Ver o código fonte de «Grupo abeliano»

{{Outros homónimos|para=a novela|Grupo abeliano (novela)}}
Un '''grupo abeliano''' é unha [[estrutura alxébrica]] determinada sobre un [[conxunto]] ''G'' que ten estrutura de [[grupo (matemáticas)|grupo]] e no que a [[operación (matemáticas)|operación]] interna é [[propiedade conmutativa|conmutativa]].

Os grupos abelianos reciben o seu nome en honra ao matemático [[Noruega|noruegués]] [[Niels Henrik Abel]], que os empregou no seu estudo das ecuacións alxébricas resolubles con radicais.<ref>{{cita web |url= http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Abelian_group |título= Abelian group |dataacceso=12 de xullo de 2014 |autor= Encyclopedia of Mathematics |lingua= inglés}}</ref> Os grupos que non son conmutativos denomínanse “non abelianos” ou “non conmutativos”.

== Definición ==
Dada unha estrutura alxébrica sobre un conxunto ''G'' e cunha operación interna binaria  "<math> \circ </math>", dise que a estrutura <math>( G, \circ ) </math> é un grupo abeliano con respecto á operación <math> \circ </math> se:
# <math>( G, \circ ) </math> ten a estrutura alxébrica de [[grupo (matemáticas)|grupo]].
# <math>( G, \circ ) </math> ten a [[propiedade conmutativa]].

== Notación ==
=== Notación ===
{{ver tamén|Grupo aditivo|Grupo multiplicativo}}
Existen dúas convencións principais de notación para os grupos abelianos: aditivo e multiplicativo.

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|-
! Convenio
! Operación
! Identidade
! Potencias
! Inverso
|-
! Adición
| <math>x + y</math> || 0 || <math>nx</math> || <math>-x</math>
|-
! Multiplicación
| <math>x \cdot y</math> ou <math>xy</math> || 1
| <math>x^n</math>
| <math>x^{-1}</math>
|}
Xeralmente, a notación multiplicativa é a notación usual para os grupos, mentres que a notación aditiva é a notación usual para [[módulo (álxebra)|módulos]] e [[anel (matemáticas)|aneis]]. A notación aditiva tamén se pode empregar para salientar que un grupo particular é abeliano, sempre que se consideren tanto grupos abelianos como non abelianos, sendo algunhas excepcións notables os [[near-ring]]s e [[partally ordered group]]s, onde unha operación escríbese aditivamente aínda que non sexa abeliana.<ref>[[Maurice Auslander|Auslander, M.]], & [[David Buchsbaum|Buchsbaum, D.]], ''Grupos, aneis, módulos'' ([[Mineola, Nova York|Mineola, NY]]: [[Dover Publications]], 1974), pp. 28–29.</ref><ref>Stanojkovski, M., ''Automorfismos intensos de grupos finitos'' ([[Providence, Rhode Island|Providence, RI]]: [ [Sociedade Americana de Matemáticas]], 2021) [https://books.google.com/books?id=d_NUEAAAQBAJ&pg=PA9&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false páxs. 9–14].</ref>

=== Táboa de multiplicación ===
Para verificar que un [[grupo finito]] é abeliano, pódese construír unha táboa (matriz), coñecida como [[táboa de Cayley]], de forma similar a unha [[táboa de multiplicar]].<ref>Isaev, A. P., & [[Valery Rubakov|Rubakov, V. A.]], ''Theory of Groups and Symmetries: Finite Groups, Lie Groups, and Lie Algebras'' ([[Singapore]]: [[World Scientific]], 2018).</ref> Se o grupo é <math>G = \{g_1 = e, g_2, \dots, g_n \}</math> baixo a {{nowrap|operación <math >\cdot</math>,}} a entrada {{nowrap|<math>(i, j)</math>-ésima}} desta táboa contén o produto <math>g_i \cdot g_j</math>.

O grupo é abeliano [[se e só se]] esta táboa é [[matriz simétrica|simétrica]] sobre a diagonal principal. Isto é certo xa que o grupo é abeliano se e só se  <math>g_i \cdot g_j = g_j \cdot g_i</math> para todo <math>i, j = 1, ..., n </math>, que é se a entrada <math>(i, j)</math> da táboa é igual á entrada <math>(j, i)</math> para todos os <math>i, j = 1, ..., n</math>, é dicir, a táboa é simétrica respecto da diagonal principal.

== Exemplos ==
* Todo [[grupo cíclico]] ''G'' é abeliano, pois se ''x'', ''y'' ∈ ''G'' = <''a''>, ''x'' = ''a''<sup>''m''</sup>; ''y'' = ''a''<sup>''n''</sup> para algúns ''m'', ''n'' [[número enteiro|enteiros]], co que ''xy'' = ''a''<sup>''m''</sup>''a''<sup>''n''</sup> = ''a''<sup>''m'' + ''n''</sup> = ''a''<sup>''n'' + ''m''</sup> = ''a''<sup>''n''</sup>''a''<sup>''m''</sup> = ''yx''. En particular, o grupo '''Z''' de enteiros coa suma é abeliano, ao igual que o grupo de [[aritmética modular|enteiros módulo ''n'']], '''Z'''<sub>''n''</sub>.
* Os [[número real|números reais]] forman un grupo abeliano coa adición, ao igual que os reais non nulos coa multiplicación.
* Todo [[anel (matemáticas)|anel]] é un grupo abeliano con respecto á súa suma. Nun [[anel conmutativo]], os elementos invertibles forman un grupo abeliano coa multiplicación.
* Todo [[subgrupo]] dun grupo abeliano é [[subgrupo normal|normal]], e polo tanto, para todo subgrupo hai un [[grupo cociente]]. Subgrupos, grupos cocientes e [[suma directa|sumas directas]] de grupos abelianos son tamén abelianos.

== Propiedades ==
* Se ''n'' é un [[número natural]] e ''x'' un elemento dun grupo abeliano ''G'', pódese definir ''nx'' = ''x'' + ''x'' +... + ''x'' (''n'' sumandos), e (−''n'')''x'' = −(''nx''), co que ''G'' se converte nun [[módulo (álxebra)|módulo]] sobre o anel ''Z'' dos enteiros. De feito, os módulos sobre ''Z'' non son outros cós grupos abelianos.
* Se ''f'', ''g'': ''G'' → ''H'' son dous [[homomorfismo]]s entre grupos abelianos, a súa suma (definida por (''f'' + ''g'')(''x'') = ''f''(''x'') + ''g''(''x'')) tamén é un homomorfismo; isto non se cumpre en xeral para os grupos non abelianos. Con esta operación, o conxunto de homomorfismos entre ''G'' e ''H'' vólvese, entón, un grupo abeliano en si mesmo.
* O [[centro (teoría de grupos)|centro]] <math>Z(G)</math> dun grupo <math>G</math> é o conxunto de elementos que conmutan con cada elemento de <math>G</math>. Un grupo <math>G</math> é abeliano se e só se é igual ao seu centro <math>Z(G)</math>. O centro dun grupo <math>G</math> é sempre un  subgrupo abeliano [[subgrupo característico|característico]] de <math>G</math>. 
* Se o grupo cociente <math>G/Z(G)</math> dun grupo polo seu centro é cíclico, entón <math>G</math> é abeliano.<ref>Rose 2012,  p. 48.</ref>

== Grupos abelianos finitos ==
Os grupos cíclicos de [[aritmética modular|números enteiros módulo <math>n</math>]], <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>, estiveron entre os primeiros exemplos de grupos. Resulta que un grupo abeliano finito arbitrario é isomorfo a unha suma directa de grupos cíclicos finitos de orde potencia prima, e estas ordes están determinadas de forma única, formando un sistema completo de invariantes. O [[grupo de automorfismos]] dun grupo abeliano finito pódese describir directamente en termos destas invariantes. A teoría foi desenvolvida por primeira vez no artigo de 1879 de [[Ferdinand Georg Frobenius|Georg Frobenius]] e [[Ludwig Stickelberger]] e máis tarde foi simplificada e xeneralizada a módulos xerados de forma finita sobre un dominio ideal principal, formando un importante capítulo da [[álxebra linear]].

Calquera grupo de orde prima é isomorfo a un grupo cíclico e, polo tanto, abeliano. Calquera grupo cuxa orde sexa un cadrado dun número primo tamén é abeliano.<ref>Rose 2012, [https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ&pg=PA79&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false p. 79].</ref> De feito, para cada número primo <math>p</math> hai (ata isomorfismo) exactamente dous grupos de orde <math>p^2</math>, a saber <math>\mathbb{Z}_{p^2}</math> e <math>\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p</math>.

=== Clasificación ===
O '''teorema fundamental dos grupos abelianos finitos''' afirma que todo grupo abeliano finito <math>G</math> pode expresarse como a suma directa de subgrupos cíclicos de orde de potencia [[número primo|prima]]; tamén se coñece como '''teorema da base para grupos abelianos finitos'''. A maiores, os grupos de automorfismos de grupos cíclicos son exemplos de grupos abelianos.<ref>[[Hans Kurzweil|Kurzweil, H.]], & [[Bernd Stellmacher|Stellmacher, B.]], ''The Theory of Finite Groups: An Introduction'' (Nova York, Berlín, Heidelberg: [[Springer Science+Business) Media|Springer Verlag]], 2004), pp. 43–54].</ref> Isto é xeneralizado polo [[teorema fundamental dos grupos abelianos xerados finitamente]], sendo os grupos finitos o caso especial cando ''G'' ten [[rango dun grupo abeliano|rango]] cero; isto á súa vez admite numerosas xeneralizacións adicionais.

A clasificación foi probada por [[Leopold Kronecker]] en 1870, aínda que non foi declarada en termos modernos de teoría de grupos ata máis tarde, e foi precedida por unha clasificación similar de formas cadráticas de [[Carl Friedrich Gauss]] en 1801; ver [[Teorema fundamental de grupos abelianos finitamente xerados#Historia|historia]] para máis detalles.

O grupo cíclico <math>\mathbb{Z}_{mn}</math> de orde <math>mn</math> é isomorfo á suma directa de <math>\mathbb{Z}_m</math> e <math>\mathbb{Z}_n</math> se e só se <math>m</math> e <math>n</math> son [[coprimo|coprimos]]. Dedúcese que calquera grupo abeliano finito <math>G</math> é isomorfo a unha suma directa da forma

:<math>\bigoplus_{i=1}^{u}\ \mathbb{Z}_{k_i}</math>

de calquera das seguintes formas canónicas:
* os números <math>k_1, k_2, \dots, k_u</math> son potencias de números primos (non necesariamente distintos).
* ou <math>k_1</math> [[divisor|divide]] <math>k_2</math>, que divide <math>k_3</math>, e así sucesivamente ata <math>k_u</math>.

Por exemplo, <math>\mathbb{Z}_{15}</math> pódese expresar como a suma directa de dous subgrupos cíclicos de orde 3 e 5: <math>\mathbb{Z}_{15} \cong \{0,5,10\} \oplus \{0,3,6,9,12\}</math>. O mesmo pódese dicir de calquera grupo abeliano de orde 15, o que leva á conclusión notable de que todos os grupos abelianos de orde 15 son [[isomorfismo de grupos|isomorfos]].

Para outro exemplo, cada grupo abeliano de orde 8 é isomorfo a <math>\mathbb{Z}_8</math> (os enteiros de 0 a 7 baixo a suma módulo 8), <math>\mathbb{Z}_4\oplus \mathbb{Z}_2</math> (os enteiros impares do 1 ao 15 baixo a multiplicación módulo 16), ou <math>\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2</math>.

Vexa tamén [[lista de grupos pequenos]] para grupos abelianos finitos de orde 30 ou menos.

=== Automorfismos ===
Pódese aplicar o [[#Clasificación|teorema fundamental]] para contar (e ás veces determinar) os [[Isomorfismo de grupos#Automorfismos|automorfismos]] dun grupo abeliano finito <math>G</math>. Para iso, utilízase o feito de que se <math>G</math> se divide como unha suma directa <math>H\oplus K</math> de subgrupos de orde [[coprimo|coprima]], entón
:<math>\operatorname{Aut}(H\oplus K) \cong \operatorname{Aut}(H)\oplus \operatorname{Aut}(K).</math>

Dado isto, o teorema fundamental mostra que para calcular o grupo de automorfismos de <math>G</math> abonda con calcular os grupos de automorfismos dos [[teoremas de Sylow|subgrupos de Sylow]] <math>p</math> por separado, (é dicir, todas as sumas directas de subgrupos cíclicos, con cadansúa potencia de <math>p</math>). Fixamos un <math>p</math> primo e supomos que os expoñentes <math>e_i</math> dos factores cíclicos do subgrupo <math>p</math> de Sylow están dispostos en orde crecente:

:<math>e_1\leq e_2 \leq\cdots\leq e_n</math>

para algúns <math>n > 0</math>. Hai que atopar os automorfismos de

:<math>\mathbf{Z}_{p^{e_1}} \oplus \cdots \oplus \mathbf{Z}_{p^{e_n}}.</math>

Un caso especial é cando <math>n = 1</math>, de xeito que só hai un factor de potencia prima cíclica no subgrupo <math>P</math> de Sylow. Neste caso pódese utilizar a teoría dos automorfismos dun [[grupo cíclico]] finito. Outro caso especial é cando <math>n</math> é arbitrario pero <math>e_i = 1</math> para <math> 1 \le i \le n</math>. Aquí, estamos considerando que <math>P</math> é da forma

:<math>\mathbf{Z}_p \oplus \cdots \oplus \mathbf{Z}_p,</math>

polo que os elementos deste subgrupo pódense ver como un espazo vectorial de dimensión <math>n</math> sobre o corpo finito de elementos <math>p</math> <math>\mathbb{F}_p</math>. Polo tanto, os automorfismos deste subgrupo veñen dados polas transformacións lineares invertíbeis, polo tanto

:<math>\operatorname{Aut}(P)\cong\mathrm{GL}(n,\mathbf{F}_p),</math>

onde <math>\mathrm{GL}</math> é o [[grupo linear xeral]]. Móstrase facilmente que ten orde

:<math> \left|\operatorname{Aut}(P)\right|=(p^n-1)\cdots(p^n-p^{n-1}).</math>

No caso máis xeral, onde os <math>e_i</math> e <math>n</math> son arbitrarios, o grupo de automorfismos é máis difícil de determinar. Sábese, porén, que se un define

:<math>d_k=\max\{r\mid e_r = e_k\}</math>

e

:<math>c_k=\min\{r\mid e_r=e_k\}</math>

entón temos en particular <math>k \le d_k</math>, <math>c_k \le k</math> e

:<math> \left|\operatorname{Aut}(P)\right| = \prod_{k=1}^n (p^{d_k}-p^{k-1}) \prod_{j=1}^n (p^{e_j})^{n-d_j} \prod_{ i=1}^n (p^{e_i-1})^{n-c_i+1}. </math>

Pódese comprobar que isto produce as ordes dos exemplos anteriores como casos especiais (ver Hillar & Rhea).

==Grupos abelianos finitamente xerados==
{{ap|Grupo abeliano finitamente xerado}}
Un grupo abeliano {{mvar|A}} xérase finitamente se contén un conxunto finito de elementos (chamados ''xeradores'') <math>G=\{x_1, \ldots, x_n\}</math> tal que cada elemento do grupo é unha [[combinación linear]] con coeficientes enteiros de elementos de {{mvar|G}}.

Sexa {{mvar|L}} un [[grupo abeliano libre]] con base <math>B=\{b_1, \ldots, b_n\}.</math>
Hai un único [[homomorfismo de grupos]]
<math>p\colon L \to A,</math> de tal xeito que
:<math>p(b_i) = x_i\quad \text{para } i=1,\ldots, n.</math>
Este homomorfismo é [[función sobrexectiva|sobrexectivo]], e o seu [[kernel (álxebra)|kernel]] xérase de forma finita (xa que os enteiros forman un [[anel noetheriano]]). Considere a matriz {{mvar|M}} con entradas enteiras, de xeito que as entradas da súa columna {{mvar|j}}-ésima son os coeficientes do {{mvar|j}}-ésimo xerador do kernel. Entón, o grupo abeliano é isomorfo ao [[cokernel]] do mapa linear definido por {{mvar|M}}. Pola contra, cada [[matriz enteira]] define un grupo abeliano finitamente xerado.

Dedúcese que o estudo de grupos abelianos xerados finitamente é totalmente equivalente ao estudo das matrices enteiras. En particular, mudar o conxunto xerador de {{mvar|A}} é equivalente a multiplicar {{mvar|M}} pola esquerda por unha [[matriz unimodular]] (é dicir, unha matriz enteira invertíbel cuxa inversa tamén é un matriz enteira). Mudar o conxunto xerador do kernel de {{mvar|M}} é equivalente a multiplicar {{mvar|M}} pola dereita por unha matriz unimodular.

A [[forma normal de Smith]] de {{mvar|M}} é unha matriz
:<math>S=UMV,</math>
onde {{mvar|U}} e {{mvar|V}} son unimodulares, e {{mvar|S}} é unha matriz tal que todas as entradas non diagonais son cero, as entradas diagonais non nulas {{tmath| d_{1,1}, \ldots, d_{k,k} }} son os primeiros, e {{tmath|d_{j,j} }} é un divisor de {{tmath|d_{i,i} }} para {{math|''i'' > ''j''}}. A existencia e a forma da forma normal de Smith demostra que o grupo abeliano finitamente xerado {{mvar|A}} é a [[Suma directa de grupos|suma directa]]
:<math>\Z^r \oplus \Z/d_{1,1}\Z \oplus \cdots \oplus \Z/d_{k,k}\Z,</math>
onde {{mvar|r}} é o número de filas cero na parte inferior de {{mvar|S}} (e tamén o rango do grupo). Este é o [[teorema fundamental dos grupos abelianos xerados finitamente]].

A existencia de algoritmos para a forma normal de Smith mostra que o teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente xerados non é só un teorema de existencia abstracta, senón que proporciona unha forma de calcular a expresión de grupos abelianos finitamente xerados como sumas directas.<ref>Finkelstein, L., & [[William Kantor|Kantor, W. M.]], eds., ''Groups and Computation II: Workshop on Groups and Computation, June 7–10, 1995'' ([[Providence, Rhode Island|Providence]]: [[American Mathematical Society|AMS]], 1997), pp. 26–27].</ref>
== Grupos abelianos infinitos ==
O grupo abeliano infinito máis sinxelo é o [[grupo cíclico infinito]] <math>\mathbb{Z}</math>. Calquera [[grupo abeliano xerado finitamente]] <math>A</math> descomponse nunha suma directa de un número finito de [[grupos cíclicos]] de ordes [[potencia prima]]. Aínda que a descomposición non é única, o número <math>r</math>, chamado [[Rango dun grupo abeliano|rango]] de <math>A</math>, e as potencias primas que dan as ordes dos sumandos cíclicos finitos están determinados de forma única.

Pola contra, a clasificación de grupos abelianos xerados infinitamente está lonxe de ser completa. Os [[Grupo divisible|grupos divisíbeis]], é dicir, os grupos abelianos <math>A</math> nos que a ecuación <math>nx = a</math> admite unha solución <math>x \in A</math> para calquera número <math>n</math> e o elemento <math>a</math> de <math>A</math>, constitúen unha clase importante de grupos abelianos infinitos que se poden caracterizar por completo. Todo grupo divisíbel é isomorfo a unha suma directa, con sumandos isomorfos a <math>\mathbb{Q}</math> e os [[grupo de Prüfer|grupos de Prüfer]] <math>\mathbb{Q}_p/Z_p</math> para varios números primos <math>p</math>. A cardinalidade do conxunto de sumandos de cada tipo está determinada de forma única.<ref>Por exemplo, <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \cong \sum_p \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p</math>.</ref> A maiores, se un grupo divisíbel <math>A </math> é un subgrupo dun grupo abeliano <math>G</math>, entón <math>A</math> admite un complemento directo: un subgrupo <math>C</math> de <math>G</math> tal que <math>G = A \oplus C</math>. Así, os grupos divisíbeis son [[módulo inxectivo|módulos inxectivos]] na [[categoría de grupos abelianos]], e viceversa, todo grupo abeliano inxectivo é divisíbel ([[criterio de Baer]]). Un grupo abeliano sen subgrupos divisíbeis distintos de cero chámase '''reducido'''.

Dúas clases especiais importantes de grupos abelianos infinitos con propiedades diametralmente opostas son os "grupos de torsión" e os "grupos libres de torsión", exemplificados polos grupos <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math > (periódico ou torsión) e <math>\mathbb{Q}</math> (sen torsión).

=== Grupos de torsión ===
Un grupo abeliano chámase '''[[grupo de torsión|periódico ou de torsión]]''' se cada elemento ten [[orde (teoría de grupos)| orde]] finita. Unha suma directa de grupos cíclicos finitos é periódica. Aínda que a afirmación inversa non é certa en xeral, coñécense algúns casos especiais. O primeiro e o segundo [[teoremas de Prüfer]] afirman que se <math>A</math> é un grupo periódico, e ten un '''expoñente limitado''', é dicir, <math>nA = 0</math> para algún número natural <math>n</math>, ou é numerábel e as [[altura (grupo abeliano)|<math>p</math>-alturas]] dos elementos de <math>A</math> son finitas para cada <math>p</math>, entón <math>A</math> é isomorfo a unha suma directa de grupos cíclicos finitos.<ref>A suposición de numerabilidade no segundo teorema de Prüfer non se pode eliminar: o subgrupo de torsión do [[produto directo]] dos grupos cíclicos <math>\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}</math> para todos os <math>m</math> naturais non é unha suma directa de grupos cíclicos.</ref>
A cardinalidade do conxunto de sumandos directos isomorfos a <math>\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}</math> en tal descomposición é unha invariante de <math>A</math>.<ref > Faith, C. C., ''Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra'' (Providence: AMS, 2004), [https://books.google.com/books?id=H1TzBwAAQBAJ&pg=PA6&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false páx. 6].</ref> Estes teoremas foron subsumidos máis tarde no '''criterio de Kulikov'''. Nunha dirección diferente, [[Helmut Ulm]] atopou unha extensión do segundo teorema de Prüfer a <math>p</math>-grupos abelianos numerábeil con elementos de altura infinita: eses grupos están completamente clasificados mediante a súa [[invariante de Ulm]].<ref>Gao, S., ''Invariant Descriptive Set Theory'' ([[Boca Raton, Florida|Boca Raton, FL]]: [[CRC Press]], 2008), [https://google.com/books?id=VfiOZWY282QC&pg=PT317 p. 317].</ref>

=== Grupos libres de torsión e mixtos ===
Un grupo abeliano chámase '''libre de torsión''' se cada elemento distinto de cero ten orde infinita. Varias clases de [[grupo libre de torsión|grupos abelianos libres de torsión]] foron estudadas amplamente:

* [[Grupo abeliano libre|Grupos abelianos libres]], é dicir, sumas directas arbitrarias de <math>\mathbb{Z}</math>
* [[Grupo de cotorsión]] e grupos libres de torsión[[módulo compacto alxébrico|compactos alxébricos]] como os enteiros [[Número p-ádico|<math>p</math>-ádicos]]
* Os [[Grupo de Slender|grupo de Slender]]<ref>Albrecht, U., "Products of Slender Abelian Groups", en Göbel, R., & Walker, E., eds., ''Abelian Group Theory: Proceedings of the Third Conference Celebrada sobre Abelian Group Theory en Oberwolfach, do 11 ao 17 de agosto de 1985'' (Nova York: [[Taylor & Francis|Gordon & Breach]], 1987), [https://books.google.com/books?id=kwvGp9_4lOMC&pg=PT259 páxs. 259–274].</ref>

Un grupo abeliano que non é nin de torsión nin libre de torsión chámase '''mixto'''. Se <math>A</math> é un grupo abeliano e <math>T(A)</math> é o seu [[subgrupo de torsión]], entón o grupo de factores <math>A/T(A)</math> é libre de torsión. porén, en xeral o subgrupo de torsión non é un sumando directo de <math>A</math>, polo que <math>A</math> non é isomorfo a <math>T(A) \oplus A/ T(A)</math>. Así, a teoría dos grupos mixtos implica máis que simplemente combinar os resultados sobre grupos de torsión e libres de torsión. O grupo aditivo <math>\mathbb{Z}</math> de números enteiros é un módulo <math>\mathbb{Z}</math> sen torsión.<ref>Lal, R., ''Algebra 2: Linear Algebra, Galois Theory, Representation Theory, Group Extensions and Schur Multiplier'' (Berlin, Heidelberg: Springer, 2017), [https://books.google.com/books?id=FwPNDgAAQBAJ&pg=PA206 p. 206].</ref>

=== Invariantes e clasificación ===
Unha das invariantes máis básicas dun grupo abeliano infinito <math>A</math> é o seu [[rango dun grupo abeliano|rango]]: a cardinalidade do subconxunto [[linearmente independente]] máximo de <math>A. </math>. Os grupos abelianos de rango 0 son precisamente os grupos periódicos, mentres que os grupos abelianos libres de torsión de rango 1 son necesariamente subgrupos de <math>\mathbb{Q}</math> e pódense describir completamente. De forma máis xeral, un grupo abeliano libre de  torsión de rango finito <math>r</math> é un subgrupo de <math>\mathbb{Q}_r</math>. Por outra banda, o grupo de [[Número p-adic|enteiros <math>p</math>-adicos]] <math>\mathbb{Z}_p</math> é un grupo abeliano sen torsión de <math>\mathbb{Z}</math>-rango infinito e os grupos <math>\mathbb{Z}_p^n</math> con diferentes <math>n</math> son non isomorfos, polo que este invariante nin sequera captura completamente as propiedades dalgúns grupos familiares.

Os teoremas de clasificación para grupos abelianos sen torsión, divisíbeis, periódicos numerábeis e de rango 1, explicados anteriormente, obtivéronse todos antes de 1950 e forman unha base para a clasificación de grupos abelianos infinitos máis xerais. As ferramentas técnicas importantes empregadas na clasificación de grupos abelianos infinitos son os [[subgrupo puro|sbugrupos puros]] e o [[subgrupo básico]]. A introdución de varias invariantes de grupos abelianos libres de torsión foi unha vía de avance. Vexa os libros de [[Irving Kaplansky]], [[László Fuchs]], [[Phillip Griffith]] e [[David Arnold (matemático)|David Arnold]], así como as actas das conferencias sobre Abelian Group Theory publicada en ''[[Lecture Notes in Mathematics]]'' para achados máis recentes.

=== Grupos aditivos de aneis ===
O grupo aditivo dun [[anel (matemáticas)|anel]] é un grupo abeliano, mais non todos os grupos abelianos son grupos aditivos de aneis (con multiplicación non trivial). Algúns temas importantes nesta área de estudo son:

* [[Produto tensorial]]
* A.L.S. Resultados de Corner en grupos numerábeis libres de torsión
* Traballo de Shelah para eliminar as restricións de cardinalidade
* [[Anel de Burnside]]

== Notas ==
{{listaref}}

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
* {{cita libro |last=Cox |first=David |author-link=David A. Cox|url=https://books.google.com/books?id=96P8lsAF7fcC |date=2004 |title=Galois Theory |publisher=[[Wiley-Interscience]] |isbn=9781118031339 |mr=2119052 }}
* {{cita libro|last=Fuchs|first=László|author-link=László Fuchs |date=1970 |title=Infinite Abelian Groups |series=Pure and Applied Mathematics |volume=36-I |publisher=[[Academic Press]] |mr=0255673 }}
* {{cita libro |last=Fuchs |first=László |date=1973 |title=Infinite Abelian Groups |series=Pure and Applied Mathematics |volume=36-II |publisher=[[Academic Press]] |mr=0349869 }}
* {{cita libro |first=Phillip A. |last=Griffith  |date=1970 |title=Infinite Abelian group theory |url=https://archive.org/details/infiniteabeliang0000grif |series=Chicago Lectures in Mathematics |publisher=[[University of Chicago Press]] |isbn=0-226-30870-7}}
* {{cita libro |last=Herstein |first=I. N. |author-link=Israel Nathan Herstein |date=1975 |title=Topics in Algebra |url=https://archive.org/details/topicsinalgebra00hers  |edition=2nd |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=0-471-02371-X}}
* {{cita publicación periódica |last1=Hillar |first1=Christopher |last2=Rhea |first2=Darren |date=2007 |title=Automorphisms of finite abelian groups |url=http://www.math.tamu.edu/~chillar/files/autabeliangrps.pdf |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=114 |issue=10 |pages=917–923 |doi=10.1080/00029890.2007.11920485 |arxiv=math/0605185 |jstor=27642365 |bibcode=2006math......5185H |data-acceso=12 de novembro de 2024 |data-arquivo=29 de xuño de 2006 |url-arquivo=https://web.archive.org/web/20060629091951/http://www.math.tamu.edu/~chillar/files/autabeliangrps.pdf |url-morta=yes }}
* {{cita libro| last=Jacobson| first=Nathan|author-link= Nathan Jacobson | date=2009| title=Basic Algebra I |url=https://books.google.com/books?id=JHFpv0tKiBAC| edition=2nd | publisher=[[Dover Publications]] | isbn = 978-0-486-47189-1}}
* {{cita libro |last=Rose |first=John S. |date=2012 |title=A Course on Group Theory |url=https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ|publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-68194-8}} Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
* {{cita publicación periódica |last=Szmielew |first=Wanda|author-link= Wanda Szmielew |date=1955 |title=Elementary Properties of Abelian Groups |journal=[[Fundamenta Mathematicae]] |volume=41 |issue=2|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm41/fm41122.pdf|pages= 203–271|doi=10.4064/fm-41-2-203-271|mr=0072131|zbl=0248.02049}}
* {{cita publicación periódica |last1=Robinson |first1=Abraham|author-link1= Abraham Robinson |last2=Zakon |first2=Elias|date=1960 |title=Elementary Properties of Ordered Abelian Groups |journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |volume=96 |issue=2|url=https://www.ams.org/journals/tran/1960-096-02/S0002-9947-1960-0114855-0/S0002-9947-1960-0114855-0.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/tran/1960-096-02/S0002-9947-1960-0114855-0/S0002-9947-1960-0114855-0.pdf |archive-date=2022-10-09 |pages= 222–236|doi=10.2307/1993461|jstor=1993461}}
=== Outros artigos ===
*{{annotated link|Subgrupo conmutador}}
*{{annotated link|Abelianización}}
*{{annotated link|Grupo dihédrico de orde 6}}, o grupo máis pequeno non abeliano
*{{annotated link|Grupo de Grothendieck}}
*{{annotated link|Dualidade de Pontryagin}}
=== Ligazóns externas ===
* {{springer|title=Abelian group|id=p/a010230|mode=cs1}}

{{control de autoridades}}

[[Categoría:Álxebra]]