Ver o código fonte de «Grupo simétrico»

[[Ficheiro:Symmetric_group_4;_Cayley_graph_4,9.svg|miniatura|320x320px| Un [[Gráfico de Cayley|grafo de Cayley]] do grupo simétrico [[wikiversity:Symmetric group S4|S<sub>4</sub>]] usando os xeradores (vermello) un desprazamento circular á dereita dos catro elementos do conxunto e (azul) un desprazamento circular á esquerda dos tres primeiros elementos do conxunto.]]
En [[álxebra abstracta]], o '''grupo simétrico''' definido sobre calquera [[conxunto]] é o [[Grupo (matemáticas)|grupo]] cuxos elementos son todas as [[Bixectiva|bixeccións]] do conxunto en si mesmo, e cuxa [[Grupo (matemáticas)|operación de grupo]] é a [[composición de funcións]]. En particular, o grupo simétrico finito <math>\mathrm{S}_n</math> definido sobre un [[conxunto finito]] de <math>n</math> símbolos consiste nas [[Permutación|permutacións]] que se poden realizar sobre <math>n</math> símbolos.<ref name="Jacobson-def">{{Cita Harvard sen parénteses|Jacobson|2009|p=31}}</ref> Xa que  hai un número de  <math>n!</math> (<math>n</math> [[factorial]]) de operacións de permutación, a [[Orde (teoría de grupos)|orde]] (número de elementos) do grupo simétrico <math>\mathrm{S}_n</math> é <math>n!</math>.

Aínda que os grupos simétricos poden definirse en [[conxunto infinito|conxuntos infinitos]], este artigo céntrase nos grupos simétricos finitos: as súas aplicacións, os seus elementos, as súas [[clase de conxugación|clases de conxugación]], unha [[Grupo finitamente presentado|presentación finita]], os seus [[Subgrupo|subgrupos]], os seus [[Grupo de automorfismos|grupos de automorfismos]] e a súa teoría [[Representación de grupo|da representación]]. Para o resto deste artigo, "grupo simétrico" significará un grupo simétrico nun conxunto finito.

O [[teorema de Cayley]] estabelece que todo grupo  é [[Isomorfismo de grupos|isomorfo]] a un [[subgrupo]] do grupo simétrico. Se o grupo é finito e ten orde {{Mvar|n}}, daquela é isomorfo a un subgrupo de <math>S_n</math>.

== Definición e primeiras propiedades ==
O grupo simétrico nun conxunto finito <math>X</math> é o grupo cuxos elementos son todas as funcións bixectivas de <math>X</math> a <math>X</math> e cuxa operación de grupo é a da [[composición de funcións]].<ref name="Jacobson-def">{{Cita Harvard sen parénteses|Jacobson|2009|p=31}}</ref> Para conxuntos finitos, "permutacións" e "funcións bixectivas" refírense á mesma operación, é dicir, a reordenación. O grupo simétrico de '''grao''' <math>n</math> é o grupo simétrico do conxunto <math>X = \{1, 2, \ldots, n\}</math> .

O grupo simétrico nun conxunto <math>X</math> denótase de varias maneiras, incluíndo <math>\mathrm{S}_X</math>, <math>\mathfrak{S}_X</math>, <math>\Sigma_X</math>, <math>X!</math>, e <math>\operatorname{Sym}(X)</math>.<ref name="Jacobson-def">{{Cita Harvard sen parénteses|Jacobson|2009|p=31}}</ref> Se <math>X</math> é o conxunto <math>\{1, 2, \ldots, n\}</math> daquela o nome pódese abreviar a <math>\mathrm{S}_n</math>, <math>\mathfrak{S}_n</math>, <math>\Sigma_n</math>, ou <math>\operatorname{Sym}(n)</math>.<ref name="Jacobson-def" />

Os grupos simétricos en conxuntos infinitos compórtanse de forma bastante diferente dos grupos simétricos en conxuntos finitos, e son discutidos en {{Cita Harvard|Scott|1987}}, {{Cita Harvard|Dixon|Mortimer|1996}} e {{Cita Harvard|Cameron|1999}}.

O grupo simétrico nun conxunto de <math>n</math> elementos ten [[Orde (teoría de grupos)|orde]] <math>n!</math> (o [[factorial]] de <math>n</math>).<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Jacobson|2009|p=32 Theorem 1.1}}</ref> É [[Grupo abeliano|abeliano]] se e só se <math>n</math> é menor ou igual a 2.<ref>{{cite web|title=Symmetric Group is not Abelian/Proof 1|url=https://proofwiki.org/wiki/Symmetric_Group_is_not_Abelian/Proof_1}}</ref> Para <math>n=0</math> e <math>n=1</math> (o [[conxunto baleiro]] e o [[conxunto unitario]]), os grupos simétricos son triviais (teñen orde <math>0! = 1! = 1</math>). O grupo S<sub>''n''</sub> é [[Grupo resolúbel|resolúbel]] se e só se <math>n \leq 4</math>. Esta é unha parte esencial da demostración do [[teorema de Abel-Ruffini]] que demostra que para cada <math>n > 4</math> hai [[Polinomio|polinomios]] de grao <math>n</math> que non son resolúbeis por radicais.

== Propiedades do grupo e elementos especiais ==
Os elementos do grupo simétrico dun conxunto ''X'' son as [[Permutación|permutacións]] de ''X''.

=== Composición ===
A operación de grupo nun grupo simétrico é a composición de funcións, denotada polo símbolo ∘ ou simplemente escribindo seguidas as permutacións (como unha multipliación). A composición {{Nowrap|''f'' ∘ ''g''}} das permutacións ''f'' e ''g'', pronunciada "''f'' de ''g''", asigna calquera elemento ''x'' de ''X'' a ''f'' (''g''(''x'')). Concretamente, sexa (ver [[permutación]] para unha explicación da notación):

: <math> f = (1\ 3) (2) (4\ 5)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & 4\end{pmatrix} </math>
: <math> g = (1\ 2\ 5)(3\ 4)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{pmatrix}.</math>

Ao aplicar ''f'' despois de ''g'' asigna 1 primeiro a 2 e despois 2 a si mesmo; 2 a 5 e despois a 4; 3 a 4 e despois a 5, etc. Logo, compoñendo ''f'' e ''g'' temos

: <math> fg = f\circ g = (1\ 2\ 4)(3\ 5)=\begin{pmatrix} 1 & 2 &3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3\end{pmatrix}.</math>

Un [[Permutación cíclica|ciclo]] de lonxitude {{Nowrap|1=''L'' = ''k'' · ''m''}}, tomado á potencia ''k''-ésima, descompoñerase en ''k'' ciclos de lonxitude ''m'': Por exemplo, ( {{Nowrap|1=''k'' = 2}}, {{Nowrap|1=''m'' = 3}}),

: <math> (1~2~3~4~5~6)^2 = (1~3~5) (2~4~6).</math>

=== Verificación de axiomas de grupo ===
Para comprobar que o grupo simétrico dun conxunto ''X'' é realmente un [[Grupo (matemáticas)|grupo]], é necesario verificar os axiomas de grupo de pechamento, asociatividade, identidade e inversos.<ref>{{cita libro |last1=Vasishtha |first1=A.R. |last2=Vasishtha |first2=A.K. |chapter=2. Groups S3 Group Definition|title=Modern Algebra |publisher=Krishna Prakashan Media |date=2008 |isbn=9788182830561 |pages=49 }}</ref>

# A operación de composición de funcións está pechada no conxunto de permutacións do conxunto dado ''X''.
# A composición da función é sempre asociativa.
# A bixección trivial que asigna cada elemento de ''X a si mesmo'' serve de identidade para o grupo.
# Toda bixección ten unha [[función inversa]] que desfai a súa acción e, polo tanto, cada elemento dun grupo simétrico ten un inverso que tamén é unha permutación.

=== Transposicións, signo e grupo alternante ===
Unha '''transposición''' é unha permutación que troca dous elementos e mantén fixos todos os demais; por exemplo (1 3) é unha transposición. Toda permutación pódese escribir como produto de transposicións; por exemplo, a permutación ''g'' enriba pódese escribir como ''g'' = (1 2)(2 5)(3 4). Dado que ''g'' pódese escribir como produto dun número impar de transposicións é unha [[Permutacións pares e impares|permutación impar]], mentres que ''f'' é unha permutación par.

A representación dunha permutación como produto de transposicións non é única; porén, o número de transposicións necesarias para representar unha determinada permutación é sempre par ou sempre impar. Hai varias probas breves da invariancia desta paridade dunha permutación.

O produto de dúas permutacións pares é par, o produto de dúas permutacións impares é par e todos os demais produtos son impares. Así podemos definir o '''signo''' dunha permutación:

: <math>\operatorname{sgn}f = \begin{cases} +1, & \text{if }f\mbox { is even} \\ -1, & \text{if }f \text{ is odd}. \end{cases}</math>

Con esta definición,

: <math>\operatorname{sgn}\colon \mathrm{S}_n \rightarrow \{+1, -1\}\ </math>

é un [[homomorfismo de grupos]] ({+1, −1} é un grupo baixo multiplicación, onde +1 é e, o [[elemento neutro]]). O [[Kernel (álxebra)|kernel]] deste homomorfismo, é dicir, o conxunto de todas as permutacións pares, chámase '''grupo alternante''' A<sub>''n''</sub>. É un [[subgrupo normal]] de S<sub>''n''</sub>, e para {{Nowrap|''n'' ≥ 2}} ten {{Nowrap|''n''!/2}}  elementos. O grupo S<sub>''n''</sub> é o [[produto semidirecto]] de A<sub>''n''</sub> e calquera subgrupo xerado por unha única transposición.

A maiores, cada permutación pódese escribir como produto de ''[[Transposición adxacente|transposicións adxacentes]]'', é dicir, transposicións da forma {{Nowrap|(''a'' ''a''+1)}}. Por exemplo, a permutación ''g'' enriba tamén se pode escribir como {{Nowrap|1=''g'' = (4 5)(3 4)(4 5)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5)}}. A representación dunha permutación como produto de transposicións adxacentes tampouco non é única.

=== Ciclos ===
Un [[Permutación cíclica|ciclo]] de ''lonxitude'' ''k'' é unha permutación ''f'' para a cal existe un elemento ''x'' en {1, ..., ''n'' } tal que ''x'', ''f'' (''x''), ''f'' <sup>2</sup> (''x''), ... , ''f'' <sup>''k''</sup> (''x'') = ''x'' son os únicos elementos movidos por ''f'' ; convencionalmente requírese que {{Nowrap|''k'' ≥ 2}} xa que con {{Nowrap|1=''k'' = 1}} tampouco non se movería o propio elemento ''x''. A permutación ''h'' definida por

: <math>h = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 1 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

é un ciclo de lonxitude tres, xa que {{Nowrap|1=''h''(1) = 4}}, {{Nowrap|1=''h''(4) = 3}} e {{Nowrap|1=''h''(3) = 1}}, deixando 2 e 5 intactos. Denotamos tal ciclo por {{Nowrap|(1 4 3)}}, mais igualmente podería escribirse {{Nowrap|(4 3 1)}} ou {{Nowrap|(3 1 4)}} comezando nun punto diferente. A orde dun ciclo é igual á súa lonxitude. Os ciclos de lonxitude dous son transposicións. Dous ciclos son ''disxuntos'' se teñen subconxuntos de elementos disxuntos. Os ciclos disxuntos [[Conmutatividade|conmutan]]: por exemplo, en S<sub>6</sub> existe a igualdade {{Nowrap|1=(4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3)}}. Todo elemento de S<sub>''n''</sub> pódese escribir como produto de ciclos disxuntos; esta representación é única ata a orde dos factores, e a liberdade dada para o seu punto de partida.

Os ciclos admiten a seguinte propiedade de conxugación con calquera permutación <math>\sigma</math>, esta propiedade utilízase a miúdo para obter os seus as relacións.

: <math>\sigma\begin{pmatrix} a & b & c & \ldots \end{pmatrix}\sigma^{-1}=\begin{pmatrix}\sigma(a) & \sigma(b) & \sigma(c) & \ldots\end{pmatrix}</math>

=== Elementos especiais ===
Algúns elementos do grupo simétrico de {1, 2, ..., ''n'' } son de particular interese (estes pódense xeneralizar ao grupo simétrico de calquera conxunto finito totalmente ordenado, mais non ao dun conxunto non ordenado).

A '''permutación de orde inversa''' ven dada por:

: <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n\\
n & n-1 & \cdots & 1\end{pmatrix}.</math>

Este é o único elemento máximo con respecto á [[orde de Bruhat]] e o elemento máis longo do grupo simétrico con relación ao conxunto xerador que consiste nas transposicións adxacentes {{Nowrap|(''i'' ''i''+1)}}, {{Nowrap|1 ≤ ''i'' ≤ ''n'' − 1}}.

Esta é unha involución, e consiste en <math>\lfloor n/2 \rfloor</math> transposicións (non adxacentes).

polo que ten signo:

: <math>\mathrm{sgn}(\rho_n) = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} =(-1)^{n(n-1)/2} = \begin{cases}
+1 & n \equiv 0,1 \pmod{4}\\
-1 & n \equiv 2,3 \pmod{4}
\end{cases}</math>

que é 4-periódico en ''n''.

En S<sub>2''n''</sub>, a ''mestura perfecta'' é a permutación que divide o conxunto en 2 pilas e as intercala. O seu signo tamén é <math>(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}.</math>

Teña en conta que o revés en ''n'' elementos e a mestura perfecta en 2''n'' elementos teñen o mesmo signo; estes son importantes para a clasificación das [[Álxebra de Clifford|álxebras de Clifford]], que son 8-periódicas.

== Clases de conxugación ==
As [[clase de conxugación|clases de conxugación]] de S<sub>''n''</sub> corresponden aos [[Permutación|tipos de ciclo]] de permutacións; é dicir, dous elementos de S<sub>''n''</sub> conxúganse en S<sub>''n''</sub> se e só se consisten no mesmo número de ciclos disxuntos da mesma lonxitude. Por exemplo, en S<sub>5</sub>, (1 2 3)(4 5) e (1 4 3)(2 5) están conxugados; (1 2 3)(4 5) e (1 2)(4 5) non o son. Un elemento conxugado de S<sub>''n''</sub> pódese construír en "notación de dúas liñas" colocando as "notacións de ciclo" das dúas permutacións conxugadas unha encima da outra. Continuando co exemplo anterior, <math display="block">k = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5\end{pmatrix},</math>que se pode escribir como produto de ciclos como (2 4). Esta permutación relaciona logo (1 2 3)(4 5) e (1 4 3)(2 5) mediante conxugación, é dicir, <math display="block">(2~4)\circ(1~2~3)(4~5)\circ(2~4)=(1~4~3)(2~5).</math> Está claro que tal permutación non é única.

As clases de conxugación de S<sub>''n''</sub> corresponden a [[Partición enteira|particións enteiras]] de ''n'': á partición {{Nowrap|1=''μ'' = (''μ''<sub>1</sub>, ''μ''<sub>2</sub>, ..., ''μ''<sub>''k''</sub>)}} con <math display="inline">n=\sum_{i=1}^k \mu_i</math> e {{Nowrap|''μ''<sub>1</sub> ≥ ''μ''<sub>2</sub> ≥ ... ≥ ''μ''<sub>''k''</sub>}} {{Nowrap|''μ''<sub>1</sub> ≥ ''μ''<sub>2</sub> ≥ ... ≥ ''μ''<sub>''k''</sub>}}, está asociada ao conxunto ''C''<sub>''μ''</sub> de permutacións con ciclos de lonxitudes {{Nowrap|''μ''<sub>1</sub>, ''μ''<sub>2</sub>, ..., ''μ''<sub>''k''</sub>}} . Daquela ''C'' <sub>''μ''</sub> é unha clase de conxugación de S<sub>''n''</sub>, cuxos elementos se di que son de tipo ciclo <math>\mu</math>.

== Grupos de grao baixo ==
Os grupos simétricos de baixo grao teñen unha estrutura máis sinxela e excepcional, e moitas veces deben ser tratados por separado.

; S<sub>0</sub> e S<sub>1</sub>
: Os grupos simétricos do [[conxunto baleiro]] e do [[conxunto unitario]] son triviais, o que corresponde a {{Math|1=0! = 1! = 1}} {{Math|1=0! = 1! = 1}} {{Math|1=0! = 1! = 1}}. Neste caso, o grupo alternante concorda co grupo simétrico, en lugar de ser un subgrupo de índice 2, e o mapa de signos é trivial. No caso de S<sub>0</sub>, o seu único membro é a [[Función|función baleira]].

; S<sub>2</sub>
: Este grupo consta exactamente de dous elementos: a identidade e a permutación que intercambian os dous puntos. É un [[grupo cíclico]] e, polo tanto, é [[Grupo abeliano|abeliano]]. Na [[teoría de Galois]], isto corresponde ao feito de que a [[fórmula cadrática]] dá unha solución directa ao [[Función cadrática|polinomio cadrático]] xeral despois de extraer só unha única raíz.

; S<sub>3</sub>
: S<sub>3</sub> é o primeiro grupo simétrico non abeliano. Este grupo é isomorfo ao [[grupo diédrico de orde 6]], o grupo de simetrías de reflexión e rotación dun [[triángulo equilátero]], xa que estas simetrías permutan os tres vértices do triángulo. Os ciclos de lonxitude dous corresponden a reflexións, e os ciclos de lonxitude tres son rotacións. Na teoría de Galois, o mapa de signos de S<sub>3</sub> a S<sub>2</sub> corresponde á resolución cadrática dun [[función cúbica|polinomio cúbico]], segundo o descubriu [[Gerolamo Cardano]].

; S<sub>4</sub>
: O grupo [[wikiversity:Symmetric group S4|S<sub>4</sub>]] é isomorfo ao grupo de rotacións propias sobre caras opostas, diagonais opostas e arestas opostas, 9, 8 e 6 permutacións do [[cubo]]. Alén do grupo [[Grupo alternante|A<sub>4</sub>]], S<sub>4</sub> ten un [[Grupo de Klein|grupo de Klein-4]]  como [[subgrupo normal]] propio, é dicir, as transposicións pares {{Math|{(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)},}} co cociente S<sub>3</sub>. Na [[teoría de Galois]], este mapa corresponde á resolución cúbica dun [[Polinomio cuartico|polinomio cuártico]], o que permite resolver o cuartico mediante radicais, segundo estableceu [[Lodovico Ferrari]].

; S<sub>5</sub>
: S<sub>5</sub> é o primeiro grupo simétrico non resolúbel. Xunto co [[grupo linear especial]] {{Math|SL(2, 5)}} e o [[grupo icosaédrico]] {{Math|A<sub>5</sub> × S<sub>2</sub>}}, S<sub>5</sub> é un dos tres grupos non resolúbeis de orde 120, ata isomorfismo. S<sub>5</sub> é o [[grupo de Galois]] da [[ecuación quíntica]] xeral, e o feito de que  <sub>5</sub> non sexa un grupo resolúbel tradúcese na inexistencia dunha fórmula xeral para resolver [[Polinomio quntico|polinomios quinticos]] por radicais. Hai un mapa de inclusión exótico {{Math|S<sub>5</sub> → S<sub>6</sub>}} como subgrupo transitivo; o mapa de inclusión obvio {{Math|S<sub>''n''</sub> → S<sub>''n''+1</sub>}} fixa un punto e polo tanto non é transitivo. Isto produce o automorfismo externo de S<sub>6</sub>, que se comenta a continuación, e corresponde ao resolvente séxtico dunha quintica.

; S<sub>6</sub>
: A diferenza de todos os outros grupos simétricos, S<sub>6</sub>, ten un [[Automorfismo exterior|automorfismo externo]]. Usando a linguaxe da [[teoría de Galois]], isto tamén se pode entender en termos de [[resolventes de Lagrange]].

=== Mapas entre grupos simétricos ===
Ademais do mapa trivial {{Math|S<sub>''n''</sub> → C<sub>1</sub> ≅ S<sub>0</sub> ≅ S<sub>1</sub>}} e do mapa de signos {{Math|S<sub>''n''</sub> → S<sub>2</sub>}}, os homomorfismos máis notables entre grupos simétricos, por orde de dimensión relativa, son:

* {{Math|S<sub>4</sub> → S<sub>3</sub>}} correspone ao subgrupo normal excepcional {{Math|V < A<sub>4</sub> < S<sub>4</sub>}};
* {{Math|S<sub>6</sub> → S<sub>6</sub>}} corresponde ao automorfismo dexterno de S<sub>6</sub>.
* {{Math|S<sub>5</sub> → S<sub>6</sub>}} como grupo transitivo, produce o automorfismo externo de S<sub>6</sub> segundo visto enriba.

Tamén hai moitos outros homomorfismos {{Math|S<sub>''m''</sub> → S<sub>''n''</sub>}} onde {{Math|''m'' < ''n''}}. .

== Relación co grupo alterno ==
Para {{Nowrap|''n'' ≥ 5}}, o [[grupo alternante]] A<sub>''n''</sub> é [[Grupo simple|simple]] e o cociente inducido é o mapa de signos: {{Nowrap|A<sub>''n''</sub> → S<sub>''n''</sub> → S<sub>2</sub>}} que se divide tomando unha transposición de dous elementos. Así, S<sub>''n''</sub> é o produto semidirecto {{Nowrap|A<sub>''n''</sub> ⋊ S<sub>2</sub>}}, e non ten outros subgrupos normais propios, xa que se cruzarían con A<sub>''n''</sub> na identidade (e, polo tanto, serían eles mesmos a identidade ou un grupo de 2 elementos, o que non é normal), ou en A<sub>''n''</sub> (e, polo tanto, eles mesmos serían A<sub>''n''</sub> ou S<sub>''n''</sub>).

S<sub>''n''</sub> pódese embeber en A<sub>''n''+2</sub> engadindo a transposición {{Nowrap|(''n'' + 1, ''n'' + 2)}} a todas as permutacións impares, mentres que a incorporación en A<sub>''n'' +1</sub> é imposible para {{Nowrap|''n'' > 1}}.

== Xeradores e relacións ==
O grupo simétrico en {{Mvar|n}} letras é xerado polas transposicións adxacentes <math> \sigma_i = (i, i + 1)</math> que trocan {{Mvar|i}} e {{Math|''i'' + 1}}. A colección <math>\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}</math> xera {{Math|S<sub>''n''</sub>}} suxeito ás seguintes relacións: 

* <math>\sigma_i^2 = 1,</math>
* <math>\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i</math> para <math>|i-j| > 1</math>, e
* <math>(\sigma_i\sigma_{i+1})^3 =1,</math>

onde 1 representa a permutación de identidade. Esta representación dota ao grupo simétrico da estrutura dun [[grupo de Coxeter]] (e así tamén dun [[grupo de reflexión]]).

Outros conxuntos xeradores posíbeis inclúen o conxunto de transposicións que trocan {{Math|1}} e {{Mvar|i}} por {{Math|2 ≤ ''i'' ≤ ''n''}},  ou, de xeito máis xeral, calquera conxunto de transposicións que formen un gráfo conectado, e un conxunto que contén calquera {{Mvar|n}}-ciclo e un {{Math|2}}-ciclo de elementos adxacentes no {{Mvar|n}}-ciclo.  

== Estrutura de subgrupos ==
Un [[subgrupo]] dun grupo simétrico chámase [[Grupo de permutación|grupo de permutacións]].

=== Subgrupos normais ===
Os [[Subgrupo normal|subgrupos normais]] dos grupos simétricos finitos son ben entendidos. Se {{Math|''n'' ≤ 2}}, S<sub>''n''</sub> ten como máximo 2 elementos, polo que non ten subgrupos propios non triviais. O [[Grupo alternante|grupo alterno]] de grao ''n'' é sempre un subgrupo normal, un propio para {{Math|''n'' ≥ 2}} e un non trivial para {{Math|''n'' ≥ 3}}; para {{Math|''n'' ≥ 3}} é de feito o único subgrupo normal propio non trivial de {{Math|S<sub>''n''</sub>}}, agás cando {{Math|1=''n'' = 4}} onde hai un subgrupo normal adicional, que é isomorfo ao [[Grupo Klein catro|grupo de Klein 4]].

O grupo simétrico nun conxunto infinito non ten un subgrupo de índice 2, xa que [[Giuseppe Vitali|Vitali]] (1915<ref>{{cite journal |first=G. |last=Vitali |title=Sostituzioni sopra una infinità numerabile di elementi |journal=Bollettino Mathesis |volume=7 |pages=29–31 |date=1915 |doi= |url=}}</ref>) demostrou que cada permutación pode escribirse como un produto de tres cadrados. (Calquera elemento cadrado debe pertencer a un subgrupo hipotético de índice 2, polo que tamén debepertencer o produto de calquera número de cadrados.)

=== Subgrupos máximos ===
Os [[Subgrupo máximo|subgrupos máximos]] de {{Math|S<sub>''n''</sub>}} divídense en tres clases: os intransitivos, os imprimitivos e os primitivos. Os subgrupos máximos intransitivos son exactamente os da forma {{Math|S<sub>''k''</sub> × S<sub>''n''–''k''</sub>}} para {{Math|1 ≤ ''k'' < ''n''/2}}. Os subgrupos máximos imprimitivos son exactamente os da forma {{Math|S<sub>''k''</sub> wr S<sub>''n''/''k''</sub>}}, onde {{Math|2 ≤ ''k'' ≤ ''n''/2}} é un divisor propio de ''n'' e "wr" denota o [[Produto entrelazado|produto da entrelazado]]. Os subgrupos máximos primitivos son máis difíciles de identificar, pero coa axuda do [[Teorema de O'Nan-Scott|teorema de O'Nan–Scott]] e a [[Clasificación dos grupos simples finitos|clasificación de grupos simples finitos]], {{Cita Harvard|Liebeck|Praeger|Saxl|1988}}  deron unha descrición bastante satisfactoria dos subgrupos máximos deste tipo, segundo {{Cita Harvard|Dixon|Mortimer|1996|p=268}}.

=== Subgrupos de Sylow ===
Os [[Teorema de Sylow|subgrupos de Sylow]] dos grupos simétricos son exemplos importantes de [[Grupo P|grupos ''p'']]. Descríbense máis facilmente en casos especiais:

Os ''p''-subgrupos de Sylow do grupo simétrico de grao ''p'' son só os subgrupos cíclicos xerados polos ''p''-ciclos. Hai {{Math|1=(''p'' − 1)!/(''p'' − 1) = (''p'' − 2)!}} deses subgrupos simplemente contando xeradores. Polo tanto, o normalizador ten orde {{Math|''p''⋅(''p'' − 1)}} e coñécese como [[Grupo de Frobenius|grupo Frobenius]] {{Math|''F''<sub>''p''(''p''−1)</sub>}} (especialmente para {{Math|1=''p'' = 5}}), e é o [[grupo linear xeral afín]], {{Math|AGL(1, ''p'')}}.

=== Subgrupos transitivos ===
Un '''subgrupo transitivo''' de S<sub>''n''</sub> é un subgrupo cuxa acción sobre {1,&nbsp;2,&nbsp;,...,&nbsp;''n'' } é [[Acción transitiva|transitiva]]. Por exemplo, o grupo de Galois dunha [[Extensión de Galois|extensión]] (finita) de Galois é un subgrupo transitivo de S<sub>''n''</sub>, para algúns ''n''.

== Subgrupos cíclicos ==
[[Grupo cíclico|Os grupos cíclicos]] son aqueles que se xeran por unha única permutación. Cando unha permutación se representa en notación de ciclo, a orde do subgrupo cíclico que xera é o [[mínimo común múltiplo]] das lonxitudes dos seus ciclos. Por exemplo, en S{{Sub|5}}, un subgrupo cíclico de orde 5 é xerado por (13254), mentres que os maiores subgrupos cíclicos de S{{Sub|5}} son xerados por elementos como (123)(45) que teñen un ciclo de lonxitude 3 e outro ciclo de lonxitude 2. Isto descarta moitos grupos como posibles subgrupos de grupos simétricos dun determinado tamaño. Por exemplo, S{{Sub|5}} non ten ningún subgrupo de orde 15 (un divisor da orde de S{{Sub|5}}), porque o único grupo de orde 15 é o grupo cíclico. A maior orde posible dun subgrupo cíclico (equivalentemente, a maior orde posible dun elemento en S{{Sub|''n''}}) vén dada pola [[función de Landau]].

== Grupo de automorfismos ==
{| class="wikitable" cellspacing="2" style="float:right;"
|''n''
| Aut(S<sub>''n''</sub> )
| Out(S<sub>''n''</sub> )
| Z(S<sub>''n''</sub> )
|-
| ''n'' ≠ 2, 6
| S<sub>''n''</sub>
| C<sub>1</sub>
| C<sub>1</sub>
|-
| ''n'' = 2
| C<sub>1</sub>
| C<sub>1</sub>
| S<sub>2</sub>
|-
| ''n'' = 6
| S<sub>6</sub> ⋊ C<sub>2</sub>
| C<sub>2</sub>
| C<sub>1</sub>
|}
Para {{Nowrap|''n'' ≠ 2, 6}}, S <sub>''n''</sub> é un [[grupo completo]]: o seu [[Centro (teoría de grupos)|centro]] e o seu [[Grupo de automorfismo externo|grupo de automorfismos externos]] son triviais.

Para {{Nowrap|1=''n'' = 2}}, o grupo de automorfismos é trivial, pero S<sub>2</sub> non é trivial: é isomorfo a C<sub>2</sub>, que é abeliano e, polo tanto, o centro é todo o grupo.

Para {{Nowrap|1=''n'' = 6}}, ten un automorfismo exterior de orde 2: {{Nowrap|1=Out(S<sub>6</sub>) = C<sub>2</sub>}}, e o grupo de automorfismos é un produto semidirecto {{Nowrap|1=Aut(S<sub>6</sub>) = S<sub>6</sub> ⋊ C<sub>2</sub>}}.

De feito, para calquera conxunto ''X'' de cardinalidade que non sexa 6, cada automorfismo do grupo simétrico en ''X'' é interior, un resultado primeiro debido a {{Cita Harvard|Schreier|Ulam|1936}}  segundo {{Cita Harvard|Dixon|Mortimer|1996|p=259}}.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{Cita libro | last=Cameron | first=Peter J. | title=Permutation Groups | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=London Mathematical Society Student Texts | isbn=978-0-521-65378-7 | year=1999 | volume=45 |   url=https://archive.org/details/permutationgroup0000came }}
* {{Cita libro | last1=Dixon | first1=John D. | last2=Mortimer | first2=Brian | title=Permutation groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94599-6 | mr=1409812 | year=1996 | volume=163   | url=https://archive.org/details/permutationgroup0000dixo }}
* {{Cita libro | last=Jacobson| first=Nathan| author-link=Nathan Jacobson| year=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| volume = 1 | publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47189-1}}.
* {{Cita libro | last=Kaloujnine | first=Léo | title=La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis | url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1948_3_65__239_0 | mr=0028834 | year=1948 | journal=[[Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure]] |series=Série 3 | issn=0012-9593 | volume=65 | pages=239–276| doi=10.24033/asens.961  }}
*{{Cita libro | last=Kerber | first=Adalbert | title=Representations of permutation groups. I | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=Lecture Notes in Mathematics, Vol. 240 | doi=10.1007/BFb0067943 | mr=0325752 | year=1971 | volume=240 | isbn=978-3-540-05693-5}}
* {{Cita libro | first1=M.W. | last1=Liebeck | first2=C.E. | last2=Praeger |author2-link=Cheryl Praeger| first3=J. | last3=Saxl |author3-link=Jan Saxl| title=On the O'Nan–Scott theorem for finite primitive permutation groups | journal=[[Australian Mathematical Society#Society journals|Journal of the Australian Mathematical Society]] | volume=44 | year=1988 | pages=389–396 | doi=10.1017/S144678870003216X | issue=3  }}
* {{Cita libro | title=Homology of the Infinite Symmetric Group | first=Minoru | last=Nakaoka | journal=[[Annals of Mathematics]] | series=2 | volume=73 | number=2 |date=March 1961 | pages=229–257 | jstor=1970333 | doi=10.2307/1970333 }}
* {{Cita libro | last=Netto | first=Eugen | author-link=Eugen Netto | title=Substitutionentheorie und ihre Anwendungen auf die Algebra | publisher=Leipzig. Teubner | language=de | jfm=14.0090.01 | year=1882}}
* {{Cita libro | last = Rotman | first = Joseph J. |author-link=Joseph J. Rotman| date = 1995 | chapter = Extensions and Cohomology | title = An Introduction to the Theory of Groups | series = Graduate Texts in Mathematics | volume = 148 | pages = 154–216 | publisher = Springer | doi = 10.1007/978-1-4612-4176-8_7 | isbn = 978-1-4612-8686-8 | chapter-url = https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-1-4612-4176-8_7.pdf }}
* {{Cita libro | last=Scott | first=W.R. | title=Group Theory | url=https://archive.org/details/grouptheory0000scot | publisher=[[Dover Publications]] | isbn=978-0-486-65377-8 | year=1987 | pages=[https://archive.org/details/grouptheory0000scot/page/45 45]–46}}
*{{Cita libro | first=Issai | last=Schur | author-link=Issai Schur | title=Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | volume=1911 | year=1911 | issue=139 | pages=155–250 |doi=10.1515/crll.1911.139.155}}
* {{Cita libro | last1=Schreier | first1=Józef |author1-link=Józef Schreier | last2=Ulam | first2=Stanislaw | author2-link=Stanislaw Ulam | title=Über die Automorphismen der Permutationsgruppe der natürlichen Zahlenfolge | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm28/fm28128.pdf | language=de | zbl=0016.20301 | year=1936 | journal=[[Fundamenta Mathematicae]] | volume=28 | pages=258–260| doi=10.4064/fm-28-1-258-260 }}
=== Outros artigos ===
* [[Grupo de simetría]].
* [[Grupo de permutacións]].
* [[Grupo cíclico]].
=== Ligazóns externas ===
* {{springer|title=Symmetric group|id=p/s091670}}
* {{mathworld | urlname = SymmetricGroup  | title = Symmetric group }}
* {{mathworld | urlname = SymmetricGroupGraph  | title = Symmetric group graph }}
*[http://www.ted.com/talks/marcus_du_sautoy_symmetry_reality_s_riddle.html Marcus du Sautoy: Symmetry, reality's riddle] (video of a talk)
* [[OEIS]] [http://oeis.org/search?q=Symmetric+Group Entries dealing with the Symmetric Group]

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Simetría]]
[[Categoría:Teoría de grupos]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]