Ver o código fonte de «Función»

{{1000}}
{{1000 artigos icona título|materia=Matemáticas}}
{{Outros homónimos|Función (homónimos)}}
[[Ficheiro:PolygonsFunction.svg|miniatura|275px|Na imaxe amósase unha función entre un conxunto de [[polígono]]s e un conxunto de [[número natural|números]]. A cada polígono correspóndelle o seu número de [[aresta|lados]].]]
[[Ficheiro:Caixa preta.svg|miniatura|320px|Unha función vista como unha «[[caixa negra (teoría de sistemas)|caixa negra]]», que transforma os valores ou obxectos de «entrada» nos valores ou obxectos de «saída»]]
O concepto de '''función''' é unha xeneralización da noción común de [[fórmula (expresión)|fórmula]] [[matemática]]. As funcións ou '''aplicacións''' describen [[Relación (matemáticas)|relacións matemáticas]] especiais entre dous obxectos, ''x'' e ''y''=''f''(''x''). O obxecto ''x'' chámase o [[Argumento dunha función|argumento]] da función ''f'' e o obxecto ''y'', que depende de ''x'', chámase [[imaxe (matemáticas)|imaxe]] de'' x'' en ''f''.

Intuitivamente, unha función é un xeito de asociar a cada valor do argumento ''x'' un único valor da función ''f''(''x''). Isto pódese facer especificando a través dunha [[fórmula (expresión)|fórmula]], unha [[relación (matemáticas)|relación]] gráfica entre diagramas representando os dous conxuntos, ou dunha regra de asociación, mesmo pódese construír cunha táboa de correspondencia. Entre conxuntos numéricos é común representarmos funcións polos seus gráficos, cada par de elementos relacionados pola función determina un punto nesta representación, a restrición de unicidade da imaxe implica que existe un único punto para ''f'' en cada valor independente ''x''. Este concepto é [[determinismo|determinístico]], sempre produce o mesmo resultado a partir dunha dada entrada (a xeneralización aos valores aleatorios é chamada de [[función estocástica]]). Unha función pode ser vista como unha "[[máquina]]" ou "[[caixa negra (teoría de sistemas)|caixa negra]]" que converte entradas válidas en saídas de forma unívoca, por iso algúns autores chaman ás funcións "relacións unívocas".

O tipo de función máis común é aquel onde o argumento e mailo valor da función son ambos numéricos, a relación entre os dous é expresado por unha fórmula e o valor da función obtense a través da substitución directa dos argumentos. Considérese o exemplo
:<math>f(x)=x^2</math>
Que resulta en calquera valor de ''x'' ao cadrado.

Unha xeneralización directa é permitir que funcións dependan non só dun único valor, mais de varios. Por exemplo esta función de dúas variables,
:<math>g(x,y)=xy</math> 
recibe dous números ''x'' e ''y'' e resulta no produto deles, ''xy''.

En base ao xeito en que se especifica unha función, esta pode chamarse función explícita (exemplo de riba) ou función implícita, como en 
:<math>xf(x)=1</math> '''Función implícita'''
que implicitamente especifica a función
:<math>f(x)=1/x</math> '''Función explícita'''

Vimos que a noción intuitiva de funcións non se limita a computacións usando apenas números e tampouco se limita a computacións; a noción matemática de funcións é máis xeral e non se limita tampouco a situacións que inclúan números. En vez diso, unha función liga un "dominio" (conxunto de valores de entrada) cun segundo conxunto o "contra-dominio" (ou [[codominio]]) de tal forma que a cada elemento do dominio está asociado exactamente un elemento do contra-dominio, o conxunto dos elementos do contra-dominio que son relacionados pola ''f'' a algún ''x'' do dominio, chámase "conxunto-imaxe" ou "imaxe" . As funcións defínense abstractamente por certas relacións, como veremos mais adiante. Por causa da súa xeneralización, as funcións aparecen en moitos contextos matemáticos, e moitos campos da matemática baséanse no estudo de funcións.

Pode notarse que as palabras "función","aplicación", "transformación", "''mapeado''", "[[mapa (matemáticas)|''mapear'']]", son xeralmente usadas como sinónimos.

== Historia ==
[[Ficheiro:Dirichlet.jpg|miniatura|[[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] foi quen introduciu a definición formal de función moderna.]]
Como un termo matemático, "'''función'''" foi introducido por [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] en [[1694]], para describir [[cantidade|cantidades]] relacionadas a unha [[curva]]; tales como a inclinación da curva ou un [[punto (xeometría)|punto]] específico da dita curva. Funcións relacionadas á curvas son actualmente chamadas [[diferenciación|funcións diferenciábeis]] e son aínda o tipo de funcións máis atopado por non-matemáticos. Para este tipo de funcións, pódese falar de [[límite dunha función|límites]] e [[derivada|derivadas]]; ambos sendo medida da mudanza nos valores de saída asociados á variación dos valores de entrada, formando a base do [[cálculo infinitesimal]].

A palabra función foi posteriormente usada por [[Leonhard Euler|Euler]] a mediados do [[século XVIII]] para describir unha [[expresión matemática|expresión]] comprendendo varios [[argumento dunha función|argumentos]]; i.e: ''y'' = F(''x''). 
Ampliando a definición de funcións, os matemáticos foron capaces de estudar "estraños" obxectos matemáticos tales como funcións que non son diferenciábeis en calquera dos seus puntos. Tales funcións, inicialmente tidas como puramente imaxinarias e chamadas xenericamente de "monstros", foron xa no final do século XX, identificadas como importantes para a construción de modelos físicos de fenómenos tales como o [[movemento Browniano]].

Durante o [[Século XIX]], os matemáticos comezaron a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendía que se se construíse o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética no canto de sobre a Xeometría, o que favorecía a definición de Euler en relación á de Leibniz (vexa [[aritmetización da análise]]). Máis para o final do século, os matemáticos comezaron a tentar formalizar toda a Matemática usando [[teoría de conxuntos]], e conseguiron obter definicións de todos os obxectos matemáticos en termos do concepto de [[conxunto]].
Foi [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] quen criou a definición "formal" de función moderna.

Na definición de Dirichlet, unha función é un caso especial dunha [[Relación binaria|relación]]. A relación é un [[conxunto]] de pares ordenados, onde cada elemento do par pertence a un dos conxuntos relacionados (nas relacións non existen restricións en canto á lei de correspondencia entre os elementos dos conxuntos, xa que é costume que as funcións introduzan restricións). Na maioría dos casos de interese práctico, porén, as diferenzas entre as definicións moderna e de Euler son desprezábeis.

== Definición formal ==

Considere dous [[conxunto]]s ''X'' e ''Y''. Unha función ''f'' de ''X'' en ''Y'':
<div align="center"><math>f:X\rightarrow Y</math></div>
relaciona a cada elemento ''x'' de ''X'', cun único elemento ''y''=''f''(''x'') de ''Y''.

Outra maneira de dicir isto é afirmar que ''f'' é unha [[relación binaria]] entre os dous conxuntos tal que:
# ''f'' é ''unívoca'': se ''y = f''(''x'') e ''z = f''(''x''), entón ''y'' = ''z''.
# ''f'' é ''total'': para todos os ''x'' en ''X'', existe un ''y'' en ''Y'' tal que ''y = f''(''x'').

Se se atende á segunda condición, e non á primeira, temos unha [[función multivalorada]] (tamén se usa ás veces o termo función ''multívoca'' na mesma acepción).

Se se atende á primeira condición, e non á segunda, temos unha [[función parcial]].

Considere as tres funcións seguintes:
{|
|-----
| [[Ficheiro:Naofuncao1.png]]
| Esta non é unha función, pois o elemento 3 en ''X'' está asociado con dous elementos (''b'' e ''c'') en ''Y'' (a función non é funcional). Este é un exemplo de [[función multivalorada]].
|-----
| [[Ficheiro:Naofuncao2.png]]
| Esta non é unha función, pois o elemento 1 en ''X'' non é asociado con ao menos un elemento en ''Y''. Este é un exemplo de [[función parcial]]'''.
|-----
| [[Ficheiro:Funcao venn.png]]
| Esta é unha función (no caso, unha función discreta). Esta pode definirse explicitamente pola expresión:
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & \mbox{se }x=1 \\ c, & \mbox{se }x=2 \\ d, & \mbox{se }x=3. \end{matrix}\right.</math>
|}

== Dominio, contradominio e imaxe ==

[[Ficheiro:funcoes_x2.svg|miniatura|dereita|300px|Función x<sup>2</sup>, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conxunto dominio (D), contradominio (CD) e imaxe (delineado pola liña tracexada).]]

Son tres conxuntos especiais asociados á función. O '''[[Dominio de definición|dominio]]''' é o conxunto ''A'' do exemplo dado no inicio deste capítulo: contén todos os elementos ''x'' para os cales a función se debe definir. Xa o conxunto ''B'' do exemplo é o '''[[contradominio]]''' (ou '''[[codominio]]'''): o conxunto que contén os elementos poden ser relacionados a elementos do dominio.

Tamén se define o conxunto  '''[[Imaxe (matemáticas)|imaxe]]'''  como o conxunto de valores que ''f(x)'' asume efectivamente. O conxunto imaxe é, pois, sempre un subconxunto do contradominio.

== Funcións sobrexectivas , inxectivas e bixectivas ==
{{main|Bixección, inxección e sobrexección}}
Os tipos de aplicacións poden clasificarse de acordo co seu comportamento con relación á regra ''unha única saída para cada entrada''. Como non se dixo nada sobre as entradas, ou se as saídas teñen que ser únicas temos que resolver estas ambigüidades. Ao facer isto atopamos só tres tipos de clases de funcións (clase como en 'clasificación' non [[Relación de equivalencia#clases de equivalencia|clases de equivalencia]]):

* '''Funcións inxectoras (ou inxectivas)''', son funcións en que cada elemento do contra-dominio (da saída) esta asociado a só un elemento do dominio (da entrada), é dicir unha relación un para un entre os elementos do dominio e do contradominio. Isto é, cando <math>x \neq y</math> no dominio (''X'') entón <math>f(x) \neq f(y)</math> no contradominio (''Y'').
[[Ficheiro:Funcao_venn.png]]
* '''Funcións sobrexectoras (ou sobrexectiva)''', unha función en que todos os elementos do contradominio (da saída) están asociados a algún elemento do dominio (da entrada). Noutras palabras, iso significa que o conxunto imaxe é igual ao conxunto contradominio.
[[Ficheiro:Surjection.svg]]
* '''Funcións bixectoras (ou bixectiva)''', se fose á vez sobrexectora e inxectora, isto é, se todos os elementos do dominio están asociados un a un a todos os elementos do contradominio.
[[Ficheiro:Bijection.svg]]
<!-- paxina adaptada con galizador 1.4-->

== Notación ==

Existen varias formas estándar de denotar funcións. A notación máis usada é a notación funcional, que é a primeira notación que se describe a continuación.

=== Notación funcional ===
A notación funcional require que se lle dea un nome á función que, no caso dunha función inespecífica, adoita ser a letra {{mvar|f}}. Entón, a aplicación da función a un argumento denótase polo seu nome seguido do seu argumento (ou, no caso dunha función multivariable, os seus argumentos) entre parénteses, como en
:<math>f(x), \quad \sin(3),\quad \text{ou}\quad f(x^2+1).</math>
O argumento entre as parénteses pode ser unha [[variable |variable]], moitas veces {{mvar|x}}, que representa un elemento arbitrario do dominio da función, un elemento específico do dominio (<math>3</math> no exemplo anterior), ou unha [[expresión matemática|expresión]] que se pode avaliar a un elemento do dominio (<math>x^2+1</math> no exemplo anterior). O uso dunha variable non especificada entre parénteses é útil para definir unha función explicitamente como en "sexa <math>f(x)=\sin(x^2+1)</math>".

Cando o símbolo que denota a función consta de varios caracteres e non pode xurdir ambigüidade, é posible que se omitan os parénteses da notación funcional. Por exemplo, é común escribir {{math|sin ''x''}} en lugar de {{math|sin(''x'')}}.

Utilízase habitualmente un [[tipo romano]] para as funcións con varias letras, como "{{math|sin}}" para a [[función trigonométrica|función seno]], en contraste coa fonte cursiva para símbolos dunha soa letra.

A notación funcional utilízase a miúdo de xeito coloquial para referirse a unha función e simultaneamente nomear o seu argumento, como en "sexa <math>f(x)</math> unha función". Este é un [[abuso de notación]] que é útil para unha formulación máis sinxela.

=== Notación de frecha ===
A notación de frechas define a regra dunha función en liña, sen requirir que se lle dea un nome. Por exemplo, <math>x\mapsto x+1</math> é a función que toma un número real como entrada e ten como saída ese número máis 1. De novo, un dominio e codominio de <math>\R</math> está implícito.

O dominio e o codominio tamén se poden indicar explicitamente, por exemplo:
: <math>\begin{align}
\operatorname{sqr}: \Z & \rightarrow \Z\\
x &\mapsto x^2.\end{align}</math>

Isto define unha función {{math|sqr}} ([[potenciación|elevar ao cadrado]]) desde os enteiros ata os enteiros que devolve o cadrado da súa entrada.

Como aplicación común da notación de frecha, supoña que <math>f: X\times X\to Y;\;(x,t) \mapsto f(x,t)</math> é unha función en dúas variables, e queremos referirnos a unha función aplicada parcialmente <math>X \to Y</math> producida fixando o segundo argumento ao valor {{math|''t''<sub>0</sub>}} sen introducir un novo nome de función. O mapa en cuestión pódese denotar <math>x\mapsto f(x,t_0)</math> usando a notación de frecha. A expresión <math>x\mapsto f(x,t_0)</math> (léase: "o mapa leva {{mvar|x}} a {{mvar|f}} de {{mvar|x}} coma {{mvar|t}} cero") representa esta nova función cun só argumento, mentres que a expresión {{math|''f''(''x''<sub>0</sub>, ''t''<sub>0</sub>)}} fai referencia ao valor da función {{mvar|f}} no {{nowrap|punto {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''t''<sub>0</sub>)}}.}}

=== Notación de índice ===

Pódese usar a notación de índice en lugar da notación funcional. É dicir, en lugar de escribir {{math|''f''(''x'')}}, escribe <math>f_x.</math>

Este é normalmente o caso de funcións cuxo dominio é o conxunto dos [[números naturais]]. Tal función chámase [[sucesión (matemáticas)|secuencia]] e, neste caso, o elemento <math>f_n</math> chámase {{mvar|n}}-ésimo elemento da secuencia.

A notación de índice tamén se pode usar para distinguir algunhas variables chamadas parámetros das "variables verdadeiras". De feito, os parámetros son variables específicas que se consideran fixas durante o estudo dun problema. Por exemplo, o mapa <math>x\mapsto f(x,t)</math> (ver arriba) denotaríase <math>f_t</math> usando a notación de índice, se definimos a colección de mapas <math> f_t</math> pola fórmula <math>f_t(x)=f(x,t)</math> para todo <math>x,t \in X</math>.

==Mapa==
Unha función tamén se pode denominar '''[[mapa (matemáticas)|mapa]]''' e usar o verbo '''mapear''', mais algúns autores fan unha distinción entre o termo "mapa" e "función". Por exemplo, o termo "mapa" adoita reservarse para unha "función" con algún tipo de estrutura especial (por exemplo, [[mapa de variedades]]). En particular, pódese usar ''mapa'' en lugar de ''homomorfismo'' por motivos de concisión (por exemplo, [[función linear|mapa linear]] ou ''mapa de {{mvar|G}} a {{mvar|H }}'' en lugar de ''[[homomorfismo de grupos]] de {{mvar|G}} a {{mvar|H}}'').

Algúns autores, como [[Serge Lang]], usan "función" só para referirse a mapas para os que o [[codominio]] é un subconxunto dos [[número real|reais]] ou dos [[número complexo|números complexos]] e usa o termo ''mapeamento'' para funcións máis xerais.

Na teoría dos [[sistemas dinámicos]], un mapa denota unha [[Sistema dinámico en tempo discreto|función de evolución]] utilizada para crear [[Sistema dinámico#Mapas|sistemas dinámicos discretos]]. Ver tamén [[mapa de Poincaré]].

Sexa cal sexa a definición de ''mapa'' que se use, termos relacionados como ''[[Dominio  de definición|dominio]]'', ''[[codominio]]'', ''[[Bixección, inxección e sobrexección|inxectiva]]'', ''[[Función continua|continua]]'' teñen o mesmo significado que para unha función.

{|class="wikitable" style="ancho: 50%"
!Termo
!Distinción de "función"
|-
| rowspan="3" |[[mapa (matemáticas)|Mapa/Mapear]]
|Ningúnha; os termos son sinónimos.<ref>{{Cita web|url=http://mathworld.wolfram.com/Map.html|title=Map|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com |language=en|access-date=2019-06-12}}</ref>
|-
|Un mapa pode ter ''calquera conxunto'' como o seu codominio, mentres que, nalgúns contextos, normalmente en libros máis antigos, o codominio dunha función é especificamente o conxunto dos números [[número real|reais]] ou [[número complexo| complexos]].<ref name=Lang87p43>{{cita libro |last=Lang |first=Serge |título=Linear Algebra |capítulo=III §1. Asignations  |editor=Springer |data=1987 |isbn=978-0-387-96412-6 |edition=3rd |page=43 |quote=Unha función é un tipo especial de asignación, é dicir, é unha asignación dun conxunto ao conxunto de números, é dicir, a '''R''', ou a '''C''' ou a un campo ''K''. }}</ref>
|-
|Un mapa está asociado cunha ''estrutura especial'' (por exemplo, especificando explicitamente un codominio estruturado na súa definición). Por exemplo, un [[función linear|mapa linear]].
|-
||[[Homomorfismo]]
|Unha función entre dúas [[estrutura alxébrica|estruturas]] do mesmo tipo que conserva as operacións da estrutura (por exemplo, un [[homomorfismo de grupos]]).<ref>{{Cita libro |last=James |first1=Robert C. |author-link1=Robert C. James |título=Dicionario de matemáticas |last2=James |first2=Glenn |data=1992 |editor=Van Nostrand Reinhold |isbn=0-442-00741-8 |edición=5ª |page=202 |oclc=25409557}}</ref>
|-
|[[Morfismo]]
|Unha xeneralización de homomorfismos a calquera [[Categoría (matemáticas)|categoría]], mesmo cando os obxectos da categoría non son conxuntos (por exemplo, un [[grupo (matemáticas)|grupo]] define unha categoría cun só obxecto, que ten os elementos do grupo como morfismos.<ref>{{harvnb|James|James|1992|p=48}}</ref>
|}

== Composición de funcións ==
{{Principal|Composición de funcións}}

Dadas dúas funcións <math>f: X\to Y</math> e <math>g: Y\to Z</math> tal que o dominio de {{mvar|g}} é o codominio de {{mvar|f}}, a súa "composición" é a función <math>g \circ f: X \rightarrow Z</math> definida por
: <math>(g \circ f)(x) = g(f(x)).</math>

É dicir, o valor de <math>g \circ f</math> obtense aplicando '''primeiro {{math|''f''}} ''' a {{math|''x''}} para obter {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} e '''despois aplicando {{math|''g''}} ''' ao resultado {{mvar|y}}  para obter {{math|1=''g''(''y'') = ''g''(''f''(''x''))}}. Nesta notación, a función que se aplica primeiro sempre se escribe á dereita.

A composición <math>g\circ f</math> é unha [[operación (matemáticas)|operación]] sobre funcións que se define só se o codominio da primeira función é o dominio da segunda. 

Mesmo cando <math>g \circ f</math> e <math>f \circ g</math> satisfán estas condicións, a composición non é necesariamente [[propiedade conmutativa|conmutativa]], é dicir, as funcións <math>(g \circ f)</math> e <math>(f \circ g)</math> poden proporcionar valores diferentes para o mesmo argumento. Por exemplo, sexa {{math|1=''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>}} e {{math|1=''g''(''x'') = ''x'' + 1}}, daquela <math>g(f(x))=x^2+1</math> pero <math> f(g(x)) = (x+1)^2</math> que só coinciden en <math>x=0.</math>

A composición de funcións é [[propiedade asociativa|asociativa]] no sentido de que, se se define  <math>(h\circ g)\circ f</math>  entón temos  <math>(h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f).</math> Neste caso é frecuente non escribir as parénteses  <math> h\circ g\circ f.</math> 

As [[función identidade|funcións identidade]] <math>\operatorname{id}_X</math> e <math>\operatorname{id}_Y</math> son respectivamente unha identidade na dereita  e unha  identidade na esquerda para as funcións de {{mvar|X}} a {{mvar|Y}}. É dicir, se {{mvar|f}} é unha función con dominio {{mvar|X}} e codominio {{mvar|Y}}, tense
<math>f\circ \operatorname{id}_X = \operatorname{id}_Y \circ f = f.</math>

<gallery widths="250" heights="300">
Ficheiro:Example for a composition of two functions.svg|Un exemplo sinxelo de composición de funcións
Ficheiro:Compfun.svg|Outra composición. Neste exemplo, {{math|1=(''g'' ∘ ''f'' )(c) = #}}.
</gallery>

== Notas ==
{{reflist|30em}}

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}}




===Bibliografía===
* {{cita libro|last=Bartle |first=Robert |author-link=Robert G. Bartle |title=The Elements of Real Analysis |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-05465-8 |date=1976 |edition=2nd |oclc=465115030}}
* {{cita libro|last=Bloch |first=Ethan D. |title=Proofs and Fundamentals: A First Course in Abstract Mathematics |publisher=Springer |year=2011|isbn=978-1-4419-7126-5 |url=https://books.google.com/books?id=QJ_537n8zKYC}}
* {{cita libro|last=Cunningham |first=Daniel W. |title=Set theory: A First Course |publisher=Cambridge University Press |year=2016 |isbn=978-1-107-12032-7}}
* {{cita libro|last=Gödel |first=Kurt | author-link=Kurt Gödel|title=The Consistency of the Continuum Hypothesis |url=https://archive.org/details/consistencyofaxi0000gdel |publisher=Princeton University Press |year=1940 |isbn=978-0-691-07927-1}}
* {{cita libro|last=Halmos |first=Paul R. |author-link=Paul Halmos |year=1970 |title=Naive Set Theory |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-0-387-90092-6 |url=https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC}}
* {{cita libro|last=Jech | first=Thomas| author-link=Thomas Jech| title=Set theory|url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4 | edition=3rd  |publisher=[[Springer-Verlag]]| year=2003| isbn=978-3-540-44085-7}}
* {{cita libro|title=Calculus |first=Michael |last=Spivak |author-link=Michael Spivak |edition=4th |year=2008 |publisher=Publish or Perish |isbn=978-0-914098-91-1 |url=https://books.google.com/books?id=7JKVu_9InRUC}}
=== Outros artigos ===
* [[Lista de funcións matemáticas]]
* [[Sucesión (matemáticas)|Sucesión matemática]]
{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Funcións]]
[[Categoría:Artigos que toda Wikipedia debería ter (Ciencia)]]