Ver o código fonte de «Kernel (álxebra)»

[[File:KerIm 2015Joz L2.png|thumb|Kernel e imaxe dun operador linear <math>L:V\to W</math>.|346x346px]]
En [[álxebra]], o '''kernel''' (ou '''núcleo''') dun [[homomorfismo]] (función que conserva a [[Estrutura alxébrica|estrutura]]) é xeralmente a [[Imaxe (matemáticas)|imaxe inversa]] de 0 (agás para [[Grupo (matemáticas)|os grupos]] cuxa operación se denota multiplicativamente, onde o kernel é a imaxe inversa de 1). Un caso especial importante é o [[Kernel (álxebra linear)|kernel dun mapa linear]]. O ''núcleo dunha matriz'', tamén chamado ''espazo nulo'', é o kernel do mapa linear definido pola matriz.

O kernel dun homomorfismo redúcese a 0 (ou 1) se e só se o homomorfismo é [[Inxectiva|inxectivo]], é dicir, se a imaxe inversa de cada elemento consta dun só elemento. Isto significa que o kernel pode ser visto como unha medida do grao en que o homomorfismo non é inxectivo.<ref>Ver {{Harvp|Dummit|Foote|2004}} e {{Harvp|Lang|2002}}.</ref>

Para algúns tipos de estrutura, como [[Grupo abeliano|os grupos abelianos]] e [[Espazo vectorial|os espazos vectoriais]], os kernels posíbeis son exactamente as subestruturas do mesmo tipo. Non sempre é así e, ás veces, os posébeis kernels recibiron un nome especial, como [[subgrupo normal]] para grupos e [[Ideal (teoría dos aneis)|ideais polos dous lados]] para [[Anel (álxebra)|aneis]].

Os kernels permiten definir [[Obxecto cociente|obxectos cocientes]] (tamén chamados [[Cociente (álxebra universal)|álxebras cocientes]] en [[álxebra universal]], e cokernels na [[Teoría das categorías|teoría de categorías]]). Para moitos tipos de estrutura alxébrica, o [[teorema fundamental dos homomorfismos]] (ou [[Primeiro teorema de isomorfismo|primeiro teorema do isomorfismo]]) afirma que a [[Imaxe (matemáticas)|imaxe]] dun homomorfismo é [[Isomorfismo|isomorfa]] ao cociente do kernel.

O concepto de kernel estendeuse a estruturas de tal xeito que a imaxe inversa dun só elemento non é suficiente para decidir se un homomorfismo é inxectivo. Nestes casos, o kernel é unha [[relación de congruencia]].

Este artigo é un repasiño para algúns tipos importantes de kernels en estruturas alxébricas.

=== Exemplo sinxelo de álxebra linear ===
O seguinte é un exempliño sinxelo do cálculo do núcleo dunha matriz. O exemplo tamén toca o espazo de filas e a súa relación co núcleo.

Considere a matriz 
<math>A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ -4 & 2 & 3 \end{bmatrix}.</math>

O núcleo desta matriz está formado por todos os vectores {{Math|(''x'', ''y'', ''z'') ∈ [[espazo euclidiano|'''R'''<sup>3</sup>]]}} para os que 
:<math>\begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ -4 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix},</math>
que se pode expresar como un [[Sistema de ecuacións lineais|sistema homoxéneo de ecuacións lineares]] que inclúen {{Mvar|x}}, {{Mvar|y}} e {{Mvar|z}}: 
:<math>\begin{align}
 2x + 3y + 5z &= 0, \\
-4x + 2y + 3z &= 0.
\end{align}</math>

As mesmas ecuacións lineares tamén se poden escribir en forma matricial como: 
:<math>
 \left[\begin{array}{ccc|c}
  2 & 3 & 5 & 0 \\
  -4 & 2 & 3 & 0
 \end{array}\right].
</math>

Mediante a [[Eliminación de Gauss|eliminación de Gauss-Jordan]], a matriz pódese reducir a: 
:<math>
 \left[\begin{array}{ccc|c}
  1 & 0 & 1/16 & 0 \\
  0 & 1 & 13/8 & 0
 \end{array}\right].
</math>

Reescribindo a matriz en forma de ecuación obtemos: 
:<math>\begin{align}
x &= -\frac{1}{16}z \\
y &= -\frac{13}{8}z.
\end{align}</math>

Os elementos do núcleo pódense expresar tamén en [[Ecuacións paramétricas|forma vectorial paramétrica]], como segue: 
:<math>\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} -1/16 \\ -13/8 \\ 1\end{bmatrix}\quad (\text{onde }c \in \mathbb{R})</math>

Dado que {{Mvar|c}} é unha [[Sistema de ecuacións lineais|variábel libre]] que vai sobre todos os números reais, isto pódese expresar igualmente como: 
:<math>
\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}
 = c \begin{bmatrix} -1 \\ -26 \\ 16 \end{bmatrix}.
</math>
O núcleo de {{Mvar|A}} é precisamente o conxunto de solucións para estas ecuacións (neste caso, unha [[Recta|liña]] que pasa pola orixe en {{Math|'''R'''<sup>3</sup>}}). Aquí, posto que o vector {{Math|(−1,−26,16)<sup>T</sup>}} constitúe unha [[Base (álxebra linear)|base]] do núcleo de {{Mvar|A}}, a nulidade de {{Mvar|A}} vale 1.

Os seguintes produtos escalares son cero: 
:<math>
 \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} -1 \\ -26 \\ 16 \end{bmatrix}
= 0
\quad\mathrm{e}\quad
 \begin{bmatrix} -4 & 2 & 3 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} -1 \\ -26 \\ 16 \end{bmatrix}
= 0 ,
</math>
que ilustra como os vectores do núcleo de {{Mvar|A}} son ortogonais a cada un dos vectores fila de {{Mvar|A}} .

Estes dous vectores fila (linearmente independentes) abranguen o espazo de filas de {{Mvar|A}}, un plano ortogonal ao vector {{Math|(−1,−26,16)<sup>T</sup>}}.

Co rango 2 de {{Mvar|A}}, a nulidade 1 de {{Mvar|A}} e a dimensión 3 de {{Mvar|A}}, temos unha ilustración do [[teorema do rango]].

== Unha ollada de algúns outros exemplos ==

=== Mapas lineares ===
{{ap|Kernel (álxebra linear)}}
Sexan ''V'' e ''W'' [[Espazo vectorial|espazos vectoriais]] sobre un [[Corpo (álxebra)|corpo]] (ou máis en xeral, [[Módulo (álxebra)|módulos]] sobre un [[Anel (álxebra)|anel]]) e sexa ''T'' un [[Aplicación linear|mapa linear]] de ''V'' en ''W''. Se '''0'''<sub>''W''</sub> é o vector cero de ''W'', entón o kernel de ''T'' é a [[Imaxe (matemáticas)|preimaxe]] do [[subespazo vectorial|subespazo cero]] {'''0'''<sub>''W''</sub> }; é dicir, o [[subconxunto]] de ''V'' formado por todos aqueles elementos de ''V'' que son asignados por ''T'' ao elemento '''0'''<sub>''W''</sub>. O kernel adoita denotarse como {{Nowrap|ker ''T''}}, ou algunha variación do mesmo:

: <math> \ker T = \{\mathbf{v} \in V : T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_{W}\} . </math>

Dado que un mapa linear conserva os vectores cero, o vector cero '''0'''<sub>''V''</sub> de ''V'' debe pertencer ao kernel. A transformación ''T'' é inxectiva se e só se o seu kernel redúcese ao subespazo cero.

O kernel de ''T'' é sempre un [[Subespazo lineal|subespazo linear]] de ''V''. Así, ten sentido falar do [[Espazo cociente (álxebra linear)|espazo cociente]] {{Nowrap|''V'' / (ker ''T'')}}. O [[primeiro teorema de isomorfismo]] para espazos vectoriais afirma que este espazo cociente é un [[Isomorfismo |isomorfo natural]] á [[Imaxe (matemáticas)|imaxe]] de ''T'' (que é un subespazo de ''W''). Como consecuencia, a [[Dimensión dun espazo vectorial|dimensión]] de ''V'' é igual á dimensión do kernel máis a dimensión da imaxe.

Se ''V'' e ''W'' son de dimensión finita e con [[Base (álxebra linear)|bases]] determinadas, daquela ''T'' pódese describir mediante unha [[Matriz (matemáticas)|matriz]] ''M'', e o kernel pódese calcular resolvendo o [[Sistema de ecuacións lineais|sistema homoxéneo de ecuacións lineares]] {{Nowrap|1=''M'''''v''' = '''0'''}}. Neste caso, o kernel de ''T'' pódese identificar co ''núcleo da matriz M'', tamén chamado "espazo nulo" de ''M''. A dimensión do espazo nulo, chamado nulidade de ''M'', vén dada polo número de columnas de ''M'' menos o [[Rango (álxebra linear)|rango]] de ''M'', como consecuencia do teorema do kernel e a imaxe. 

Resolver [[Ecuación diferencial homoxénea|ecuacións diferenciais homoxéneas]] a miúdo equivale a calcular o kernel de certos [[Operador diferencial|operadores diferenciais]]. 

Por exemplo, para atopar todas as [[Función diferenciable|funcións dúas veces diferenciábeis]] ''f'' desde a [[Recta numérica|recta real]] ata si mesma de xeito que

: <math>x f''(x) + 3 f'(x) = f(x),</math>

sexa ''V'' o espazo de todas as funcións dúas veces diferenciábeis, sexa ''W'' o espazo de todas as funcións e definimos un operador linear ''T'' de ''V'' a ''W'' como

: <math>(Tf)(x) = x f''(x) + 3 f'(x) - f(x)</math>

para ''f'' en ''V'' e ''x'' un [[número real]] arbitrario. Entón todas as solucións da ecuación diferencial están en {{Nowrap|ker ''T''}}.

Pódense definir kernels para homomorfismos entre módulos sobre un [[Anel (álxebra)|anel]] dun xeito análogo. Isto inclúe kernels para homomorfismos entre [[Grupo abeliano|grupos abelianos]] como un caso especial. Este exemplo recolle a esencia dos kernels en [[categorías abelianas]] xenéricas; ver Kernel (teoría das categorías).

=== Homomorfismos de grupos ===
Sexan ''G'' e ''H'' [[Grupo (matemáticas)|grupos]] e ''f'' un [[homomorfismo de grupos]] de ''G'' a ''H'' . Se ''e''<sub>''H''</sub> é o [[Elemento neutro|elemento identidade]] de ''H'', entón o ''kernel'' de ''f'' é a preimaxe do conxunto unitario { ''e''<sub>''H''</sub> }; é dicir, o subconxunto de ''G'' formado por todos aqueles elementos de ''G'' que están asignados por ''f'' ao elemento ''e''<sub>''H''</sub>.

O kernel adoita denotarse {{Nowrap|ker ''f''}} . En símbolos:

: <math> \ker f = \{g \in G : f(g) = e_{H}\} .</math>

Dado que un homomorfismo de grupos conserva os elementos  identidade, o elemento identidade ''e''<sub>''G''</sub> de ''G'' debe pertencer ao kernel.

O homomorfismo ''f'' é inxectivo se e só se o seu kernel é só o conxunto unitario { ''e''<sub>''G''</sub> }. Se ''f'' non fose inxectiva, entón os elementos non inxectivos poden formar un elemento distinto do seu kernel: existirían {{Nowrap|''a'', ''b'' &isin; ''G''}} tal que {{Nowrap|''a'' ≠ ''b''}} e {{Nowrap|1=''f''(''a'') = ''f''(''b'')}}. Así {{Nowrap|1=''f''(''a'')''f''(''b'')<sup>−1</sup> = ''e''<sub>''H''</sub>}}. ''f'' é un homomorfismo de grupos, polo que se conservan as inversas e as operacións do grupo, dando {{Nowrap|1=''f''(''ab''<sup>−1</sup>) = ''e''<sub>''H''</sub>}}; noutras palabras, {{Nowrap|''ab''<sup>−1</sup> &isin; ker ''f''}}, e ker ''f'' non sería unitario. Pola contra, distintos elementos do kernel violan a inxectividade directamente: se existise un elemento {{Nowrap|''g'' ≠ ''e''<sub>''G''</sub> &isin; ker ''f''}}, daquela {{Nowrap|1=''f''(''g'') = ''f''(''e''<sub>''G''</sub>) = ''e''<sub>''H''</sub>}}, polo que ''f'' non sería inxectivo.

{{Nowrap|ker ''f''}} é un [[subgrupo]] de ''G'' e a maiores é un [[subgrupo normal]]. Así, existe un [[grupo cociente]] correspondente {{Nowrap|''G'' / (ker ''f'')}}. Este grupo é isomorfo con ''f''(''G''), a imaxe de ''G'' baixo ''f'' (que é tamén un subgrupo de ''H''), polo [[Teoremas de isomorfismo|primeiro teorema de isomorfismo]] para grupos.

No caso especial dos [[Grupo abeliano|grupos abelianos]], non hai ningunha variación con relación ao apartado anterior.

==== Exemplo ====
Sexa ''G'' o [[grupo cíclico]] de 6 elementos {{Nowrap|{{mset|0, 1, 2, 3, 4, 5}}}} con [[Aritmética modular|suma modular]], sexa ''H'' o [[grupo cíclico]] de 2 elementos {{Nowrap|{{mset|0, 1}}}} con suma modular e ''f'' o homomorfismo que mapea cada elemento ''g'' de ''G'' no elemento ''g'' módulo 2 en ''H''. Daquela {{Nowrap|ker ''f'' {{=}} {0, 2, 4}}}, xa que todos estes elementos están asignados a 0<sub>''H''</sub>. O grupo cociente {{Nowrap|''G'' / (ker ''f'')}} ten dous elementos: {{Nowrap|{{mset|0, 2, 4}}}} e {{Nowrap|{{mset|1, 3, 5}}}}. De feito este [[grupo cociente]] {{Nowrap|''G'' / (ker ''f'')}}  é isomorfo  a ''H''.

=== Homomorfismos de aneis ===
Sexan ''R'' e ''S'' [[Anel (álxebra)|aneis]] (asumidos [[Álxebra sobre un corpo#Tipos de álxebras e exemplos|unitarios]]) e sexa ''f'' un [[homomorfismo de aneis]] de ''R'' a ''S.'' Se 0<sub>''S''</sub> é o [[elemento cero]] de ''S'', entón o ''kernel'' de ''f'' é o seu ''kernel'' como mapa linear sobre os enteiros ou, de forma equivalente, como [[grupo aditivo|grupos aditivos]]. É a preimaxe do [[ideal cero]] {{Mset|0<sub>''S''</sub>}} , é dicir, o subconxunto de ''R'' formado por todos aqueles elementos de ''R'' que están asignados por ''f'' ao elemento 0<sub>''S''</sub>. O ''kernel'' adoita denotarse {{Nowrap|ker ''f''}}. En símbolos:

: <math> \operatorname{ker} f = \{r \in R : f(r) = 0_{S}\} .</math>

Dado que un homomorfismo de aneis conserva os elementos  cero, o elemento cero 0<sub>''R''</sub> de ''R'' debe pertencer ao ''kernel''. O homomorfismo ''f'' é inxectivo se e só se o seu ''kernel'' é só o conxunto unitario {{Mset|0<sub>''R''</sub>}}. Este é sempre así cando ''R'' é un [[Corpo (álxebra)|corpo]] e ''S'' non é o anel cero.

Dado que ker ''f'' contén a identidade multiplicativa só cando ''S'' é o anel cero, resulta que o ''kernel'' xeralmente non é un [[subanel|subanel]] de ''R.'' O ''kernel'' é un [[Rng |subrng]] e, máis precisamente, un [[Ideal (teoría dos aneis)|ideal]] bilateral de ''R''. Así, ten sentido falar do [[anel cociente]] {{Nowrap|''R'' / (ker ''f'')}}. O primeiro teorema de isomorfismo para aneis afirma que este anel cociente é naturalmente isomorfo á imaxe de ''f'' (que é un subanel de ''S''). (Teña en conta que os aneis non necesitan ser unitarios para a definición de ''kernel'').

Ata certo punto, isto pódese considerar como un caso especial da situación dos módulos, xa que todos estes son [[Bimódulo|bimódulos]] sobre un anel ''R'':

* ''R'' en si;
* calquera ideal bilateral de ''R'' (como ker ''f'');
* calquera anel cociente de ''R'' (como {{Nowrap|''R'' / (ker ''f'')}} ); e
* o [[codominio]] de calquera homomorfismo de aneis cuxo dominio sexa ''R'' (como ''S'', o codominio de ''f'').

Porén, o [[teoremas do isomorfismo|teorema do isomorfismo]] dá un resultado máis forte, porque os isomorfismos de aneis preservan a multiplicación mentres que os isomorfismos de módulos (mesmo entre aneis) en xeral non.

Este exemplo capta a esencia dos ''kernels'' das [[Álxebra de Mal'cev|álxebras de Mal'cev]].

== Álxebra universal ==
Todos os casos anteriores poden unificarse e xeneralizarse na [[álxebra universal]].

=== Caso xeral ===
Sexan ''A'' e ''B'' [[Estrutura alxébrica|estruturas alxébricas]] dun tipo dado e sexa ''f'' un homomorfismo dese tipo de ''A'' a ''B''. Entón o ''kernel'' de ''f'' é o subconxunto do [[produto directo]] {{Nowrap|''A'' × ''A''}} que consiste en todos aqueles [[Par ordenado|pares ordenados]] de elementos de ''A'' cuxos compoñentes están mapeados por ''f'' para un mesmo elemento en ''B''. O ''kernel'' adoita denotarse {{Nowrap|ker ''f''}}. En símbolos:

: <math>\operatorname{ker} f = \left\{\left(a, a'\right) \in A \times A : f(a) = f\left(a'\right)\right\}\mbox{.}</math>

Dado que ''f'' é unha [[función]], os elementos da forma {{Nowrap|(''a'', ''a'')}} deben pertencer ao ''kernel''.

O homomorfismo ''f'' é inxectivo se e só se o seu ''kernel'' é exactamente o conxunto diagonal {{Nowrap|{{mset|(''a'', ''a'') : ''a'' &isin; ''A''}}}} .

É fácil ver que ker ''f'' é unha [[relación de equivalencia]] en ''A'', e de feito unha [[relación de congruencia]]. Así, ten sentido falar da [[Cociente (álxebra universal)|álxebra cociente]] {{Nowrap|''A'' / (ker ''f'')}}. O [[Teoremas de isomorfismo|primeiro teorema de isomorfismo]] en álxebra universal xeral afirma que esta álxebra cociente é naturalmente isomorfa á imaxe de ''f'' (que é unha [[subálxebra]] de ''B'').

Teña en conta que a definición de ''kernel'' aquí non depende da estrutura alxébrica; é un concepto puramente teórico de [[Conxunto|conxuntos]]. Para obter máis información sobre este concepto xeral, fóra da álxebra abstracta, consulte [[Kernel dunha función]].

== Álxebras con estrutura non alxébrica engadida ==
Ás veces, as álxebras están equipadas cunha estrutura non alxébrica a maiores das súas operacións alxébricas. Por exemplo, pódesse considerar os [[Grupo topolóxico|grupos topolóxicos]] ou os [[Espazo vectorial topolóxico|espazos vectoriais topolóxicos]], que están equipados cunha [[Espazo topolóxico|topoloxía]]. Neste caso, esperaríamos que o homomorfismo ''f'' conservase esta estrutura adicional; nos exemplos topolóxicos, desexaríamos que ''f'' fose un [[Función continua|mapa continuo]]. O proceso pode atopar un inconveniente coas álxebras cocientes, que quizais non se comporten ben. Nos exemplos topolóxicos, podemos evitar problemas esixindo que as estruturas alxébricas topolóxicas sexan de tipo [[Espazo Hausdorff|Hausdorff]] (como se fai habitualmente); daquela o ''kernel'' (sexa como sexa que estea construído) será un [[conxunto pechado]] e o [[Espazo cociente (topoloxía)|espazo cociente]] funcionará ben (e tamén será un espazo de Hausdorff).

== ''Kernels'' na teoría das categorías ==
A noción de ''kernel'' na [[teoría das categorías]] é unha xeneralización dos ''kernels'' das álxebras abelianas; ver [[Kernel (teoría das categoría)]]. A xeneralización categórica do ''kernel'' como relación de congruencia é o [[Par kernel|''par kernel'']] . (Tamén existe a noción de ''kernel'' diferenza ou [[ecualizador (matemáticas)|ecualizador]] binario).
== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
* {{cita libro
 | last1 = Dummit | first1 = David S.
 | last2 = Foote | first2 = Richard M.
 | year = 2004
 | title = Abstract Algebra
 | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]]
 | edition = 3rd
 | isbn=0-471-43334-9
}}
* {{cita libro
 | last=Lang | first=Serge | author-link=Serge Lang
 | year=2002
 | title=Algebra
 | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]
 | series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
 | isbn=0-387-95385-X
}}
=== Outros artigos ===
* [[Grupo cociente]].
=== Ligazóns externas ===
*  [https://mathworld.wolfram.com/Kernel.html Kernel en MathWorld].

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Álxebra]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]