Ver o código fonte de «Madhava de Sangamagrama»

{{biografía}}
'''Iriññāttappiḷḷi Mādhavan Nampūtiri''', coñecido como '''Mādhava de Sangamagrāma''', nado no [[reino de Cochim]] arredor de 1340 e finado arredor de 1425, foi un matemático e astrónomo [[India|indio]], posiblemnte da cidade de [[Aloor, Kerala|Kallettumkara, Aloor Panchayath]], [[Irinjalakuda]] no distrito de [[Thrissur]], [[Kerala]]. Está considerado o fundador da [[Escola de Kerala|Escola de Astronomía e Matemáticas de Kerala]]. Un dos maiores matemáticos da [[Idade Media|Idade media]], Madhava realizou contribucións pioneiras no estudo das [[Serie (matemáticas)|series infinitas]], a [[análise matemática|análise]], a [[trigonometría]], a [[xeometría]] e a [[álxebra]]. Foi o primeiro que empregou aproximacións mediante series para as funcións trigonométricas, o que se denominou "o paso adiante decisivo dende os procedementos finitos da matemática antiga cara ao paso ao [[límite matemático|límite]] no [[infinito]]".<ref name="rajag78">
{{cita publicación periódica| título= On an untapped source of medieval Keralese Mathematics| nome1= C. T.|apelidos1= Rajagopal|nome2=M. S.|apelidos2= Rangachari| journal = Archive for History of Exact Sciences| volume= 18 | number = 2| date = xuño de 1978 | doi = 10.1007/BF00348142| pages = 89–102| doi-broken-date = 31 de outubro de 2021}}</ref>

Algúns estudosos suxeriron que a obra de Madhava, mediante os escritos da escola de Kerala, foi transmitida a Europa<ref name=raju>{{cita libro|nome= C. K.|apelidos= Raju|title = Cultural foundations of mathematics: the nature of mathematical proof and the transmission of the calculus from india to europe in the 16th c. CE|publisher = Pearson Longman|year =2007|place=Delhi}}</ref> mediante misioneiros xesuítas e comerciantes activos no antigo porto de [[Muziris]] nesa época. Como resultado, puido ter influencia no desenvolvemento posterior en Europa da análise e o cálculo.<ref name=almeida>{{cita publicación periódica|nome= D F|apelidos=Almeida|nome2=J K|apelidos2= John|nome3=A|apelidos3=Zadorozhnyy|title = Keralese mathematics: its possible transmission to Europe and the consequential educational implications|journal = Journal of Natural Geometry|volume= 20|year =2001|pages=77–104|issue=1}}</ref>

== Contribucións ==
=== Series infinitas ===
Entre as súas moitas contribucións, descubriu as series infinitas para as [[función trigonométrica|funcións trigonométricas]] do [[seno]], o [[coseno]] e o [[arcotanxente]] e moitos métodos de cálculo da [[circunferencia]] dun [[círculo]]. Unha das series de Madhava coñécese polo texto do ''[[Yuktibhāṣā]]'', que contén a a derivación e a demostración da [[serie de potencias]] para as función trigonométricas inversas, descubertas por Madhava.<ref name="infinity">{{cita web| publisher=D.P. Agrawal—Infinity Foundation|work=Indian Mathemematics| url=http://www.infinityfoundation.com/mandala/t_es/t_es_agraw_kerala.htm| title=The Kerala School, European Mathematics and Navigation| access-date=2006-07-09}}</ref> No texto, [[Jyeṣṭhadeva]] describe a serie do seguinte xeito:

{{cita|O primeiro termo é o produto do seno dado e o raio do arco desexado dividido polo coseno do arco. Os termos que suceden obtéñense por un proceso de iteración cando o primeiro termo é multiplicado repetidamente polo cadrado do seno e dividido polo cadrado do coseno. Todos os termos divídense entón polos números impares 1, 3, 5,... O arco obtense sumado e subtraendo respectivamente os termos impares e os termos pares. Establécese que o seno do arco ou do seu complemento, o que sexa menor, debe ser considerado aquí o seno dado. Caso contrario, os termos obtidos pola iteración superior non tenderán á magnitude descrecente..<ref name=Gupta>{{cita publicación periódica| nome= R C|apelidos= Gupta| title   = The Madhava-Gregory series| journal = Math. Education| volume  = 7| year    = 1973| pages   = B67–B70}}</ref>}}
Isto dá:
:<math> r\theta={\frac {r\sin  \theta  }{\cos  \theta
 }}-(1/3)\,r\,{\frac { \left(\sin \theta   \right) ^
{3}}{ \left(\cos  \theta   \right) ^{3}}}+(1/5)\,r\,{\frac {
 \left(\sin \theta  \right) ^{5}}{ \left(\cos
\theta  \right) ^{5}}}-(1/7)\,r\,{\frac { \left(\sin \theta
 \right) ^{7}}{ \left(\cos \theta  \right) ^{
7}}} + \cdots</math>

ou equivalentemente:
:<math>\theta = \tan \theta - \frac{\tan^3 \theta}{3} + \frac{\tan^5 \theta}{5} - \frac{\tan^7 \theta}{7} + \cdots</math>

Esta é a [[serie de Gregory]] (por [[James Gregory (matemático)|James Gregory]], que a redescubriu tres séculos despois de Madhava). Mesmo se consideramos esta serie particular como obra de [[Jyeṣṭhadeva]], adiantouse a Gregory nun século e certamente outra serie infinita dunha natureza similar foi traballada por Madhava. Actualmente denomínase serie de Madhava-Gregory-Leibniz.<ref name=Gupta/><ref name=nair>{{cita web|publisher = Prof. C.G.Ramachandran Nair|work = Government of Kerala—Kerala Call, setembro de 2004|url = http://www.kerala.gov.in/keralcallsep04/p22-24.pdf|title= Science and technology in free India|access-date  = 2006-07-09|archive-url  = https://web.archive.org/web/20060821195309/http://www.kerala.gov.in/keralcallsep04/p22-24.pdf|archive-date = 21 de agosto de 2006}}</ref>

=== Trigonometría ===
Madhava compuxo unha [[táboa de senos de Madhava|táboa de senos]] ben axustada. Marcando un cuadrante con vinte e catro intervalos iguais, deu as lonxitudes das semicordas (senos) correspondentes a cada un deles. Crese que calculou estes valores baseándose nestas expansións en series:<ref name=mact-biog>{{cite web |publisher= School of Mathematics and Statistics, [[Universidade de St Andrews]], Escocia|title = Madhava of Sangamagramma |nome= J. J.|apelidos= O'Connor|nome2=E. F.|apelidos2=Robertson |year= 2000 |url = http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html |archive-url  = https://web.archive.org/web/20060514012903/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Madhava.html |archive-date = 2006-05-14 |work = [[MacTutor History of Mathematics archive]] |access-date  = 2007-09-08}}</ref>

:<math>\sin{q} = q-\frac{q^3}{3!}+\frac{q^5}{5!}-\frac{q^7}{7!} +...</math>
:<math>\cos{q} = 1-\frac{q^2}{2!}+\frac{q^4}{4!}-\frac{q^6}{6!} + ...</math>

=== Valor de &pi; ===
A obra de Madhava sobre o valor da [[número pi|constante pi]] foi citada no ''Mahajyānayana prakāra'' ("Método para os grandes senos"). Mentres algúns estudosos como Sarma<ref name=sarma>{{cita web| editor=K. V. Sarma| editor-link=K. V. Sarma| editor2=S. Hariharan| work=Yuktibhāṣā of Jyeṣṭhadeva| url=http://www.new.dli.ernet.in/insa/INSA_1/20005ac0_185.pdf| title=A book on rationales in Indian Mathematics and Astronomy—An analytic appraisal| access-date=2006-07-09| archive-url = https://web.archive.org/web/20060928203221/http://www.new.dli.ernet.in/insa/INSA_1/20005ac0_185.pdf|archive-date = 28 de setembro de 2006}}</ref> cren que este libro puido ser escrito polo propio Madhava, é máis probable que fose obra dun sucesor do século XVI.<ref name=mact-biog/> Este texto atribúe a maioría das expansións de Madhava, e dá a seguinte serie infinita para [[número pi|π]], coñecida como [[serie de Madhava-Leibniz]]:<ref>{{Cita libro|title=Special Functions |url=https://archive.org/details/specialfunctions00andr_631|nome=George E.|apelidos=Andrews|nome2=Richard|apelidos2=Askey |nome3=Ranjan |apelidos3=Roy |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1999 |isbn=0-521-78988-5 |page=[https://archive.org/details/specialfunctions00andr_631/page/n74 58]}}</ref><ref>{{Cita publicación periódica|first=R. C. |last=Gupta |title=On the remainder term in the Madhava-Leibniz's series |journal=Ganita Bharati |volume=14 |issue=1–4 |year=1992 |pages=68–71}}</ref>

: <math>\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n - 1},</math>

que obtivo da expansión dunha serie de potencias da función arcotanxente. Porén, o máis impresionante é que tamén deu o termo de corrección ''R<sub>n</sub>'' para o erro tras calcular a suma ata ''n'' termos,<ref name=mact-biog/> namely:

: <math>R_n = \frac{(-1)^n}{4n}</math>, ou
: <math>R_n = \frac{(-1)^n \cdot n}{4n^2 + 1}</math>, ou
: <math>R_n = \frac{(-1)^n \cdot (n^2 + 1)}{4n^3 + 5n}</math>,

onde a terceira corrección leva a cálculos máis exactos de π.

Especulouse como atopou Madhava estes termos.<ref>T. Hayashi, T. Kusuba and M. Yano. "The correction of the Madhava series for the circumference of a circle", ''[[Centaurus (xornal)|Centaurus]]'' '''33''' (páxinas 149–174). 1990.</ref> Son os primeiros tres converxentes dunha fracción continua finita, o que, combinado coa serie orixinal de Madhava avaliada en ''n'' termos, dando arredor de 3''n''/2 díxitos de corrección:

: <math>\frac{\pi}{4} \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{2n - 1} + \cfrac{(-1)^n}{4n + \cfrac{1^2}{n + \cfrac{2^2}{4n + \cfrac{3^2}{n + \cfrac{4^2}{\dots + \cfrac{\dots}{\dots + \cfrac{n^2}{n[4 - 3(n \bmod 2)]}}}}}}}.
</math>

O valor absoluto do termo de corrección na seguinte orde superior é

: <math>|R_n| = \frac{4n^3 + 13n}{16n^4 + 56n^2 + 9}</math>.

Tamén deu unha serie que converxe máis rapidamente transformando a serie infinita orixinal de π, obtendo as series infinitas

: <math>\pi = \sqrt{12}\left(1 - \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right).</math>

Empregando os primeiros 21 termos para calcular unha aproximación de π, obtivo o valor correcto con 11 cifras dixitais (3,14159265359).<ref name=gupta-pi>
{{cita publicación periódica| nome= R. C.|apelidos= Gupta|title   = Madhava's and other medieval Indian values of pi| journal = Math. Education| volume  = 9 | issue = 3| year    = 1975| pages   = B45–B48}}</ref> Ás veces atribúese a Madhava o valor de 3,1415926535898, con trece cifras decimais,<ref>O valor exacto de π con trece cifras dixitais, 3,1415926535898, pode acadarse usando a expansión da serie infinita de π/4 (a primeira secuencia) chegando ata ''n''=76.</ref> mais puido ser obra dun dos seus seguidores. Foron as mellores aproximacións de π dende o século V. O texto ''Sadratnamala'' parece dar un valor sorprendentemente exacto de π&nbsp;=&nbsp;3,14159265358979324 (17 decimais). Segundo isto, R. Gupta suxeriu que este texto tamén puido ser escrito por Madhava.<ref name=Pearce/><ref name=gupta-pi/>

Madhava tamén levou investigacións noutras series para lonxitudes de arco e aproximacións asociadas a fraccións racionais de π, atopou métodos de [[expansión polinómica]], descubriu [[criterio de converxencia da integral|criterios de converxencia]] de series infinitas, e a análise de [[fracción continua|fraccións continuas]] infinitas.<ref name=Pearce>Ian G. Pearce (2002). [https://web.archive.org/web/20030430190329/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html Madhava of Sangamagramma]. ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''. [[Universidade de St Andrews]]</ref> Tamén descubriu as solucións das [[función transcendente|ecuacións transcendentes]] por [[iteración]] e atopou a aproximación de [[número transcendente|números transcendentes]] mediante fraccións continuas.<ref name=Pearce/>

=== Cálculo ===
Madhava estableceu os fundamentos para o desenvolvemento do [[cálculo infinitesimal]], posteriormente desenvolvidos polos seus sucesores na [[escola de Kerala]].<ref name="MAT 314">{{cita web|publisher=Canisius College|work=MAT 314|url=http://www.canisius.edu/topos/rajeev.asp|title=Neither Newton nor Leibniz – The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala|access-date=2006-07-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20060806040307/http://www.canisius.edu/topos/rajeev.asp|archive-date=6 de agosto de 2006}}</ref><ref name="scotlnd">{{cita web| publisher=School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Escocia|work=Indian Maths| url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_mathematics.html| title=An overview of Indian mathematics| access-date=2006-07-07}}</ref> Madhava tamén estendeu algúns resultados atopados en traballos anteriores, como os de [[Bhāskara II]]. Porén, é dubidoso se algunha destas ideas foron transmitidas a occidente, onde o cálculo se desenvolveu de xeito independente por [[Isaac Newton]] e [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]].

== Notas ==
{{Listaref|30em}}

== Véxase tamén ==
{{Portal|India}}
=== Ligazóns externas ===
* [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Madhava.html Biography on MacTutor] 

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Nados na India]]
[[Categoría:Nados no século XIV]]
[[Categoría:Finados no século XV]]
[[Categoría:Matemáticos da India]]
[[Categoría:Astrónomos da India]]