Ver o código fonte de «Hexágono»

{{1000 artigos icona título|materia=Matemáticas}}
[[Ficheiro:Hexagon.png|miniatura|100px|Hexágono regular.]]
En [[xeometría]], un '''hexágono''' (do grego ἕξ hex, "seis" e γωνία, gonía, "ángulos") é un [[polígono]] de [[seis]] lados.

== Propiedades ==
Todo hexágono ten:

* 6 [[Vértice|vértices]] e [[Aresta|lados]].
* 9 diagonais.
* Un conxunto de ángulos internos que suman 720 [[Grao sesaxesimal|graos]] ou 4<math>\pi </math> [[Radián|radiáns]]. 

== Parhexágono ==
De forma análoga a un [[paralelogramo]], un '''parhexágono''' é aquel hexágono particular, no que un lado é igual e paralelo a un lado opuesto, pero cada par de lados pode ser de diferente tamaño.<ref>Kasner- Newman. ''Matemáticas e imaginación''. Librería Hachete s.A., Buenos Aires (1944)</ref>

=== Proposición ===
Sexa ABCDEF un hexágono irregular calquera, únense A con C; B con D; C con E; D con F; E con A; F con B. Fórmanse os seis triángulos ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB. En cada un destes localízase o seu baricentro; que se denotan como A', B', C', D', E', F'. Únense sucesivamente eses puntos e obtemos o hexágono A'B'C'D'E'F' que é un parhexágono.<ref>Kasner-Newman. Op. cit.</ref>

== Hexágono regular ==
[[Image:Regular hexagon 1.svg|thumb|''R'' = [[Circunraio]]; ''r'' = [[Inraio]]; ''t'' = lonxitude do lado. <br>
O raio ''r'' da circunferencia inscrita coincide coa [[apotema]].]]
O '''hexágono regular''' é un hexágono convexo onde os seis lados e ángulos son iguais.

O hexágono regular cumpre as seguintes propiedades:
* Tódolos seus [[ángulo]]s interiores miden 120º ou <math>\frac{2\pi}{3}</math> radiáns.

* Está ligado aos [[Triángulo equilátero|triángulos equiláteros]]:
** Unindo cada vértice co seu oposto, o hexágono regular queda dividido en seis [[triángulo]]s equiláteros.
** Unindo tres vértices que non compartan aresta formamos un triángulo equilátero.
* A súa superficie obtense da seguinte forma:
** Superficie = (Perímetro * [[Apotema]]) / 2.
:Sendo a ''apotema'' o segmento que une perpendicularmente o centro cun lado. A apotema (chamada <math>a_p</math> neste artigo) coincide co inraio '''r''' que é o raio da [[circunferencia inscrita]]. 
* Son (despois dos cadrados e dos triángulos equiláteros) os poligonos congruentes (iguais) con menos lados que poden ser utilizados para realizar unha [[Teselación|teselación regular]] ou teselación platónica.
* Situando un hexágono regular no centro do [[plano complexo]] atoparemos as raíces sextas complexas de 1 (é dicir, os números complexos que resolven <math>z^6 -1 = 0</math>) nos vértices do polígono.
* Podemos inscribir ou circunscribir un hexágono regular nunha circunferencia. Se chamamos <math>r</math> ao raio da circunferencia inscrita, <math>R</math> ao raio da circunferencia circunscrita e <math>a</math> á lonxitude dun lado vemos as seguintes igualdades
** <math>r = \cos(30^\circ) R
</math>, é dicir, <math>r = \frac{\sqrt{3}}{2} R</math>.
** <math>a=R</math>, e por tanto, <math> a = \frac{2r}{\sqrt{3}}</math>.
: R é igual ao lado porque o hexágono regular pode dividirse en 6 triángulos equilateros desde o centro.
* As perpendiculares trazadas polos puntos medios dos lados e as bisectrices dos ángulos internos son eixes de simetría do hexágono regular.

=== Perímetro ===
O perímetro do hexágono regular pode calcularse en función de distintos datos:

* En función do lado do hexágono (<math>l_6</math>):

:<math>P =  6\ l_6</math>.

* En función da apotema (<math>a_p</math>):

:<math>P = 4\cdot a_p \cdot \sqrt{3}</math>.

* En función do raio da circunferencia circunscrita (<math>R</math>):

:<math>P = 6\cdot R</math>.

=== Área ===
A fórmula xeral para calcular a área é a seguinte:

<math>A = \frac{P\cdot a_p}{2} = \frac{6l_6\cdot a_p}{2} = 3l_6 \cdot a_p</math>.

En caso de coñecer soamente a apotema podemos utilizar:

<math>A = 2\sqrt{3}\cdot a_p^2 </math>.

E en caso de coñecer unicamente o lado utilizaremos:

<math>A = l_6^2 \frac{3\sqrt{3}}{2}</math>.

=== Construción ===
Nesta imaxe animada pódese ver como se constrúe un hexágono regular dun determinado lado empregando unha regra e un compás.
[[Ficheiro:Regular Hexagon Inscribed in a Circle 240px.gif|centro|frame|Paso a paso no debuxo dun hexágono regular empregando compás e regra.]]Os pasos son os seguintes:

# Dado un punto ''O'' calquera, trazar unha circunferencia cuxo raio sexa igual ao lado do hexágono a construír.
# Elixir un punto A sobre a circunferencia e trazar un diámetro que corte ''O'' e ''A''. Marcar o outro punto onde este diámetro interseca a circunferencia como ''D.''
# Apoiando o compás no punto ''A'', trazar un arco que corte ''O'', cortando á circunferencia en dous puntos, marcados como ''B'' e ''F.''
# Apoiando o compás no punto ''D'', trazar un arco que corte ''O'', cortando á circunferencia en dous puntos, marcados como ''C'' e ''E.''

== Punto no plano ==
Para un punto arbitrario no plano dun hexágono regular con circunraio <math>R</math>, cuxas distancias ao [[Centroide (Baricentro)|baricentro]] do hexágono regular e aos seus seis vértices son <math>L</math> e <math>d_i</math> respectivamente, temos<ref name="Mamuka">{{cite journal|last1=Meskhishvili|first1=Mamuka|date=2020|title=Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids|journal=Communications in Mathematics and Applications|volume=11|pages=335–355|doi=10.26713/cma.v11i3.1420|doi-broken-date=|arxiv=2010.12340|url=https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065}}</ref>

: <math> d_1^2 + d_4^2 = d_2^2 + d_5^2 = d_3^2+ d_6^2= 2\left(R^2 + L^2\right), </math>
: <math> d_1^2 + d_3^2+ d_5^2 = d_2^2 + d_4^2+ d_6^2 = 3\left(R^2 + L^2\right), </math>
: <math> d_1^4 + d_3^4+ d_5^4 = d_2^4 + d_4^4+ d_6^4 = 3\left(\left(R^2 + L^2\right)^2 + 2 R^2 L^2\right). </math>

Se <math>d_i</math> son as distancias dende os vértices dun hexágono regular a calquera punto da súa circunferencia, entón<ref name="Mamuka" />

: <math>\left(\sum_{i=1}^6 d_i^2\right)^2 = 4 \sum_{i=1}^6 d_i^4 .</math>

== Simetría ==
O ''hexágono regular'' ten simetría D<sub>6</sub>. Hai 16 subgrupos. Hai 8 ata isomorfismo: el mesmo (D<sub>6</sub>), 2 diédricos: (D<sub>3,</sub> D<sub>2</sub>), 4 [[Grupo cíclico|cíclicos]]: (Z<sub>6</sub>, Z<sub>3</sub>, Z<sub>2</sub>, Z<sub>1</sub>) e o trivial (e).

Estas simetrías expresan nove simetrías distintas dun hexágono regular. [[John Horton Conway|John Conway]] as etiqueta cunha letra e unha orde de grupo.<ref>John H. Conway, Heidi Burgiel, [[Chaim Goodman-Strauss]], (2008) The Symmetries of Things (As simetrías das cousas), {{ISBN|978-1-56881-220-5}} (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli xeneralizados, Tipos de simetría dun polígono pp. 275-278)</ref> '''r12''' é simetría completa, e '''a1''' non é simetría. '''p6''',un hexágono [[Figura isogonal|isogonal]] construído por tres espellos pode alternar arestas longas e curtas, e '''d6''', un hexágono [[Figura isotoxal|isotoxal]] construído con lonxitudes de aresta iguais, pero vértices que alternan dous ángulos internos diferentes. Estas dúas formas son [[Poligono dual|duais]] entre elas e teñen a metade de orde de simetría do hexágono regular. As formas '''i4''' son hexágonos regulares aplanados ou estirados ao longo dunha dirección de simetría. Pode verse como un [[rombo]] [[Elongamento (xeometría)|elongado]], mentres que '''d2''' e '''p2''' poden verse como [[Deltoide (xeometría)|deltoides]] alongadas horizontal e verticalmente. Os hexágonos '''g2''', con lados opostos paralelos, tamén se denominan [[Paralelógono|paralelógonos]] hexagonais.

Cada simetría de subgrupo permite un ou máis graos de liberdade para formas irregulares. Só o subgrupo '''g6''' non ten graos de liberdade pero pode verse como un [[grafo orientado]].

Os hexágonos de simetría '''g2''', '''i4''', e '''r12''', como paralelógonos poden teselar o plano euclidiano por translación. Outros  [[Teselado hexagonal|hexágonos poden teselar o plano]] con diferentes orientacións.
{| class="wikitable"
!p6m (*632)
!cmm (2*22)
!p2 (2222)
!p31m (3*3)
! colspan="2" |pmg (22*)
!pg (××)
|-
![[Ficheiro:Isohedral tiling p6-13.svg|senmarco|110x110px]]
[[:es:Hexagonal_tiling|r12]]
![[Ficheiro:Isohedral tiling p6-12.png|senmarco|110x110px]]
i4
![[Ficheiro:Isohedral tiling p6-7.svg|senmarco|110x110px]]
g2
![[Ficheiro:Isohedral tiling p6-11.png|senmarco|110x110px]]
d2
![[Ficheiro:Isohedral tiling p6-10.png|senmarco|110x110px]]
d2
![[Ficheiro:Isohedral tiling p6-9.svg|senmarco|110x110px]]
p2
![[Ficheiro:Isohedral tiling p6-1.png|senmarco|110x110px]]
a1
|- valign="top"
!Dih<sub>6</sub>
!Dih<sub>2</sub>
!Z<sub>2</sub>
! colspan="3" |Dih<sub>1</sub>
!Z<sub>1</sub>
|}
{{-}}

=== Grupos A2 e G2 ===
{| class="wikitable" align="right"
|[[Ficheiro:Root system A2.svg|senmarco|150x150px]]
A2 group roots
|[[Ficheiro:Root system G2.svg|senmarco|150x150px]]
G2 group roots
|}
As 6 raíces do [[grupo de Lie simple]] A2, representadas por un [[diagrama de Dynkin]] , están nun modelo hexagonal regular. As dúas raíces simples teñen un ángulo de 120° entre elas.

As 12 raíces do [[Grupo de Lie excepcional]] G2, representadas por un Diagrama de Dynkin tamén teñen forma hexagonal. As dúas raíces simples de dúas lonxitudes teñen un ángulo de 150° entre elas.

== Disección ==
{| class="wikitable" align="right"
![[:es:6-cube|6-cube]] projection
! colspan="2" |disección de 12 rombos
|-
|[[Ficheiro:6-cube t0 A5.svg|senmarco|150x150px]]
|[[Ficheiro:6-gon rhombic dissection-size2.svg|senmarco|150x150px]]
|[[Ficheiro:6-gon rhombic dissection2-size2.svg|senmarco|150x150px]]
|}
[[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]] afirma que todo [[zonágono]] (un polígono de 2''m'' lados no cal os opostos son paralelos e de igual lonxitude) pode diseccionarse en {{nowrap|{{frac|1|2}}''m''(''m'' - 1)}} paralelogramos.<ref>[[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]], Recreacións e ensaios matemáticos, Décimo terceira edición, p.141</ref> En particular, isto é certo para [[Polígono regular|polígonos regulares]] con un número par de lados, en cuxo caso os paralelogramos son todos rombos. Esta descomposición dun hexágono regular basease nunha proxección dun [[polígono de Petrie]] dun [[cubo]], con 3 de 6 caras cadradas. Outros [[Paralelogramo|paralelogramos]] e direccións proxectivas do cubo disecciónanse dentro de  [[Cuboide (xeometría)|cuboides rectangulares]].
{| class="wikitable collapsible"
|+
! colspan="12" |Disección de hexágonos en tres rombos e paralelogramos
|-
! rowspan="3" |2D
!Rombos
! colspan="3" |Paralelogramos
|- valign="top"
|[[Ficheiro:Hexagon dissection.svg|senmarco|173x173px]]
|[[Ficheiro:Cube-skew-orthogonal-skew-solid.png|senmarco|150x150px]]
|[[Ficheiro:Cuboid diagonal-orthogonal-solid.png|senmarco|150x150px]]
|[[Ficheiro:Cuboid skew-orthogonal-solid.png|senmarco|150x150px]]
|- valign="top"
|Regular {6}
| colspan="3" |Paralelógonos hexagonais
|-
! rowspan="3" |3D
! colspan="2" |Caras cadradas
! colspan="2" |Caras rectangulares
|- valign="top"
|[[Ficheiro:Cube graph ortho vcenter.png|senmarco|150x150px]]
|[[Ficheiro:Cube-skew-orthogonal-skew-frame.png|senmarco|150x150px]]
|[[Ficheiro:Cuboid diagonal-orthogonal-frame.png|senmarco|150x150px]]
|[[Ficheiro:Cuboid skew-orthogonal-frame.png|senmarco|150x150px]]
|- valign="top"
| colspan="2" |Cubo
| colspan="2" |Cuboide rectangular
|}

== Galería de hexágonos naturais e artificiais ==
<gallery>
Ficheiro:564X573-Carte France geo verte.png|Francia continental ou a parte [[Francia metropolitana|metropolitana]] de [[Francia]] recibe o sobrenome de Hexágono (''{{lang|fr|l'Hexagone}}'' en francés), por ter unha forma vagamente hexagonal.
Ficheiro:Carapax DE.svg|Os escudos da cuncha dunha [[tartaruga]] están conformados por hexágonos.
Ficheiro:PIA20513 - Basking in Light.jpg|No polo norte de [[Saturno]] atópase un modelo de nubes formando un [[Hexágono de Saturno|hexágono]].
Ficheiro:Hexaschach.jpg|O [[:es:Ajedrez_hexagonal|xadrez hexagonal]] de Władysław Gliński.
Ficheiro:Chinese pavilion.jpg|Os pavillóns de estilo chino nos xardíns botánicos teñen unha estrutura hexagonal.
Ficheiro:Mustosen talon ikkuna 1870 1.jpg|Fiestra hexagonal dunha casa.
Ficheiro:Reading the Hexagon Theatre.jpg|[[Hexágono (teatro)|O hexágono]] é un teatro de arquitectura de tipo hexagonal localizada en [[Reading, Inglaterra|Reading]], [[Reino Unido]].
Ficheiro:HexagonalBarnKewauneeCountyWisconsinWIS42.jpg|Unha palleira hexagonal.
Ficheiro:Fort-Jefferson Dry-Tortugas.jpg|Vista aérea do [[Parque nacional Dry Tortugas|Parque nacional de Tartarugas Secas]] (Parque Nacional de Dry Tortugas).
Ficheiro:Hanksite-32367.jpg|A [[Hanksita (mineral)|hanksita]], un dos moitos minerais do [[sistema cristalino hexagonal]]
Ficheiro:Honey comb02.jpg|Os [[Favo|favos]] están construídos con formas hexagonais.
Ficheiro:Giants causeway closeup.jpg|Columnas de basalto formadas naturalmente na [[Calzada do Xigante]] en [[Irlanda do Norte]]; que forman un modelo de fractura poligonal.
Ficheiro:Snowflake 300um LTSEM, 13368.jpg|A micrografía dunha [[Curva de Koch|folerpa de neve]].
Ficheiro:Graphen.jpg|A estrutura cristalina do [[grafeno]] está formada por hexágonos.
Ficheiro:Hexa-peri-hexabenzocoronene ChemEurJ 2000 1834 commons.jpg|Estrutura cristalina de un hexágono molecular composto por aneis aromáticos hexagonais.
Ficheiro:Assembled E-ELT mirror segments undergoing testing.jpg|Segmentos do espello [[Telescopio Europeo Extremadamente Grande|E-ELT]] ensamblados.
</gallery>{{Polígonos}}

== Notas ==
{{reflist|30em}} 
== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 

=== Outros artigos ===
* [[Triángulo]].
* [[Número hexagonal]].
=== Ligazóns externas ===
*[http://www.mathopenref.com/hexagon.html Definición e propiedades dun hexágono] con animación interactiva e [http://www.mathopenref.com/consthexagon.html construción con compás e regra].
*[https://hexnet.org/content/hexagonal-geometry An Introduction to Hexagonal Geometry] en [https://web.archive.org/web/19980204100717/http://www.hexnet.org/ Hexnet] un sitio web dedicado ás matemáticas de hexágonos.

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Polígonos]]