Ver o código fonte de «Fracción exipcia»

[[Ficheiro:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg|miniatura|300x300px|O [[Papiro de Rhind|papiro matemático de Rhind]] ]]
Unha '''fracción exipcia''' é unha suma finita de [[Fracción unitaria|fraccións unitarias]] distintas, como<math display="block">\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{16}.</math>Cada [[Fracción (matemáticas)|fracción]] na expresión ten un [[Fracción (matemáticas)|numerador]] igual a 1 e un denominador que é un [[Número enteiro|enteiro]] positivo, e todos os [[Fracción (matemáticas)|denominadores]] difiren entre eles. O valor dunha expresión deste tipo é un [[número racional]] positivo <math>\tfrac{a}{b}</math>; por exemplo a fracción exipcia vista enriba suma <math>\tfrac{43}{48}</math> . Cada número racional positivo pode ser representado por unha fracción exipcia. Nestas sumas tamén permitían incluír <math>\tfrac{2}{3}</math> e <math>\tfrac{3}{4}</math> como [[Suma|sumandos]], e era un sistema normal de notación para números racionais no antigo Exipto. En notación matemática moderna, as fraccións exipcias sustituíronse polas nosas [[Fracción (matemáticas)|fraccións]] actuais e pola notación [[Sistema de numeración decimal|decimal]]. Aínda así, as fraccións exipcias seguen a ser un obxecto de estudo en [[teoría de números]]  e nas [[matemáticas recreativas]]. Tamén, evidentemente, nos estudos de [[Historia das matemáticas|matemáticas antigas]]<nowiki/>.

== Aplicacións ==
Máis aló do seu uso histórico, as fraccións exipcias poden ter algunhas vantaxes prácticas sobre outras representacións.
Por exemplo, as fraccións exipcias poden axudar a dividir obxectos en partes iguais.<ref>{{Harvtxt|Dick|Ogle|2018}}; {{Harvtxt|Koshaleva|Kreinovich|2021}}</ref> Por exemplo, se un quere dividir 5 pizzas igualmente entre 8 persoas, a fracción exipcia<math display="block">\frac{5}{8}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}</math>significa que cada persoa consegue media pizza máis un oitavo doutra pizza, por exemplo partindo 4 pizzas en 8 metades, e a pizza restante en 8 partes.

== Primeiros tempos ==
A notación das fraccións exipcias foi desenvolvida no [[Imperio Medio de Exipto|Reino de Medio de Exipto]]. Cinco textos dos primeiros tempos nos que aparecen fraccións exipcias son: Rolo de coiro de matemáticas exipcias, o [[papiro de Moscova]], o Papiro Reisner,[[papiros Kahun| os papiros de Kahun]] e as [[táboas de madeira de Akhmim]]. Un texto máis tardío, no [[papiro de Rhind]], aparecen melloras na escrita de fraccións exipcias. O papiro de Rhind foi escrito por Ahmes e data do [[Segundo Período Intermedio]]; inclúe unha táboa de expansións dos números racionais en fraccións exipcias para números racionais  , así como 84 problemas descritos sen linguaxe matemático (word problems). As solucións a cada problema foron escritas  coas respostas finais expresadas en notación de fraccións exipcias. Así e todo,  [[papiros Kahun| os papiros de Kahun]] mostran que  tamén usaban as [[Fracción (matemáticas)|fraccións comúns]] actuais.

=== Notación ===
Para escribir as fraccións unitarias,  os exipcios colocaban o [[Xeróglifo exipcio|xeróglifo]]:
{| border="0" style="margin-left: 1.6em;"
|<hiero>D21</hiero>
|}
(''er'', "ent''re''" ou posibelmente re, boca) por riba dun número para representar o recíproco daquel número. De xeito semellante  debuxaban unha liña sobre a letra que representa o número. Por exemplo:
{| border="0" cellpadding="0.5em" style="margin-left: 1.6em;"
|<hiero>D21:Z1*Z1*Z1</hiero>
| style="padding-right:1em;" |<math>= \frac{1}{3}</math>
| style="border-left:1px solid black; padding-left:1em;" |<hiero>D21:V20</hiero>
|<math>= \frac{1}{10}</math>
|}
Tiñan símbolos especiais para<math>\tfrac{1}{2}</math>,<math>\tfrac{2}{3}</math> e <math>\tfrac{3}{4}</math> que se usaban para reducir o tamaño dos números máis grandes que  <math>\tfrac{1}{2}</math>. O número restante  escribíase como suma de fraccións unitarias segundo a notación de fraccións exipcias habitual.
{| cellpadding="1em" style="margin-left: 1.6em;"
|<hiero>Aa13</hiero>
| style="padding-right:1em;" |<math>= \frac{1}{2}</math>
| style="border-left:1px solid black; padding-left:1em;" |<hiero>D22</hiero>
| style="padding-right:1em;" |<math>= \frac{2}{3}</math>
| style="border-left:1px solid black; padding-left:1em;" |<hiero>D23</hiero>
|<math>= \frac{3}{4}</math>
|}

=== Métodos de cálculo ===
Os historiadores modernos de matemáticas estudan o papiro de Rhind e outras fontes antigas nunha tentativa de descubrir os métodos que os exipcios utilizaban para calcular con fraccións exipcias.  Malia que estas expansións xeralmente poden ser descritas como identidades alxébricas, os métodos usados polos exipcios poden non  corresponder directamente con estas identidades. Alén diso, as expansións das táboas non coinciden cunha única identidade; no seu lugar,  diferentes identidades coinciden con expansións para denominadores de [[Número primo|números primos]] e de [[Número composto|números compostos]], e máis dunha identidade encaixa nos números de cada tipo:

* Para denominadores primos impares pequenos  {{Mvar|p}}, usaban <math display="block">\frac{2}{p} = \frac{1}{(p + 1)/2} + \frac{1}{p(p + 1)/2}</math>.
* Para denominadores primos máis grandes, usaban <math display="block">\frac{2}{p} = \frac{1}{A} + \frac{2A-p}{Ap},</math> onde {{Mvar|A}} é un número con moitos divisores (como un número práctico) entre {{math|{{sfrac|p|2}} }} e {{Mvar|p}}. O termo restante {{math|{{sfrac|2A-p|Ap}} }}   expande como suma de divisores de  {{math|2A-p}}, formando unha fracción {{math|{{sfrac|d|Ap}} }}  para cada un dos {{Mvar|d}}. Como exemplo, damos a expansión de Ahmes <math>\tfrac{2}{37}=\tfrac{1}{24}+\tfrac{1}{111}+\tfrac{1}{296}</math> con {{math|size=90%|A{{=}}24}} e {{math|size=90%|2A-p{{=}}11{{=}}8+3}}, pois <math>\tfrac{1}{111}=\tfrac{8}{24\cdot 37}</math> e <math>\tfrac{1}{296}=\tfrac{3}{24\cdot 37}</math>. Pode haber  moitas expansións diferentes deste tipo para un {{Mvar|p}} dado. Con todo, K. S. Marrón observou, que a expansión escollida polo exipcios tendía a que o denominador máis grande fose tan pequeno como posíbel.
* Para algúns  denominadores compostos, con factores <math>p\cdot q</math>, a expansión para <math>\tfrac{2}{pq}</math>  ten a forma dunha expansión <math>\tfrac{2}{p}</math>  con cada denominador multiplicado por <math>q</math>.  Mais hai  excepcións, notabelmente <math>\tfrac{2}{35}</math>, <math>\tfrac{2}{91}</math>, e <math>\tfrac{2}{95}</math>.{{Sfnp|Knorr|1982}}<ref>{{Harvtxt|Gillings|1982}}; {{Harvtxt|Gardner|2002}}</ref>
* Tamén pode expandirse como <math display="block">\frac{2}{pq}=\frac{1}{p(p+q)/2}+\frac{1}{q(p+q)/2}.</math> Máis tarde os escribas utilizaron unha forma máis xeral desta expansión, <math display="block">\frac{n}{pq}=\frac{1}{p(p+q)/n}+\frac{1}{q(p+q)/n},</math> que funciona cando <math>p+q</math> é un múltiplo de <math>n</math>.{{Sfnp|Eves|1953}}
* A expansión final no papiro de Rhind, <math>\tfrac{2}{101}</math>, (101 primo) non encaixa en ningunha destas formas, polo contrario utiliza unha expansión <math display="block">\frac{2}{p} = \frac{1}{p} + \frac{1}{2p} + \frac{1}{3p} + \frac{1}{6p}</math>Así temos <math>\tfrac{2}{101} = \tfrac{1}{101} + \tfrac{1}{202} + \tfrac{1}{303} + \tfrac{1}{606}</math>. Unha expansión parecida utilízase en varios casos do Rolo de coiro de matemáticas exipcias.

== Usos máis tardíos ==
Fibinacci no Liber Abaci inclúe cálculos con identidades para [[fracción unitaria|fraccións unitarias]], varios métodos implican identidades alxébricas como<math display="block">\frac{a}{ab-1}=\frac{1}{b}+\frac{1}{b(ab-1)}.</math>Por exemplo, Fibonacci representa a fracción 8/11 separando o numerador como suma de dous números, cada un deles dividindo  o denominador máis 1, {{Nowrap|1={{sfrac|8|11}} = {{sfrac|6|11}} + {{sfrac|2|11}}}} e despois aplica a  identidade de enriba a cada parte, producindo a expansión {{Nowrap|1={{sfrac|8|11}} = {{sfrac|1|2}} + {{sfrac|1|22}} + {{sfrac|1|6}} + {{sfrac|1|66}}}}. Fibonacci describe métodos similares para denominadores que son dous ou tres menos que un número con moitos factores.

No caso raro que estoutros métodos fallen, Fibonacci suxire un [[algoritmo cobizoso para fraccións exipcias]], no que repetidamente escolle a fracción  unitaria co denominador máis pequeno que  non sexa máis grande que a fracción restante: isto é, en notación máis moderna <math display="block">\frac{x}{y}=\frac{1}{\,\left\lceil \frac{y}{x} \right\rceil\,}+\frac{(-y)\,\bmod\, x}{y\left\lceil \frac{y}{x}\right\rceil},</math>Onde {{Nowrap|⌈ ⌉}}  representa a función teito; e dado que (−y) mod x < x, este método produce unha expansión finita.

Comparado con expansións exipcias antigas ou con métodos máis modernos, este método pode producir expansións que son bastante longas. Podemos ver un caso:<math display="block">\frac{5}{121}=\frac{1}{25}+\frac{1}{757}+\frac{1}{763\,309}+\frac{1}{873\,960\,180\,913}+\frac{1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\,225},</math>mentres outros métodos producen estoutra expansión máis curta<math display="block">\frac{5}{121}=\frac{1}{33}+\frac{1}{121}+\frac{1}{363}.</math>[[A secuencia de Sylvester]]:  2, 3, 7, 43, 1807, ... pode ser vista como se fose xerada por unha expansión cobizosa infinita deste tipo para o número 1, onde en cada paso escollemos o denominador {{Nowrap|⌊ {{sfrac|''y''|''x''}} ⌋ + 1}}  en vez de {{Nowrap|⌈ {{sfrac|''y''|''x''}} ⌉}}.

== Teoría de números moderna ==
Moitos matemáticos do campo da teoría de números moderna continúan a estudar  problemas  relacionados coas fraccións exipcias. Estes inclúen problemas sobre limitación da lonxitude ou do denominador máximo en representacións de fraccións exipcias. Entre outras cousas  mostraron que existen expansións para calquera conxunto suficientemente denso de suficientes números suaves.

* Unha das primeiras publicacións de [[Paul Erdős]] probou que non é posíbel para unha progresión harmónica formar unha representación en forma de  fracción exipcia dun enteiro. A razón é que, necesariamente, polo menos un denominador da progresión será divisible por un [[número primo]] que  non divide a ningún outro denominador. Unha publicación posterior de Erdős, case 20 anos após a súa morte, proba que cada enteiro ten unha representación na que todos os denominadores son produtos de tres primos.{{Sfnp|Butler|Erdős|Graham|2015}}<ref>{{Harvtxt|Erdős|1932}}; {{Harvtxt|Graham|2013}}</ref>
* A [[conxectura de Erdős-Graham]] en [[Teoría de números|teoría de números combinatorial]] estabelece que, se os enteiros maiores que 1 son particionados en finitamente moitos subconxuntos, daquela un dos subconxuntos ten un subconxunto finito del mesmo cuxos recíprocos suman 1. Isto é, para cada {{Nowrap|''r'' > 0}}, e cada r-coloreado dos enteiros maiores que 1, hai un subconxunto monocromático finito S destes enteiros de tal xeito que <math display="block">\sum_{n\in S}\frac{1}{n} = 1.</math> A conxectura foi probada no 2003 por [[Ernest S. Croot III]].
* O [[problema de Znám]] e os  números primarios pseudoperfectos está estreitamente relacionado coa existencia de fraccións exipcias da forma <math display="block">\sum\frac1{x_i} + \prod\frac1{x_i}=1.</math> Por exemplo, o número primario pseudoperfecto  1806 é o produto dos números primos 2, 3, 7, e 43, e dá lugar á fracción exipcia {{Nowrap|1=1 = {{sfrac|1|2}} + {{sfrac|1|3}} + {{sfrac|1|7}} + {{sfrac|1|43}} + {{sfrac|1|1806}}}}.
* As fraccións exipcias  definíanse para  denominadores distintos, mais este requisito pode ser relaxado para deixar denominadores repetidos. Mais [[Takenuchi]] en 1921 deu unha transformación de dúas fraccións unitarias iguais en dúas diferentes <math display="block">\frac1k+\frac1k=\frac2{k+1}+\frac2{k(k+1)}</math> se ''k'' é impar, ou dúas fraccións en unha  {{Nowrap|{{sfrac|1|''k''}} + {{sfrac|1|''k''}}}} = {{sfrac|2|''k''}} se <math>k</math> é par. 
* Graham e Jewett probou que é posíbel converter expansións con denominadores repetidos en fraccións exipcias máis longas,<ref>Ver {{Harvtxt|Wagon|1999}} e {{Harvtxt|Beeckmans|1993}}</ref> <math display="block">\frac1k+\frac1k=\frac1k+\frac1{k+1}+\frac1{k(k+1)}.</math> 
* Calquera fracción x/y ten unha representación de fracción exipcia na que o denominador máximo está limitado por <math display="block">O\left(y \log y \left(\log\log y\right)^4 \left(\log\log\log y\right)^2\right),</math> e unha representación con como máximo <math display="block">O\left(\sqrt{\log y}\right)</math> termos. O número  de termos ás veces é proporcional a {{Nowrap|''O''(log log ''y'')}}. Existe a conxectura de que o número de termos de orde {{Nowrap|''O''(log log ''y'')}} son sempre abondos. É tamén posíbel atopar representacións nas que ambos os dous, o denominador máximo e o número de termos son pequenos.{{Sfnp|Vose|1985}}
* {{Harvtxt|Graham|1964}} caracterizou os  números que poden ser representados por fraccións exipcias nas que todos os denominadores son ''n-ésimas'' potencias. En particular, un número racional ''q'' pode representar como unha fracción exipcia con  denominadores cadrados se e só se ''q'' está en un dos dous intervalos semi-abertos <math display="block">\left[0,\frac{\pi^2}{6}-1\right)\cup\left[1,\frac{\pi^2}{6}\right),</math>e temos que <math>\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}</math>.
* {{Harvtxt|Martin|1999}} mostrou que calquera número racional ten expansións moi densas, usando unha  fracción constante dos denominadores ata ''N'' para calquera  ''N suficientemente grande''.
* A expansión de Engel, é unha forma de expansión en fraccións exipcias na que cada denominador é un múltiplo do anterior: <math display="block">x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_1a_2a_3}+\cdots.</math> Ademais, a secuencia dos <math>a_i</math> debe ser non decrecente. Cada número racional ten unha expansión finita de Engel, mentres que os [[Número irracional|números irracionais]] teñen unha expansión infinita de Engel.
* {{Harvtxt|Anshel|Goldfeld|1991}} estudaron os números que teñen múltiples fraccións exipcias distintas co mesmo número de termos e o mesmo produto dos denominadores; por exemplo<math display="block">\frac{5}{12}=\frac{1}{4}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{20}.</math> Aplican os seus resultados á caracterización mediante un número pequeno de parámetros pequenos dos produtos libres dos grupos [[Grupo abeliano|abelianos]]: o rango do commutador do subgrupo, o número de termos no produto libre, e o produto das ordes dos factores.
* O número de representacións diferentes con <math>n</math> termos da fracción exipcia do número 1 esta limitado superiormente e inferiormente por funcións exponenciais duplas de n.{{Sfnp|Konyagin|2014}}

== Problemas abertos ==
Algúns problemas notábeis fican aínda non resolvidos, a pesar dun esforzo considerábel por múltiples matemáticos.

* A [[conxectura de Erdős-Straus]]  ocúpase da lonxitude da expansión máis curta para unha fracción da forma 4/n. Existe unha expansión <math display="block">\frac4n=\frac1x+\frac1y+\frac1z</math> para todo n? Sábese que é certo para todo {{Nowrap|''n'' < 10<sup>17</sup>}}, e para todos os demais  agás posiblemente algún de entre 
:<math> \{1, 121=11^2, 169=13^2, 289=17^2, 361=19^2, 529=23^2\} \pmod{840},</math> mais a proba xeral da veracidade da conxectura segue sen ser coñecida.
* Non se sabe se para toda fracción con denominador impar existe unha expansión cobizosa impar (os maiores denominadores de valor impar).<ref>{{Harvtxt|Breusch|1954}}; {{Harvtxt|Stewart|1954}}</ref>
* É posíbel utilizar algoritmos de  forza bruta para atopar a representación de fraccións exipcias dun número dado co menor número de  termos posíbeis ou minimizando o denominador máis grande; no entanto, eses algoritmos poden ser bastante ineficientes. Permanece  descoñecida a existencia de algoritmos en tempo polinomial, ou máis xeralmente de complexidade computational para estes problemas.

{{Harvtxt|Guy|2004}} describe estes problemas en máis detalle e lista numerosos problemas abertos adicionais.

== Notas ==
{{Listaref|30em}}
== Véxase tamén ==

=== Outros artigos ===
* [[Lista de sumas de recíprocos]]
* [[Crebacabezas das partillas de 17 animais]]

=== Bibliografía ===
{{refbegin|30em}}
*{{cita libro
 | last1 = Anshel | first1 = Michael M.
 | last2 = Goldfeld | first2 = Dorian | author2-link = Dorian M. Goldfeld
 | doi = 10.1090/S0002-9939-1991-1065083-1
 | mr = 1065083
 | issue = 4
 | journal = Proceedings of the American Mathematical Society
 | pages = 889–899
 | title = Partitions, Egyptian fractions, and free products of finite abelian groups
 | volume = 111
 | year = 1991
 }}
*{{cita libro
 | last = Beeckmans | first = L.
 | doi = 10.1006/jnth.1993.1015
 | mr = 1207497
 | journal = [[Journal of Number Theory]]
 | pages = 173–185
 | title = The splitting algorithm for Egyptian fractions
 | volume = 43
 | year = 1993
 | issue = 2
 }}
*{{cita libro
 | doi = 10.2307/2688508
 | last = Botts | first = Truman
 | mr = 0209217
 | issue = 2
 | journal = [[Mathematics Magazine]]
 | pages = 55–65
 | title = A chain reaction process in number theory
 | jstor = 2688508
 | volume = 40
 | year = 1967}}
*{{cita libro
 | last = Breusch | first = R. | author-link = Robert Breusch
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | pages = 200–201
 | title = A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512
 | volume = 61
 | doi = 10.2307/2307234
 | year = 1954| jstor = 2307234 }}
*{{cita libro
 | last = Bruins | first = Evert M.
 | journal = [[Janus (journal)|Janus]]
 | language = French
 | pages = 253–263
 | title = Platon et la table égyptienne 2/''n''
 | trans-title = Plato and the Egyptian 2/''n'' table
 | volume = 46
 | year = 1957}}
*{{cita libro
 | last1 = Butler | first1 = Steve | author1-link = Steve Butler (mathematician)
 | last2 = Erdős | first2 = Paul | author2-link = Paul Erdős
 | last3 = Graham | first3 = Ron | author3-link = Ronald Graham
 | journal = Integers
 | mr = 3437526
 | page = Paper No. A51, 9
 | title = Egyptian fractions with each denominator having three distinct prime divisors
 | url = https://www.math.ucsd.edu/~ronspubs/pre_tres_egyptian.pdf
 | volume = 15
 | year = 2015}}
*{{cita libro
 | last1 = Dick | first1 = Lara K.
 | last2 = Ogle | first2 = Rebecca
 | date = setembro de 2018
 | journal = Ohio Journal of School Mathematics
 | pages = 1–7
 | title = Think like an Egyptian
 | volume = 80}}
*{{cita libro
|first=P.|last= Erdős |authorlink=Paul Erdős |title=Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása|trans-title=Generalization of an elementary number-theoretic theorem of Kürschák|language=Hungarian|journal=Mat. Fiz. Lapok|volume=39|year=1932|pages=17–24|url=https://www.renyi.hu/~p_erdos/1932-02.pdf}}
*{{cita libro
 | last = Erdős | first = Pál | authorlink = Paul Erdős
 | journal = Matematikai Lapok
 | mr = 0043117
 | pages = 192–210
 | title = Az <math>\textstyle\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}=\frac{a}{b}</math> egyenlet egész számú megoldásairól
 | trans-title = On a Diophantine equation
 | language = Hungarian
 | url = https://www.renyi.hu/~p_erdos/1950-02.pdf
 | volume = 1
 | year = 1950}}
*{{cita libro
 | last = Eves | first = Howard | author-link = Howard Eves
 | isbn = 0-03-029558-0
 | publisher = Holt, Reinhard, and Winston
 | title = An Introduction to the History of Mathematics
 | year = 1953}}
*{{cita libro
 | last = Gardner | first = Milo
 | contribution = The Egyptian Mathematical Leather Roll, attested short term and long term
 | editor-last = Gratton-Guinness| editor-first = Ivor | editor-link=Ivor Grattan-Guinness
 | isbn = 81-85931-45-3
 | pages = 119–134
 | publisher = Hindustan Book Co
 | title = History of the Mathematical Sciences
 | year = 2002}}
*{{cita libro
 | last = Gillings | first = Richard J.
 | isbn = 978-0-486-24315-3
 | publisher = Dover
 | title = Mathematics in the Time of the Pharaohs
 | page = 50
 | url = https://books.google.es/books?id=DoDMIVUIYFwC&pg=PA50&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
 | year = 1982}}
*{{cita libro
 | last = Graham | first = R. L. | author-link = Ronald Graham
 | mr = 0159788
 | issue = 1
 | journal = [[Pacific Journal of Mathematics]]
 | pages = 85–92
 | title = On finite sums of reciprocals of distinct ''n''th powers
 | url = http://www.math.ucsd.edu/~ronspubs/64_07_reciprocals.pdf
 | volume = 14
 | year = 1964
 | doi=10.2140/pjm.1964.14.85 }}
*{{cita libro
 | last = Graham | first = Ronald L. | authorlink = Ronald Graham
 | contribution = Paul Erdős and Egyptian fractions
 | doi = 10.1007/978-3-642-39286-3_9
 | mr = 3203600
 | pages = 289–309
 | publisher = János Bolyai Math. Soc., Budapest
 | series = Bolyai Soc. Math. Stud.
 | title = Erdös centennial
 | contribution-url = http://www.math.ucsd.edu/~ronspubs/13_03_Egyptian.pdf
 | volume = 25
 | year = 2013}}
*{{cita libro
 | last = Guy | first = Richard K. | author-link = Richard K. Guy
 | contribution = D11. Egyptian Fractions
 | edition = 3rd
 | isbn = 978-0-387-20860-2
 | pages = [https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr/page/252 252]–262
 | publisher = Springer-Verlag
 | title = Unsolved problems in number theory
 | url = https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr | year = 2004}}
*{{cita libro
 | last = Hultsch | first = Friedrich | author-link = Friedrich Hultsch
 | issue = 1
 | journal = Abhandlungen der philologisch-historischen Classe der Königlich-Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Sächsische Akademie der Wissenschaften zu Leipzig Philologisch-Historische Klasse
 | language = alemán 
 | location = Leipzig
 | publisher = S. Hirzel
 | title = Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung: Erste Anhandlung
 | volume = 17
 | year = 1895}}
*{{cita libro
|editor-first=Victor J.|editor-last=Katz|editor-link=Victor J. Katz|title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook|location=Princeton|publisher=Princeton University Press|year=2007}}
*{{cita libro
 | last = Knorr | first = Wilbur R. | author-link = Wilbur Knorr
 | doi = 10.1016/0315-0860(82)90001-5
 | mr = 0662138
 | journal = [[Historia Mathematica]]
 | pages = 133–171
 | title = Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece
 | volume = 9
 | year = 1982
 | issue = 2}}
*{{cita libro
 | last = Konyagin | first = S. V. | authorlink = Sergei Konyagin
 | doi = 10.1134/S0001434614010295
 | issue = 1–2
 | journal = [[Mathematical Notes]]
 | mr = 3267215
 | pages = 277–281
 | title = Double exponential lower bound for the number of representations of unity by Egyptian fractions
 | volume = 95
 | year = 2014 }}
*{{cita libro
 | last1 = Koshaleva | first1 = Olga
 | last2 = Kreinovich | first2 = Vladik
 | issue = 57
 | journal = Mathematical Structures and Modeling
 | pages = 46–59
 | title = Egyptian fractions as approximators
 | url = https://cyberleninka.ru/article/n/egyptian-fractions-as-approximators/viewer
 | volume = 1
 | year = 2021}}
*{{cita libro
 | last = Kusuba | first = Takanori
 | editor1-last = Burnett | editor1-first = Charles
 | editor2-last = Hogendijk | editor2-first = Jan P. | editor2-link = Jan Hogendijk
 | editor3-last = Plofker | editor3-first = Kim | editor3-link = Kim Plofker
 | editor4-last = Yano | editor4-first = Michio
 | contribution = Indian rules for the decomposition of fractions
 | location = Leiden
 | mr = 2054213
 | pages = 497–516
 | publisher = Brill
 | series = Islamic Philosophy Theology and Science: Text and Studies
 | title = Studies in the History of the Exact Sciences in honour of David Pingree
 | volume = 54
 | year = 2004}}
*{{cita libro
 | last = Martin | first = G.
 | doi = 10.1090/S0002-9947-99-02327-2
 | mr = 1608486
 | journal = [[Transactions of the American Mathematical Society]]
 | pages = 3641–3657
 | title = Dense Egyptian fractions
 | volume = 351
 | year = 1999
 | issue = 9| arxiv = math/9804045
 }}
*{{cita libro
|last=Ritter|first=Jim|contribution=Closing the Eye of Horus: the Rise and Fall of 'Horus-Eye Fractions'|title=Under One Sky: Astronomy and Mathematics in the ancient Near East|editor1-first=J.|editor1-last=Steele|editor2-first=A.|editor2-last=Imhausen|editor2-link=Annette Imhausen|location=Münster|publisher=Ugarit-Verlag|year=2002|pages=297–323}}
*{{cita libro
|editor1-first=E.|editor1-last=Robson|editor1-link=Eleanor Robson|editor2-first=J.|editor2-last=Stedall|editor2-link=Jackie Stedall|title=The Oxford Handbook of the History of Mathematics|location=Oxford|publisher=Oxford University Press|year=2009}}
*{{cita libro
 | last = Sigler | first = Laurence E. (trans.)
 | isbn = 0-387-95419-8
 | publisher = Springer-Verlag
 | title = Fibonacci's Liber Abaci
 | year = 2002}}
*{{cita libro
 | last = Stewart | first = B. M. | authorlink = Bonnie Stewart
 | doi = 10.2307/2372651
 | mr = 0064800
 | issue = 4
 | journal = [[American Journal of Mathematics]]
 | jstor = 2372651
 | pages = 779–785
 | title = Sums of distinct divisors
 | volume = 76
 | year = 1954}}
*{{cita libro
 | last = Stewart | first = I. | author-link = Ian Stewart (mathematician)
 | issue = June
 | journal = [[Scientific American]]
 | pages = 122–124
 | title = The riddle of the vanishing camel
 | year = 1992| volume = 266 | doi = 10.1038/scientificamerican0692-122 | bibcode = 1992SciAm.266f.122S }}
*{{cita libro
 | last = Struik | first = Dirk J. | author-link = Dirk Jan Struik
 | isbn = 0-486-60255-9
 | pages = [https://archive.org/details/concisehistoryof0000stru_m6j1/page/20 20]–25
 | publisher = Dover
 | title = A Concise History of Mathematics
 | url = https://archive.org/details/concisehistoryof0000stru_m6j1 | year = 1967}}
*{{cita libro
 | last = Takenouchi | first = T.
 | doi = 10.11429/ppmsj1919.3.6_78
 | journal = Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan
 | series = 3rd ser.
 | pages = 78–92
 | title = On an indeterminate equation
 | volume = 3
 | issue = 6
 | year = 1921}}
*{{cita libro
 | last1 = Tenenbaum | first1 = G. | author1-link = Gérald Tenenbaum
 | last2 = Yokota | first2 = H.
 | doi = 10.1016/0022-314X(90)90109-5
 | mr = 1057319
 | journal = [[Journal of Number Theory]]
 | pages = 150–156
 | title = Length and denominators of Egyptian fractions
 | volume = 35
 | year = 1990
 | issue = 2 
 }}
*{{cita libro
 | last = Vose | first = M.
 | doi = 10.1112/blms/17.1.21
 | mr = 0766441
 | journal = [[London Mathematical Society|Bulletin of the London Mathematical Society]]
 | page = 21
 | title = Egyptian fractions
 | volume = 17
 | year = 1985}}
*{{cita libro
 | last = Wagon | first = Stan | authorlink = Stan Wagon
 | isbn = 0-387-98684-7
 | pages = 321–329
 | publisher = Springer
 | title = Mathematica in Action
 | year = 1999}}
*{{cita libro
 | last1 = Wilson | first1 = P. Holt
 | last2 = Edgington | first2 = Cynthia P.
 | last3 = Nguyen | first3 = Kenny H.
 | last4 = Pescosolido | first4 = Ryan C.
 | last5 = Confrey | first5 = Jere
 | date = November 2011
 | doi = 10.5951/mathteacmiddscho.17.4.0230
 | issue = 4
 | journal = Mathematics Teaching in the Middle School
 | jstor = 10.5951/mathteacmiddscho.17.4.0230
 | pages = 230–236
 | title = Fractions: how to fair share
 | volume = 17}}
*{{cita libro
 | last = Winkler | first = Peter | author-link = Peter Winkler
 | contribution = Uses of fuses
 | isbn = 1-56881-201-9
 | pages = [https://archive.org/details/mathematicalpuzz00pete/page/2 2], 6
 | publisher = A K Peters
 | title = Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection
 | url = https://archive.org/details/mathematicalpuzz00pete | year = 2004}}
*{{cita libro
 | last = Yokota | first = Hisashi
 | doi = 10.1016/0022-314X(88)90017-0
 | issue = 2
 | journal = Journal of Number Theory
 | mr = 961916
 | pages = 198–207
 | title = On a problem of Bleicher and Erdős
 | volume = 30
 | year = 1988 
 }}
{{refend}}

=== Ligazóns externas ===
* {{cita web|last=Brown|first=Kevin|title=Egyptian Unit Fractions|url=http://www.mathpages.com/home/kmath340/kmath340.htm}}
* {{cita web|last=Eppstein|first=David|title=Egyptian Fractions|url=http://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt/}}
* {{cita web|last=Knott|first=Ron|title=Egyptian fractions|url=http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fractions/egyptian.html}}
* Weisstein, Eric W., "Egyptian Fraction", MathWorld
* {{cita web|last=Giroux|first=André|title=Egyptian Fractions|url=http://demonstrations.wolfram.com/EgyptianFractions/}} and  {{cita web|last=Zeleny|first=Enrique|title=Algorithms for Egyptian Fractions|url=http://demonstrations.wolfram.com/AlgorithmsForEgyptianFractions/}}, [[O Wolfram Proxecto de Demostracións|The Wolfram Demonstrations Project]], based on programs by [[David Eppstein]].

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números]]
[[Categoría:Matemáticas recreativas]]
[[Categoría:Fraccións]]