Ver o código fonte de «Funcións trigonométricas inversas»

En [[matemáticas]], as '''funcións trigonométricas inversas''' (tamén chamadas funcións ''arco''<ref>{{cite book|title=Encyclopaedia of Mathematics|title-link=Encyclopedia of Mathematics|author-first=Michiel|author-last=Hazewinkel|author-link=Michiel Hazewinkel|publisher=[[Kluwer Academic Publishers]] / [[Springer Science & Business Media]]|orig-year=1987|date=1994|edition=unabridged reprint|isbn=978-155608010-4}} {{cita libro|last1=Bronshtein |first1=I. N. |last2=Semendyayev |first2=K. A. |last3=Musiol |first3=Gerhard |last4=Mühlig |first4=Heiner |title=Handbook of Mathematics |edition=6th |publisher=Springer |location=Berlin |doi=10.1007/978-3-663-46221-8 |chapter=Cyclometric or Inverse Trigonometric Functions |doi-broken-date=1 November 2024}}.</ref>) son as [[función inversa|funcións inversas]] das [[función trigonométrica|funcións trigonométricas]], baixo [[Dominio de definición|dominios]] debidamente restrinxidos. Concretamente, son as inversas das funcións [[seno]], [[coseno]], [[tanxente]], [[cotanxente]], [[secante (matemáticas)|secante]] e [[cosecante]],<ref>{{Cita web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Inverse Trigonometric Functions|url=https://mathworld.wolfram.com/InverseTrigonometricFunctions.html|access-date=2020-08-29|website=mathworld.wolfram.com}}</ref> e úsanse para obter un ángulo a partir de calquera das razóns trigonométricas do ángulo. As funcións trigonométricas inversas úsanse amplamente en [[enxeñaría]], [[navegación]], [[física]] e [[xeometría]].

== Notación ==
[[Ficheiro:Arcsin and arccos as actual arc lengths.svg|thumb|
Para unha circunferencia de raio 1, arcsin e arccos son as lonxitudes dos arcos reais determinadas polas cantidades en cuestión.]]
{{ver tamén|Funcións trigonométricas}}
Existen varias notacións para as funcións trigonométricas inversas. A convención máis común é nomear as funcións trigonométricas inversas mediante un prefixo de arco (arc): {{math|arcsin(''x'')}}, {{math|arccos(''x'')}}, {{math|arctan(''x'')}}, etc.<ref name=Hall_1909>{{cita libro|title=Trigonometry|volume=Part I: Plane Trigonometry|author1-first=Arthur Graham|author1-last=Hall|author2-first=Fred Goodrich|author2-last=Frink|date=January 1909|location=Ann Arbor, Michigan, USA|chapter=Chapter II. The Acute Angle [14] Inverse trigonometric functions|publisher=[[Henry Holt and Company]] / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA|publication-place=New York, USA|page=15|chapter-url = https://archive.org/stream/planetrigonometr00hallrich#page/n30/mode/1up|access-date=2017-08-12}} </ref> (Esta convención úsase ao longo deste artigo).

Esta notación xorde das seguintes relacións xeométricas:
ao medir en radiáns, un ángulo de {{mvar|θ}} radiáns corresponderá a un [[arco (xeometría)|arco]] cuxa lonxitude é {{mvar|rθ}}, onde {{mvar|r}} é o raio da circunferencia. Así, na función da [[circunferencia goniométrica]], o coseno de x é tanto o arco como o ángulo, porque o arco dunha circunferencia de raio 1 é o mesmo que o ángulo. Ou, "o arco cuxo coseno é {{mvar|x}}" é o mesmo que "o ángulo cuxo coseno é {{mvar|x}}", porque a lonxitude do arco da circunferencia en raios é a mesma que a medida do ángulo en radiáns.<ref name=Americana_1912>{{cita libro|chapter=Inverse trigonometric functions|title=The Americana: a universal reference library|volume=21|editor-first1=Frederick Converse|editor-last1=Beach|editor-first2=George Edwin|editor-last2=Rines|date=1912|title-link=The Americana}} </ref>

Nas linguaxes de programación de ordenadores, as funcións trigonométricas inversas denomínanse frecuentemente polas formas abreviadas <math>\operatorname{asin}, \operatorname{acos}, \operatorname{atan}</math>.<ref>{{cita web | author = Cook, John D. | date = 2021-02-11 | title = Trig functions across programming languages | website = johndcook.com | type = blog | url = https://www.johndcook.com/blog/2021/02/11/trig-across-languages | access-date = 2021-03-10 }}</ref>

As notacións <math>\sin^{-1}(x), \cos^{-1}(x), tan^{-1}(x)</math>, etc., introducidas por [[John Herschel]] en 1813, <ref name=Cajori>{{cita libro|url = https://archive.org/details/ahistorymathema02cajogoog|author-last=Cajori|author-first=Florian|author-link=Florian Cajori|title=A History of Mathematics|page=[https://archive.org/details/ahistorymathema02cajogoog/page/n284 272]|edition=2|year=1919|publisher=[[The Macmillan Company]]|location=New York, NY}}</ref><ref name=Herschel_1813>{{cita revista|url=https://books.google.com/books?id=qpRJAAAAYAAJ&pg=PA8|author-last=Herschel|author-first=John Frederick William|author-link=John Frederick William Herschel|title=On a remarkable Application of Cotes's Theorem|journal=Philosophical Transactions|page=8|volume=103|number=1|date=1813|publisher=Royal Society, London|doi=10.1098/rstl.1813.0005}} </ref>utilízanse a miúdo,<ref name=Hall_1909/> que é útil (por exemplo) para definir o [[Función multivalorada|multivalor]] de cada función trigonométrica: 
:<math>\tan^{-1}(x) = \{\arctan(x) + \pi k \mid k \in \mathbb Z\}.</math> 
Isto pode parecer entrar en conflito loxicamente coa semántica común para expresións como {{math|sin<sup>2</sup>(''x'')}} ou {{math|sin<sup>2</sup> ''x''}}, que se refiren á potencia numérica e non á composición de funcións e, polo tanto, pode producir confusión entre a notación para o [[recíproco (matemáticas)|recíproco]] ([[inverso multiplicativo]]) e a [[función inversa]].

Polo tanto, desde 2009, o estándar [[ISO 80000-2|ISO 80000-2]] especificou unicamente o prefixo "arc" para as funcións inversas.

==Conceptos básicos==
[[File:TrigFunctionDiagram.svg|thumb|Os puntos etiquetados como {{color|#D00|1}}, {{color|#02D|Sec(''θ'')}}, {{color|#0D1|Csc(''θ'')}} representan a lonxitude do segmento de liña desde a orixe ata ese punto. {{color|#D00|Sin(''θ'')}}, {{color|#02D|Tan(''θ'')}} e {{color|#0D1|1}} son as alturas da liña que comeza no eixo {{mvar|x}}, mentres que {{color|#D00|Cos(''θ'')}}, {{color|#02D|1}} e {{color|#0D1|Cot(''θ'')}} son lonxitudes ao longo do eixo {{mvar|x}} que comezan desde a orixe.]]

===<span class="anchor" id="valor principal">Valores principais</span>===
Dado que ningunha das seis funcións trigonométricas é [[Función inxectiva|un a un]], deben estar restrinxidas para ter funcións inversas. Polo tanto, o rango de resultados das funcións inversas son [[subconxunto|subconxuntos]] dos dominios das funcións orixinais.

Por exemplo, empregando {{em|función}} no sentido de [[función multivalorada|funcións multivaloradas]], do mesmo xeito que a función [[raíz cadrada]] <math>y = \sqrt{x}</math> podería definirse a partir de <math>y^2 = x,</math>, a función <math>y = \arcsin(x)</math> defínese de xeito que <math>\sin(y) = x.</math> 

Para un número real dado <math>x,</math> con <math>-1 \leq x \leq 1,</math> hai múltiples (de feito, [[conxunto numerábel|infinitos numerábeis]] moitos) números <math>y</math> tal  que <math>\sin(y) = x</math>; por exemplo, <math>\sin(0) = 0,</math> mais tamén <math>\sin(\pi) = 0,</math> <math>\sin(2 \pi) = 0,</math> etc. Cando só se desexa un valor, a función pode restrinxirse á súa [[rama principal]]. Con esta restrición, para cada <math>x</math> do dominio, a expresión <math>\arcsin(x)</math> hase avaliar só a un único valor, chamado [[valor principal]]. Estas propiedades aplícanse a todas as funcións trigonométricas inversas.

As principais inversas están listadas na seguinte táboa.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! ámbito="col" | Nome
! ámbito="col" | Notación habitual
! ámbito="col" | Definición
! ámbito="col" | Dominio de {{mvar|x}} para un resultado real
! ámbito="col" | Intervalo do valor principal habitual <br/>([[radián|radiáns]])
! ámbito="col" | Intervalo do valor principal habitual <br/>([[Grao sesaxesimal|graos]])
|-
! ámbito = "fila" | arco seno
| {{math|1= ''y'' = arcsin(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[seno|sin]](''y'')}} || {{math|−1 ≤ ''x'' ≤ 1}} || {{math|−{{sfrac|π|2}} ≤ ''y'' ≤ {{sfrac|π|2}}}} || {{math|−90° ≤ ''y'' ≤ 90°}}
|-
! ámbito = "fila" | arco coseno
| {{math|1= ''y'' = arccos(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[coseno|cos]](''y'')}} || {{math|−1 ≤ ''x'' ≤ 1}} || {{math|0 ≤ ''y'' ≤ π}} || {{math|0° ≤ ''y'' ≤ 180°}}
|-
! ámbito = "fila" | arco tanxente
| {{math|1= ''y'' = arctan(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[Tanxente|tan]](''y'')}} || todos os números reais || {{math|−{{sfrac|π|2}} < ''y'' < {{sfrac|π|2}}}} || {{math|−90° < ''y'' < 90°}}
|-
! ámbito = "fila" | arco cotanxente
| {{math|1= ''y'' = arccot(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[cotanxente|cot]](''y'')}} || todos os números reais || {{math|0 < ''y'' < π}} || {{math|0° < ''y'' < 180°}}
|-
! ámbito = "fila" | arco secante
| {{math|1= ''y'' = arcsec(''x'')}} || {{math|1=''x'' = [[Secante|sec]](''y'')}} || {{math|{{abs|''x''}} ≥ 1}} || {{math|0 ≤ ''y'' < {{sfrac|π|2}}}} ou {{math|{{sfrac|π|2}} < ''y'' ≤ π}} || {{math|0° ≤ ''y'' < 90°}} ou {{math|90° < ''y'' ≤ 180°}}
|-
! ámbito = "fila" | arco cosecante
| {{math|1= ''y'' = arccsc(''x'')}} ||{{math|1=''x'' = [[cosecante|csc]](''y'')}} || {{math|{{abs|''x''}} ≥ 1}} || {{math|−{{sfrac|π|2}} ≤ ''y'' < 0}} ou {{math|0 < ''y'' ≤ {{sfrac|π|2}}}} || {{math|−90° ≤ ''y'' < 0}} ou {{math|0° < ''y'' ≤ 90°}}
|-
|}

Se se permite que {{mvar|x}} sexa un [[número complexo]], entón o intervalo de {{mvar|y}} aplícase só á súa parte real.

=== Solucións de ecuacións trigonométricas elementais ===

Cada unha das funcións trigonométricas é periódica na parte real do seu argumento, percorrendo todos os seus valores dúas veces en cada intervalo de <math>2 \pi</math>:

* O seno e a cosecante comezan o seu período en <math display="inline">2 \pi k-\frac{\pi}{2}</math>  (onde <math>k</math> é un número enteiro), rematan en <math display="inline">2 \pi k+\frac{\pi}{2},</math> e teñen os opostos entre <math display="inline">2 \pi k+\frac{\pi}{2}</math> a <math display="inline">2 \pi k+\frac{3\pi}{2}.</math>
* O coseno e a secante comezan o seu período en <math>2 \pi k,</math> rematan en <math>2 \pi k+\pi.</math> E teñen os opostos en <math>2 \pi k+\pi</math> ata <math>2 \pi k+2 \pi.</math>
* A tanxente comeza o seu período en <math display="inline">2 \pi k-\frac{pi}{2},</math> remata en <math display="inline">2 \pi k+\frac{pi}{2},</math> e despois repíteo  entre <math display="inline">2 \pi k+\frac{pi}{2}</math> ata <math display="inline">2 \pi k+\frac{3 \pi}{2}.</math>
* A cotanxente comeza o seu período en <math>2 \pi k, </math> remata en <math>2 \pi k+\pi,</math> e despois repíteo entre <math>2 \pi k+\pi</math> e <math>2 \pi k+2 \pi.</math>

Esta periodicidade reflítese nos inversos en xeral, onde <math>k</math> é algún número enteiro.

A seguinte táboa mostra como se poden usar as funcións trigonométricas inversas para resolver igualdades que inclúen as seis funcións trigonométricas estándar.
Suponse que os valores dados <math>\theta,</math> <math>r,</math> <math>s,</math> <math>x,</math> e <math>y</math> atópanse todos dentro de intervalos apropiados para que as expresións relevantes a continuación estean  ben definidas.
Teña en conta que "para algúns <math>k \in Z</math>" é só outra forma de dicir "para algúns [[números enteiros]] <math>k</math>".

O símbolo <math>,\iff,</math> é a [[se e só se|igualdade lógica]] e indica que se o lado esquerdo é verdadeiro, entón tamén o é o lado dereito e, pola contra, se o lado dereito é verdadeiro, o lado esquerdo tamén o é.

{| class="wikitable" style="border: none;"
|+ 
|-
! Ecuación !! [[se e só se]] !! colspan="7" | Solución 
|-
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" | <math>\sin \theta = y</math>
| style="text-align: center;" |[[Logical equality|<math>\iff</math>]]
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-left: 2em;' |<math>\theta =\, </math>
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right;' |<math>(-1)^k</math>
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left;' |<math>\arcsin (y)</math>
| style='border-style: solid none solid none;' |<math>+</math>
| style='border-style: solid none solid none;' |
| style='border-style: solid none solid none; padding-right: 2em;' |<math>\pi k</math>
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" |for some <math>k \in \Z</math>
<!--------------- END:   sin ''θ'' = ''x'' --------------->
|-
<!--------------- START: csc ''θ'' = ''r'' --------------->
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" | <math>\csc \theta = r</math>
| style="text-align: center;" |<math>\iff</math>
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-left: 2em;' |<math>\theta =\, </math>
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right;' |<math>(-1)^k</math>
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left;' |<math>\arccsc (r)</math>
| style='border-style: solid none solid none;' |<math>+</math>
| style='border-style: solid none solid none;' |
| style='border-style: solid none solid none; padding-right: 2em;' |<math>\pi k</math>
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" |for some <math>k \in \Z</math>
<!--------------- END:   csc ''θ'' = ''r'' --------------->
|-
<!--------------- START: cos ''θ'' = ''x'' --------------->
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" | <math>\cos \theta = x</math>
| style="text-align: center;" |<math>\iff</math>
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-left: 2em;' |<math>\theta =\, </math>
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right;' |<math>\pm\,</math>
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left;' |<math>\arccos(x)</math>
| style='border-style: solid none solid none;' |<math>+</math>
| style='border-style: solid none solid none;' |<math>2</math>
| style='border-style: solid none solid none; padding-right: 2em;' |<math>\pi k</math>
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" |for some <math>k \in \Z</math>
<!--------------- END:   cos ''θ'' = ''x'' --------------->
|-
<!--------------- START: sec ''θ'' = ''r'' --------------->
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" | <math>\sec \theta = r</math>
| style="text-align: center;" |<math>\iff</math>
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-left: 2em;' |<math>\theta =\, </math>
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right;' |<math>\pm\,</math>
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left;' |<math>\arcsec (r)</math>
| style='border-style: solid none solid none;' |<math>+</math>
| style='border-style: solid none solid none;' |<math>2</math>
| style='border-style: solid none solid none; padding-right: 2em;' |<math>\pi k</math>
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" |for some <math>k \in \Z</math>
|-
<!--------------- END:   sec ''θ'' = ''r'' --------------->
|-
<!--------------- START: tan ''θ'' = ''s'' --------------->
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" | <math>\tan \theta = s</math>
| style="text-align: center;" |<math>\iff</math>
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-left: 2em;' |<math>\theta =\, </math>
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right;' |
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left;' |<math>\arctan (s)</math>
| style='border-style: solid none solid none;' |<math>+</math>
| style='border-style: solid none solid none;' |
| style='border-style: solid none solid none; padding-right: 2em;' |<math>\pi k</math>
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" |for some <math>k \in \Z</math>
<!--------------- END:   tan ''θ'' = ''s'' --------------->
|-
<!--------------- START: cot ''θ'' = ''r'' --------------->
| style="text-align: center; padding: 0.5% 2em 0.5% 2em;" | <math>\cot \theta = r</math>
| style="text-align: center;" |<math>\iff</math>
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left; padding-left: 2em;' |<math>\theta =\, </math>
| style='border-style: solid none solid none; text-align: right;' |
| style='border-style: solid none solid none; text-align: left;' |<math>\arccot (r)</math>
| style='border-style: solid none solid none;' |<math>+</math>
| style='border-style: solid none solid none;' |
| style='border-style: solid none solid none; padding-right: 2em;' |<math>\pi k</math>
| style="text-align: center; padding-left: 1em; padding-right: 1em;" |for some <math>k \in \Z</math>
<!--------------- END:   cot ''θ'' = ''r'' --------------->
|}


Por exemplo, se <math>\cos \theta = -1</math> entón <math>\theta = \pi+2 \pi k = -\pi+2 \pi (1+k)</math> para algúns <math>k \in \Z.</math> Mentres que se <math>\sin \theta = \pm 1</math> entón <math display="inline \"{2}{pi\"> =-\frac{\pi}{2}+\pi (k+1)</math>  para algúns <math>k \in \Z,</math> onde <math>k</math> será par se <math>\sin \theta = 1</math> e será impar se <math>\sin \theta = -1.</math> As ecuacións  <math>\sec \theta = -1</math> e <math>\csc \theta = \pm 1</math> teñen as mesmas solucións que <math>\cos \theta = -1</math> e <math>\sin \theta = \pm 1,</math> respectivamente. 

En todas as ecuacións anteriores {{em|agás}}  as que se acaban de resolver (é dicir, agás <math>\sin</math>/<math>\csc \theta = \pm 1</math> e <math>\cos</math>/<math>\sec \theta =-1</math>), o enteiro <math>k</math> na fórmula está únicamente determinado por <math>\theta</math> (para <math>r, s, x,</math> e <math>y</math> fixos).

===Transformando ecuacións===

As ecuacións anteriores pódense transformar usando as identidades de reflexión e desprazamento:<ref>{{harvnb|Abramowitz|Stegun|1972|loc=p. 73, 4.3.44}}</ref>

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+ Transforming equations by shifts and reflections
|-
! scope="col" | Argument: <math>\underline{\;~~~~~~\;}=</math>
! scope="col" |<math>-\theta</math>
! scope="col" |<math>\frac{\pi}{2} \pm \theta</math>
! scope="col" |<math>\pi \pm \theta</math>
! scope="col" |<math>\frac{3\pi}{2} \pm \theta</math>
! scope="col" |<math>2 k \pi \pm \theta,</math><br/> <math>(k \in \Z)</math>
|- <!-- sin -->
! scope="row" |<math>\sin \underline{\;~~~~~~~~~~~~~~\;}=</math>
| <math>-\sin \theta</math>
| <math>\phantom{-}\cos \theta</math>
| <math>\mp\sin \theta</math>
| <math>-\cos \theta</math>
| <math>\pm\sin \theta</math>
|- <!-- csc -->
! scope="row" |<math>\csc \underline{\;~~~~~~~~~~~~~~\;}=</math>
| <math>-\csc \theta</math>
| <math>\phantom{-}\sec \theta</math>
| <math>\mp\csc \theta</math>
| <math>-\sec \theta</math>
| <math>\pm\csc \theta</math>
|- <!-- cos -->
! scope="row" |<math>\cos \underline{\;~~~~~~~~~~~~~~\;}=</math>
| <math>\phantom{-}\cos \theta</math>
| <math>\mp\sin \theta</math>
| <math>-\cos \theta</math>
| <math>\pm\sin \theta</math>
| <math>\phantom{-}\cos \theta</math>
|- <!-- sec -->
! scope="row" |<math>\sec \underline{\;~~~~~~~~~~~~~~\;}=</math>
| <math>\phantom{-}\sec \theta</math>
| <math>\mp\csc \theta</math>
| <math>-\sec \theta</math>
| <math>\pm\csc \theta</math>
| <math>\phantom{-}\sec \theta</math>
|- <!-- tan -->
! scope="row" |<math>\tan \underline{\;~~~~~~~~~~~~~~\;}=</math>
| <math>-\tan \theta</math>
| <math>\mp\cot \theta</math>
| <math>\pm\tan \theta</math>
| <math>\mp\cot \theta</math>
| <math>\pm\tan \theta</math>
|- <!-- cot -->
! scope="row" |<math>\cot \underline{\;~~~~~~~~~~~~~~\;}=</math>
| <math>-\cot \theta</math>
| <math>\mp\tan \theta</math>
| <math>\pm\cot \theta</math>
| <math>\mp\tan \theta</math>
| <math>\pm\cot \theta</math>
|}

Estas fórmulas implican, en particular, que se cumpre o seguinte:

:<math>
\begin{align}
\sin \theta
&= -\sin(-\theta)
&&= -\sin(\pi+\theta)
&&= \phantom{-}\sin(\pi-\theta) \\
&= -\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)
&&= \phantom{-}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)
&&= -\cos\left(-\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\
&= \phantom{-}\cos\left(-\frac{\pi}{2}+\theta\right)
&&= -\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)
&&= -\cos\left(-\frac{3\pi}{2}+\theta\right)
\\[0.3ex]
\cos \theta
&= \phantom{-}\cos(-\theta)
&&= -\cos(\pi+\theta)
&&= -\cos(\pi-\theta) \\
&= \phantom{-}\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)
&&= \phantom{-}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) 
&&= -\sin\left(-\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\
&= -\sin\left(-\frac{\pi}{2}+\theta\right)
&&= -\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)
&&= \phantom{-}\sin\left(-\frac{3\pi}{2}+\theta\right)
\\[0.3ex]
\tan \theta
&= -\tan(-\theta)
&&= \phantom{-}\tan(\pi+\theta)
&&= -\tan(\pi-\theta) \\
&= -\cot\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)
&&= \phantom{-}\cot\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)
&&= \phantom{-}\cot\left(-\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\
&= -\cot\left(-\frac{\pi}{2}+\theta\right)
&&= \phantom{-}\cot\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)
&&= -\cot\left(-\frac{3\pi}{2}+\theta\right)
\\[0.3ex]
\end{align}
</math>

onde trocando <math>\sin \leftrightarrow \csc,</math> trocando <math>\cos \leftrightarrow \sec,</math> e trocando <math>\tan \leftrightarrow \cot</math> dá as ecuacións análogas para <math>\csc, \sec, \cot,</math> respectivamente.

Así, por exemplo, usando a igualdade <math display="inline">\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right) = \cos \theta,</math> a ecuación <math>\cos \theta = x</math> pódese transformar en <math display="inline">\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = x,</math> o que permite usar a solución da ecuación <math>;\sin \varphi = x;</math> (onde <math display="inline">\varphi := \frac{\pi}{2}-\theta</math>); esa solución é:
<math>\varphi  = (-1)^k \arcsin (x)+\pi k ; \text{ para algún } k \in Z,</math>
que pasa a ser:
:<math>\frac{\pi}{2}-\theta = (-1)^k \arcsin (x)+\pi k \quad \text{ para algún } k \in Z</math>
onde úsase o feito de que <math>(-1)^{k} = (-1)^{-k}</math> e substituíndo <math>h :=-k</math> demostra que outra solución a <math>;\cos \theta = x;</math> é:
:<math>\theta = (-1)^{h+1} \arcsin (x)+\pi h+\frac{\pi}{2} \quad \text{ para algún } h \in Z.</math>
A substitución <math>\arcsin x = \frac{\pi}{2}-\arccos x;</math> pódese usar expresando o lado dereito da fórmula anterior en termos de <math>\arccos x;</math> en lugar de <math>\arcsin x.</math>

=== Relacións entre funcións trigonométricas e funcións trigonométricas inversas ===

As funcións trigonométricas das funcións trigonométricas inversas están tabuladas a continuación. Unha forma rápida de derivalas é considerando a xeometría dun triángulo rectángulo, cun lado de lonxitude 1 e outro lado de lonxitude <math>x</math>, despois aplicando o [[Teorema de Pitágoras]] e as definicións das razóns trigonométricas. 

Paga a pena notar que para arco secante e arco cosecante, o diagrama asume que <math>x</math> é positivo e, polo tanto, o resultado ten que ser corrixido mediante o uso de [[valor absoluto]] e a operación [[Función signo|signo]] (sgn).

{|class="wikitable"
|-
!<math>\theta</math>
!<math>\sin(\theta)</math>
!<math>\cos(\theta)</math>
!<math>\tan(\theta)</math>
!Diagrama
|-
!<math>\arcsin(x)</math>
|<math>\sin(\arcsin(x)) = x </math>
|<math>\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\tan(\arcsin(x)) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse3.svg|150px]]
|-
!<math>\arccos(x)</math>
|<math>\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1-x^2}</math>
|<math>\cos(\arccos(x)) = x </math>
|<math>\tan(\arccos(x)) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse.svg|150px]]
|-
!<math>\arctan(x)</math>
|<math>\sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos(\arctan(x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan(\arctan(x)) = x</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse2.svg|150px]]
|-
!<math>\arccot(x)</math>
|<math>\sin(\arccot(x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\cos(\arccot(x)) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>
|<math>\tan(\arccot(x)) = \frac{1}{x}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse4.svg|150px]]
|-
!<math>\arcsec(x)</math>
|<math>\sin(\arcsec(x)) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}</math>
|<math>\cos(\arcsec(x)) = \frac{1}{x}</math>
|<math>\tan(\arcsec(x)) = \sgn(x)\sqrt{x^2-1}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse6.svg|150px]]
|-
!<math>\arccsc(x)</math>
|<math>\sin(\arccsc(x)) = \frac{1}{x}</math>
|<math>\cos(\arccsc(x)) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}</math>
|<math>\tan(\arccsc(x)) = \frac{\sgn(x)}{\sqrt{x^2-1}}</math>
|[[File:Trigonometric functions and inverse5.svg|150px]]
|-
|}

===Relacións entre as funcións trigonométricas inversas===
[[Image:Arcsine Arccosine.svg|168px|right|thumb|Os valores principais habituais das funcións arcsin(''x'') (vermello) e arccos(''x'') (azul) representados no plano cartesiano.]]
[[Image:Arctangent Arccotangent.svg|294px|right|thumb|Os valores principais habituais das funcións arctan(''x'') e arccot(''x'') representadas gráficamente no plano cartesiano.]]
[[Image:Arcsecant Arccosecant.svg|294px|right|thumb|Valores principais  das funcións arcsec(''x'') e arccsc(''x'') representadas gráficamente no plano cartesiano.]]

Ángulos complementarios:
:<math>\begin{align}
\arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) \\[0.5em]
\arccot(x) &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \\[0.5em]
\arccsc(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsec(x)
\end{align}</math>

Argumentos negativos:
:<math>\begin{align}
\arcsin(-x) &= -\arcsin(x) \\
\arccsc(-x) &= -\arccsc(x) \\
\arccos(-x) &= \pi -\arccos(x) \\
\arcsec(-x) &= \pi -\arcsec(x) \\
\arctan(-x) &= -\arctan(x) \\
\arccot(-x) &= \pi -\arccot(x)
\end{align}</math>

Argumentos recíprocos:
:<math>\begin{align}
\arcsin\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccsc(x) & \\[0.3em]
\arccsc\left(\frac{1}{x}\right) &= \arcsin(x) & \\[0.3em]
\arccos\left(\frac{1}{x}\right) &= \arcsec(x) & \\[0.3em]
\arcsec\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccos(x) & \\[0.3em]
\arctan\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccot(x)       &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \, , \text{ se } x > 0 \\[0.3em]
\arctan\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccot(x) - \pi &= -\frac{\pi}{2} - \arctan(x) \, , \text{ se } x < 0 \\[0.3em]
\arccot\left(\frac{1}{x}\right) &= \arctan(x)       &= \frac{\pi}{2} - \arccot(x) \, , \text{ se } x > 0 \\[0.3em]
\arccot\left(\frac{1}{x}\right) &= \arctan(x) + \pi &= \frac{3\pi}{2} - \arccot(x) \, , \text{ se } x < 0 
\end{align}</math>
As identidades anteriores pódense usar polo feito de <math>\sin</math> e <math>\csc</math> seren [[Inverso multiplicativo|recíprocas]] (é dicir, <math>\csc = \tfrac{1}{sin}</math>), como o son <math>\cos</math> e <math>\sec,</math> e <math>\tan</math> e <math>\cot</math>.

Identidades útiles se só se ten un fragmento dunha táboa seno:
:<math>\begin{align}
\arcsin(x) &= \frac{1}{2}\arccos\left(1-2x^2\right) \, , \text{ if } 0 \leq x \leq 1 \\
\arcsin(x) &= \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right) \\
\arccos(x) &= \frac{1}{2}\arccos\left(2x^2-1\right) \, , \text{ if } 0 \leq x \leq 1 \\
\arccos(x) &= \arctan\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\right) \\
\arccos(x) &= \arcsin\left(\sqrt{1 - x^2}\right) \, , \text{ se } 0 \leq x \leq 1 \text{ , do que obtemos} \\
\arccos    &\left(\frac{1-x^2}{1 + x^2}\right) = \arcsin \left (\frac{2x}{1 + x^2}\right) \, , \text{ se } 0 \leq x \leq 1 \\
\arcsin    &\left(\sqrt{1 - x^2}\right) =\frac{\pi}{2}-\sgn(x)\arcsin(x) \\
\arctan(x) &= \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right) \\
\arccot(x) &= \arccos\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)
\end{align}</math>

Sempre que aquí se usa a raíz cadrada dun número complexo, escollemos a raíz coa parte real positiva (ou a parte imaxinaria positiva se o cadrado fose real negativo).

Unha forma útil que se desprende directamente da táboa anterior é

:<math>\arctan(x) = \arccos\left(\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}\right)\, , \text{ if } x\geq 0 </math>.

Obtense ao recoñecer que <math>\cos\left(\arctan\left(x\right)\right) = \sqrt{\frac{1}{1+x^2}} = \cos\left(\arccos\left(\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}\right)\right)</math>.


Da [[identidades trigonométricas|fórmula do ángulo metade]], <math>\tan\left(\tfrac{\theta}{2}\right) = \tfrac{\sin(\theta)}{1 + \cos(\theta)}</math>, obtemos:
:<math>\begin{align}
\arcsin(x) &= 2 \arctan\left(\frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}\right) \\[0.5em]
\arccos(x) &= 2 \arctan\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1 + x}\right) \, , \text{ if } -1 < x \leq  1 \\[0.5em]
\arctan(x) &= 2 \arctan\left(\frac{x}{1 + \sqrt{1 + x^2}}\right)
\end{align}</math>.

===Fórmula de adición arctanxente===
:<math>\arctan(u) \pm \arctan(v) = \arctan\left(\frac{u \pm v}{1 \mp uv}\right) \pmod \pi \, , \quad u v \ne 1 \, .</math>
Isto derívase da [[Identidades trigonométricas|fórmula da suma de ángulos]] da tanxente
:<math>\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan(\alpha) \pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\tan(\beta)} \, ,</math>
sendo
:<math>\alpha = \arctan(u) \, , \quad \beta = \arctan(v) \, .</math>

==En cálculo==

==={{anchor|Derivadas}}Derivadas de funcións trigonométricas inversas===
{{Principal|Diferenciación de funcións trigonométricas}}

As [[derivada|derivadas]] para valores complexos de ''z'' son as seguintes:
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dz} \arcsin(z) &{} = \frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \; ;   &z &{}\neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccos(z) &{} = -\frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \; ;  &z &{}\neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \arctan(z) &{} = \frac{1}{1+z^2} \; ;          &z &{}\neq -i, +i\\
\frac{d}{dz} \arccot(z) &{} = -\frac{1}{1+z^2} \; ;         &z &{}\neq -i, +i \\
\frac{d}{dz} \arcsec(z) &{} = \frac{1}{z^2 \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}}} \; ;   &z &{}\neq -1, 0, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccsc(z) &{} = -\frac{1}{z^2 \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}}} \; ;  &z &{}\neq -1, 0, +1
\end{align}</math>
Só para valores reais de ''x'':
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsec(x) &{} = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}} \; ;  & |x| > 1\\
\frac{d}{dx} \arccsc(x) &{} = -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}} \; ; & |x| > 1
\end{align}</math>
Só para valores reais de ''x'':

Estas fórmulas pódense obter en función das derivadas das funcións trigonométricas. Por exemplo, se <math>x = \sin \theta</math>, logo <math display=inline>dx/d\theta = \cos \theta = \sqrt{1-x^2},</math> e por tanto
:<math>\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{d \theta}{dx} = \frac{1}{dx/d\theta} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.</math>

===Expresión como integrais definidas===
Integrando a derivada e fixando o valor nun punto dáse unha expresión para a función trigonométrica inversa como unha integral definida:
:<math>\begin{align}
\arcsin(x) &{}= \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz \; , & |x| &{} \leq 1\\
\arccos(x) &{}= \int_x^1 \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz \; , & |x| &{} \leq 1\\
\arctan(x) &{}= \int_0^x \frac{1}{z^2 + 1} \, dz \; ,\\
\arccot(x) &{}= \int_x^\infty \frac{1}{z^2 + 1} \, dz \; ,\\
\arcsec(x) &{}= \int_1^x \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz = \pi + \int_{-x}^{-1} \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz\; , & x &{} \geq 1\\
\arccsc(x) &{}= \int_x^\infty \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz = \int_{-\infty}^{-x} \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz \; , & x &{} \geq 1\\
\end{align}</math>
Cando ''x'' é igual a 1, as integrais con dominios non limitados son [[integral impropia|integrais impropias]], mais aínda así están ben definidas.

===Serie infinita===
Similar ás funcións seno e coseno, as funcións trigonométricas inversas tamén se poden calcular usando [[serie de potencias|series de potencias]], como se indica a continuación. 

Para o arcoseno, a serie pódese obter expandindo a súa derivada, <math display="inline">\tfrac{1}{\sqrt{1-z^2}}</math>, como [[serie binomial]], e integrando termo por termo (usando a definición integral como se indica arriba). A serie para arcotanxente pódese obter de xeito similar expandindo a súa derivada <math display="inline">\frac{1}{1+z^2}</math> nunha [[serie xeométrica]], e aplicando a definición integral anterior (ver [[series de Leibniz]]).

: <math>
\begin{align}
\arcsin(z) & = z + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{z^3}{3} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \frac{z^5}{5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac{z^7}{7} + \cdots \\[5pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{z^{2n+1}}{2n+1} \\[5pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{(2^n n!)^2} \frac{z^{2n+1}}{2n+1} \, ; \qquad |z| \le 1
\end{align}
</math>

:<math>\arctan(z)
= z - \frac{z^3}{3} +\frac{z^5}{5} - \frac{z^7}{7} + \cdots
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{2n+1} \, ; \qquad |z| \le 1 \qquad z \neq i,-i</math>

As series para as outras funcións trigonométricas inversas pódense dar en función destas segundo as relacións indicadas anteriormente. Por exemplo, <math>\arccos(x) = \pi/2 - \arcsin(x)</math>, <math>\arccsc(x) = \arcsin(1/x)</math>, etc. Outra serie vén dada por:<ref name="Borwein_2004">{{cite book|title=Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery|url=https://archive.org/details/experimentationm00borw_656|url-access=limited|author-first1=Jonathan|author-last1=Borwein|author-first2=David|author-last2=Bailey|author-first3=Roland|author-last3=Gingersohn|edition=1|date=2004|publisher=[[A. K. Peters]]|page=[https://archive.org/details/experimentationm00borw_656/page/n60 51]|location=Wellesley, MA, USA|isbn=978-1-56881-136-9}}<ref>

:<math>2\left(\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{n^2\binom {2n} n}.</math>

[[Leonhard Euler]] atopou unha serie para o arcotanxente que converxe máis rápido que a súa [[Serie de Taylor]]:

: <math>\arctan(z) = \frac z {1 + z^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k z^2}{(2k + 1)(1 + z^2)}.</math><ref>{{citation|title= An elementary derivation of Euler's series for the arctangent function|journal = The Mathematical Gazette | author = Hwang Chien-Lih | doi = 10.1017/S0025557200178404 | year = 2005 | volume = 89 | issue = 516|pages = 469–470 |s2cid = 123395287 }}</ref>
(O termo da suma para ''n'' = 0 é o [[produto vacío]], polo que é 1).

Alternativamente, isto pódese expresar como

:<math>\arctan(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n + 1)!} \frac{z^{2n + 1}}{(1 + z^2)^{n + 1}}.</math>

Outra serie para a función arcotanxente vén dada por

:<math>\arctan(z) = i\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n - 1}\left(\frac{1}{(1 + 2i/z)^{2n-1}} - \frac{1}{(1 - 2i/z)^{2n - 1}}\right),</math>

onde <math>i=\sqrt{-1}</math> é a [[unidade imaxinaria]].<ref>{{cita libro| title = A formula for pi involving nested radicals | journal = The Ramanujan Journal | author = S. M. Abrarov and B. M. Quine | doi = 10.1007/s11139-018-9996-8 | year = 2018 | volume = 46 | issue = 3 | pages = 657–665 | arxiv = 1610.07713  }}</ref>

====Fraccións continuadas para arcotanxente====
Dúas alternativas á serie de potencias para arcotanxente son estas [[fracción continua xeneralizada|fraccións continuas xeneralizadas]]:

: <math>\arctan(z) =
\frac z {1 + \cfrac{(1z)^2}{3 - 1z^2 + \cfrac{(3z)^2}{5 - 3z^2 + \cfrac{(5z)^2}{7 - 5z^2 + \cfrac{(7z)^2}{9-7z^2 + \ddots}}}}} =
\frac{z}{1 + \cfrac{(1z)^2}{3 + \cfrac{(2z)^2}{5 + \cfrac{(3z)^2}{7 + \cfrac{(4z)^2}{9 + \ddots}}}}}
</math>

A segunda delas é válida no corte do plano complexo. Hai dous cortes, de &minus;'''i''' ata o punto do infinito, baixando polo eixo imaxinario, e desde '''i''' ata o punto do infinito, subindo no mesmo eixo. Funciona mellor para números reais que van de −1 a 1. Os denominadores parciais son os números naturais impares e os numeradores parciais (despois do primeiro) son só (''nz'')<sup>2</sup>, e cada cadrado perfecto aparece unha vez. 

A primeira foi desenvolvida por [[Leonhard Euler]]; a segunda por  [[Carl Friedrich Gauss]] utilizando a [[serie hiperxeométrica de Gauss]].

===Integrais indefinidas de funcións trigonométricas inversas===

Para valores reais e complexos de ''z'':
:<math>\begin{align}
\int \arcsin(z) \, dz &{}= z \, \arcsin(z) + \sqrt{1 - z^2} + C\\
\int \arccos(z) \, dz &{}= z \, \arccos(z) - \sqrt{1 - z^2} + C\\
\int \arctan(z) \, dz &{}= z \, \arctan(z) - \frac{1}{2} \ln \left( 1 + z^2 \right) + C\\
\int \arccot(z) \, dz &{}= z \, \arccot(z) + \frac{1}{2} \ln \left( 1 + z^2 \right) + C\\
\int \arcsec(z) \, dz &{}= z \, \arcsec(z) - \ln \left[ z \left( 1 + \sqrt{ \frac{z^2-1}{z^2} } \right) \right] + C\\
\int \arccsc(z) \, dz &{}= z \, \arccsc(z) + \ln \left[ z \left( 1 + \sqrt{ \frac{z^2-1}{z^2} } \right) \right] + C
\end{align}</math>

Para ''x'' real ≥ 1:
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \ln \left( x + \sqrt{x^2-1} \right) + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \ln \left( x + \sqrt{x^2-1} \right) + C
\end{align}</math>

Para todos os ''x'' reais non comprendidos entre -1 e 1:
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \sgn(x) \ln\left| x + \sqrt{x^2-1}\right| + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \sgn(x) \ln\left| x + \sqrt{x^2-1}\right| + C
\end{align}</math>

O valor absoluto é necesario para compensar os valores tanto negativos como positivos das funcións arcosecante e arcocosecante. A función signo tamén é necesaria debido aos valores absolutos nas [[derivada|derivadas]] das dúas funcións, que crean dúas solucións diferentes para valores positivos e negativos de x. 

Estas poden simplificarse aínda máis usando as definicións logarítmicas das [[funcións hiperbólicas inversas]]:
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \operatorname{arcosh}(|x|) + C\\
\int \arccsc(x) \, dx &{}= x \, \arccsc(x) + \operatorname{arcosh}(|x|) + C\\
\end{align}</math>

O valor absoluto no argumento da función arcosh crea unha metade negativa da súa gráfica, facéndoa idéntica á función logarítmica con signo mostrada anteriormente.

Todas estas antiderivadas pódense derivar usando [[integración por partes]] e as formas derivadas simples mostradas arriba.

====Exemplo====
Usando <math>\int u \, dv = u v - \int v \, du</math>  (é dicir, [[integración por partes]]), facemos

:<math>\begin{align}
u &= \arcsin(x) & dv &= dx \\
du &= \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} & v &= x
\end{align}</math>

Daquela

:<math>\int \arcsin(x) \, dx = x \arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx,</math>

que pola simple [[Integración por cambio de variábeis|substitución]] <math>w=1-x^2,\ dw = -2x\,dx</math> dá o resultado final:

:<math>\int \arcsin(x) \, dx = x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C </math>.

== Extensión ao plano complexo ==

[[Ficheiro:Riemann surface for Arg of ArcTan of x.svg|thumb|A [[Superficie de riemann]] para o argumento da relación {{math|1=tan ''z'' = ''x''}}. A folla laranxa do medio é a folla principal que representa {{math|arctan ''x''}}. A folla azul de arriba e a folla verde de abaixo están desprazadas por {{math|2''&pi;''}} e {{math|−2''&pi;''}} respectivamente.]]

Dado que as funcións trigonométricas inversas son [[función analítica|funcións analíticas]], pódense estender desde a recta real ata o plano complexo. Isto resulta en funcións con varias follas e [[punto de ramificación|puntos de ramificación]]. Unha forma posíbel  de definir a extensión é:
:<math>\arctan(z) = \int_0^z \frac{dx}{1 + x^2} \quad z \neq -i, +i </math>
onde a parte do eixo imaxinario que non se atopa estritamente entre os puntos de ramificación (−i e +i) é o [[corte de rama]] entre a folla principal e outras follas. 

O camiño da integral non debe cruzar un corte de rama. Para un ''z'' que non está nun corte de rama, un camiño en liña recta de 0 a ''z'' é ese camiño. Para un ''z'' que esta nun corte de rama, o camiño debe achegarse desde {{nowrap|Re[x] > 0}} para o corte da rama superior e desde {{nowrap|Re[x] < 0}} para o corte da rama inferior.

A función arcoseno pódese definir como:

:<math>\arcsin(z) = \arctan\left(\frac{z}{\sqrt{1 - z^2}}\right) \quad z \neq -1, +1 </math>
onde (a función de raíz cadrada ten o seu corte ao longo do eixo real negativo e) a parte do eixo real que non se atopa estritamente entre &minus;1 e +1 é a rama de corte  entre a folla principal de <math>\arcsin</math> e outras follas;
:<math>\arccos(z) = \frac{pi}{2} - \arcsin(z) \quad z \neq -1, +1 </math>
que ten o mesmo corte que <math>\arcsin</math>;
:<math>\arccot(z) = \frac{\pi}{2} - \arctan(z) \quad z \neq -i, i </math>
que ten o mesmo corte que <math>\arctan</math>;
:<math>\arcsec(z) = \arccos\left(\frac{1}{z}\right) \quad z \neq -1, 0, +1 </math>
onde a parte do eixo real entre &minus;1 e +1 inclusive é o corte entre a folla principal de <math>\arcsec</math> e outras follas;
:<math>\arccsc(z) = \arcsin\left(\frac{1}{z}\right) \quad z \neq -1, 0, +1 </math>
que ten o mesmo corte que <math>\arcsec</math>.

===Formas logarítmicas===
Estas funcións tamén se poden expresar usando o [[logaritmo complexo|logaritmo complexo]]. Isto estende o seu [[dominio de definición|dominios]] ata o [[plano complexo]] dun xeito natural. As seguintes identidades para os valores principais das funcións cúmprense en todas as partes que se definen, mesmo nos seus cortes de rama.

:<math>\begin{align}
\arcsin(z) &{}= -i \ln \left( \sqrt{1-z^2} + iz \right) = i \ln \left( \sqrt{1-z^2} - iz \right) &{}= \arccsc\left(\frac{1}{z}\right) \\[10pt]
\arccos(z) &{}= -i \ln \left( i \sqrt {1-z^2} + z \right) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(z) &{}= \arcsec\left(\frac{1}{z}\right) \\[10pt]
\arctan(z) &{}= -\frac{i}{2}\ln \left(\frac{i - z}{i + z}\right) = -\frac{i}{2}\ln \left(\frac{1 + iz}{1 - iz}\right) &{}= \arccot\left(\frac{1}{z}\right) \\[10pt]
\arccot(z) &{}= -\frac{i}{2}\ln\left( \frac{z + i}{z - i} \right) = -\frac{i}{2}\ln\left( \frac{iz - 1}{iz + 1} \right) &{}= \arctan\left(\frac{1}{z}\right) \\[10pt]
\arcsec(z) &{}= -i \ln \left( i \sqrt{1 - \frac{1}{z^2}} + \frac{1}{z} \right) = \frac{\pi}{2} - \arccsc(z) &{}= \arccos\left(\frac{1}{z}\right) \\[10pt]
\arccsc(z) &{}= -i \ln \left( \sqrt{1 - \frac{1}{z^2}} + \frac{i}{z} \right) = i \ln \left( \sqrt{1 - \frac{1}{z^2}} - \frac{i}{z} \right) &{}= \arcsin\left(\frac{1}{z}\right)
\end{align}</math>

====Xeneralización====

Dado que todas as funcións trigonométricas inversas producen un ángulo dun triángulo rectángulo, pódense xeneralizar usando a [[fórmula de Euler]] para formar un triángulo rectángulo no plano complexo. Alxebricamente, isto dános:

:<math>ce^{i\theta} = c\cos(\theta) + ic\sin(\theta)</math>
ou
:<math>ce^{i\theta} = a + ib</math>

onde <math>a</math> é o lado adxacente, <math>b</math> é o lado oposto e <math>c</math> é a hipotenusa. A partir de aquí, podemos resolver para <math>\theta</math>.

:<math>\begin{align}
e^{\ln(c) + i\theta} & = a + ib \\
\ln c + i\theta & = \ln(a + ib) \\
\theta & = \operatorname{Im}\left( \ln(a + ib) \right)
\end{align}</math>
ou
:<math>\theta = -i\ln\left(\frac{a + ib}{c}\right)</math>


====Proba exemplo====

:<math>\begin{align}
  \sin(\phi) &= z \\
        \phi &= \arcsin(z)
\end{align}</math>

Usando a [[Funcións trigonométricas|definición exponencial de seno]] e sendo <math>\xi = e^{i \phi}, </math>

:<math>\begin{align}
z &= \frac{e^{i \phi} - e^{-i \phi}}{2i} \\[10mu]
2iz &= \xi - \frac{1}{\xi} \\[5mu]
0 &= \xi^2 - 2i z \xi - 1 \\[5mu]
\xi &= iz \pm \sqrt{1 - z^2} \\[5mu]
\phi &= -i \ln \left(iz \pm \sqrt{1 - z^2}\right)
\end{align}</math>

(escóllese a rama positiva)

:<math>\phi= \arcsin(z) = -i \ln \left(iz + \sqrt{1-z^2} \right)</math>

{| style="text-align:center;"
 |+ Gráficos de roda de cores de '''funcións trigonométricas inversas no [[plano complexo]]'''
 | [[Image:Complex Arcsine.svg|275x275px|Arcoseno de z no plano complexo.]]
 | [[Image:Complex Arccosine.svg|275x275px|Arcoseno de z no plano complexo.]]
 | [[Image:Complex Arctangent.svg|275x275px|Arctanxente de z no plano complexo.]]
 |-
 | <math>arcsin(z)</math>
 | <math>arccos(z)</math>
 | <math>arctan(z)</math>
 |}
{| style="text-align:center;"
 |+
 | [[Image:Complex Arccosecant.svg|275x275px|Arcosecante de z no plano complexo.]]
 | [[Image:Complex Arcsecant.svg|275x275px|Arcosecante de z no plano complexo.]]
 | [[Image:Complex Arccotangent.svg|275x275px|Arcotanxente de z no plano complexo.]]
 |-
 | <math>arccsc(z)</math>
 | <math>arcsec(z)</math>
 | <math>arccot(z)</math>
 |}

== Aplicacións ==

=== Atopar o ángulo dun triángulo rectángulo ===
[[Image:Trigonometry triangle.svg|right|thumb|A [[triángulo rectángulo]] con lados relativos a un ángulo no punto <math>A</math>.]]
As funcións trigonométricas inversas son útiles cando se intenta determinar os dous ángulos restantes dun [[triángulo rectángulo]] cando se coñecen as lonxitudes dos lados do triángulo. Lembrando as definicións de triángulo rectángulo de seno e coseno, despréndese que

:<math>\theta = \arcsin \left( \frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}} \right) = \arccos \left( \frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}} \right) .</math>

Moitas veces, a hipotenusa é descoñecida e habería que calculala antes de usar o arcoseno ou arcocoseno usando o [[teorema de Pitágoras]]: <math>a^2+b^2=h^2</math> onde <math>h</math> é a lonxitude da hipotenusa. O arcotanxente é útil nesta situación, xa que non se precisa a lonxitude da hipotenusa.

:<math>\theta = \arctan \left( \frac{\text{oposto}}{\text{contiguo}} \right)</math>.

Por exemplo, supoña que un tellado '''baixa''' 8 metros mentres '''avanza''' 20 metros. O tellado forma un ángulo ''θ'' coa horizontal, onde ''θ'' pódese calcular do seguinte xeito:

:<math>\theta
= \arctan \left( \frac{\text{oposto}}{\text{contiguo}} \right)
= \arctan \left( \frac{\text{baixa}}{\text{avanza}} \right)
= \arctan \left( \frac{8}{20} \right) \approx 21.8^{\circ} \, .</math>


====Función arcotanxente con parámetro de localización====
En moitas aplicacións a solución <math>y</math> da ecuación <math>x=tan(y)</math> é aproximarse o máis posíbel  a un valor dado <math>-\infty < \eta < \infty</math>. A solución adecuada prodúcese pola función arcotanxente modificada por un parámetro
:<math>
y = \arctan_\eta(x) := \arctan(x) + \pi \, \operatorname{rni}\left(\frac{\eta - \arctan(x)}{\pi} \right)\, .
</math>

A función <math>\operatorname{rni}</math> redondea ao enteiro máis próximo.

== Notas ==
{{Listaref}}
== Véxase tamén ==

{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{Cita libro|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor1-link=Milton Abramowitz|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|editor2-link=Irene Stegun|title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|isbn=978-0-486-61272-0|year=1972|url=https://archive.org/details/handbookofmathe000abra}}
* {{cita revista|author-last=Gade|author-first=Kenneth|date=2010|title=A non-singular horizontal position representation|journal=The Journal of Navigation|publisher=[[Cambridge University Press]]|volume=63|issue=3|pages=395–417|url=http://www.navlab.net/Publications/A_Nonsingular_Horizontal_Position_Representation.pdf|doi=10.1017/S0373463309990415|bibcode=2010JNav...63..395G}}
=== Outros artigos ===
*[[Funcións hiperbólicas inversas]]
*[[Lista de identidades trigonométricas]]
*[[Función trigonométrica]]

=== Ligazóns externas ===
*{{MathWorld|urlname=InverseTangent|title=Inverse Tangent}}
{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Trigonometría]]