Ver o código fonte de «Método de Montecarlo»

[[Ficheiro:Approximation_d'une_distribution_normale.gif|miniatura|300x300px| A aproximación dunha [[distribución normal]] cun método de Monte Carlo]]
Os '''métodos de Montecarlo''', ou '''experimentos de Montecarlo''', son unha ampla clase de [[Algoritmo|algoritmos]] [[Computación|computacionais]] que se basean nunha [[Mostraxe|mostraxe aleatoria]] repetida para obter resultados numéricos. O concepto subxacente é utilizar a [[Aleatorio|aleatoriedade]] para resolver problemas que poden ser deterministas en principio. O nome provén do [[Casino de Montecarlo]] debido a aleatoriedade dos da [[mostra]].

Os métodos de Montecarlo adoitan implementarse mediante simulacións por ordenador, e poden proporcionar solucións aproximadas a problemas que doutro xeito son insolúbeis ou demasiado complexos para analizalos matematicamente.

== Visión xeral ==
Os métodos de Montecarlo varían, pero tenden a seguir un patrón particular:

# Definir un dominio de entradas posíbeis
# Xera entradas aleatoriamente a partir dunha [[distribución de probabilidade]] sobre o dominio
# Realiza un cálculo [[Algoritmo determinista|determinista]] das saídas
# Agregar os resultados

[[Ficheiro:Pi_monte_carlo_all.gif|miniatura|Método de Montecarlo aplicado para aproximar o valor de {{Pi}}]]
Por exemplo, considere un [[Sector circular|cuadrante (sector circular)]] inscrito nun cadrado unitario. Dado que a razón das súas áreas é {{Sfrac|{{pi}}|4}} (<math>\pi r^2 = \pi\cdot 1^2</math> área do círculo, fronte a <math>(1+1)^2 = 4</math>, área do cadrado dos catro cuadrantes), o valor de [[Número pi|{{Pi}}]] pódese aproximar usando un método de Montecarlo:{{Sfn|Kalos|Whitlock|2008}}

# Debuxe un cadrado e inscriba un cuadrante dun círculo dentro del.
# Obteña [[Distribución uniforme continua|uniformemente]] un número determinado de puntos sobre o cadrado.
# Conte o número de puntos dentro do cuadrante, é dicir, que teñen unha distancia da orixe inferior a 1
# A relación entre a conta interior e a conta total da mostraxe é unha estimación da relación das dúas áreas, {{Sfrac|{{pi}}|4}}. Multiplique o resultado por 4 para estimar {{Pi}}.

Hai dúas consideracións importantes:

# Se os puntos non están distribuídos uniformemente, entón a aproximación será pobre.
# A aproximación é xeralmente pobre se só uns poucos puntos se colocan aleatoriamente en todo o cadrado. De media, a aproximación mellora a medida que se van colocando máis puntos.

Para usar o método de Montecarlo requírese gran cantidade de números aleatorios, sendo moi positivo a utilización de [[xeradores de números pseudoaleatorios]].

== Definicións ==
Non hai consenso sobre como debe definirse o método de ''Montecarlo''. Por exemplo, Ripley<ref name="Ripley">{{Cita Harvard sen parénteses|Ripley|1987}}</ref> define a maioría dos modelos probabilísticos como ''[[simulación estocástica]]'', reservando como propio de ''Montecarlo'' só a [[integración de Montecarlo]] e as probas estatísticas de Montecarlo. Sawilowsky <ref name="Sawilowsky">{{Cita Harvard sen parénteses|Sawilowsky|2003}}</ref> distingue entre unha [[simulación]], un método de Montecarlo e unha simulación de Montecarlo: unha simulación é unha representación ficticia da realidade, un método de Montecarlo é unha técnica que se pode usar para resolver un problema matemático ou estatístico e unha simulación de Montecarlo utiliza mostraxes repetidas para obter as propiedades estatísticas dalgún fenómeno (ou comportamento).

== Uso en matemáticas ==
En xeral, os métodos de Montecarlo úsanse en matemáticas para resolver varios problemas xerando números aleatorios axeitados (ver tamén [[Xeración de números aleatorios]]) e observando a fracción dos números que obedece a algunha propiedade ou propiedades. O método é útil para obter solucións numéricas a problemas demasiado complicados para resolver analiticamente. A aplicación máis común do método de Monte Carlo é a integración de Monte Carlo.

=== Integración ===
{{Main|Integración de Montecarlo}}
[[Ficheiro:Monte-carlo2.gif|miniatura| A integración de Montecarlo funciona comparando puntos aleatorios co valor da función.]]
Os algoritmos de [[integración numérica]] deterministas funcionan ben nun pequeno número de dimensións, mais atopan dous problemas cando as funcións teñen moitas variábeis. En primeiro lugar, o número de avaliacións de funcións necesarias aumenta rapidamente co número de dimensións. Por exemplo, se 10 avaliacións proporcionan a precisión adecuada nunha dimensión, entón son necesarios [[Gúgol|10<sup>100</sup>]] puntos para 100 dimensións, demasiados para calculalos. Isto chámase a maldición da dimensionalidade. En segundo lugar, o límite dunha rexión multidimensional pode ser moi complicado, polo que pode non ser viábel reducir o problema a unha [[integral iterada]]<ref name=Press>{{harvnb|Press|Teukolsky|Vetterling|Flannery|1996}}</ref> . 100 [[Dimensión|dimensións]] non é nada infrecuente, xa que en moitos problemas físicos, unha "dimensión" equivale a un [[Graos de liberdade (física)|grao de liberdade]].

Un perfeccionamento deste método, coñecido como [[mostraxe de importancia]] en estatística, implica a mostraxe dos puntos de forma aleatoria, pero con máis frecuencia onde o integrando é grande. Precisamente para iso habería que coñecer xa a integral, pero pódese aproximar a integral mediante unha integral dunha función similar ou utilizar rutinas adaptativas como [[Mostraxe estratificada|a mostraxe estratificada]], [[Mostraxe estratificada recursiva|a mostraxe estratificada recursiva]]<ref>{{cita revista|last=MEZEI|first=M|title=Adaptive umbrella sampling: Self-consistent determination of the non-Boltzmann bias|journal=Journal of Computational Physics|date=31 de decembro de 1986|volume=68|issue=1|pages=237–248|doi=10.1016/0021-9991(87)90054-4|bibcode = 1987JCoPh..68..237M}}</ref><ref>{{cita revista|last1=Bartels|first1=Christian|last2=Karplus|first2=Martin|title=Probability Distributions for Complex Systems: Adaptive Umbrella Sampling of the Potential Energy|journal=The Journal of Physical Chemistry B|date=31 de decembro de 1997|volume=102|issue=5|pages=865–880|doi=10.1021/jp972280j}}</ref> ou o [[algoritmo das VEGAS]].

Na integración numérica, métodos como a [[regra trapezoidal]] usan un [[algoritmo determinista|enfoque determinista]]. A integración de Monte Carlo, por outra banda, emprega un enfoque [[estocástico|non determinista]]: cada realización proporciona un resultado diferente. En Montecarlo, o resultado final é unha aproximación do valor correcto coas respectivas barras de erro, e é probable que o valor correcto estea dentro desas barras de erro.

===Visión xeral===
O problema que aborda a integración de Montecarlo é o cálculo dunha [[integral múltiple|integral definida multidimensional]]
:<math>I = \int_{\Omega}f(\overline{\mathbf{x}}) \, d\overline{\mathbf{x}}</math>
onde Ω, un subconxunto de <math>\mathbb{R}^m</math>, ten volume
:<math>V = \int_{\Omega}d\overline{\mathbf{x}}</math>

O enfoque inxenuo de Montecarlo consiste en ter puntos de mostraxe uniformemente en Ω:<ref name=newman1999ch1>{{harvnb|Newman|Barkema|1999|at=Cap. 1}}</ref> 

dadas "N" mostras uniformes, <math>\overline{\mathbf{x}}_1, \cdots,\overline{\mathbf{x}}_N\in \Omega,</math> <math> I </math> pódese aproximar por
:<math> I \approx Q_N \equiv V \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f(\overline{\mathbf{x}}_i) = V \langle f \rangle.</math>

Isto é porque a [[lei dos grandes números]] garante que

:<math> \lim_{N \to \infty} Q_N = I.</math>

Dada a estimación de ''I'' a partir de ''Q<sub>N</sub>'', os límites de erro de ''Q<sub>N</sub>'' pódense estimar mediante a [[Varianza da mostraxe|varianza da mostraxe]] mediante a estimación imparcial da varianza.

:<math> \mathrm{Var}(f)=\mathrm{E}(\sigma_N^2) \equiv \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N \mathrm{E}\left [\left (f(\overline{\mathbf{x}}_i) - \langle f \rangle \right )^2\right ].</math>
que leva a
<math display="block"> \mathrm{Var}(Q_N) = \frac{V^2}{N^2} \sum_{i=1}^N \mathrm{Var}(f) = V^2 \frac{\mathrm{Var}(f)}{N} = V^2\frac{\mathrm{E}(\sigma_N^2)}{N}.</math>

posto que a secuencia
: <math> \left \{ \mathrm{E}(\sigma_1^2), \mathrm{E}(\sigma_2^2), \mathrm{E}(\sigma_3^2), \ldots \right \} </math>
está limitada debido a que é idéntica a ''Var(f)'', sempre que se asuma finita, esta varianza diminúe asintóticamente a cero como 1/''N''. A estimación do erro de ''Q<sub>N</sub>'' é así
:<math>\delta Q_N\approx\sqrt{\mathrm{Var}(Q_N)}=V\frac{\sqrt{\mathrm{Var}(f)}}{\sqrt{N}} ,</math>
que diminúe como <math>\tfrac{1}{\sqrt{N}}</math>. Este é o [[erro padrón|erro padrón da media]] multiplicado por <math>V</math>.

Este resultado non depende do número de dimensións da integral, que é a vantaxe prometida da integración de Montecarlo fronte á maioría dos métodos deterministas que dependen exponencialmente da dimensión.<ref>{{harvnb|Press|Teukolsky|Vetterling|Flannery|2007 }}</ref>
É importante notar que, a diferenza dos métodos deterministas, a estimación do erro non é un límite de erro estrito; a mostraxe aleatoria pode non descubrir todas as características importantes do integrando que poden resultar nunha subestimación do erro.

Cunha distribución de mostras axeitada é posíbel explotar o feito de que case todos os integrandos de dimensións superiores están moi localizados e só un pequeno subespazo contribúe notabelmente á integral.<ref>{{harvnb|MacKay|2003|pages=284&ndash;292}} </ref>

Unha gran parte da literatura de Montecarlo dedícase a desenvolver estratexias para mellorar as estimacións de erros. En particular, a mostraxe estratificada (dividir a rexión en subdominios) e a mostraxe de importancia (mostraxe a partir de distribucións non uniformes) son dous exemplos destas técnicas.

=== Simulación e optimización ===
Outra aplicación poderosa e moi popular para os números aleatorios na simulación numérica é a [[Optimización matemática|optimización numérica]]. O problema é minimizar (ou maximizar) as funcións dalgún vector que a miúdo ten moitas dimensións. Moitos problemas poden ser formulados deste xeito: por exemplo, un programa de xadrez por ordenador podería ser visto como tentar atopar o conxunto de, por exemplo, 10 movementos que produce a mellor función de avaliación ao final. No [[Problema do viaxeiro|problema do vendedor ambulante]] o obxectivo é minimizar a distancia percorrida. Tamén hai aplicacións para o deseño de enxeñería, como a [[optimización  multidisciplinar]]. Aplicouse con modelos case unidimensionaiss para resolver problemas de dinámica de partículas explorando de forma eficiente un gran espazo de configuración. A referencia de (Spall, J. C. (2003))<ref>Spall, J. C. (2003), ''Introduction to Stochastic Search and Optimization: Estimation, Simulation, and Control'', Wiley, Hoboken, NJ. http://www.jhuapl.edu/ISSO</ref> é unha revisión exhaustiva de moitos problemas relacionados coa simulación e a optimización.

=== Problemas inversos ===
A formulación probabilística de [[Problema inverso|problemas inversos]] conduce á definición dunha [[distribución de probabilidade]] no espazo modelo. Esta distribución de probabilidade combina información previa coa nova información obtida medindo algúns parámetros observábeis (datos). Como, no caso xeral, a teoría que vincula datos cos parámetros do modelo é non linear, a probabilidade posterior no espazo do modelo pode non ser fácil de describir (pode ser multimodal, algúns momentos poden non estar definidos, etc.).
== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===

* {{cita libro |title = Markov Chain Monte Carlo Simulations and Their Statistical Analysis (With Web-Based Fortran Code) |last=Berg |first=Bernd A. |year=2004 |publisher=World Scientific |location=Hackensack, NJ |isbn=978-981-238-935-0 }}
* {{cita libro|title=The Monte Carlo Method in Condensed Matter Physics |last=Binder |first=Kurt |author-link=Kurt Binder |year=1995 |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-0-387-54369-7 }}
* {{cita libro |title = Monte Carlo and quasi-Monte Carlo methods |last=Caflisch |first=R. E. |author-link=Russel E. Caflisch |year=1998 |series = Acta Numerica |volume=7 |publisher=Cambridge University Press |pages=1–49 }}
* {{cita libro |last = Davenport |first=J. H. |title=Papers from the international symposium on Symbolic and algebraic computation - ISSAC '92 |chapter=Primality testing revisited |pages=123–129 |doi = 10.1145/143242.143290 |isbn = 978-0-89791-489-5 |year=1992 }}
* {{cita libro |title=Sequential Monte Carlo methods in practice |last1=Doucet |first1=Arnaud |last2=Freitas |first2=Nando de |last3=Gordon |first3=Neil |year=2001 |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-0-387-95146-1 }}

* {{cita libro |title=Monte Carlo: Concepts, Algorithms, and Applications |last=Fishman |first=G. S. |year=1995 |publisher=Springer |location=New York |isbn = 978-0-387-94527-9 }}
* {{cita libro |title = An Introduction to Computer Simulation Methods, Part 2, Applications to Physical Systems |last1 = Gould |first1 = Harvey |last2=Tobochnik |first2=Jan |year=1988 |publisher=Addison-Wesley |location = Reading |isbn=978-0-201-16504-3 }}
* {{cita libro |first1=Charles |last1=Grinstead |first2=J. Laurie |last2=Snell |title=Introduction to Probability |url=https://archive.org/details/flooved3489 |pages=[https://archive.org/details/flooved3489/page/n19 10]–11 |publisher=[[American Mathematical Society]] |year=1997 }}
* {{cita libro |title = Monte Carlo Methods |last1 = Hammersley |first1=J. M. |last2=Handscomb |first2=D. C. |year=1975 |publisher=Methuen |location=London |isbn=978-0-416-52340-9 }}
* {{cita libro |last=Hartmann |first=A.K. |year=2009 |title=Practical Guide to Computer Simulations |publisher=World Scientific |isbn=978-981-283-415-7 |url=http://www.worldscibooks.com/physics/6988.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20090211113048/http://worldscibooks.com/physics/6988.html  |archive-date=February 11, 2009 }}
* {{cita libro |first=Douglas |last=Hubbard |title=How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business |url=https://archive.org/details/howtomeasureanyt00hubb_773|page=[https://archive.org/details/howtomeasureanyt00hubb_773/page/n64 46] |publisher=[[John Wiley & Sons]] |year=2007 |isbn=9780470110126 }}
* {{cita libro |first=Douglas |last=Hubbard |title=The Failure of Risk Management: Why It's Broken and How to Fix It |publisher= [[John Wiley & Sons]] |year=2009 }}
* {{cita libro|title=Judgement under Uncertainty: Heuristics and Biases |last1 = Kahneman |first1 = D. |last2=Tversky |first2 = A. |year=1982 |publisher=Cambridge University Press }}
* {{cita libro |first1=Malvin H. |last1=Kalos |first2=Paula A. |last2=Whitlock |title=Monte Carlo Methods |publisher=[[Wiley-VCH]] |year=2008 |isbn=978-3-527-40760-6 }}
* {{cita libro |title=Handbook of Monte Carlo Methods |last1=Kroese |first1=D. P. |last2=Taimre |first2=T. |last3=Botev |first3=Z.I. |year=2011 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=New York |isbn=978-0-470-17793-8 |page=772 |url=http://www.montecarlohandbook.org }}
* {{cita libro |title=Stochastic Simulation in Physics |last=MacKeown |first = P. Kevin |year=1997 |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-981-3083-26-4 }}
* {{cita libro |last1 = Press |first1 = William H. |last2 = Teukolsky |first2 = Saul A. |last3 = Vetterling |first3 = William T. |last4 = Flannery |first4 = Brian P. |title = Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing |edition = 2nd |series = Fortran Numerical Recipes |volume = 1 |year = 1996 |orig-year = 1986 |publisher = [[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-43064-7 }}
* {{cita libro |last = Ripley |first = B. D. |title = Stochastic Simulation |publisher = [[Wiley & Sons]] |year=1987 }}
* {{cita libro |title=Monte Carlo Statistical Methods |last1=Robert |first1=C. |last2=Casella |first2=G. |year=2004 |edition=2nd |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-0-387-21239-5 |url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4757-4145-2 }}
* {{cita libro |title = Simulation and the Monte Carlo Method |last1 = Rubinstein |first1 = R. Y. |last2 = Kroese |first2 = D. P. |year=2007 |edition=2nd |publisher = John Wiley & Sons |location=New York |isbn = 978-0-470-17793-8 }}
* {{cita libro |last1=Sawilowsky |first1=Shlomo S. |last2=Fahoome |first2=Gail C. |year=2003 |title=Statistics via Monte Carlo Simulation with Fortran |location=Rochester Hills, MI |publisher=JMASM |isbn=978-0-9740236-0-1}}
* {{cita libro |first=László |last=Szirmay-Kalos |title=Monte Carlo Methods in Global Illumination - Photo-realistic Rendering with Randomization |publisher=VDM Verlag Dr. Mueller e.K. |year=2008 |isbn=978-3-8364-7919-6}}
* {{cita libro |title = Inverse Problem Theory |last = Tarantola |first = Albert |author-link = Albert Tarantola |year = 2005 |publisher = Society for Industrial and Applied Mathematics |location = Philadelphia |isbn = 978-0-89871-572-9 |url = http://www.ipgp.jussieu.fr/~tarantola/Files/Professional/SIAM/index.html }}
* {{cita libro |first=David |last=Vose |title=Risk Analysis, A Quantitative Guide |url=https://archive.org/details/riskanalysisquan0000vose |edition=3rd |publisher=[[John Wiley & Sons]] |year=2008 |isbn=9780470512845}}
* {{cita libro |last1 = Mazhdrakov |first1 = Metodi |last2 = Benov |first2 = Dobriyan |last3 = Valkanov |first3 = Nikolai |year = 2018 |title = The Monte Carlo Method. Engineering Applications |publisher = ACMO Academic Press |isbn = 978-619-90684-3-4 |url = https://books.google.com/books?id=t0BqDwAAQBAJ&q=the+monte+carlo+method+engineering+applications+mazhdrakov }}

=== Outros artigos ===
* [[Simulación directa de Montecarlo]]
* [[Método de Montecarlo dinámico]]
* [[Algoritmos xenéticos]]
* [[Mñetodos de Montecarlo de transporte de electróns]]
* [[Método de Montecarlo multinivel]]
* [[Método de case-Montecarlo]]

=== Ligazóns externas ===
* [https://www.ibm.com/topics/monte-carlo-simulation What is Monte Carlo Simulation?].


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Mecánica estatística]]