Ver o código fonte de «Logaritmo natural de 2»

O valor decimal do [[logaritmo natural]] de [[Dous|2]] {{OEIS|id=A002162}} é aproximadamente

: <math>\ln 2 \approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.</math>

O [[logaritmo decimal]]  é {{OEIS|id=A007524}}

: <math>\log_{10} 2 \approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195.</math>

Segundo o [[Teorema de Lindemann–Weierstrass|teorema de Lindemann-Weierstrass]], o logaritmo natural de calquera [[número natural]] que non sexa 0 e 1 (máis xeralmente, de calquera [[número alxébrico]] positivo que non sexa 1) é un [[Número transcendente|número transcendental]].

== Representacións en serie ==

=== Factorial alternativo ascendente ===

: <math>\ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\cdots.</math> Esta é a coñecida "[[Serie harmónica (matemáticas)|serie harmónica alterna]]".
: <math>\ln 2 = \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}.</math>
: <math>\ln 2 = \frac{5}{8} +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}.</math>
: <math>\ln 2 = \frac{2}{3} +\frac{3}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}.</math>
: <math>\ln 2 = \frac{131}{192} +\frac{3}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}.</math>
: <math>\ln 2 = \frac{661}{960} +\frac{15}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.</math>
: <math>\ln 2 = \frac{2}{3}.(1+\frac{2}{4^3-4}+\frac{2}{8^3-8}+\frac{2}{12^3-12}+.........) .</math>

=== Factorial constante ascendente binario ===

: <math>\ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n}.</math>
: <math>\ln 2 = 1 -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)}.</math>
: <math>\ln 2 = \frac{1}{2} + 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)} .</math>
: <math>\ln 2 = \frac{5}{6} - 6 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)} .</math>
: <math>\ln 2 = \frac{7}{12} + 24 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} .</math>
: <math>\ln 2 = \frac{47}{60} - 120 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)} .</math>

=== Outras representacións en serie ===

: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \ln 2.</math>
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(4n^2-1)} = 2\ln 2 -1.</math>
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(4n^2-1)} = \ln 2 -1.</math>
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(9n^2-1)} = 2\ln 2 -\frac{3}{2}.</math>
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-2n} = \ln 2.</math>
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^2-4n} = \ln 2.</math>
: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{3n+1} = \frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}.</math>
: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{3n+2} = -\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}.</math>
: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)} = \frac{2\ln 2}{3}.</math>
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sum_{k=1}^n k^2} = 18 - 24 \ln 2</math> usando <math>\lim_{N\rightarrow \infty} \sum_{n=N}^{2N} \frac{1}{n} = \ln 2</math>
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-3n} = \ln 2 + \frac{\pi}{6} </math> (sumas dos recíprocos dos números decagonais)

=== Implicando a función Zeta de Riemann ===

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}[\zeta(2n)-1] = \ln 2.</math>
: <math>\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^n}[\zeta(n)-1] = \ln 2 -\frac{1}{2}.</math>
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}[\zeta(2n+1)-1] = 1-\gamma-\frac{\ln 2}{2}.</math>
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{2n-1}(2n+1)}\zeta(2n) = 1-\ln 2.</math>

({{Math|''γ''}} é a constante de Euler-Mascheroni e {{Math|''ζ''}} a función zeta de Riemann).

=== Representacións tipo BBP ===

: <math>\ln 2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^\infty \left(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12}\right) \frac{1}{16^k} .</math>

(Consulte máis información sobre as representacións de tipo [[Fórmula Bailey-Borwein-Plouffe|Bailey–Borwein–Plouffe (BBP)]].)

Aplicando as tres series xerais para o logaritmo natural a 2 directamente dá:

: <math>\ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}.</math>
: <math>\ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^{n}n}.</math>
: <math>\ln 2 = \frac{2}{3} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{9^{k}(2k+1)}.</math>

== Representación como integrais ==
O logaritmo natural de 2 ocorre con frecuencia como resultado da integración. Algunhas fórmulas explícitas para iso inclúen:

: <math>\int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \int_1^2 \frac{dx}{x} = \ln 2</math>

: <math>\int_0^\infty e^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x} \, dx= \ln 2</math>

: <math>\int_0^\infty 2^{-x} dx= \frac{1}{\ln 2}</math>

: <math>\int_0^\frac{\pi}{3} \tan x \, dx=2\int_0^\frac{\pi}{4} \tan x \, dx = \ln 2</math>

: <math>-\frac{1}{\pi i}\int_{0}^{\infty} \frac{\ln x \ln\ln x}{(x+1)^2} \, dx= \ln 2</math>

== Outras representacións ==
A expansión de Pierce é {{OEIS|id=A091846}}

: <math> \ln 2 = 1 -\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12} -\cdots. </math>

A expansión de Engel é {{OEIS|id=A059180}}

: <math> \ln 2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\cdots. </math>

A expansión cotanxente é {{OEIS|id=A081785}}

: <math> \ln 2 = \cot({\arccot(0) -\arccot(1) + \arccot(5) - \arccot(55) + \arccot(14187) -\cdots}). </math>

A expansión como [[fracción continua]] simple é {{OEIS|id=A016730}}

: <math> \ln 2 = \left[ 0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 3, 1,...\right]</math> ,

que produce aproximacións racionais, as primeiras das cales son 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 e 61/88.

Esta [[fracción continua xeneralizada]] :

: <math> \ln 2 = \left[ 0;1,2,3,1,5,\tfrac{2}{3},7,\tfrac{1}{2},9,\tfrac{2}{5},...,2k-1,\frac{2}{k},...\right] </math>, <ref>{{Cita publicación periódica|ano=2004|volume=13|número=3|páxinas=278–280|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/EM/expmath/volumes/13/13.3/BorweinCrandallFee.pdf|title=BorweinCrandallFee|doi=10.1080/10586458.2004.10504540}}</ref>
: tamén expresábel como
: <math> \ln 2 = \cfrac{1} {1+\cfrac{1} {2+\cfrac{1} {3+\cfrac{2} {2+\cfrac{2} {5+\cfrac{3} {2+\cfrac{3} {7+\cfrac{4} {2+\ddots}}}}}}}}
= \cfrac{2} {3-\cfrac{1^2} {9-\cfrac{2^2} {15-\cfrac{3^2} {21-\ddots}}}} </math>

== Díxitos coñecidos ==
Esta é unha táboa de rexistros recentes no cálculo de díxitos de {{Math|ln 2}}. Desde decembro de 2018, calculáronse máis díxitos que os de calquera outro logaritmo neperiano <ref>{{Cita web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/|title=y-cruncher}}</ref> <ref>{{Cita web|url=http://www.numberworld.org/digits/Log(2)/|title=díxitos}}</ref> dun número natural, agás o de 1.
{| class="wikitable"
!Data
! Nome
! Número de díxitos
|-
| 7 de xaneiro de 2009
| A.Yee e R.Chan
| 15.500.000.000
|-
| 4 de febreiro de 2009
| A.Yee e R.Chan
| 31.026.000.000
|-
| 21 de febreiro de 2011
| Alexander Yee
| 50.000.000.050
|-
| 14 de maio de 2011
| Shigeru Kondo
| 100.000.000.000
|-
| 28 de febreiro de 2014
| Shigeru Kondo
| 200.000.000.050
|-
| 12 de xullo de 2015
| Ron Watkins
| 250.000.000.000
|-
| 30 de xaneiro de 2016
| Ron Watkins
| 350.000.000.000
|-
| 18 de abril de 2016
| Ron Watkins
| 500.000.000.000
|-
| 10 de decembro de 2018
| Michael Kwok
| 600.000.000.000
|-
| 26 de abril de 2019
| Jacob Riffee
| 1.000.000.000.000
|-
| 19 de agosto de 2020
| Seungmin Kim <ref>{{Cita web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/|title=y-cruncher}}</ref> <ref>{{Cita web|url=https://ehfd.github.io/world-record/natural-logarithm-of-2-log2/|title=natural-logarithm-of-2-log2}}</ref>
| 1.200.000.000.100
|-
| 9 de setembro de 2021
| William Echols <ref>{{Cita web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|title=y-cruncher}}</ref> <ref>{{Cita web|url=https://williamechols.com/ln2/|title=ln2|data-acceso=25 de agosto de 2024|data-arquivo=09 de maio de 2022|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20220509025356/https://williamechols.com/ln2/|url-morta=yes}}</ref>
| 1.500.000.000.000
|}

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* {{cita publicación periódica
|first1=Richard P.
|last1=Brent
|title=Fast multiple-precision evaluation of elementary functions
|journal=J. ACM
|volume=23
|issue=2
|year=1976
|pages=242–251
|doi=10.1145/321941.321944
|mr=0395314
}}
* {{cita publicación periódica
|first1=Horace S.
|last1=Uhler
|title=Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17
|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.
|volume=26
|issue=3
|year=1940
|pages=205–212
|mr=0001523
|doi=10.1073/pnas.26.3.205
|pmc=1078033
|pmid=16588339
|bibcode=1940PNAS...26..205U
}}
* {{cita publicación periódica
|first1=Dura W.
|last1=Sweeney
|title=On the computation of Euler's constant
|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1963-04_17_82/page/170
|journal=Mathematics of Computation
|year=1963
|volume=17
|issue=82
|pages=170–178
|doi=10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X 
|mr=0160308
}}
* {{cita publicación periódica
|first1=Boris
|last1=Gourévitch
|first2=Jesús
|last2=Guillera Goyanes
|title=Construction of binomial sums for {{pi}} and polylogarithmic constants inspired by BBP formulas
|journal=Applied Math. E-Notes
|volume=7
|year=2007
|url=http://www.math.nthu.edu.tw/~amen/2007/061028-2.pdf
|mr=2346048
|pages=237–246}}
* {{cita publicación periódica
|first1=Qiang
|last1=Wu
|title=On the linear independence measure of logarithms of rational numbers
|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_2003-04_72_242/page/901
|journal=Mathematics of Computation
|volume=72
|issue=242
|pages=901–911
|doi=10.1090/S0025-5718-02-01442-4
|year=2003
}}
=== Outros artigos ===
*[[Ecuación de Erdős–Moser]]: tódalas solucións deben vir dos [[fracción continua|converxentes]] de {{math|ln 2}}.
=== Ligazóns externas ===
* {{MathWorld|urlname=NaturalLogarithmof2|title=Natural logarithm of 2}}
* {{cita web|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Log2/log2.html|title=The logarithm constant:log 2|last1=Gourdon|first1=Xavier|last2=Sebah|first2=Pascal}}


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números]]