Ver o código fonte de «Función divisor»

[[Ficheiro:Divisor.svg|dereita|miniatura| Función divisor σ<sub>0</sub> (''n'') ata ''n'' = 250]]
[[Ficheiro:Sigma_function.svg|dereita|miniatura| Función sigma σ<sub>1</sub> (''n'') ata ''n'' = 250]]
En [[matemáticas]], e concretamente na [[teoría de números]], unha '''función divisor''' é unha función aritmética relacionada cos [[Divisor|divisores]] dun [[número enteiro]]. Aparece en varias identidades notables, incluíndo relacións coa [[función zeta de Riemann]] e a [[Series de Eisenstein|serie de Eisenstein]] de [[Forma modular|formas modulares]]. As funcións divisor foron estudadas por [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]], que deu unha serie de [[Aritmética modular|congruencias]] e [[Identidade (matemáticas)|identidades]] importantes; estas son tratados por separado no artigo [[:en:Ramanujan's sum|Suma de Ramanujan]] (de momento en inglés).

Unha función relacionada é a [[función sumatorio da función divisor]], <math>D(x)</math>.


== Definición ==
A '''función suma de divisores positivos''' σ<sub>''z''</sub>(''n''), para un número real ou complexo ''z'', defínese como a suma das [[Potenciación|potencias]] ''z''-ésimas dos [[Divisor|divisores]] positivos de ''n''. Pódese expresar como

: <math>\sigma_z(n)=\sum_{d\mid n} d^z</math>,

onde <math>{d\mid n}</math> é a abreviatura de "''d'' divide a ''n''". O '''número de divisores''' é <math>\sigma_0 = d(x)</math> {{OEIS|id=A000005}} e a '''suma de divisores''' é <math>\sigma_1</math>,<ref name="Long 1972 46">{{Harvtxt|Long|1972|p=46}}</ref> <ref>{{Harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=58}}</ref> moitas veces omitindo o subíndice polo que σ(''n'') é o mesmo que σ<sub>1</sub>(''n'') {{OEIS|id=A000203}}.

== Nomenclatura ==
Hai que ter coidado coa nomenclatura desta función e outras relacionadas cos [[divisor|divisores]], tendo en conta tamén os usos en varios idiomas.
Hai fundamentalmente 3 funcións relacionadas,
* <math>d(n)</math>: '''función número de divisores'''. Dá o número de divisores e coincide con <math>\sigma_0(n)</math>. Fálase dela no artigo [[divisor]].
* <math>\sigma_z(n)</math>: '''función suma de divisores positivos'''.É a función tratada neste artigo. É a función que suma os valores das potencias {{Mvar|z}} dos divisores. <math>\sigma_1(n)</math> escríbese moitas veces sen subíndice e representa a suma dos divisores.
* <math>D(x)</math>: '''función sumatorio da función divisor'''. Que dá como valor o [[Función sumatorio da función divisor|sumatorio do número de divisores <math>d(n)</math>]] para os {{Mvar|n}} menores que {{Mvar|x}}.

Para a '''función suma de divisores positivos''' úsase frecuentemente o reducido '''función divisor''',  en francés denomínase de xeito moi descritivo "Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs" e en italiano "funzione sigma", na maioría de resto de linguas denomínase "función divisor".

Para a función "número de divisores", úsase aproximadamente esa mesma nomenclatura mais as veces tamén a inclúen como función divisor, pola súa igualdade con <math>\sigma_0(n)</math>.

En canto a función sumatorio da función divisor non atopamos moitas referencias sendo en inglés "Divisor summatory function" e en español "Función suma de divisores".

== Exemplos ==
Por exemplo, σ<sub>0</sub> (12) é o número dos divisores de 12:

: <math>
\begin{align}
\sigma_{0}(12) & = 1^0 + 2^0 + 3^0 + 4^0 + 6^0 + 12^0 \\
& = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6,
\end{align}
</math>

mentres que σ<sub>1</sub> (12) é a suma de todos os divisores:

: <math>
\begin{align}
\sigma_{1}(12) & = 1^1 + 2^1 + 3^1 + 4^1 + 6^1 + 12^1 \\
& = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28,
\end{align}
</math>

e podemos ver tamén para a potencia 2

: <math>
\begin{align}
\sigma_{2}(12) & = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 6^2 + 12^2 \\
& = 1 + 4 + 9 + 16 + 36 + 144 = 210,
\end{align}
</math>

para a primeira potencia negativa temos
: <math>
\begin{align}
\sigma_{-1}(12) & = 1^{-1} + 2^{-1} + 3^{-1} + 4^{-1} + 6^{-1} + 12^{-1} \\
& = \tfrac11 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \tfrac16 + \tfrac1{12} \\
& = \tfrac{12}{12} + \tfrac6{12} + \tfrac4{12} + \tfrac3{12} + \tfrac2{12} + \tfrac1{12} \\
& = \tfrac{12 + 6 + 4 + 3 + 2 + 1}{12} = \tfrac{28}{12} = \tfrac73 = \tfrac{\sigma_1(12)}{12}
\end{align}
</math>

σ<sub>-1</sub> ( ''n'' ) está relacionado co [[número abundante]].

Para a función <math>D(x)</math>, función sumatorio da función divisor, {{OEIS|id=A006218}}, que é o sumatorio do número de divisores <math>\sigma_0(i)</math> para  {{Mvar|i}} de 0 ata un número determinado {{Mvar|n}}, temos por exemplo: <math>D(12)=\sum_{n\le 12} \sigma_0(n)= 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 + 4+ 3+ 4+ 2+ 6 =37 </math>.

== Táboa de valores ==
Para <math>\sigma_z</math>, os casos ''z'' = 2 a 5 están listados desde a {{OEIS|id=A001157}} ata a {{OEIS|id=A001160}}, para ''z'' = 6 a 24 están listados desde a {{OEIS|id=A013954}} ata a {{OEIS|id=A013972}}.

== Propiedades ==

=== Fórmulas para potencias de primos ===
Para un número primo ''p'',
: <math>\begin{align}
\sigma_0(p) & = 2, \\
\sigma_0(p^n) & = n+1, \\
\sigma_1(p) & = p+1,
\end{align}</math> 

porque por definición, os factores dun número primo son 1 e el mesmo.
A maiores, se ''p<sub>n</sub>'' # denota o [[primorial]] (produto dos primeiros n primos), temos 
: <math> \sigma_0(p_n\#) = 2^n </math>.

A función divisor é [[Función multiplicativa|multiplicativa]] (xa que cada divisor ''c'' do produto ''mn'' con <math>\gcd(m, n) = 1</math> corresponde claramente cun divisor ''a'' de ''m'' e un divisor ''b'' de ''n''), mais non [[Función totalmente multiplicativa|completamente multiplicativa]],

: <math>\gcd(a, b)=1 \text{ implica } \sigma_x(ab)=\sigma_x(a)\sigma_x(b).</math>

A consecuencia disto é que, se escribimos

: <math>n = \prod_{i=1}^r p_i^{a_i}</math>

onde ''r'' = ''ω''(''n'') é o [[Función omega prime|número de factores primos distintos]] de ''n'', ''p<sub>i</sub>'' é o ''i-ésimo'' factor primo e ''a<sub>i</sub>'' é a potencia máxima de ''p<sub>i</sub>'' pola cal ''n'' é [[Divisor|divisible]], daquela temos: {{Sfnp|Hardy|Wright|2008}}

: <math>\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^r \sum_{j=0}^{a_i} p_i^{j x} = \prod_{i=1}^r \left (1 + p_i^x + p_i^{2x} + \cdots + p_i^{a_i x} \right ).</math>

que, cando ''x'' &#x2260; 0, é equivalente á útil fórmula: {{Sfnp|Hardy|Wright|2008}}

: <math>\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^x-1}.</math>

Cando ''x'' = 0, <math>\sigma_0(n)</math> é: {{Sfnp|Hardy|Wright|2008}}

: <math>\sigma_0(n)=\prod_{i=1}^r (a_i+1).</math>

Por exemplo, se ''n'' é 24, hai dous factores primos (''p<sub>1</sub>'' é 2 e ''p<sub>2</sub>'' é 3); tendo en conta que 24 é o produto de 2<sup>3</sup> × 3<sup>1</sup>, ''a''<sub>1</sub> é 3 e a<sub>2</sub> é 1. Así podemos calcular <math>\sigma_0(24)</math> do seguinte modo:

: <math>\sigma_0(24) = \prod_{i=1}^{2} (a_i+1) = (3 + 1)(1 + 1) = 4 \cdot 2 = 8.</math>

Os oito divisores contados por esta fórmula son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 e 24.

=== Outras propiedades e identidades ===
[[Leonhard Euler|Euler]] demostrou a notable recorrencia:  <ref>https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/175/, ''Découverte d'une loi tout extraordinaire des nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs''</ref> <ref>https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/542/, ''De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium''</ref>

: <math>\begin{align}
\sigma_1(n) &= \sigma_1(n-1)+\sigma_1(n-2)-\sigma_1(n-5)-\sigma_1(n-7)+\sigma_1(n-12)+\sigma_1(n-15)+ \cdots \\[12mu]
 &= \sum_{i\in\N} (-1)^{i+1}\left( \sigma_1 \left( n-\frac{1}{2} \left( 3i^2-i \right) \right) + \sigma_1 \left( n-\frac{1}{2} \left( 3i^2+i \right) \right) \right),
\end{align}</math>

onde <math>\sigma_1(0)=n</math> cando acontece, e <math>\sigma_1(x)=0</math> para <math>x < 0</math>, e <math>\tfrac{1}{2} \left( 3i^2 \mp i \right)</math> son pares consecutivos de [[número pentagonal|números pentagonais]] xeneralizados ({{OEIS|id=A001318}}, comezando con desprazamento 1). De feito, Euler demostrou isto mediante a diferenciación logarítmica da identidade no seu [[Teorema dos números pentagonais|teorema dos números pentagonais]].

Tamén temos ''s'' (''n'') = ''σ'' (''n'') − ''n''. Onde ''s''(''n'') denota a suma dos divisores ''propios'' de ''n'', é dicir, os divisores de ''n'' excluíndo o propio ''n'' . Esta función úsase para recoñecer [[Número perfecto|números perfectos]], que son os ''n'' tal que ''s''(''n'') = ''n''. Se ''s'' (''n'') > ''n'', entón ''n'' é un [[número abundante]], e se ''s'' (''n'') < ''n'', entón ''n'' é un [[Número defectivo|número deficiente]].

Se {{Mvar|n}} é unha potencia de 2, <math>n = 2^k</math>, entón <math>\sigma(n) = 2 \cdot 2^k - 1 = 2n - 1</math> e <math>s(n) = n - 1</math>, o que fai ''n'' [[Número case perfecto|case perfecto]].

Como exemplo, para dous primos <math>p,q:p<q</math>, e sexa

: <math>n = p\,q</math> .

Daquela

: <math>\sigma(n) = (p+1)(q+1) = n + 1 + (p+q), </math>
: <math>\varphi(n) = (p-1)(q-1) = n + 1 - (p+q), </math>

e

: <math>n + 1 = (\sigma(n) + \varphi(n))/2, </math>
: <math>p + q = (\sigma(n) - \varphi(n))/2, </math>

onde <math>\varphi(n)</math> é a [[función totiente de Euler]].

Entón, as raíces de

: <math>(x-p)(x-q) = x^2 - (p+q)x + n = x^2 - [(\sigma(n) - \varphi(n))/2]x + [(\sigma(n) + \varphi(n))/2 - 1] = 0 </math>

e podemos expresar ''p'' e ''q'' só en termos de ''σ'' (''n'') e ''φ'' (''n''), sen necesidade de coñecemento de <math>n \text{ ou } p+q</math>, como

: <math>p = (\sigma(n) - \varphi(n))/4 - \sqrt{[(\sigma(n) - \varphi(n))/4]^2 - [(\sigma(n) + \varphi(n))/2 - 1]}, </math>
: <math>q = (\sigma(n) - \varphi(n))/4 + \sqrt{[(\sigma(n) - \varphi(n))/4]^2 - [(\sigma(n) + \varphi(n))/2 - 1]}. </math>

En 1984, Roger Heath-Brown demostrou que a igualdade <math>\sigma_0(n)=\sigma_0(n+1)</math>

é certa para infinitos valores de {{Mvar|n}}, consulte {{OEIS|id=A005237}}.

== Relacións con series ==
Dúas [[Serie Dirichlet|series de Dirichlet]] que inclúen a función divisor son: {{Sfnp|Hardy|Wright|2008}}

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} = \zeta(s) \zeta(s-a)\quad\text{for}\quad s>1,s>a+1,</math>

onde <math>\zeta</math> é a [[función zeta de Riemann]]. 

A serie para ''d''(''n'')&nbsp;=&nbsp;''&#x3C3;''<sub>0</sub> (''n'') dá: {{Sfnp|Hardy|Wright|2008}}

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} = \zeta^2(s)\quad\text{for}\quad s>1,</math>

e unha identidade de [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]] {{Sfnp|Hardy|Wright|2008}}

: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-a) \zeta(s-b) \zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)},</math>

que é un caso especial da [[Método de Rankin-Selberg|convolución de Rankin-Selberg]] .

Unha [[Serie Lambert|serie de Lambert]] que inclúe a función divisor é: {{Sfnp|Hardy|Wright|2008}}

: <math>\sum_{n=1}^\infty q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty n^a q^{j\,n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^a q^n}{1-q^n}</math>

para dous [[Número complexo|complexos]] arbitrarios |''q''|&nbsp;≤&nbsp;1 e&nbsp;''a''. Esta suma tamén aparece como a [[Series de Eisenstein|serie de Fourier da serie de Eisenstein]] e as [[Funcións elípticas de Weierstrass|invariantes das funcións elípticas de Weierstrass]] .

Para <math>k>0</math>, hai unha representación explícita como serie coa [[suma de Ramanujan]] <math> c_m(n) </math> como: <ref>{{cita libro |author=E. Krätzel |title=Zahlentheorie |publisher=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |place =Berlin |year=1981 |pages=130}} </ref>

: <math>\sigma_k(n) = \zeta(k+1)n^k\sum_{m=1}^\infty \frac {c_m(n)}{m^{k+1}}.</math>

O cálculo dos primeiros termos de <math>c_m(n)</math> mostra as súas oscilacións arredor do "valor medio" <math>\zeta(k+1)n^k</math>:

: <math>\sigma_k(n) = \zeta(k+1)n^k \left[ 1 + \frac{(-1)^n}{2^{k+1}} + \frac{2\cos\frac {2\pi n}{3}}{3^{k+1}} + \frac{2\cos\frac {\pi n}{2}}{4^{k+1}} + \cdots\right]</math>

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
*{{Cita libro|doi=10.4169/193009709X470128|first1=Amir|last1=Akbary|first2=Zachary|last2=Friggstad|title=Superabundant numbers and the Riemann hypothesis|url=http://webdocs.cs.ualberta.ca/~zacharyf/Papers/superabundant.pdf|journal=American Mathematical Monthly|volume=116|issue=3|year=2009|pages=273–275|archive-url=https://web.archive.org/web/20140411041855/http://webdocs.cs.ualberta.ca/~zacharyf/papers/superabundant.pdf|archive-date=2014-04-11}}.
* [[Eric Bach|Bach, Eric]]; [[Jeffrey Shallit|Shallit, Jeffrey]], ''Algorithmic Number Theory'', volume 1, 1996, MIT Press.  {{ISBN|0-262-02405-5}}, see page 234 in section 8.8.
* {{Cita libro| last1=Caveney | first1=Geoffrey | last2=Nicolas | first2=Jean-Louis|author2-link=Jean-Louis Nicolas | last3=Sondow | first3=Jonathan | title=Robin's theorem, primes, and a new elementary reformulation of the Riemann Hypothesis | url=http://www.integers-ejcnt.org/l33/l33.pdf | year=2011 | journal=INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory | volume=11 | pages=A33| bibcode=2011arXiv1110.5078C | arxiv=1110.5078 }}
*{{Cita libro| last1=Choie | first1=YoungJu | author1-link= YoungJu Choie | last2=Lichiardopol | first2=Nicolas | last3=Moree | first3=Pieter | author3-link=Pieter Moree | last4=Solé | first4=Patrick | title=On Robin's criterion for the Riemann hypothesis | mr=2394891 | zbl=1163.11059 | arxiv=math.NT/0604314 | year=2007 | journal=Journal de théorie des nombres de Bordeaux | issn=1246-7405 | volume=19 | issue=2 | pages=357–372 | doi=10.5802/jtnb.591 }}
*{{Cita libro
 | last1 = Gioia | first1 = A. A.
 | last2 = Vaidya | first2 = A. M.
 | doi = 10.2307/2315280
 | journal = [[The American Mathematical Monthly]]
 | jstor = 2315280
 | mr = 220659
 | pages = 969–973
 | title = Amicable numbers with opposite parity
 | volume = 74
 | year = 1967| issue = 8
 }}
* {{Cita libro| last1=Grönwall | first1=Thomas Hakon | author1-link=Thomas Hakon Grönwall | title=Some asymptotic expressions in the theory of numbers | year=1913 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | volume=14 | pages=113–122 | doi=10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6 }}
* {{Cita libro| last1=Hardy | first1=G. H. | author1-link=G. H. Hardy | last2=Wright | first2=E. M. | author2-link=E. M. Wright | edition=6th | others=Revised by [[Roger Heath-Brown|D. R. Heath-Brown]] and [[Joseph H. Silverman|J. H. Silverman]]. Foreword by [[Andrew Wiles]]. | title=An Introduction to the Theory of Numbers | publisher=[[Oxford University Press]] | location=Oxford | isbn=978-0-19-921986-5 | mr=2445243 | zbl=1159.11001 | year=2008 | orig-year=1938}}
* {{Cita libro| last=Ivić | first=Aleksandar | title=The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications | series=A Wiley-Interscience Publication | location=New York etc. | publisher=John Wiley & Sons | year=1985 | isbn=0-471-80634-X | zbl=0556.10026 | pages=385–440 }}
* {{Cita libro| last1=Lagarias | first1=Jeffrey C. | author1-link=Jeffrey C. Lagarias | title=An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis | doi=10.2307/2695443 | jstor=2695443 | mr=1908008 | year=2002 | journal=[[American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly]] | issn=0002-9890 | volume=109 | issue=6 | pages=534–543| arxiv=math/0008177  }}
* {{Cita libro| first1 = Calvin T. | last1 = Long | year = 1972 | title = Elementary Introduction to Number Theory | edition = 2nd | publisher = [[D. C. Heath and Company]] | location = Lexington | lccn = 77171950 }}
* {{Cita libro| first1 = Anthony J. | last1 = Pettofrezzo | first2 = Donald R. | last2 = Byrkit | year = 1970 | title = Elements of Number Theory | url = https://archive.org/details/elementsofnumber0000pett | publisher = [[Prentice Hall]] | location = Englewood Cliffs | lccn = 77081766 }}
* {{Cita libro| last=Ramanujan | first=Srinivasa | author-link=Srinivasa Ramanujan | title=Highly composite numbers, annotated by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin | doi=10.1023/A:1009764017495 | mr=1606180 | year=1997 | journal=The Ramanujan Journal | issn=1382-4090 | volume=1 | issue=2 | pages=119–153 }}
* {{Cita libro| last1=Robin | first1=Guy | title=Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann | mr=774171 | year=1984 | journal=[[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]]|series= Neuvième Série | issn=0021-7824 | volume=63 | issue=2 | pages=187–213}}
* {{Cita libro| last=Williams | first=Kenneth S. | title=Number theory in the spirit of Liouville | zbl=1227.11002 | series=London Mathematical Society Student Texts | volume=76 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-17562-3 | year=2011 }}

===Outros artigos===
* [[Función totiente de Euler|Función totiente de Euler]]
* [[Táboa de divisores]]

=== Ligazóns externas ===
* {{mathworld|urlname=DivisorFunction|title=Divisor Function}}
* {{mathworld|urlname=RobinsTheorem|title=Robin's Theorem}}
* [http://mathstat.carleton.ca/~williams/papers/pdf/249.pdf Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions] PDF of a paper by Huard, Ou, Spearman, and Williams. Contains elementary.

{{control de autoridades}}

[[Categoría:Teoría de números]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]