifold|url=http://www.enm.bris.ac.uk/anm/preprints/2004r03.html|volume=26|ano=2004|cita=10.1.1.108.4594|data-acceso=15 de abril de 2021|data-arquivo=19 de abril de 2013|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20130419094659/http://www.enm.bris.ac.uk/anm/preprints/2004r03.html|url-morta=yes}}</ref> A tecedora estadounidense [[Ada Dietz]] escribiu unha monografía en [[1949]] titulada ''Algebraic Expressions in Handwoven Textiles'' (''"Expresións alxebraicas en téxtiles tecidos a man''"), que define patróns de tecido baseados na expansión de [[Polinomio|polinomios]] de múltiples variables.<ref>{{Cita web|url=http://www.cs.arizona.edu/patterns/weaving/monographs/dak_alge.pdf|páxina-web=cs.arizona.edu (arquivado)|título=monographs/dak_alge|data-acceso=16 de marzo de 2024|data-arquivo=22 de febreiro de 2016|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20160222003421/http://www.cs.arizona.edu/patterns/weaving/monographs/dak_alge.pdf|url-morta=unfit}}</ref>

O matemático J. C. P. Miller usou o autómata celular Rule 90 para deseñar tapices que representaban tantas árbores como patróns abstractos de triángulos.<ref>{{Cita publicación periódica|ligazónautor=J. C. P. Miller|título=Periodic forests of stunted trees|serie=Series A, Mathematical and Physical Sciences|volume=266|número=1172|ano=1970|páxinas=63–111|doi=10.1098/rsta.1970.0003|JSTOR=73779|bibcode=1970RSPTA.266...63M}}</ref> Os ''"mathekniticians"'' Pat Ashforth e Steve Plummer usaron versións tecidas de obxectos matemáticos como flexágonos para as súas clases, aínda que a súa [[esponxa de Menger]] resultou ser demasiado complexa para tecerse e confeccionouse con lona plástica no seu lugar.<ref>{{Cita web|título=Pat Ashforth & Steve Plummer – Mathekniticians|url=http://www.woollythoughts.com/aboutus.html|data-acceso=4 de octubre de 2015}}</ref><ref>{{Cita novas|apelidos=Ward|nome=Mark|título=Knitting reinvented: Mathematics, feminism and metal|url=https://www.bbc.co.uk/news/technology-19208292|editorial=BBC|data-acceso=23 de setembro de 2015|data=20 de agosto de 2012}}</ref><ref>{{Cita web|título=Menger Sponge|url=http://www.woollythoughts.com/menger.html|data-acceso=23 de setembro de 2015}}</ref> O seu proxecto ''"mathghans"'' (Afghanos nas Escolas) introduciu o punto no currículo británico de matemática e tecnoloxía.<ref>{{Cita web|título=Afghans for Schools|url=http://www.woollythoughts.com/schools/index.html|data-acceso=23 de setembro de 2015}}</ref><ref>{{Cita publicación periódica|título=Mathghans with a Difference|url=http://www.simplyknitting.co.uk/2008/07/01/mathghans-with-a-difference/|editorial=Simply Knitting Magazine|data-acceso=23 de setembro de 2015|data=1 de xullo de 2008|urlarquivo=https://web.archive.org/web/20150925133153/http://www.simplyknitting.co.uk/2008/07/01/mathghans-with-a-difference/|dataarquivo=25 de setembro de 2015|url-morta=yes}}</ref>


<gallery perrow="6" widths="200">
Ficheiro:Hans Holbein the Younger - The Ambassadors - Google Art Project.jpg|[[Anamorfismo]]: ''Os embaixadores'', obra de [[Hans Holbein o Novo]], [[1533]], cun cranio fortemente distorto.
Ficheiro:Jouffret.gif|[[Cuarta dimensión]] no [[cubismo]]: [[Esprit Jouffret]], [[1903]]. ''Tratado elemental de xeometría en catro dimensións''.{{Sfnp|Miller|2001|p=171}}<ref>{{cite book|last=Jouffret|first=Esprit|title=Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions et introduction à la géométrie à n dimensions|url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=04810001|accessdate=26 de setembro de 2015|year=1903|publisher=Gauthier-Villars|location=Paris|language=francés|oclc=1445172}}</ref><ref>[[Maurice Princet]] deulle unha copia a [[Pablo Picasso]]. Os seus cadernos de debuxo para ''[[Las señoritas de Avignon]]'' ilustran aa influencia de Jouffret.</ref><ref name="Miller">{{cite book|last=Miller|first=Arthur I.|title=Einstein, Picasso: Space, Time, and the Beauty That Causes Havoc|url=https://archive.org/details/einsteinpicassos00mill|year=2001|publisher=Basic Books|location=New York|isbn=978-0-465-01860-4|page=[https://archive.org/details/einsteinpicassos00mill/page/171 171]}}</ref><ref>{{cite book|last=Seckel|first=Hélène|editor=William Rubin|editor2=Hélène Seckel|editor3=Judith Cousins|title=Les Demoiselles d'Avignon|year=1994|publisher=Museum of Modern Art|location=New York|isbn=978-0-87070-162-7|page=264|chapter=Anthology of Early Commentary on ''Les Demoiselles d'Avignon''}}</ref>
Ficheiro:JuanGris.Portrait of Picasso.jpg|Retrato de [[Pablo Ruiz Picasso]], por [[Juan Gris]]. Proxección dun modelo [[Espazo tridimensional|tridimensional]] en facetas planas superpostas.
Ficheiro:Theo van Doesburg Composition I.jpg|Movimento de [[De Stijl]]: ''Composition I (Still Life)'', obra de [[Theo van Doesburg]] de [[1916]].
Ficheiro:Moebiusstripscarf.jpg|Unha [[banda de Möbius]], en forma de bufanda calcetada, [[2007]]
Ficheiro:Magnus Wenninger polyhedral models.jpg|[[Pedagoxía]] e arte: [[Magnus Wenninger]] con algúns dos seus [[Poliedro|poliedros]] [[Estelación|estelados]], [[2009]] 
</gallery>

=== Ilustrando matemáticas ===
{| class="wikitable floatleft" width="250px"
|[[Ficheiro:Polittico_stefaneschi,_verso.jpg|centro|227x227px]]
|[[Ficheiro:Polittico_Stefaneschi,_dettaglio.jpg|centro|200x200px]]
|-
| colspan="2" style="font-size:85%; line-height:125%;" |''Tríptico Stefaneschi'' de [[Giotto di Bondone|Giotto]] (1320), exemplo de [[Recursividade|recursión]]. Á dereita, detalle co Cardeal Stefaneschi suxeitando o tríptico completo
|}
[[Ficheiro:BRX-musée-magritte.2.JPG|miniatura|Fachada do [[Museo Magritte]]: o lenzo representa un escenario real envolvido polo propio lenzo]]
[[Ficheiro:Palacio_de_Gaviria_Escher.jpg|miniatura|Autorretrato de M. C. Escher ([[1935]]) reflectido sobre unha esfera de cristal]]
A modelaxe está lonxe de ser a única maneira posible de ilustrar conceptos matemáticos. O ''Tríptico Stefaneschi'' de [[Giotto di Bondone|Giotto]] ([[1320]]), ilustra a [[recursividade]] na forma de ''mise en abyme''. O panel central do tríptico contén no seu parte inferior esquerda a figura axeonllada do cardeal Stefaneschi, sostendo o tríptico completo como ofrenda.<ref>{{Cita web|título=Giotto di Bondone and assistants: Stefaneschi triptych|url=http://mv.vatican.va/3_EN/pages/PIN/PIN_Sala02_03.html|editorial=The Vatican|data-acceso=16 de setembro de 2015}}</ref> As pinturas [[Metafísica|metafísicas]] de [[Giorgio de Chirico]], como o seu "Gran Interior metafísico" de 1917, exploran os niveis de representación na arte mediante a inclusión de pinturas dentro das súas pinturas.<ref>{{Cita libro|apelidos=Gamwell|nome=Lynn|título=Mathematics and Art: A Cultural History|data=2015|editorial=Princeton University Press|páxinas=337–338|ISBN=978-0-691-16528-8}}</ref>

A arte pode exemplificar paradoxos lóxicos, como as pinturas do [[Surrealismo|surrealista]] [[René Magritte]] que se poden ler como bromas de semiótica sobre a confusión entre niveis de significado. En ''La condition humaine'' (1933), Magritte representa un cabalete (sobre o lenzo real), no que aparece unha vista a través dunha xanela que está enmarcada por cortinas "reais" na pintura. De maneira similar, ''Print Gallery'' de Escher ([[1956]]), representa unha cidade distorsionada que contén unha galería na que [[Recursividade|recursivamente]] aparece a propia imaxe, e así ''ad infinitum''.<ref>{{Cita web|título=Art and Mathematics|url=http://www.doctordada.com/art/art-and-mathematics/|data-acceso=5 de setembro de 2015|data=5 de setembro de 2007}}</ref> Magritte fixo uso de esferas e cuboides para distorcer a realidade de forma diferente, pintándoas xunto a distintas casas na súa obra ''Aritmética mental'' de 1931 coma se fosen bloques de construción para nenos, pero do tamaño dunha casa.<ref>{{Cita libro|apelidos=Hofstadter|nome=Douglas R.|ligazónautor=Douglas Hofstadter|título=Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid|data=1980|editorial=Penguin|ISBN=978-0-14-028920-6|páxina=627}}</ref> Un artigo de ''[[The Guardian]]'' sinalaba que a "imaxe misteriosa da cidade de xoguete" profetizaba a usurpación por parte do modernismo das ''"tradicionais formas acolledoras"'', pero que tamén xogaba coa tendencia humana a buscar patróns na natureza.<ref>{{Cita novas|apelidos=Hall|nome=James|título=René Magritte: The Pleasure Principle – exhibition|url=https://www.theguardian.com/artanddesign/2011/jun/10/rene-magritte-pleasure-principle-exhibition|data-acceso=5 de setembro de 2015|data=10 de junio de 2011}}</ref>

O cadro de [[Salvador Dalí]], ''La cola de golondrina'' (1983), foi parte dunha serie inspirada na teoría das catástrofes de René Thom.<ref name="King">{{Cita libro|apelidos=King|nome=Elliott|apelidos-editor=Ades|título=Dali|data=2004|editorial=Bompiani Arte|lugar=Milan|páxinas=418–421}}</ref> O pintor e escultor español [[Pablo Palazuelo]] (1916-2007) centrouse na investigación da forma. Desenvolveu un estilo que describiu como ''a xeometría da vida e a xeometría de toda a natureza'', consistente en formas xeométricas simples con patróns e cores detalladas, en obras como ''Angular I'' e ''Automnes'', Palazuelo expresouse mediante transformacións xeométricas.<ref name="Emmer" />

Adrian Gray ideou o equilibrio de rocas, xogando coas condicións de [[fricción]] e o centro de masas para crear composicións sorprendentes e aparentemente imposibles.<ref>{{Cita publicación periódica|título=Stone balancing|url=http://mei.org.uk/files/pdf/MM_July_2013.pdf|número=29|data=July 2013|data-acceso=10 de junio de 2017|data-arquivo=16 de abril de 2021|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20210416080503/https://mei.org.uk/files/pdf/MM_July_2013.pdf|url-morta=yes}}</ref>

Os artistas, con todo, non necesariamente asumen literalmente as propiedades da xeometría como ciencia. Como Douglas Hofstadter escribiu na súa reflexión de 1980 sobre o pensamento humano, ''Gödel, Escher, Bach: un Eterno e Grácil Bucle'', a través de (entre outras cousas) as matemáticas da arte: ''"A diferenza entre un debuxo de Escher e a [[xeometría non euclidiana]] é que nesta última, pódense atopar interpretacións comprensibles para os termos indefinidos, o que resulta nun sistema total comprensible, mentres que para o primeiro, o resultado final non se pode reconciliar coa propia concepción do mundo, sen importar canto se mire ás imaxes".'' Hofstadter discute a aparentemente [[Paradoxo|paradoxal]] litografía ''"Print Gallery"'' de [[Maurits Cornelis Escher|M. C. Escher]], que representa unha cidade costeira que á vez contén unha galería de arte que parece conter outra pintura da cidade costeira, cun "bucle estraño ou xerarquía entramada" entre os distintos niveis de realidade da imaxe. O propio artista, observa Hofstadter, non se ve; a súa realidade e a súa relación coa litografía non son paradoxais.<ref name="GEB">{{Cita libro|apelidos=Hofstadter|nome=Douglas R.|ligazónautor=Douglas Hofstadter|título=Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid|data=1980|editorial=Penguin|ISBN=978-0-394-74502-2|páxinas=98–99, 690–717}}</ref> O baleiro central da imaxe tamén atraeu o interese dos matemáticos Bart de Smit e Hendrik Lenstra, que propoñen que podería conter unha copia de si mesma, rotada e encolleita mediante o efecto Droste; esta sería unha ilustración máis da recursividade alén do sinalado por Hofstadter.<ref>{{Cita publicación periódica|título=The Mathematical Structure of Escher's Print Gallery|ano=2003|volume=50|número=4|páxinas=446–451}}</ref><ref name="LenstraWebsite">{{Cita web|título=Applying mathematics to Escher's Print Gallery|url=http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/index.php?menu=intro|editorial=Leiden University|data-acceso=10 de noviembre de 2015|data-arquivo=14 de xaneiro de 2018|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20180114013908/http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/index.php?menu=intro|url-morta=yes}}</ref>

=== Análise da historia da arte ===
A análise algorítmica de imaxes de obras de arte, por exemplo, usando fluorescencia de raios X, pode revelar información sobre a arte. Tales técnicas poden descubrir imaxes en capas de pintura cubertas máis tarde por un artista; axudar á historiadores da arte a visualizar unha obra de arte antes de que se grete ou se desvaneza; axudar a diferenciar unha copia dun orixinal, ou distinguir o estilo de pincelada dun mestre do dos seus aprendices.<ref>{{Cita web|título=Van Gogh and the Algorithm: How Math Can Save Art|url=http://time.com/2884058/math-art-van-gogh-duke/|editorial=Time Magazine|data-acceso=4 de setembro de 2015|data=16 de junio de 2014}}</ref><ref>{{Cita web|título=The Van Gogh Project: Art Meets Mathematics in Ongoing International Study|url=https://www.siam.org/news/news.php?id=1568|editorial=Society for Industrial and Applied Mathematics|data-acceso=4 de setembro de 2015|data=18 May 2009|urlarquivo=https://web.archive.org/web/20150907222302/http://www.siam.org/news/news.php?id=1568|dataarquivo=07 de setembro de 2015|url-morta=yes}}</ref>
[[Ficheiro:Lissajous_figures_08079_nevit.jpg|miniatura|[[Max Ernst]] experimentou con [[curvas de Lissajous]] na [[década de 1940]].]]
O estilo denominado ''dripping'' ("goteo") ideado por [[Jackson Pollock|Pollock]]<ref name="Emmerling">{{Cita libro|título=Jackson Pollock, 1912–1956|data=2003|páxina=63|ISBN=978-3-8228-2132-9|url=https://books.google.com/books?id=K-ZZmvjJ_-IC&pg=PA63}}</ref> posúe unha dimensión fractal definida; entre os artistas que poden influír no [[Teoría do caos|caos]] controlado, Max Ernst pintou curvas de Lissajous directamente facendo balancearse un cubo de pintura furado colgado sobre un lenzo.<ref>{{Cita publicación periódica|apelidos3=Jonas, David|título=Fractal analysis of Pollock's drip paintings|volume=399|número=6735|páxina=422|data=June 1999|doi=10.1038/20833|url=http://materialscience.uoregon.edu/taylor/art/Nature1.pdf|urlarquivo=https://web.archive.org/web/20150816105250/http://materialscience.uoregon.edu/taylor/art/Nature1.pdf|dataarquivo=16 de agosto de 2015|bibcode=1999Natur.399..422T|data-acceso=15 de abril de 2021|url-morta=yes}}</ref><ref>{{Cita publicación periódica|apelidos=Taylor|cita=Pollock morreu en 1956, antes de que se descubrisen o [[caos]] e os [[fractais]]. Polo tanto, é moi improbábel que Pollock entendese conscientemente os fractais que pintaba. Con todo, a súa introdución da fractalidade foi deliberada. Por exemplo, a cor da capa de áncora escolleuse para producir o contraste máis nítido contra o fondo do lenzo e esta capa tamén ocupa máis espazo do lenzo que as outras capas, o que suxire que Pollock quería que esta capa de áncora altamente fractal dominase visualmente a pintura. Ademais, despois de completar as pinturas, atracaba o lenzo para eliminar as rexións próximas ao bordo do lenzo onde a densidade do patrón era menos uniforme.|urlarquivo=https://archive.today/20120805084052/http://phys.unsw.edu.au/phys_about/PHYSICS!/FRACTAL_EXPRESSIONISM/fractal_taylor.html|data-acceso=2 de abril de 2019|páxinas=25–28|número=10|volume=12|doi=10.1088/2058-7058/12/10/21|data=October 1999|nome=Richard|url=http://phys.unsw.edu.au/phys_about/PHYSICS!/FRACTAL_EXPRESSIONISM/fractal_taylor.html|título=Fractal Expressionism: Can Science Be Used To Further Our Understanding Of Art?|nome3=David|apelidos3=Jonas|nome2=Adam P.|apelidos2=Micolich|dataarquivo=05 de agosto de 2012|url-morta=yes}}</ref><ref>{{Cita web|url=https://www.herts.ac.uk/__data/assets/pdf_file/0013/12307/WPIAAD_vol2_king.pdf|título=From Max Ernst to Ernst Mach: epistemology in art and science.|apelidos=King|nome=M.|data=2002|data-acceso=17 de setembro de 2015}}</ref>

[[Neil Dodgson]] investigou se as pinturas de raias de [[Bridget Riley]] se podían caracterizar matematicamente, concluíndo que aínda que a distancia de separación podía "proporcionar algunha caracterización" e o concepto de [[entropía]] global funcionaba nalgunhas pinturas, a [[Autocorrelación|correlación]] obtida non era concluínte, porque os seus patróns eran irregulares. A análise da entropía local funcionou mellor, e correlacionouse ben coa descrición do crítico de arte [[Robert Kudielka]].<ref>{{Cita publicación periódica|apelidos=Dodgson|nome=N. A.|título=Mathematical characterisation of Bridget Riley's stripe paintings|data=2012|volume=5|número=2–3|páxinas=89–106|url=http://www.cl.cam.ac.uk/~nad10/pubs/jma12.pdf|cita=ao longo [dos] principios dos anos 80, os patróns de Riley pasaron de máis regulares a máis [[aleatorio]]s (como se caracteriza pola [[entropía]] global), sen perder a súa estrutura rítmica (como se caracteriza pola entropía local). Isto reflicte a descrición de Kudielka do seu desenvolvemento artístico.|doi=10.1080/17513472.2012.679468}}</ref>

A ''medida estética'' do matemático [[George David Birkhoff]], de [[1933]], propón unha métrica cuantitativa da [[Estética|calidade estética]] dunha obra de arte. Non tenta medir as connotacións dunha obra, como o significado dunha pintura, senón que se limita aos "elementos de orde". Para iso, combina (como suma) cinco destes parámetros: se existe un eixo vertical de simetría; se hai equilibrio óptico; cantas simetrías rotativas ten; como é o fondo da figura; e se hai características insatisfactorias, como ter dous vértices demasiado xuntos. Esta métrica, ''O'', toma un valor entre −3 e 7. A segunda métri''c''a, C, ten en conta os elementos da figura, que para un polígono é o número de distintas rectas que conteñen polo menos un dos seus lados. A continuación, define a súa medida estética da beleza dun obxecto como "O/C". Isto pódese interpretar como un equilibrio entre o pracer de ver o obxecto dado e a cantidade de esforzo necesario para asimilalo. A proposta de Birkhoff foi criticada de varias maneiras, non só por tratar de reducir a beleza a unha fórmula, aínda que el sempre negou telo feito.<ref name="Cucker116">{{Cita libro|apelidos=Cucker|nome=Felix|título=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics|url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck|data=2013|editorial=Cambridge University Press|ISBN=978-0-521-72876-8|páxinas=[https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck/page/116 116]–120}}</ref>

=== Os estímulos á investigación matemática ===
{{Véxase tamén|Xeometría proxectiva|Matemáticas do origami}}
[[Ficheiro:Origami_spring.jpg|esquerda|miniatura|[[Origami]] matemático: ''[[Resorte]]'' ''en Acción'', por Jeff Beynon, construído cun único rectángulo de papel.<ref>[http://www1.ttcn.ne.jp/~a-nishi/ The World of Geometric Toys], ''[http://www1.ttcn.ne.jp/~a-nishi/spring/z_spring.html Origami Spring]'', August, 2007.</ref>]]
[[Ficheiro:Della_Pittura_Alberti_perspective_circle_to_ellipse.jpg|miniatura|Orixe remota da [[xeometría proxectiva]]: diagrama de [[Leon Battista Alberti|Alberti]] mostrando un círculo en perspectiva visto como unha [[Elipse (xeometría)|elipse]]. ''Della Pittura'', 1435–6]]
A arte ten estimulado o desenvolvemento das matemáticas, como cando a teoría de Brunelleschi sobre a arquitectura e pintura supuxo o inicio dun ciclo de investigación que conduciu ao traballo de Brook Taylor e Johann Heinrich Lambert sobre os fundamentos matemáticos do debuxo en perspectiva, e, en última instancia, ás matemáticas da [[xeometría proxectiva]] de Girard Desargues e [[Jean-Victor Poncelet]].<ref>{{Cita web|título=The Geometry of Perspective Drawing on the Computer|url=http://www.math.utah.edu/~treiberg/Perspect/Perspect.htm|editorial=University of Utah|data-acceso=5 de setembro de 2015|data=24 de julio de 2001}}</ref><ref>{{Cita libro|apelidos=Gamwell|nome=Lynn|título=Mathematics and Art: A Cultural History|data=2015|editorial=Princeton University Press|páxina=xviii|ISBN=978-0-691-16528-8}}</ref>

A arte xaponesa de encartado de papel, o [[origami]], foi revisada matematicamente por Tomoko Fuse. Partindo de pezas de papel congruentes, como cadrados, analiza as operacións necesarias para convertelas en poliedros ou teselas.<ref>{{Cita web|título=Mathematics and Art. 6. Origami|url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art6|editorial=American Mathematical Society|data-acceso=1 de setembro de 2015}}</ref> Esta técnica foi utilizada en [[1893]] por T. Sundara Rao nos seus ''"Exercicios xeométricos de encartado de papel"'' para  demostracións xeométricas.<ref>{{Cita libro|título=Geometric Exercises in Paper Folding|apelidos=T. Sundara Rao|url=http://name.umdl.umich.edu/ACV5060.0001.001|editorial=Addison|ano=1893}}</ref> As [[Origami|matemáticas do origami]] foron exploradas no teorema de Maekawa, o teorema de Kawasaki, e nos axiomas de Huzita–Hatori.<ref>{{Cita publicación periódica|título=Mathematics of Origami, part 9|data=June 1986|páxinas=28–30}}.</ref><ref>{{Cita libro|título=Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics|nome=Claudi|apelidos=Alsina|nome2=Roger|apelidos2=Nelsen|editorial=[[Mathematical Association of America]]|ISBN=978-0-88385-348-1|volume=42|ano=2010|páxina=57|url=https://books.google.com/books?id=mIT5-BN_L0oC&pg=PA57}}</ref><ref>{{Cita publicación periódica|título=One-, Two-, and Multi-Fold Origami Axioms|url=http://www.math.sjsu.edu/~alperin/AlperinLang.pdf|ano=2009|data-acceso=15 de abril de 2021|data-arquivo=13 de febreiro de 2022|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20220213123946/http://www.math.sjsu.edu/~alperin/AlperinLang.pdf|url-morta=yes}}</ref>

=== Ilusións ópticas e Op-art ===
{{Artigo principal|Op art}}
[[Ficheiro:Fraser_spiral.svg|miniatura|[[Ilusión da espiral de Fraser]], nomeada así por Sir James Fraser, que a descubriu en 1908.]]
As [[Ilusión óptica|ilusións ópticas]] como a espiral de Fraser demostran sorprendentemente as limitacións na percepción visual humana, creando o que o [[Historia da arte|historiador da arte]] Ernst Gombrich chamou un "truco desconcertante". As liñas en branco e negro que parecen formar [[Espiral|espirais]] son de feito concéntricas. O estilo das pinturas e os gráficos do movemento [[Op art|Op-art]] de mediados do século XX aproveitou tales efectos para crear a impresión de movemento e patróns de vibración ou escintileos, propios do traballo de artistas como [[Bridget Riley]], [[Spyros Horemis]], e [[Victor Vasarely]].<ref>{{Cita libro|apelidos=Cucker|nome=Felix|título=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics|url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck|data=2013|editorial=Cambridge University Press|ISBN=978-0-521-72876-8|páxinas=[https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck/page/163 163]–166}}</ref><ref>{{Cita libro|apelidos=Gamwell|nome=Lynn|título=Mathematics and Art: A Cultural History|data=2015|editorial=Princeton University Press|páxinas=406–410|ISBN=978-0-691-16528-8}}</ref> e explorado teoricamente nos ensaios de [[Rudolf Arnheim]], que participou como crítico explicando os traballos dalgúns deles no filme ''"The responsive eye"''.

Outros artistas neste ámbito amplo son [[Robert Bosh]], [[Olafur Eliasson]], [[Alexander Calder]], [[Messen-Jaschin]], [[Frank Stella]] ou [[Ad Reinhardt]].

=== Xeometría sacra ===
{{Véxase tamén|Xeometría sacra|Música e matemáticas}}Unha corrente da arte desde a Grecia antiga en diante ve a Deus como o creador xeómetra do mundo, e a xeometría do mundo, por tanto, como sacra. A crenza de que Deus creou o universo cun plan xeométrico ten orixes antigas. [[Plutarco de Queronea|Plutarco]] atribuíu a crenza a Platón, escribindo ''"[[Platón]] dixo que Deus xeometriza continuamente"'' (''Convivialium disputationum'', liber 8,2). Esta imaxe influíu no pensamento occidental desde aquela. O concepto platónico derivou á súa vez dunha noción de harmonía pitagórica na música, onde as notas estaban situadas en espazos de proporcións perfectas, que se correspondían ás lonxitudes das cordas da lira; de feito, os [[Pitágoras|pitagóricos]] sostiñan que todo estaba organizado polo ''Número''. Da mesma forma, no pensamento platónico, os [[Sólido platónico|sólidos platónicos]] (o cinco [[Poliedro regular|poliedros regulares convexos]]) ditan as proporcións atopadas na natureza e na arte.<ref>{{Cita libro|apelidos=Ghyka|nome=Matila|título=The Geometry of Art and Life|data=2003|editorial=Dover|ISBN=978-0-486-23542-4|páxinas=[https://archive.org/details/geometryofartlif00mati/page/ ix–xi]|url=https://archive.org/details/geometryofartlif00mati/page/}}</ref><ref>{{Cita libro|apelidos=Lawlor|nome=Robert|título=Sacred Geometry: Philosophy and Practice|data=1982|editorial=Thames & Hudson|ISBN=978-0-500-81030-9|url=https://archive.org/details/sacredgeometryph00lawl}}</ref> Unha ilustración dun manuscrito medieval pode referirse a un verso do [[Antigo Testamento]]: "''Cando estableceu os ceos, eu estaba alí: cando estableceu un compás sobre a face do profundo"'' (''Proverbios'' 8:27), que mostra a Deus debuxando o universo cun par de compases.<ref name="Calter">{{Cita web|título=Celestial Themes in Art & Architecture|url=https://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit10.html|editorial=Dartmouth College|data-acceso=5 de setembro de 2015|data=1998}}{{Ligazón morta|data=abril de 2021}}</ref>

En [[1596]], o astrónomo e matemático [[Johannes Kepler]] modelou o universo como un conxunto de sólidos platónicos aniñados, determinando os tamaños relativos das órbitas dos planetas. Dúas pinturas de [[William Blake]], ''Ancient of Days''<ref name="Calter"/> e ''Isaac Newton'', tentan representar o contraste entre o mundo espiritual matematicamente perfecto e o mundo físico imperfecto.<ref>{{Cita web|título=The Thought of a Thought – Edgar Allan Poe|url=http://www.mathpages.com/home/kmath522/kmath522.htm|editorial=MathPages|data-acceso=5 de setembro de 2015}}</ref> [[Salvador Dalí|Dalí]], pola súa banda, na súa obra de [[1954]] ''Crucifixión'', visualiza a cruz como un hipercubo, que representa a perspectiva divina con catro dimensións en lugar das tres habituais.<ref name="CorpusHypercubus"/> Noutra das súas obras, ''A Última Cea'' ([[1955]]), Cristo e os seus discípulos están representados no interior dun gran [[dodecaedro]] xigante<ref>{{Cita web|ligazónautor=Mario Livio|título=The golden ratio and aesthetics|url=https://plus.maths.org/content/golden-ratio-and-aesthetics|data-acceso=26 de junio de 2015|data=November 2002}}</ref>
<gallery perrow="6" widths="200">
Ficheiro:God the Geometer.jpg|Deus o xeómetra. ''[[Codex Vindobonensis]]'', c. [[1220]]
Ficheiro:Kepler-solar-system-2.png|[[Sólidos platónicos]] encaixados, modelo dos planetas no [[sistema solar]] incluído ''no [[Mysterium Cosmographicum]]'' de [[Johannes Kepler]], [[1596]]
Ficheiro:The Ancient of Days.jpg|''The Ancient of Days'', obra de [[William Blake]], [[1794]]
Ficheiro:William Blake - Newton.png|''[[Isaac Newton|Newton]]'', no lugar de [[Deus]] como xeómetra, de [[William Blake|Blake]], c. [[1800]]
Ficheiro:Back-of-dollar-1.jpg|Asociación de Deus cunha forma triangular (reverso dun billete de 1 [[dólar estadounidense]]).
Ficheiro:Masonic SquareCompassesG.svg|Símbolos [[Francmasonería|masónicos]]: Deus como o supremo arquitecto.
</gallery>

== Notas ==
{{Listaref|30em}}
== Véxase tamén ==
{{commonscat}}
=== Bibliografía ===
* {{Cita libro|título=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics|url=https://archive.org/details/manifoldmirrorsc0000cuck|apelidos=Cucker|nome=Felix|editorial=Cambridge University Press|ano=2013|ISBN=978-0-521-72876-8|ref=harv|lugar=Cambridge / Nova York|lingua=en}}
* {{Cita libro|título=Mathematics and Art: A Cultural History|apelidos=Gamwell|nome=Lynn|editorial=Princeton University Press|ano=2015|ISBN=978-0-691-16528-8|ref=harv|lugar=Princeton|lingua=en}}
* {{Cita libro|título=The Art of Mathematics|apelidos=King|nome=Jerry P.|editorial=Fawcett Columbine|ano=1992|ISBN=978-0-449-90835-8|ref=harv|lingua=en|lugar=Nova York}}
* {{Cita libro|título=Einstein, Picasso: Space, Time, and the Beauty That Causes Havoc|url=https://archive.org/details/einsteinpicassos00mill|apelidos=Miller|nome=Arthur I.|editorial=Basic Books|ano=2001|ISBN=978-0-465-01860-4|ref=harv|lugar=Nova York|lingua=en}}

=== Ligazóns externas ===

* [http://www.bridgesmathart.org/ Bridges Organization] conferencia sobre conexións entre arte e matemáticas
* [http://www.scientificamerican.com/slideshow/bridging-the-gap/ Bridging the Gap entre Math and Art] - Presentación de diapositivas de  ''Scientific American'' 
* [https://web.archive.org/web/20070926215621/http://www.btinternet.com/~connectionsinspace/index.html Conexións no espazo: topoloxía na arte]
* [https://www.artofmathematics.org/ Descubrindo a arte das matemáticas]
* [http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art1 Matemáticas e Arte] - AMS
* [http://www.cut-the-knot.org/ctk/ArtMath.shtml Mathematics and Art] - Alexander Bogomolny
* [http://www.ams.org/mathimagery/ Imaxes matemáticas] - American Mathematical Society
* [https://web.archive.org/web/20150507151115/http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/math-art-arch.shtml Matemáticas en Arte e Arquitectura] - Universidade Nacional de Singapura
* [http://virtualmathmuseum.org/mathart/MathematicalArt.html Mathematical Art] - Museo Virtual de Matemáticas
* [https://www.sciencenews.org/article/when-art-and-math-collide Cando a arte e as matemáticas chocan] - Science News
* [https://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2015/dec/02/why-the-history-of-maths-is-also-the-history-of-art Por que a historia das matemáticas é tamén a historia da arte]: Lynn Gamwell en The  Guardian  

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Matemática aplicada]]
[[Categoría:Historia da arte]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]