Ver o código fonte de «Función de partición»

[[Ficheiro:Ferrer_partitioning_diagrams.svg|miniatura| Os valores <math>p(1), \dots, p(8)</math> da función de partición (1, 2, 3, 5, 7, 11, 15 e 22) pódese determinar contando os [[Diagrama Young|diagramas de Young]] para as particións dos números do 1 ao 8.]]
En [[teoría de números]], a '''función de partición''' {{Math|''p''(''n'')}} representa o [[número]] de posíbeis particións dun enteiro non negativo {{Mvar|n}}. Por exemplo, {{Math|1=''p''(4) = 5}} porque o número enteiro 4 ten as cinco particións {{Math|1 + 1 + 1 + 1}}; {{Math|1 + 1 + 2}}; {{Math|1 + 3}}; {{Math|2 + 2}} e {{Math|4}}.

Non se coñece ningunha [[Forma pechada|expresión de forma pechada]] para a función de partición, mais ten tanto [[Análise asintótica|expansións asintóticas]] que a aproximan con precisión como [[Relación de recorrencia|relacións de recorrencia]] polas que se pode calcular exactamente. Medra como [[función exponencial]] da [[raíz cadrada]] do seu argumento. O [[inverso multiplicativo]] da súa [[función xeradora]] é a [[función de Euler]]; polo [[teorema dos números pentagonais]] de Euler esta función é unha suma alterna de potencias [[Número pentagonal|numéricas pentagonais]] do seu argumento.

[[Srinivasa Ramanujan]] descubriu por primeira vez que a función de partición ten patróns non triviais en [[aritmética modular]], agora coñecidos como congruencias de Ramanujan. Por exemplo, sempre que a representación decimal de {{Mvar|n}} remate no díxito 4 ou 9, o número de particións de {{Mvar|n}} será divisíbel por 5.

== Definición e exemplos ==
Para un número enteiro positivo {{Math|''n''}}, {{Math|''p''(''n'')}} é o número de formas distintas de representar {{Mvar|n}} como unha [[Sumatorio|suma]] de números enteiros positivos. Para os efectos desta definición, a orde dos termos na suma é irrelevante: dúas sumas cos mesmos termos nunha orde diferente non se consideran distintas.

Por convención {{Math|1=''p''(0) = 1}}, xa que hai unha forma (a suma baleira ) de representar cero como unha suma de enteiros positivos. A maiores {{Math|1=''p''(''n'') = 0}} cando {{Mvar|n}} é negativo.

Os primeiros valores da función de partición, comezando por {{Math|1=''p''(0) = 1}}, son:
{{Bloque indentado|em=1.5|text=1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, ... {{OEIS|id=A000041}}.}}

== Función xeradora ==
{{main|Teorema do número pentagonal}}
A [[función xeradora]] para ''p'' (''n'') vén dada por <ref>{{cita libro
 | last1 = Abramowitz
 | first1 = Milton
 | author1-link = Milton Abramowitz
 | last2 = Stegun
 | first2 = Irene
 | author2-link = Irene Stegun
 | isbn = 0-486-61272-4
 | page = [https://archive.org/details/handbookofmathe000abra/page/825 825]
 | publisher = United States Department of Commerce, National Bureau of Standards
 | title = [[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]
 | year = 1964
 }} </ref> <math display="block">\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty p(n)x^n &= \prod_{k=1}^\infty \left(\frac {1}{1-x^k} \right)\\
&=\left(1+x+x^2+x^3+\cdots\right) \left(1+x^2+x^4+x^6+\cdots\right) \left(1+x^3+x^6+x^9+\cdots\right) \cdots \\
&=\frac{1}{1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} - \cdots}\\
&=1 \Big/ \sum_{k=-\infty}^{\infty} (-1)^k x^{k(3k-1)/2}.
\end{align}</math>A igualdade entre os produtos da primeira e segunda liñas desta fórmula obtense coa expansión de cada factor <math>1/(1-x^k)</math> na [[serie xeométrica]] <math>(1+x^k+x^{2k}+x^{3k}+\cdots).</math> Para ver que o produto expandido é igual á suma da primeira liña, aplicamos a [[Distributividade|lei distributiva]]. Isto expande o produto nunha suma de monomios da forma <math>x^{a_1} x^{2a_2} x^{3a_3} \cdots</math> para algunha secuencia de coeficientes <math>a_i</math>, só un número finito deles poden ser distintos de cero. O expoñente do termo é <math display="inline">n = \sum i a_i</math>, e esta suma pódese interpretar como unha representación de <math>n</math> como partición en <math>a_i</math> copias de cada número <math>i</math>. Polo tanto, o número de termos do produto que teñen expoñente <math>n</math> é exactamente <math>p(n)</math>, o mesmo que o coeficiente de <math>x^n</math> na suma da esquerda. Polo tanto, a suma é igual ao produto.

A función que aparece no denominador na terceira e cuarta liñas da fórmula é a [[función de Euler]]. A igualdade entre o produto da primeira liña e as fórmulas da terceira e cuarta liñas é o [[teorema dos números pentagonais]] de Euler. Os expoñentes de <math>x</math> nestas liñas son os [[Número pentagonal|números pentagonais]] <math>P_k = k(3k-1)/2</math> para <math>k \in \{ 0, 1,-1,2,-2,\dots\}</math>.

== Relacións de recorrencia ==
A mesma secuencia de números pentagonais aparece nunha [[relación de recorrencia]] para a función de partición:<ref>{{cita libro
 | last = Ewell | first = John A.
 | doi = 10.1216/rmjm/1181069871
 | issue = 2
 | journal = The Rocky Mountain Journal of Mathematics
 | jstor = 44238988
 | mr = 2072798
 | pages = 619–627
 | title = Recurrences for the partition function and its relatives
 | volume = 34
 | year = 2004
 }}</ref> <math display="block">\begin{align}
p(n) &= \sum_{k \in \Z\setminus\{0\}} (-1)^{k+1} p(n-k(3k-1)/2) \\
&= p(n-1) + p(n-2)-p(n-5)-p(n-7) +p(n-12) +p(n-15) - p(n-22) -\cdots
\end{align}</math>Como casos básicos considramos  <math>p(0)</math> igual <math>1</math>, e <math>p(k)</math>igual a cero para&nbsp;<math>k</math> negativo. Aínda que a suma do lado dereito parece infinita, só ten un número finito de termos distintos de cero, procedentes dos valores de <math>k</math> distintos de cero na franxa <math display="block"> - \frac{\sqrt{24n+1}-1}{6} \leq k \leq \frac{\sqrt{24n+1}+1}{6}.</math> A relación de recorrencia tamén se pode escribir na forma equivalente <math display="block">
p(n) = \sum_{k = 1}^\infty (-1)^{k+1} \big(p(n-k(3k-1)/2) + p(n-k(3k+1)/2)\big) .
</math>

== Congruencias ==
[[Srinivasa Ramanujan]] descubriu que a función de partición ten modelos non triviais na [[aritmética modular]]. Por exemplo, o número de particións é divisíbel por cinco sempre que a representación decimal de <math>n</math> remata no díxito 4 ou 9, como se expresa pola congruencia<ref name=":0">{{Cita libro|título=Ramanujan’s Unpublished Manuscript on the Partition and Tau Functions with Proofs and Commentary|url=https://link.springer.com/10.1007/978-3-642-56513-7_3|editorial=Springer Berlin Heidelberg|data=2001|lugar=Berlin, Heidelberg|ISBN=978-3-642-56513-7|páxinas=39–110|DOI=10.1007/978-3-642-56513-7_3|lingua=en|nome=Bruce C.|apelidos=Berndt|nome2=Ken|apelidos2=Ono|nome-editor=Dominique|apelidos-editor=Foata|nome-editor2=Guo-Niu|apelidos-editor2=Han}}</ref><math display="block">p(5k+4) \equiv 0 \pmod 5</math>Por exemplo, o número de particións para o número enteiro 4 é 5. Para o número enteiro 9  é 30; para 14 hai 135 particións. Esta congruencia vén implicada pola identidade máis xeral <math display="block"> \sum_{k=0}^\infty p(5k+4)x^k = 5~ \frac{ (x^5)^5_\infty } {(x)^6_\infty},</math>tamén debida a Ramanujan,<ref name=ao>{{cita libro
 | last1 = Ahlgren
 | first1 = Scott
 | last2 = Ono
 | first2 = Ken
 | author2-link = Ken Ono
 | bibcode = 2001PNAS...9812882A
 | doi = 10.1073/pnas.191488598
 | issue = 23
 | journal = [[Proceedings of the National Academy of Sciences]]
 | mr = 1862931
 | pages = 12882–12884
 | title = Congruence properties for the partition function
 | url = https://www.mathcs.emory.edu/~ono/publications-cv/pdfs/061.pdf
 | volume = 98
 | year = 2001
 | pmid = 11606715
 | pmc = 60793
 | data-acceso = 15 de outubro de 2024
 | data-arquivo = 04 de marzo de 2019
 | url-arquivo = https://web.archive.org/web/20190304030350/http://www.mathcs.emory.edu/~ono/publications-cv/pdfs/061.pdf
 | url-morta = yes
 }}</ref>  onde a notación <math>(x)_\infty</math> denota o produto definido por <math display="block">(x)_\infty = \prod_{m=1}^\infty (1-x^m).</math>[[Función xeradora|Unha pequena proba deste resultado]] pódese obter a partir da función xeradora da función de partición.

Ramanujan tamén descubriu congruencias módulo 7 e 11:<ref name=":0" /><math display="block">\begin{align}
 p(7k + 5) &\equiv 0 \pmod 7,\\
 p(11k + 6) &\equiv 0 \pmod {11}.
\end{align}</math> O primeiro procede da identidade de Ramanujan<ref name=ono>{{cita libro
 | last = Ono | first = Ken | author-link = Ken Ono
 | arxiv = math/0008140
 | doi = 10.2307/121118
 | issue = 1
 | journal = [[Annals of Mathematics]]
 | mr = 1745012
 | pages = 293–307
 | title = Distribution of the partition function modulo m
 | volume = 151
 | year = 2000
 | jstor = 121118 | bibcode = 2000math......8140O | zbl = 0984.11050}}</ref>  <math display="block"> \sum_{k=0}^\infty p(7k+5)x^k =
  7~ \frac{ (x^7)^3_\infty} {(x)^4_\infty}
  +49x ~ \frac{ (x^7)^7_\infty } {(x)^8_\infty}.</math>

== Fórmulas de aproximación ==
Existen fórmulas de aproximación que son máis rápidas de calcular que a fórmula exacta indicada anteriormente.

Unha expresión [[Análise asintótica|asintótica]] para ''p''(''n'') vén dada por

: <math>p(n) \sim \frac {1} {4n\sqrt3} \exp\left({\pi \sqrt {\frac{2n}{3}}}\right)</math> cando <math>n \to \infty</math> .

Esta [[fórmula asintótica]] foi obtida por primeira vez por [[Godfrey Harold Hardy|GH Hardy]] e [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]] en 1918 e de forma independente por [[JV Uspensky]] en 1920. Considerando <math>p(1000)</math>, a fórmula asintótica dá aproximadamente <math>2.4402 \times 10^{31}</math>, razoabelmente preto da resposta exacta  (un 1,415 % maior que o valor verdadeiro).

{{Harvard citations||first=Paul|last=Erdős|authorlink=Paul Erdős|year=1942|txt}}  publicou unha proba elemental da fórmula asintótica de <math>p(n)</math>.

== Función de partición estrita ==

=== Definición e propiedades ===
Unha partición na que ningunha parte aparece máis dunha vez chámase ''estrita''. A función ''q''(''n'') dá o número destas particións estritas con suma ''n''. Por exemplo, ''q''(3) = 2 porque as particións 3 e 1 + 2 son estritas, mentres que a terceira partición 1 + 1 + 1 de 3 ten partes repetidas. 

Pore outro parte resulta que o número ''q''(''n'') coincide co número de particións de ''n'' nas que só se permiten sumandos impares.<ref>{{cita libro|first=Richard P.|last=Stanley|author-link=Richard P. Stanley|title=Enumerative Combinatorics 1 |series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|volume=49|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-66351-2 |year=1997|at=Proposition 1.8.5}}</ref>

=== Función xeradora ===
A función xeradora dos números ''q''(''n'') vén dada por un produto infinito simple:<ref>{{cita libro|first=Richard P.|last=Stanley|author-link=Richard P. Stanley|title=Enumerative Combinatorics 1 |series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|volume=49|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-66351-2 |year=1997|at=Proof of Proposition 1.8.5}}</ref> <math display="block">\sum_{n=0}^{\infty} q(n)x^n = \prod_{k = 1}^\infty (1 + x^k) = (x;x^2)_{\infty}^{-1},</math>onde a notación <math>(a;b)_{\infty}</math> representa o [[Factorial descendente e ascendente|símbolo de Pochhammer]] <math>(a;b)_{\infty} = \prod_{k = 0}^{\infty} (1 - ab^{k}).</math> A partir desta fórmula, pódense obter facilmente os primeiros termos {{OEIS|id=A000009}}: <math display="block">\sum_{n=0}^{\infty} q(n)x^n = 1+1x+1x^2+2x^3+2x^4+3x^5+4x^6+5x^7+6x^8+8x^9+10x^{10}+\ldots.</math>

== Función de partición restrinxida ==
De forma máis xeral, é posíbel considerar particións restrinxidas só a elementos dun subconxunto ''A'' dos números naturais (por exemplo, unha restrición no valor máximo das partes), ou cunha restrición no número de partes ou á diferenza máxima entre as partes. Cada restrición particular dá lugar a unha función de partición asociada con propiedades específicas. A continuación móstranse algúns exemplos comúns.

=== Teorema de Euler e Glaisher ===
Dous exemplos importantes son as particións restrinxidas só a partes enteiras impares ou só a partes enteiras pares, coas funcións de partición correspondentes a miúdo denotadas <math>p_o(n)</math> e <math>p_e(n)</math> (do inglés odd e even).

Un teorema de Euler mostra que o número de particións estritas é igual ao número de particións con só partes impares: para todo ''n'', <math>q(n) = p_o(n)</math>. Isto xeneralízase no teorema de Glaisher, que afirma que o número de particións con non máis de ''d-1'' repeticións de calquera parte é igual ao número de particións sen parte divisíbel por ''d''.

=== Coeficiente binomial de Gauss ===
Se denotamos <math>p(N, M, n)</math> o número de particións de ''n'' como máximo en ''M'' partes, sendo cada parte menor ou igual a ''N'', entón a función xeradora de <math>p(N, M, n)</math> é o seguinte [[coeficiente binomial de Gauss]]:

: <math>\sum_{n=0}^\infty p(N, M, n)q^n = {N+M \choose M}_q
=
\frac{(1-q^{N+M})(1-q^{N+M-1})\cdots(1-q^{N+1})} {(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^M)}</math>

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* {{cita libro
 | last1 = Al
 | first1 = Busra
 | last2 = Alkan
 | first2 = Mustafa
 | contribution = A note on relations among partitions
 | pages = 35–39
 | title = Proc. Mediterranean Int. Conf. Pure & Applied Math. and Related Areas (MICOPAM 2018)
 | url = https://elibrary.matf.bg.ac.rs/handle/123456789/4699
 | year = 2018
 | data-acceso = 15 de outubro de 2024
 | data-arquivo = 27 de abril de 2024
 | url-arquivo = https://web.archive.org/web/20240427205845/http://elibrary.matf.bg.ac.rs/handle/123456789/4699
 | url-morta = yes
 }}

* {{cita libro
 | last1 = Ahlgren
 | first1 = Scott
 | last2 = Boylan
 | first2 = Matthew
 | doi = 10.1007/s00222-003-0295-6
 | issue = 3
 | journal = [[Inventiones Mathematicae]]
 | mr = 2000466
 | pages = 487–502
 | title = Arithmetic properties of the partition function
 | url = https://www.math.sc.edu/~boylan/reprints/nomoreramafinal.pdf
 | volume = 153
 | year = 2003
 | bibcode = 2003InMat.153..487A
 | data-acceso = 15 de outubro de 2024
 | data-arquivo = 19 de xullo de 2008
 | url-arquivo = https://web.archive.org/web/20080719184728/http://www.math.sc.edu/~boylan/reprints/nomoreramafinal.pdf
 | url-morta = yes
 }}

* {{cita libro
 | last = Andrews | first = George E. | author-link = George E. Andrews
 | isbn = 0-521-63766-X
 | mr = 0557013
 | page = 69
 | publisher = Cambridge University Press
 | title = The Theory of Partitions
 | year = 1976}}</ref>

* {{cita libro
 | last1 = Ahlgren
 | first1 = Scott
 | last2 = Ono
 | first2 = Ken
 | author2-link = Ken Ono
 | bibcode = 2001PNAS...9812882A
 | doi = 10.1073/pnas.191488598
 | issue = 23
 | journal = [[Proceedings of the National Academy of Sciences]]
 | mr = 1862931
 | pages = 12882–12884
 | title = Congruence properties for the partition function
 | url = https://www.mathcs.emory.edu/~ono/publications-cv/pdfs/061.pdf
 | volume = 98
 | year = 2001
 | pmid = 11606715
 | pmc = 60793
 | data-acceso = 15 de outubro de 2024
 | data-arquivo = 04 de marzo de 2019
 | url-arquivo = https://web.archive.org/web/20190304030350/http://www.mathcs.emory.edu/~ono/publications-cv/pdfs/061.pdf
 | url-morta = yes
 }}</ref>

* {{cita libro
 | last1 = Abramowitz
 | first1 = Milton
 | author1-link = Milton Abramowitz
 | last2 = Stegun
 | first2 = Irene
 | author2-link = Irene Stegun
 | isbn = 0-486-61272-4
 | page = [https://archive.org/details/handbookofmathe000abra/page/825 825]
 | publisher = United States Department of Commerce, National Bureau of Standards
 | title = [[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]
 | year = 1964
 }} 

* {{cita libro
 | last1 = Berndt
 | first1 = Bruce C.
 | author1-link = Bruce C. Berndt
 | last2 = Ono
 | first2 = Ken
 | author2-link = Ken Ono
 | contribution = Ramanujan's unpublished manuscript on the partition and tau functions with proofs and commentary
 | contribution-url = https://www.mathcs.emory.edu/~ono/publications-cv/pdfs/044.pdf
 | mr = 1701582
 | at = Art. B42c, 63
 | series = [[Séminaire Lotharingien de Combinatoire]]
 | title = The Andrews Festschrift (Maratea, 1998)
 | volume = 42
 | year = 1999
 | data-acceso = 15 de outubro de 2024
 | data-arquivo = 04 de marzo de 2019
 | url-arquivo = https://web.archive.org/web/20190304030309/http://www.mathcs.emory.edu/~ono/publications-cv/pdfs/044.pdf
 | url-morta = yes
 }}</ref>

* {{cita libro
 | last = Euler
 | first = Leonhard
 | author-link = Leonhard Euler
 | journal = Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae
 | language = la
 | pages = 125–169
 | title = De partitione numerorum
 | url = https://eulerarchive.maa.org/pages/E191.html
 | volume = 3
 | year = 1753
 | data-acceso = 15 de outubro de 2024
 | data-arquivo = 05 de agosto de 2023
 | url-arquivo = https://web.archive.org/web/20230805000145/http://eulerarchive.maa.org//pages/E191.html
 | url-morta = yes
 }}

* {{cita libro
 | last = Erdős | first = P. | author-link = Paul Erdős
 | doi = 10.2307/1968802
 | journal = [[Annals of Mathematics]]
 | mr = 0006749
 | pages = 437–450
 | series = Second Series
 | title = On an elementary proof of some asymptotic formulas in the theory of partitions
 | url = https://users.renyi.hu/~p_erdos/1942-02.pdf
 | volume = 43
 | year = 1942
 | issue = 3 | jstor = 1968802 | zbl = 0061.07905}}

* {{cita libro
 | last = Ewell | first = John A.
 | doi = 10.1216/rmjm/1181069871
 | issue = 2
 | journal = The Rocky Mountain Journal of Mathematics
 | jstor = 44238988
 | mr = 2072798
 | pages = 619–627
 | title = Recurrences for the partition function and its relatives
 | volume = 34
 | year = 2004
 }}

* {{cita libro
 | last = Johansson | first = Fredrik
 | date = March 2, 2014
 | title = New partition function record: p(10<sup>20</sup>) computed
 | url = https://fredrikj.net/blog/2014/03/new-partition-function-record/}}

* {{cita libro
 | last1 = Hardy | first1 = G. H. | author1-link = G. H. Hardy
 | last2 = Wright | first2 = E. M. | author2-link = E. M. Wright
 | edition = 6th
 | isbn = 978-0-19-921986-5
 | mr = 2445243
 | page = 380
 | publisher = [[Oxford University Press]]
 | title = An Introduction to the Theory of Numbers
 | year = 2008
 | orig-year = 1938
 | zbl = 1159.11001}}</ref>

* {{cita libro
 | last1 = Hardy | first1 = G. H. | author1-link = G. H. Hardy
 | last2 = Ramanujan | first2 = S. | author2-link = Srinivasa Ramanujan
 | issue = 75–115
 | journal = [[Proceedings of the London Mathematical Society]]
 | series = Second Series
 | title = Asymptotic formulae in combinatory analysis
 | volume = 17
 | year = 1918}}. Reprinted in ''Collected papers of Srinivasa Ramanujan'', Amer. Math. Soc. (2000), pp. 276–309.</ref>

* {{cita libro
 | last = Johansson | first = Fredrik
 | doi = 10.1112/S1461157012001088
 | journal = LMS Journal of Computation and Mathematics
 | mr = 2988821
 | pages = 341–59
 | title = Efficient implementation of the Hardy–Ramanujan–Rademacher formula
 | volume = 15
 | year = 2012| arxiv = 1205.5991
 }}</ref>

* {{cita libro
 | last = Nathanson | first = M. B. | author-link = Melvyn B. Nathanson
 | isbn = 0-387-98912-9
 | page = 456
 | publisher = [[Springer-Verlag]]
 | series = [[Graduate Texts in Mathematics]]
 | title = Elementary Methods in Number Theory
 | volume = 195
 | year = 2000
 | zbl = 0953.11002}}</ref>

* {{OEIS|id=A070177}}

*{{cita libro
 | last = Ono | first = Ken | author-link = Ken Ono
 | arxiv = math/0008140
 | doi = 10.2307/121118
 | issue = 1
 | journal = [[Annals of Mathematics]]
 | mr = 1745012
 | pages = 293–307
 | title = Distribution of the partition function modulo m
 | volume = 151
 | year = 2000
 | jstor = 121118 | bibcode = 2000math......8140O | zbl = 0984.11050}}

* {{cita libro
 | last = Ono | first = Ken | author-link = Ken Ono
 | isbn = 0-8218-3368-5
 | location = Providence, Rhode Island
 | page = 87
 | publisher = [[American Mathematical Society]]
 | series = CBMS Regional Conference Series in Mathematics
 | title = The web of modularity: arithmetic of the coefficients of modular forms and q-series
 | volume = 102
 | year = 2004
 | zbl = 1119.11026}} 

* {{cita libro
 | last = Rademacher | first = Hans | author-link = Hans Rademacher
 | doi = 10.1112/plms/s2-43.4.241
 | issue = 4
 | journal = [[Proceedings of the London Mathematical Society]]
 | mr = 1575213
 | pages = 241–254
 | series = Second Series
 | title = On the partition function p(n)
 | volume = 43
 | year = 1937}} 

* {{cita libro
 | last = Wilf | first = Herbert S. | author-link = Herbert Wilf
 | doi = 10.2307/2321713
 | issue = 5
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | mr = 653502
 | pages = 289–292
 | title = What is an answer?
 | volume = 89
 | year = 1982| jstor = 2321713 }}

=== Outros artigos ===
* [[Función xeradora]].
=== Ligazóns externas ===
* [http://www.numericana.com/data/partition.htm First 4096 values of the partition function ]

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números]]
[[Categoría:Funcións]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]