Ver o código fonte de «Isometría»

 
[[Ficheiro:Academ_Reflections_with_parallel_axis_on_wallpaper.svg|miniatura| Unha [[Composición de funcións|composición]] de dúas isometrías opostas é unha isometría directa. Unha [[Reflexión (matemáticas)|reflexión]] nunha liña é unha isometría oposta, como {{Math|''R''<sub> 1</sub>}} ou {{Math|''R''<sub> 2</sub>}} na imaxe. [[Translación (xeometría)|A translación]] {{Math|''T''}} é unha isometría directa. <ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Coxeter|1969|p=46}} </ref>]]

En matemáticas, unha '''isometría''' (ou '''congruencia''' ou '''transformación congruente''') é unha transformación que preserva [[Distancia|a distancia]] entre [[Espazo métrico|espazos métricos]], normalmente se supón que é [[Bixección, inxección e sobrexección|bixectiva]]. <ref>{{harvnb|Coxeter|1969|page=29}}</ref>|name=CoxeterIsometryDef}} A palabra isometría deriva do [[Lingua grega antiga|grego antigo]]: ἴσος ''isos'' que significa "igual", e μέτρον ''metron'' que significa "medida". Se a transformación é dun espazo métrico a si mesmo, é unha especie de transformación xeométrica coñecida como movemento.

== Introdución ==
Dado un espazo métrico (vagamente, un conxunto e un esquema para asignar distancias entre os elementos do conxunto), unha isometría é unha transformación que mapea elementos ao mesmo ou a outro espazo métrico de forma que a distancia entre os elementos da imaxe no novo espazo métrico é igual á distancia entre os elementos no espazo métrico orixinal. Nun [[espazo euclidiano]] bidimensional ou tridimensional, dúas figuras xeométricas son [[Congruencia (xeometría)|congruentes]] se están relacionadas por unha isometría; a isometría que os relaciona é ou ben un movemento ríxido (translación ou rotación) ou unha [[Composición de funcións|composición]] dun movemento ríxido e unha [[Reflexión (matemáticas)|reflexión]].

== Definición ==
Sexan <math>X</math> e <math>Y</math> [[Espazo métrico|espazos métricos]] con métricas (por exemplo, distancias) <math display="inline">d_X </math> e <math display="inline">d_Y.</math> Un [[Función|mapa]] <math display="inline">f\colon X \to Y </math> chámase '''isometría''' ou '''mapa de preservación da distancia,''' se para todos os <math>a, b \in X</math>,

: <math>d_X(a,b)=d_Y\!\left(f(a),f(b)\right).</math><ref name=Beckman-Quarles-1953>
{{cita publicación periódica
 | last1 = Beckman | first1 = F.S.
 | last2 = Quarles | first2 = D.A. Jr.
 | year = 1953
 | title = On isometries of Euclidean spaces
 | journal = [[Proceedings of the American Mathematical Society]]
 | volume = 4 | issue = 5 | pages = 810–815
 | mr = 0058193  | jstor = 2032415
 | doi=10.2307/2032415 |
 | url=https://www.ams.org/journals/proc/1953-004-05/S0002-9939-1953-0058193-5/S0002-9939-1953-0058193-5.pdf
}}
</ref>

Unha isometría é automaticamente [[inxectiva]]; se non, dous puntos distintos, ''a'' e ''b'', poderían ser mapeados no mesmo punto, contradicindo así o axioma de coincidencia da métrica ''d'', é dicir, <math>d(a,b) = 0</math> se e só se <math>a=b</math>. 

Unha '''isometría global''', '''isomorfismo isométrico''' ou '''mapeo de congruencia''' é unha isometría [[bixectiva]]. Como calquera outra bixección, unha isometría global ten unha [[función inversa]]. A inversa dunha isometría global é tamén unha isometría global.

Dous espazos métricos ''X'' e ''Y'' chámanse '''isométricos''' se hai unha isometría bixectiva de ''X'' a ''Y''. O [[conxunto]] de isometrías bixectivas desde un espazo métrico ata si mesmo forma un [[Grupo (matemáticas)|grupo]] con respecto á [[Composición de funcións|composición da función]], chamado '''grupo de isometría'''.

Unha '''isometría de camiño''' ou '''isometría de arco''' é un mapa que conserva as lonxitudes das curvas; tal mapa non é necesariamente unha isometría no sentido de preservación da distancia, e non ten por que ser necesariamente bixectivo, nin sequera inxectivo. Este termo adoita abreviarse simplemente a ''isometría'', polo que hai que ter coidado de determinar a partir do contexto que tipo se pretende.

; Exemplos

* Calquera [[Reflexión (matemáticas)|reflexión]], [[Translación (xeometría)|translación]] e [[rotación]] é unha isometría global sobre [[Espazo euclidiano|espazos euclidianos]].
* O mapa <math>x \mapsto |x| </math> en <math>\mathbb R </math> é unha ''isometría de camiño'' pero non unha isometría (xeral). Teña en conta que a diferenza dunha isometría, esta isometría de camiño non precisa ser inxectiva.

== Grupo de isometría ==
{{AP|Grupo de isometría}}
O conxunto de todos os mapas que son isometrías dun conxunto contido nun espazo métrico forma un [[Grupo (matemáticas)|grupo]] coñecido como '''grupo de isometría''' do conxunto. Nun [[espazo euclidiano]] de dimensión ''n'' o grupo de isometría <math>G_{iso}\,</math> de calquera conxunto é un subgrupo do grupo de produtos formado a partir do [[grupo ortogonal]] e o grupo de translaciones:
{{ecuación|<math>G_{iso} \subset O(n)\times\R^n</math>
||esquerda}}
== Isometrías entre espazos normados ==

=== Isometría linear ===
Dados dous [[Espazo vectorial normado|espazos vectoriais normados]] ''V'' e ''W'', unha isometría linear é unha [[aplicación linear]] <math>f\colon V\rightarrow W</math> que conserva a [[Norma (matemáticas)|norma]]:
:<math>\|f(v)\| = \|v\|</math>
para todas as <math>v\in V</math>. Neste sentido, unha isometría conserva a [[distancia]] inducida pola norma do espazo vectorial. Unha isometría chámase global se é unha [[sobrexectiva|función sobrexectiva]].

Nun espazo [[pre-hilbertiano]] (un [[espazo vectorial]] dotado de [[produto escalar]]), a definición anterior equivale a que

<math>\langle f(v), f(v)\rangle=\langle v,v\rangle \quad\forall v\in V</math>

e isto é equivalente a que se conserve o produto escalar:

<math>\langle f(u), f(v)\rangle=\langle u, v \rangle\quad\forall u, v\in V</math>.

En efecto, que esta igualdade implique a anterior é trivial; o recíproco dedúcese do feito de que o produto escalar está determinado pola norma segundo a [[identidade do paralelogramo]]:

<math>\langle u, v\rangle={\|u+v\|^2-\|u-v\|^2\over 4}.</math>

Se se conserva a norma, tamén se conserva o produto escalar, dado por esta identidade.

Segundo o [[teorema de Mazur-Ulam]], calquera isometría dun [[espazo vectorial normado]] no [[Corpo (matemáticas)|corpo]] do [[Número real|números reais]] é [[Transformación afín|afín]].

Debido a como se definen [[Ángulo#Ángulos nun espazo vectorial|ángulos]] nun espazo vectorial, toda isometría linear conserva os ángulos, é dicir, unha isometría linear é unha [[aplicación conforme]] linear.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 
{{Reflist|group=lower-alpha}}
== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{cita libro |last=Coxeter|first=H. S. M.|author-link1=Harold Scott MacDonald Coxeter|title=Introduction to Geometry, Second edition|year=1969|publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|isbn=9780471504580 }}
* {{cita libro | last=Lee |first= Jeffrey M. | title=Manifolds and Differential Geometry |location=Providence, RI |publisher=American Mathematical Society | year=2009 |isbn=978-0-8218-4815-9 |url=https://books.google.com/books?id=QqHdHy9WsEoC }}
=== Outros artigos ===
* [[Grupo de isometría]].
* [[Rotación]]
* [[Translación (xeometría)]]


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Simetría]]
[[Categoría:Funcións]]