Ver o código fonte de «Fracción continua»

{{Image frame|width=220
|content=<math>a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}}</math>
|caption=Unha fracción continua regular finita, onde <math>a_0</math> é un enteiro, e os <math>a_i, i>0</math> son enteiros positivos.
}}En [[matemáticas]], unha '''fracción continua''' é unha expresión obtida mediante un proceso iterativo de representar un número como a suma da súa parte enteira e o recíproco doutro número, e escribir este outro número como a suma da súa parte enteira e outra recíproca, e así continuadamente. {{Sfn|Encyclopaedia Britannica|2013}} Todos os números enteiros da secuencia, agás o primeiro, deben ser positivos. Os enteiros <math>a_i</math> chámanse coeficientes ou termos da fracción continua. {{Sfn|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=150}}

En xeral, asúmese que o [[Fracción (matemáticas)|numerador]] de todas as fraccións é 1. Nese caso chámase fracción continua '''simple''' ou '''regular''', ou dicimos que está en '''forma canónica.''' Se se usan valores ou [[Función|funcións]] arbitrarias en lugar dun ou máis dos numeradores a expresión resultante é unha '''fracción continua xeneralizada'''.

As fraccións continuas teñen unha serie de propiedades notables relacionadas co [[algoritmo de Euclides]] para números racionais ou reais. Todo [[número racional]] {{Sfrac|<math>p</math>|<math>q</math>}} ten dúas expresións estreitamente relacionadas como fracción continua finita, cuxos coeficientes {{Mvar|a<sub>i</sub>}}  poden determinarse aplicando o algoritmo de Euclides a <math>(p,q)</math>. O valor numérico dunha fracción continua infinita é [[Número irracional|irracional]]. Esta forma de expresar números reais (racionais e irracionais) chámase  ''expansión en fracción continua''.

O termo ''fracción continua'' tamén pode referirse a representacións de funcións racionais, xurdidas na súa teoría analítica. Para este uso do termo, pode consultar os conceptos aproximación de Padé e funcións racionais de Chebyshev.

== Motivación e notación ==
Considere, por exemplo,o número racional {{Sfrac|415|93}}, que é  aproximadamente 4.4624. Como primeira aproximación, comezamos por 4, que é a parte enteira de {{Nowrap|1={{sfrac|415|93}} = 4 + {{sfrac|43|93}}}}. Agora da parte fraccional calculamos o  recíproco {{Sfrac|93|43}}, aproximadamente 2.1628. Usamos a parte enteira, 2, e obtemos unha segunda aproximación {{Nowrap|1=4 + {{sfrac|1|2}} = 4.5.}} Agora imos repetindo o proceso coas partes fraccionais que van aparecendo, {{sfrac|93|43}} = 2 + {{sfrac|7|43}}. Collemos o recíproco da parte fraccional {{Sfrac|43|7}} aproximadamente 6.1429. Usamos 6 para formar unha nova approximación de {{Sfrac|93|43}} = {{Nowrap|4 + {{sfrac|1|2 + {{sfrac|1|6}}}}}} = 4 +  {{Sfrac|6|13}}. E continuamos con {{Nowrap|1={{sfrac|43|7}} = 6 + {{sfrac|1|7}}}}. Aquí chegamos ao final do proceso pois, {{Sfrac|1|7}}, é unha fracción unitaria, así logo conseguimos unha expresión exacta, algo enrevesada mais útil en certos casos, de fraccións continuas, {{Nowrap|4 + {{sfrac|1|2 + {{sfrac|1|6 + {{sfrac|1|7}}}}}}}} = {{Sfrac|415|93}}.

E pode representarse de forma abreviada {{sfrac|415|93}} = [4; 2, 6, 7].

Se o número inicial é racional, entón este proceso é coincidente co [[algoritmo de Euclides]] aplicado ao numerador e denominador do número. En particular, debe terminar e producir unha representación finita de fracción continua do número.  Se o número inicial é [[Número irracional|irracional]], o proceso continúa indefinidamente.  Exemplos de representacións en fracción continua de números irracionais son:

* {{Math|1={{sqrt|19}} = [4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,...]}}  {{OEIS|id=A010124}}. Coeficientes repetidos con  período  6.
* {{Math|1=[[Número e|''e'']] = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...]}} {{OEIS|id=A003417}}. Tamén con un patrón que agrega 2 cada tres termos.
* {{Math|1=[[Número pi|π]] = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,...]}}  {{OEIS|id=A001203}}. Non se deu atopado patrón.
* [[Número_áureo|<math>\varphi</math> ]] {{Math|1== [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...]}} {{OEIS|id=A000012}}. A [[Número áureo|razón aurea]], sería o número irracional máis distanciado dun número racional.
* {{Math|1=[[Euler–Mascheroni constant|γ]] = [0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,...]}}  {{OEIS|id=A002852}}. A constante de [[Constante de Euler-Mascheroni|Euler–Mascheroni]], que se pensa que é irracional e tampouco non ten un patrón recoñecible.

As fraccións continuas  teñen varias propiedades desexables:

* A representación en fracción continua para un número real é finita se e só se é un número racional. Pola contra, a representación decimal dun número racional pode ser infinita. Cada número racional ten unha representación de fracción continua simple esencialmente única. Cada racional pode representarse exactamente de dúas maneiras, xa que <math>[a_0;a_1,... a_{n-1},a_n]</math> = <math>[a_0;a_1,... a_{n-1},a_{n-1},1]</math>. Normalmente escóllese a primeira, máis curta, como representación canónica. A representación da fracción continua regular dun número irracional é única. Os números reais cuxa fracción continua se repite son precisamente os irracionais cuadráticos. Por exemplo, a fracción continua que se repite [1;2,2,2,...] é a raíz cadrada de 2.  As raíces cadradas de todos os números enteiros (positivos) que non son cadrados perfectos son irracionais cadráticos e, por tanto, fraccións continuas periódicas únicas. As aproximacións sucesivas xeradas ao atopar a representación da fracción continua dun número, é dicir, ao truncar a representación en fracción continua, son en certo sentido (descrito máis adiante) as "mellores posibles" e se chaman converxentes.

== Cálculo de expansións en fracción continua ==
Hai varias maneiras de calcular a fracción continua correspondente a un número real, imos ver con dous exemplos a que usa o algoritmo de Euclides e a que usa os inversos.

Algoritmo de Euclides para <math>\dfrac{73}{20}</math>, a fracción continua son os cocientes,
{|class="wikitable col1cen col2cen center" style="width:300px" 
| 73 || 20 || 3 ||13 
|- 
| 20 || 13 || 1 || 7
|- 
| 13 || 7 || 1 || 6
|- 
| 7 || 6 || 1 || 1
|- 
| 6 || 1 || 6 || 0
|}

<math>\dfrac{73}{20}=[3, 1, 1, 1, 6]</math>.

Usando os inversos para <math> e=2.7182818284 \ldots </math>

{|class="wikitable col1cen col2cen center" style="width:300px" 
| coeficiente <math>a_n=\lfloor x_{n-1} \rfloor</math>|| resta <math>r_n = x_{n-1}-a_n</math> || inverso <math>x_n=\frac{1}{r_n}</math>  
|- 
|   ||   || <math>x_{-1}=2.7182818 </math> 
|- 
| 2 || 0.7182818 || 1.3922111    
|- 
| 1 || 0.3922111 || 2.5496467   
|- 
| 2 || 0.5496467 || 1.8193502  
|- 
| 1 || 0.8193502 || 1.2204792   
|- 
| 1 || 0.2204792 || 4.5355734   
|- 
| 4 || 0.5355734 || 1.8671574  
|- 
| 1 || ... || ...  
|}

<math>e=[2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, \ldots]</math>.

== Notacións ==
Os enteiros <math>a_0</math>, <math>a_1</math> etc., chámanse ''coeficientes'' ou ''termos'' da fracción continua. {{Sfn|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=150}} Como a representación

: <math>x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{a_4}}}}</math>

ocupa moito espazo temos outras representacións, como por exemplo

: <math>
x = a_0 +
{1 \over a_1 +}\,
{1 \over a_2 +}\,
{1 \over a_3 +}\,
{1 \over a_4}
</math>

Por exemplo,

: <math>\frac{p_n}{q_n} = \frac{a_n p_{n-1} + p_{n-2}}{a_n q_{n-1} + q_{n-2}},</math>

Con <math>p_{-1}=1, p_{0}=a_0 e q_{-1}=0, p_{0}=1</math>.

: <math>x = a_0 + \underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm K}} ~ \frac{1}{a_i}, </math>

Ou nos casos de numerador sempre 1 temos unha notación moi cómoda como unha lista

: <math>x = [a_0; a_1, a_2, a_3, a_4]. </math>

[[Carl Friedrich Gauss]] utilizou unha notación que lembra a notación de suma, <math>x = a_0 + \underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm K}} ~ \frac{1}{a_i}, </math>

: <math>x = [a_0; a_1, a_2, a_3, a_4]. </math>

: <math>x = [a_0; a_1, a_2, a_3, a_4]. </math>

: <math>2.25 = \frac{9}{4} = [2;4]</math> e <math>\frac{1}{2.25} = \frac{4}{9} = [0;2,4]</math> .

:

Se

: <math>x = \left[\ a_0;\ a_1,\ \dots, a_{k-1}, a_k, a_{k+1} \dots \right] </math>
: <math>x = \left[\ a_0;\ a_1,\ \dots, a_{k-1}, b_k, b_{k+1} \dots \right] </math>

== Recíprocos ==
Conseguimos o recíproco simplemente agregando un cero pola esquerda

<math>x= [a_0;a_1,a_2,\ldots,a_n]</math> e  <math> \frac{1}{x}=[0;a_0,a_1,\ldots,a_n]</math>.

Por exemplo, os converxentes para [0;1,5,2,2] son

: <math>2.25 = \frac{9}{4} = [2;4]</math> e <math>\frac{1}{2.25} = \frac{4}{9} = [0;2,4]</math> .

== Fraccións continuas infinitas e converxentes ==
Unha expansión en fracción continua infinita para un número irracional é útil porque os sucesivos truncamentos iniciais proporcionan aproximacións racionais ao número. Estes números racionais <math>\frac{p_i}{q_i}</math> chámanse '''converxentes''' da fracción continua. {{Sfn|Long|1972|p=177}} {{Sfn|Pettofrezzo|Byrkit|1970}} Os converxentes pares son máis pequenos que o número orixinal, mentres que os impares son maiores.

: <math> \frac{p_n}{q_n} - \frac{ p_{n-1} }{ q_{n-1} } = \frac{\ p_n\ q_{n-1} - q_n\ p_{n-1}\ }{\ q_n\ q_{n-1}\ } = \frac{ (-1)^{n+1} }{\ q_n\ q_{n-1}\ } ~.</math>

Cada converxente pódese expresar explicitamente en termos da fracción continua como a razón de certos [[Polinomio|polinomios multivariados]] chamados ''continuantes''.

Para a fracción continua <math>x = [a_0; a_1, a_2, a_3, a_4] </math>, os converxentes veñen dados pola fórmula recorrente

<math>p_i = a_i p_{i-1} + p_{i-2} \text{ con } p_{-1}=1, p_0=a_0</math>.

<math>q_i = a_i q_{i-1} + q_{i-2} \text{ con } q_{-1}=0, p_0=1</math>.

Por exemplo,  os converxentes para a constante de Euler–Mascheroni, {{OEIS|id=A002852}}, <math> \gamma = [0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, \ldots] = 0.577215664901532 \ldots </math>, 

{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 200px; height: 200px;"
|+ Converxentes
|-
! scope="row" | a{{sub|i}}
| || 0|| 1 || 1 || 2 || 1 || 2 || 1 || 4  || 3  || 13 || <math> \ldots </math> 
|-
! scope="row" | p{{sub|i}}
| 1|| 0|| 1 || 1 || 3 || 4 || 11 || 15 || 71  || 228  || 3035 || <math> \ldots </math> 
|-
! scope="row" | q{{sub|i}}
|0 || 1|| 1 || 2 || 5 || 7 || 19 || 26 || 123  || 395  || 5258 || <math> \ldots </math> 
|}

e comprobamos que o noveno converxente <math> \frac{3035}{5258} = 0,57721567 \ldots </math> 

Os converxentes mostran a súa verdadeira utilidade na aproximación dos números irracionais. Máis adiante podemos velo nas expansións de <math>\pi</math>.

=== Propiedades alxébricas ===
Un espazo de Baire é un espazo topolóxico sobre secuencias infinitas de números naturais. A fracción continua infinita proporciona un [[homeomorfismo]] do espazo de Baire ao espazo dos números reais irracionais (coa topoloxía subespacial herdada da topoloxía habitual dos reais). A fracción continua infinita tamén proporciona un mapa entre os irracionais cadráticos e os racionais diádicos, e doutros irracionais ao conxunto de cadeas infinitas de números binarios (é dicir, o conxunto de Cantor); este mapa chámase función de signo de interrogación de Minkowski. O mapeo ten propiedades [[Fractal|fractais]] autosimilares interesantes; estas veñen dadas polo grupo modular, que é o subgrupo de transformacións de Möbius que teñen valores enteiros na transformada. En liñas xerais, os converxentes da fracción continua pódense considerar transformacións de Möbius que actúan no semiplano superior (hiperbólico); isto é o que leva á autosimetría fractal.

A distribución de probabilidade límite dos coeficientes na expansión continua de fraccións dunha variable aleatoria uniformemente distribuída en (0, 1) é a distribución de Gauss-Kuzmin. 

A media aritmética dunha fracción continua dun número irracional é unha constante, [[Constante de Khinchin]].

=== Algúns teoremas útiles ===
<blockquote>'''Teorema 1.''' Para todo número real positivo <math>\ x\ </math>

: <math> \left[\ a_0;\ a_1,\ \dots, a_{n-1}, x\ \right]=\frac{x\ p_{n-1} + p_{n-2}}{\ x\ q_{n-1} + q_{n-2}\ }, \quad \left[\ a_0;\ a_1,\ \dots, a_{n-1} + x\ \right]=\frac{p_{n-1} + x p_{n-2}}{\ q_{n-1} + x q_{n-2}\ }</math>
</blockquote>

<blockquote>'''Teorema 2.''' Os converxentes de <math> [a_0; a_1, a_2, \ldots \ ]</math> veñen dados polos sucesivos truncamentos da fracción continua 

: <math>\left[\ a_0;\ a_1,\ \dots, a_n\ \right] = \frac{p_n}{\ q_n\ } </math>,

ou en forma de matriz, 
<math>\begin{bmatrix}
p_n & p_{n-1} \\
q_n & q_{n-1}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a_0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix} \cdots 
\begin{bmatrix}
a_n & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}</math>
</blockquote>

<blockquote>'''Teorema 3.''' Se o <math>\ n</math>-ésimo converxente da fracción continua é <math>\ \frac{p_n}{q_n}\ ,</math> daquela
: <math> q_n \ p_{n-1} - q_{n-1} \ p_n = (-1)^n\ ,</math>
ou equivalentemente
: <math> \frac{p_n}{q_n} - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} = \frac{(-1)^{n+1}}{q_{n-1}q_n} ~.</math>
</blockquote>

'''Corolario 1:''' Cada converxente está nos seus termos máis baixos.

'''Corolario 2:''' a diferenza entre converxentes sucesivos é unha fracción cuxo numerador é a unidade.

'''Corolario 3:''' a fracción continua pode expresarse como unha serie alterna:

:  <math>a_0 + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{q_{n}q_{n+1}} ~.</math>

'''Corolario 4:''' A matriz
<math>\begin{bmatrix}
p_n & p_{n-1} \\
q_n & q_{n-1}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a_0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix} \cdots 
\begin{bmatrix}
a_n & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}</math>


ten [[Determinante (matemáticas)|determinante]] <math>(-1)^{n+1}</math>, e, polo tanto, pertence ao grupo de matrices unimodulares de <math>\ 2\times 2\ </math>, <math>\  \mathrm{GL}(2,\mathbb{Z}).</math>

'''Corolario 5:''' A matriz
<math>\begin{bmatrix}
p_n & p_{n-2} \\
q_n & q_{n-2}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
p_n & p_{n-1} \\
q_n & q_{n-1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{n} & 0 \\
1 & 1
\end{bmatrix}</math> ten determinante <math>(-1)^n a_n</math>, ou equivalentemente,
<math display="block"> \frac{p_n}{q_n} - \frac{p_{n-2} }{q_{n-2}} = \frac{(-1)^{n}}{ q_{n-2}q_n}a_n</math>
o que significa que os termos impares diminúen monótonamente, mentres que os termos pares aumentan monótonamente.

'''Corolario 6:''' A secuencia de denominadores <math>q_0, q_1, q_2, \dots</math> satisfai a relación de recorrencia <math>q_{-1} = 0, q_0 = 1, q_n = q_{n-1} a_n + q_{n-2}</math>, e medra polo menos tan rápido como a [[Sucesión de Fibonacci|secuencia de Fibonacci]], que medra como <math>O(\varphi^n)</math> onde <math>\varphi= 1.618\dots</math> é a [[Número áureo|proporción áurea]].

<blockquote>'''Teorema 4.''' Cada converxente está máis próximo do seguinte  converxente que calquera converxente precedente.</blockquote>

<blockquote>'''Teorema 5.'''

: <math>\frac{1}{\ q_n\ (q_{n+1} + q_n)\ } < \left|\ x - \frac{ p_n }{\ q_n\ }\ \right| < \frac{1}{\ q_n\ q_{n+1}\ } ~.</math>
</blockquote>

'''Corolario 1:''' un converxente está máis preto do límite da fracción continua que calquera fracción cuxo denominador sexa menor que o do converxente.

'''Corolario 2:''' un  converxente obtido terminando a fracción continua xusto antes dun coeficiente grande é unha aproximación moi preto ao límite da fracción continua.

<blockquote>'''Teorema 6:''' Considere o conxunto de todos os intervalos abertos con puntos finais <math>[0;a_1, \dots, a_n], [0;a_1, \dots, a_n+1]</math>. Denotámolo como <math>\mathcal C</math>. Calquera subconxunto aberto de <math>[0, 1] \setminus \Q</math> é unha unión disxunta de conxuntos de <math>\mathcal C</math>.</blockquote>
'''Corolario 1:''' a fracción continua infinita proporciona un homeomorfismo desde o espazo de Baire ata <math>[0, 1] \setminus \Q</math>.

== Semiconverxentes ==
Se 
<math> \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}},\frac{p_n}{q_n} </math> son converxentes consecutivos

daquela calquera fracción da forma
<math> \frac{p_{n-1} + m p_n}{q_{n-1} + m q_n},</math> onde <math>m</math> é un número enteiro tal que <math>0\leq m\leq a_{n+1}</math>, chámanse ''semiconverxentes'', ''converxentes secundarios'' ou ''fraccións intermedias''. 

=== Mellor racional dentro dun intervalo ===
Un racional que cae dentro do intervalo ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}), para {{math|0 < {{mvar|x}} < {{mvar|y}}}}, pode atoparse coas fraccións continuas de {{mvar|x}} e {{mvar|y}}. Se ambos os dous son irracionais e
:{{math|''x'' {{=}} [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, ..., ''a''{{sub|''k'' − 1}}, ''a''{{sub|''k''}}, ''a''{{sub|''k'' + 1}}, ...]}}
:{{math|''y'' {{=}} [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, ..., ''a''{{sub|''k'' − 1}}, ''b''{{sub|''k''}}, ''b''{{sub|''k'' + 1}}, ...]}}

onde {{Mvar|x}} e {{Mvar|y}} teñen expansións idénticas até {{Math|''a''<sub>''k''−1</sub>}},entón un racional que cae dentro do intervalo ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}) vén dado pola fracción continua finita,
<math>z(x,y) = \left[\ a_0;\ a_1,\ \dots, a_{k-1}, min(a_k, b_k)+1 \right] </math>.

Este racional será mellor no sentido de que ningún outro racional en ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}) terá un numerador ou un denominador menor.

Se {{Mvar|x}} é racional, terá ''dúas'' representacións de fracción continua que son ''finitas'', {{Math|''x''<sub>1</sub>}} e {{Math|''x''<sub>2</sub>}}, e do mesmo xeito un racional&nbsp;{{Mvar|y}} terá dúas representacións, {{Math|''y''<sub>1</sub>}} e {{Math|''y''<sub>2</sub>}}. Os coeficientes máis aló do último en calquera destas representacións deberían interpretarse como {{Math|+∞}}; e o mellor racional será un de entre {{Math|''z''(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}}, {{Math|''z''(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>2</sub>)}}, {{Math|''z''(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}} ou {{Math|''z''(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>)}} .

Por exemplo, a representación decimal 3.1416 pódese redondear a partir de calquera número do intervalo [3.14155, 3.14165). As expansións de 3.14155 e 3.14165 son

: {{Math|3.14155 {{=}} [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] {{=}} [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]}}
: {{Math|3.14165 {{=}} [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] {{=}} [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]}}

e o mellor racional entre estes dous é
{{Sfrac|355|113}}, corresponde ao número decimal aproximado a 3.1416, que é o mellor no sentido de que ningún outro número racional que se redondea a 3.1416 terá un numerador ou un denominador menor.

=== Teorema de Legendre sobre as fraccións continuas ===
No seu ''Essai sur la théorie des nombres'' (1798), [[Adrien-Marie Legendre]] deriva unha condición necesaria e suficiente para que un número racional sexa un converxente da fracción continua dun número real dado. <ref>{{Cita libro|title=Essai sur la théorie des nombres|páxinas=27–29|lingua=fr}}</ref> Unha consecuencia deste criterio, a miúdo chamado '''teorema de Legendre''' dentro do estudo das fraccións continuas, é a seguinte: <ref>{{Cita publicación periódica|title=teorema de Legendre|url=https://www.jstor.org/stable/26273940|volume=6|páxinas=81–94|doi=10.5802/jtnb.106|JSTOR=26273940}}</ref>

'''Teorema'''. Se <math>\alpha</math> é un número real e {{Mvar|p}}, {{Mvar|q}} son enteiros positivos tales que <math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{2q^2}</math>, entón <math>\frac{p}{q}</math> é un converxente da fracción continua de <math>\alpha</math>.

== Comparación ==
Considere {{Math|''x'' {{=}} [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, ...]}} e {{Math|''y'' {{=}} [''b''{{sub|0}}; ''b''{{sub|1}}, ...]}} . Se {{Mvar|k}} é o índice máis pequeno para o cal {{Math|''a''{{sub|''k''}}}} é desigual a {{Math|''b''{{sub|''k''}}}}, entón {{Math|''x'' < ''y''}} se {{Math|(−1){{sup|''k''}}(''a''{{sub|''k''}} − ''b''{{sub|''k''}}) < 0}} e {{Math|''y'' < ''x''}} en caso contrario.

Se non existe tal {{Mvar|k}}, pero unha expansión é máis curta que a outra, digamos {{Math|''x'' {{=}} [''a''{{sub|0}}; ''a''{{sub|1}}, ..., ''a''{{sub|''n''}}]}} e {{Math|''y'' {{=}} [''b''{{sub|0}}; ''b''{{sub|1}}, ..., ''b''{{sub|''n''}}, ''b''{{sub|''n'' + 1}}, ...]}} con {{Math|''a''{{sub|''i''}} {{=}} ''b''{{sub|''i''}}}} para {{Math|0 ≤ ''i'' ≤ ''n''}}, entón {{Math|''x'' < ''y''}} se {{Mvar|n}} é par e {{Math|''y'' < ''x''}} se {{Mvar|n}} é impar.

== Expansión en fracción continua de  <math>\pi</math> e os seus converxentes ==
Para calcular os converxentes de [[Número pi|π]] podemos establecer {{Math|''a''{{sub|0}} {{=}} ⌊<math>\pi</math>⌋ {{=}} 3}}, definir {{Math|''u''{{sub|1}} {{=}} {{sfrac|1|<math>\pi</math> − 3}} ≈ 7.0625}}

: [3;7,15,1,292,1,1,...] {{OEIS|id=A001203}}     .

O cuarto converxente de <math>\pi</math> é [3;7,15,1] ={{Sfrac|355|113}} ... , ás veces chamado Milü, que está bastante preto do verdadeiro valor de  <math>\pi</math>.

== Fracción continua xeneralizada ==
Unha [[fracción continua xeneralizada]] é unha expresión da forma

: <math>x = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cfrac{a_4}{b_4 + \ddots\,}}}}</math>

onde ''a''<sub>''n''</sub> (''n'' &#x3E; 0) son os numeradores parciais, os ''b''<sub>''n''</sub> os denominadores parciais e o termo principal ''b''<sub>0</sub> chámase parte ''enteira'' da fracción continua.

Para ilustrar o uso de fraccións continuas xeneralizadas, considere o seguinte exemplo. A secuencia de denominadores parciais da fracción continua simple de π non mostra ningún patrón obvio:

: <math>\pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\ldots]</math>


No entanto, varias fraccións continuas xeneralizadas para π teñen unha estrutura perfectamente regular, como:

: <math>
\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\cfrac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\ddots}}}}}
=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\ddots}}}}}
</math>

: <math>\displaystyle \pi=2+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{1/2+\cfrac{1}{1/3+\cfrac{1}{1/4+\ddots}}}}=2+\cfrac{2}{1+\cfrac{1\cdot2}{1+\cfrac{2\cdot3}{1+\cfrac{3\cdot4}{1+\ddots}}}}</math>

: <math> \displaystyle \pi=2+\cfrac{4}{3+\cfrac{1\cdot3}{4+\cfrac{3\cdot5}{4+\cfrac{5\cdot7}{4+\ddots}}}}</math>

Os dous primeiros son casos especiais da función [[Funcións trigonométricas inversas|arctanxente]] con π = 4 arctan(1) e o terceiro pódese derivar usando o produto de Wallis . {{Sfn|Bunder|Tonien|2017}} {{Sfn|Scheinerman|Pickett|Coleman|2008}}

: <math>
\pi=3+\cfrac{1}{6+\cfrac{1^3+2^3}{6\cdot1^2+1^2\cfrac{1^3+2^3+3^3+4^3}{6\cdot2^2+2^2\cfrac{1^3+2^3 +3^3+4^3+5^3+6^3}{6\cdot3^2+3^2\cfrac{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3}{6\cdot4^2+\ddots}}}}}
</math>

A fracción continua de <math>\pi</math> arriba usa a serie Nilakantha e unha idea de Leonhard Euler. {{Sfn|Foster|2015}}

== Outras expansións de fraccións continuas ==

=== Fraccións continuas periódicas ===
Os números con expansión periódica de fraccións continuas son precisamente as solucións irracionais das [[Ecuación de segundo grao|ecuacións cadráticas]] con coeficientes racionais. Os exemplos máis sinxelos son a [[Número áureo|razón áurea]] <math>\varphi</math> = [1;1,1,1,1,1,...] e {{sqrt|2}} = [1;2,2,2,2,...], mentres que outros exemplos teñen un período maior, {{sqrt|14}} = [3;1,2,1,6,1,2,1,6...] e {{sqrt|42}} = [6;2,12,2,12,2,12...]. Todas as raíces cadradas irracionais de números enteiros teñen como período unha cadea simétrica e despois seguida do duplo do enteiro principal; por exemplo a cadea baleira (para {{sqrt|2}}) seguida dun 2 (duplo de 1) ou a cadea (1,2,1) (para {{sqrt|14}}) seguida dun 6 (duplo de 3).

=== Propiedade da proporción áurea φ ===
Debido a que a expansión en fracción continua para [[Número áureo|φ]]  = <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>non usa ningún número enteiro maior que 1, φ é o números máis distante a un número racional. O teorema de Hurwitz {{Sfn|Hardy|Wright|2008}} afirma que calquera número irracional {{Mvar|k}} pode ser aproximado por infinitos racionais{{Sfrac|''m''|''n''}} con

: <math>\left| k - {m \over n}\right| < {1 \over n^2 \sqrt 5}.</math>

Tamén se pode demostrar que cada número real da forma {{Sfrac|''a'' + ''b''φ|''c'' + ''d''φ}}, onde {{Mvar|a}}, {{Mvar|b}}, {{Mvar|c}} e {{Mvar|d}} son números enteiros tales que {{Math|1=''a'' ''d'' − ''b'' ''c'' = ±1}}, comparte esta propiedade coa proporción áurea φ; e que todos os demais números reais poden aproximarse mellor.

=== Patróns regulares en fraccións continuas ===
Aínda que non hai un patrón discernible na expansión de fracción continua simple de π, hai un para {{Math|''e''}}, a [[Número e|base do logaritmo natural]] :

: <math>e = e^1 = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, \dots],</math>

que é un caso especial desta expresión xeral para o número enteiro positivo {{Mvar|n}}:

: <math>e^{1/n} = [1; n-1, 1, 1, 3n-1, 1, 1, 5n-1, 1, 1, 7n-1, 1, 1, \dots] \,\!.</math>

Outras fraccións continuas deste tipo son

: <math>\tanh(1/n) = [0; n, 3n, 5n, 7n, 9n, 11n, 13n, 15n, 17n, 19n, \dots] </math>

onde {{Mvar|n}} é un número enteiro positivo. 

Tamén, con {{Mvar|n}} enteiro temos:

: <math>\tan(1/n) = [0; n-1, 1, 3n-2, 1, 5n-2, 1, 7n-2, 1, 9n-2, 1, \dots]\,\!,</math>

cun caso especial para {{Math|1=''n'' = 1}} :

: <math>\tan(1) = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, 17, 1, 19, 1, \dots]\,\!.</math>

Se {{Math|''I''<sub>''n''</sub>(''x'')}} é a función de Bessel modificada, ou hiperbólica, do primeiro tipo, podemos definir unha función sobre os racionais {{Sfrac|''p''|''q''}} por

: <math>S(p/q) = \frac{I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)},</math>

que se define para todos os números racionais, con {{Mvar|p}} e {{Mvar|q}} nos termos máis baixos. Daquela, para todos os racionais non negativos, temos

: <math>S(p/q) = [p+q; p+2q, p+3q, p+4q, \dots],</math>

en particular temos

: <math>S(0) = S(0/1) = [1; 2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots].</math>

Moitas das fórmulas pódense probar usando a fracción continua de Gauss.

=== Comportamento dos coeficientes ===
A maioría dos números irracionais non teñen ningún comportamento periódico ou regular na súa expansión continua de fraccións. Non obstante, para case todos os números do intervalo unitario, teñen o mesmo comportamento límite.

A media aritmética diverxe: <math>\lim_{n\to\infty}\frac 1n \sum_{k=1}^n a_k = +\infty</math>, e así os coeficientes medran arbitrariamente: <math>\limsup_n a_n = +\infty</math> . En particular, isto implica que case todos os números son ben aproximables, no sentido de que<math display="block">\liminf_{n\to\infty} \left|
x - \frac{p_n}{q_n}
\right| q_n^2 = 0</math>Khinchin demostrou que a [[media xeométrica]] de {{Math|''a''<sub>''i''</sub>}} tende a unha constante (coñecida como [[constante de Khinchin]] ):<math display="block">\lim_{n \rightarrow \infty } \left( a_1 a_2 ... a_n \right) ^{1/n} = 
K_0 = 2.6854520010\dots</math>Paul Lévy demostrou que a raíz {{Mvar|n}}-ésima do denominador do {{Mvar|n}}-ésimo converxente converxe á constante de Lévy.<math display="block">\lim_{n \rightarrow \infty } q_n^{1/n} = 
e^{\pi^2/(12\ln2)} = 3.2758\ldots</math>O teorema de Lochs afirma que os converxentes converxen exponencialmente a razón de<math display="block">\lim_{n\to\infty}\frac 1n \ln\left|
x - \frac{p_n}{q_n}
\right| = -\frac{\pi^2}{6\ln 2} </math>

== Aplicacións ==

=== Raíces cadradas ===
As fraccións continuas xeneralizadas utilízanse nun método para calcular raíces cadradas.

A identidade{{Bloque numerado|:|<math>\sqrt{x} = 1+\frac{x-1}{1+\sqrt{x}}</math>|{{EquationRef|1}}}}leva por recursividade á fracción continua xeneralizada para calquera raíz cadrada: {{Sfn|Thurston|2012}}{{Bloque numerado|:|<math>\sqrt{x}=1+\cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2+{\ddots}}}}</math>|{{EquationRef|2}}}}

=== Ecuación de Pell ===
As fraccións continuas xogan un papel esencial na solución da [[ecuación de Pell]]. Por exemplo, para os enteiros positivos {{Mvar|p}} e {{Mvar|q}}, e {{Mvar|n}} non cadrado, é certo que se {{Math|1=''p''<sup>2</sup> − ''nq''<sup>2</sup> = ±1}}, entón p/q é un converxente da fracción continua regular para <math>\sqrt{n}</math>. O recíproco vale se o período da fracción continua regular para <math>\sqrt{n}</math> é 1 e, en xeral, o período describe que converxentes dan solución á ecuación de Pell.

=== Sistemas dinámicos ===
As fraccións continuas tamén xogan un papel no estudo dos [[Sistema dinámico|sistemas dinámicos]], onde vinculan as fraccións de Farey que se ven no [[conxunto de Mandelbrot]] coa función de signo de interrogación de Minkowski e o grupo modular Gamma.

O operador de desprazamento cara atrás para fraccións continuas é o mapa {{Math|''h''(''x'') {{=}} 1/{{mvar|x}} − ⌊1/{{mvar|x}}⌋}} chamado '''mapa de Gauss''', que corta os díxitos dunha expansión en fracción continua: {{Math|''h''([0; ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, ''a''{{sub|3}}, ...]) {{=}} [0; ''a''{{sub|2}}, ''a''{{sub|3}}, ...]}} . O operador de transferencia deste mapa chámase operador de Gauss–Kuzmin–Wirsing. A distribución dos díxitos en fraccións continuas vén dada polo [[Valor propio, vector propio e espazo propio|vector propio]] cero deste operador, e chámase distribución de Gauss–Kuzmin.

=== Valores propios e vectores propios ===
O algoritmo de Lanczos usa unha expansión en  fracción continua para aproximar de forma iterativa os [[Valor propio, vector propio e espazo propio|eigenvalores e os eigenvectores]] cando temos unha matriz dispersa grande. {{Sfn|Martin|2004|p=557}}

=== Aplicacións de rede ===
As fraccións continuas tamén se utilizaron para modelar problemas de optimización para a virtualización de redes sen fíos para atopar unha ruta entre unha fonte e un destino. {{Sfn|Afifi|Auroux|Karl|2018}}

== Exemplos de números racionais e irracionais ==
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!Número
!''r''
!0
!1
!2
!3
!4
!5
!6
!7
!8
!9
!10
|-
|- style="font-weight:bold;"
| rowspan="2" |123
!''a<sub>r</sub>''
|123
|-
!''ra''
|123
|-
|- style="font-weight:bold;"
| rowspan="2" |12.3
!''a<sub>r</sub>''
|12
|3
|3
|-
!''ra''
|12
|{{Sfrac|37|3}}
|{{Sfrac|123|10}}
|-
|- style="font-weight:bold;"
| rowspan="2" |1.23
!''a<sub>r</sub>''
|1
|4
|2
|1
|7
|-
!''ra''
|1
|{{Sfrac|5|4}}
|{{Sfrac|11|9}}
|{{Sfrac|16|13}}
|{{Sfrac|123|100}}
|-
|- style="font-weight:bold;"
| rowspan="2" |0.123
!''a<sub>r</sub>''
|0
|8
|7
|1
|2
|5
|-
!''ra''
|0
|{{Sfrac|1|8}}
|{{Sfrac|7|57}}
|{{Sfrac|8|65}}
|{{Sfrac|23|187}}
|{{Sfrac|123|1&thinsp;000}}
|-
|- style="font-weight:bold;"
| rowspan="2" |''Φ'' =<br /><br /> <math>\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>
!''a<sub>r</sub>''
|1
|1
|1
|1
|1
|1
|1
|1
|1
|1
|1
|-
!''ra''
|1
|2
|{{Sfrac|3|2}}
|{{Sfrac|5|3}}
|{{Sfrac|8|5}}
|{{Sfrac|13|8}}
|{{Sfrac|21|13}}
|{{Sfrac|34|21}}
|{{Sfrac|55|34}}
|{{Sfrac|89|55}}
|{{Sfrac|144|89}}
|-
|- style="font-weight:bold;"
| rowspan="2" | -''Φ'' =<br /><br /> <math>-\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>
!''a<sub>r</sub>''
| -2
|2
|1
|1
|1
|1
|1
|1
|1
|1
|1
|-
!''ra''
| -2
| -{{Sfrac|3|2}}
| -{{Sfrac|5|3}}
| -{{Sfrac|8|5}}
| -{{Sfrac|13|8}}
| -{{Sfrac|21|13}}
| -{{Sfrac|34|21}}
| -{{Sfrac|55|34}}
| -{{Sfrac|89|55}}
| -{{Sfrac|144|89}}
| -{{Sfrac|233|144}}
|-
|- style="font-weight:bold;"
| rowspan="2" |<math>\sqrt{2}</math>
!''a<sub>r</sub>''
|1
|2
|2
|2
|2
|2
|2
|2
|2
|2
|2
|-
!''ra''
|1
|{{Sfrac|3|2}}
|{{Sfrac|7|5}}
|{{Sfrac|17|12}}
|{{Sfrac|41|29}}
|{{Sfrac|99|70}}
|{{Sfrac|239|169}}
|{{Sfrac|577|408}}
|{{Sfrac|1&thinsp;393|985}}
|{{Sfrac|3&thinsp;363|2&thinsp;378}}
|{{Sfrac|8&thinsp;119|5&thinsp;741}}
|-
|- style="font-weight:bold;"
| rowspan="2" |<math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math>
!''a<sub>r</sub>''
|0
|1
|2
|2
|2
|2
|2
|2
|2
|2
|2
|-
!''ra''
|0
|1
|{{Sfrac|2|3}}
|{{Sfrac|5|7}}
|{{Sfrac|12|17}}
|{{Sfrac|29|41}}
|{{Sfrac|70|99}}
|{{Sfrac|169|239}}
|{{Sfrac|408|577}}
|{{Sfrac|985|1&thinsp;393}}
|{{Sfrac|2&thinsp;378|3&thinsp;363}}
|-
|- style="font-weight:bold;"
| rowspan="2" |<math>\sqrt{3}</math>
!''a<sub>r</sub>''
|1
|1
|2
|1
|2
|1
|2
|1
|2
|1
|2
|-
!''ra''
|1
|2
|{{Sfrac|5|3}}
|{{Sfrac|7|4}}
|{{Sfrac|19|11}}
|{{Sfrac|26|15}}
|{{Sfrac|71|41}}
|{{Sfrac|97|56}}
|{{Sfrac|265|153}}
|{{Sfrac|362|209}}
|{{Sfrac|989|571}}
|-
|- style="font-weight:bold;"
| rowspan="2" |<math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>
!''a<sub>r</sub>''
|0
|1
|1
|2
|1
|2
|1
|2
|1
|2
|1
|-
!''ra''
|0
|1
|{{Sfrac|1|2}}
|{{Sfrac|3|5}}
|{{Sfrac|4|7}}
|{{Sfrac|11|19}}
|{{Sfrac|15|26}}
|{{Sfrac|41|71}}
|{{Sfrac|56|97}}
|{{Sfrac|153|265}}
|{{Sfrac|209|362}}
|-
|- style="font-weight:bold;"
| rowspan="2" |<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
!''a<sub>r</sub>''
|0
|1
|6
|2
|6
|2
|6
|2
|6
|2
|6
|-
!''ra''
|0
|1
|{{Sfrac|6|7}}
|{{Sfrac|13|15}}
|{{Sfrac|84|97}}
|{{Sfrac|181|209}}
|{{Sfrac|1&thinsp;170|1&thinsp;351}}
|{{Sfrac|2&thinsp;521|2&thinsp;911}}
|{{Sfrac|16&thinsp;296|18&thinsp;817}}
|{{Sfrac|35&thinsp;113|40&thinsp;545}}
|{{Sfrac|226&thinsp;974|262&thinsp;087}}
|-
|- style="font-weight:bold;"
| rowspan="2" |<math>\sqrt[3]{2}</math>
!''a<sub>r</sub>''
|1
|3
|1
|5
|1
|1
|4
|1
|1
|8
|1
|-
!''ra''
|1
|{{Sfrac|4|3}}
|{{Sfrac|5|4}}
|{{Sfrac|29|23}}
|{{Sfrac|34|27}}
|{{Sfrac|63|50}}
|{{Sfrac|286|227}}
|{{Sfrac|349|277}}
|{{Sfrac|635|504}}
|{{Sfrac|5&thinsp;429|4&thinsp;309}}
|{{Sfrac|6&thinsp;064|4&thinsp;813}}
|-
|- style="font-weight:bold;"
| rowspan="2" |''e''
!''a<sub>r</sub>''
|2
|1
|2
|1
|1
|4
|1
|1
|6
|1
|1
|-
!''ra''
|2
|3
|{{Sfrac|8|3}}
|{{Sfrac|11|4}}
|{{Sfrac|19|7}}
|{{Sfrac|87|32}}
|{{Sfrac|106|39}}
|{{Sfrac|193|71}}
|{{Sfrac|1&thinsp;264|465}}
|{{Sfrac|1&thinsp;457|536}}
|{{Sfrac|2&thinsp;721|1&thinsp;001}}
|-
|- style="font-weight:bold;"
| rowspan="2" |''&#x3C0;''
!''a<sub>r</sub>''
|3
|7
|15
|1
|292
|1
|1
|1
|2
|1
|3
|-
!''ra''
|3
|{{Sfrac|22|7}}
|{{Sfrac|333|106}}
|{{Sfrac|355|113}}
|{{Sfrac|103&thinsp;993|33&thinsp;102}}
|{{Sfrac|104&thinsp;348|33&thinsp;215}}
|{{Sfrac|208&thinsp;341|66&thinsp;317}}
|{{Sfrac|312&thinsp;689|99&thinsp;532}}
|{{Sfrac|833&thinsp;719|265&thinsp;381}}
|{{Sfrac|1&thinsp;146&thinsp;408|364&thinsp;913}}
|{{Sfrac|4&thinsp;272&thinsp;943|1&thinsp;360&thinsp;120}}
|+
!Número
!''r''
!0
!1
!2
!3
!4
!5
!6
!7
!8
!9
!10
|}
'''ra''' : é o converxente correspndente a ''a<sub>r</sub>''

== Historia ==
* 300 a. C. ''[[Elementos de Euclides|Os Elementos de Euclides]]'' contén un algoritmo para o [[máximo común divisor]], cuxa [[Algoritmo de Euclides|versión moderna]] xera unha fracción continua como a secuencia de cocientes de aplicar o algoritmo de Euclides.
* 499 O ''Aryabhatiya'' contén a solución de ecuacións indeterminadas utilizando fraccións continuas
* 1572 Rafael Bombelli, ''L'Algebra Opera'' - método para a extracción de raíces cadradas que está relacionado con fraccións continuas
* 1613 Pietro Cataldi, ''Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri'' - primeira notación para fraccións continuas
* 1695 John Wallis, ''Opera Mathematica'' - introdución do termo "fracción continua"
* 1737 [[Leonhard Euler]], ''De fractionibus continuis dissertatio'' – Proporcionou o primeiro relato completo  das propiedades das fraccións continuas e incluíu a primeira proba de que o número [[Número e|e]] é irracional. {{Sfn|Sandifer|2006}}
* 1748 Euler, ''Introdución á análise infinita'' . Vol. I, Capítulo 18: demostrou a equivalencia dunha determinada forma de fracción continua e dunha [[Serie (matemáticas)|serie infinita]] xeneralizada, demostrou que todo número racional pode escribirse como unha fracción continua finita e demostrou que a fracción continua dun número irracional é infinita. {{Sfn|Euler|1748}}
* 1761 Johann Lambert – deu a primeira proba da irracionalidade de [[Número pi|π]] usando unha fracción continua para [[Función trigonométrica|tan(x)]] .
* 1768 [[Joseph Louis Lagrange|Joseph-Louis Lagrange]] : proporcionou a solución xeral da ecuación de Pell usando fraccións continuas similares ás de Bombelli.
* 1770 Lagrange – demostrou que os irracionais cadráticos expanden en fraccións continuas periódicas.
* 1813 [[Carl Friedrich Gauss]], ''Werke'', vol. 3, pp.&nbsp;134–138: obtivo unha fracción continua de valores complexos moi xeral mediante unha identidade  que implica a función hiperxeométrica
* 1892 Henri Padé define Padé aproximante
* 1972 Bill Gosper - Primeiros algoritmos exactos para a aritmética de fraccións continuas.

== Notas ==
{{Listaref|30em}}

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
*{{Cita libro
|last1= Afifi
|first1= Haitham
|last2= Auroux
|first2= Sébastien
|last3= Karl
|first3= Holger
|title= 2018 IEEE Wireless Communications and Networking Conference (WCNC)
|chapter= MARVELO: Wireless virtual network embedding for overlay graphs with loops
|date= April 2018
|pages= 1–6
|publisher= IEEE
|doi= 10.1109/WCNC.2018.8377194
|arxiv= 1712.06676
|isbn= 978-1-5386-1734-2
}}
*{{Cita xornal 
|last1= Bunder
|first1= Martin W.
|last2= Tonien
|first2= Joseph
|year=2017 
|title=Closed form expressions for two harmonic continued fractions 
|journal=The Mathematical Gazette
|volume=101
|issue=552
|pages= 439–448 
|url=https://ro.uow.edu.au/cgi/viewcontent.cgi?article=1781&context=eispapers1
|doi=10.1017/mag.2017.125
}}
*{{Cita xornal 
|last1= Chen 
|first1= Chen-Fan 
|last2= Shieh 
|first2= Leang-San 
|year= 1969
|title= Continued fraction inversion by Routh's Algorithm 
|journal= IEEE Trans. Circuit Theory 
|volume= 16 
|number= 2 
|pages= 197–202 
|doi= 10.1109/TCT.1969.1082925 
}}
*{{Cita xornal 
|last= Collins 
|first= Darren C.
|date= 2001
|title= Continued Fractions 
|journal= MIT Undergraduate Journal of Mathematics 
|url= http://www-math.mit.edu/phase2/UJM/vol1/COLLIN~1.PDF 
|archive-url= https://web.archive.org/web/20011120064343/http://www-math.mit.edu/phase2/UJM/vol1/COLLIN~1.PDF 
|archive-date= 2001-11-20
}}
*{{Cita libro
|last1= Cuyt 
|first1= A. 
|last2= Brevik Petersen 
|first2= V. 
|last3= Verdonk 
|first3= B. 
|last4= Waadeland 
|first4= H. 
|last5= Jones 
|first5= W. B. 
|year= 2008 
|title= Handbook of Continued fractions for Special functions 
|publisher= Springer Verlag 
|isbn= 978-1-4020-6948-2
}}

*{{Cita web
|author=Encyclopædia Britannica
|title= Continued fraction – mathematics
|date= 2013
|url= https://www.britannica.com/science/continued-fraction
|access-date= 26 April 2022 |ref={{harvid|Encyclopaedia Britannica|2013}}
}}
*{{Cita web
|last= Euler
|first= Leonhard
|date= 1748
|title=E101 – Introductio in analysin infinitorum, volume 1
|url= https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/101/
|publisher= The Euler Archive
|access-date= 26 April 2022
}}
*{{Cita web
|last= Foster
|first= Tony
|date= 22 June 2015
|url= https://www.theoremoftheday.org/NumberTheory/EulerCF/TotDEulerCF.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20131211085948/http://theoremoftheday.org/NumberTheory/EulerCF/TotDEulerCF.pdf |archive-date=2013-12-11 
|title= Theorem of the Day: Theorem no. 203
|publisher= Robin Whitty
|access-date= 26 April 2022
}}
*{{Cita xornal
|last= Gragg 
|first= William B. 
|year= 1974
|title= Matrix interpretations and applications of the continued fraction algorithm 
|journal= Rocky Mountain J. Math. 
|volume= 4 
|number= 2 
|doi= 10.1216/RMJ-1974-4-2-213 
|page= 213  
}}
*{{Cita libro
|last1= Hardy
|first1= Godfrey H.
|last2= Wright
|first2= Edward M.
|date= December 2008
|date= 1979
|title= An Introduction to the Theory of Numbers
|publisher= Oxford University Press
|edition= 6
|isbn= 9780199219865
}}
*{{Cita xornal
|last= Heilermann 
|first= J. B. H. 
|year= 1846
|title= Ueber die Verwandlung von Reihen in Kettenbrüche 
|journal= Journal für die reine und angewandte Mathematik 
|volume= 33 
|pages= 174–188 
|url= http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=PPN243919689_0033%7Clog13
}}
*{{Cita libro 
|last1= Jones 
|first1= William B. 
|last2= Thron 
|first2= W. J. 
|year= 1980 
|title= Continued Fractions: Analytic Theory and Applications. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 
|publisher= Addison-Wesley Publishing Company 
|location= Reading. Massachusetts 
|volume= 11 
|isbn= 0-201-13510-8 
|url= https://archive.org/details/continuedfractio0000jone 
}}
*{{Cita libro 
|last= Khinchin 
|first= A. Ya. 
|author-link= Aleksandr Khinchin 
|year= 1964 
|title= Continued Fractions 
|url= https://archive.org/details/continuedfractio00khin_0 
|orig-year= Originally published in Russian, 1935 
|publisher= [[University of Chicago Press]] 
|isbn= 0-486-69630-8 
}}
*{{Cita libro 
|last= Khrushchev 
|first= Sergey 
|title=Orthogonal Polynomials and Continued Fractions|year= 2008
|url= https://archive.org/details/orthogonalpolyno0000khru
}}
*{{Cita libro
|last= Long 
|first= Calvin T. 
|date= December 1972
|title= Elementary Introduction to Number Theory 
|url= https://archive.org/details/elementaryintrod0000long_m1z0_2ndedi
|edition= 2nd 
|publisher= [[D. C. Heath and Company]] 
|location= Lexington 
|isbn= 9780669627039 
}}
*{{Cita xornal
|last= Magnus 
|first= Arne 
|year= 1962
|title= Continued fractions associated with the Padé Table 
|journal= Math. Z. 
|volume= 78 
|pages= 361–374 
|doi= 10.1007/BF01195180 
}}
*{{Cita libro
|last=Martin
|first=Richard M.
|date= December 2004
|title= Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods
|url=https://archive.org/details/electronicstruct0000mart
|publisher= Cambridge University Press
|isbn= 9780511805769
|doi= 10.1017/CBO9780511805769
}}
*{{Cita libro
|last1= Niven
|first1= Ivan
|last2= Zuckerman
|first2= Herbert S.
|last3= Montgomery
|first3= Hugh L.
|date= 1991
|title= An introduction to the theory of numbers
|url= https://archive.org/details/introductiontoth0000nive
|edition= Fifth
|location= New York
|publisher= [[John Wiley & Sons|Wiley]]
|isbn= 0-471-62546-9
}}
*{{Cita libro 
|last= Perron 
|first= Oskar 
|author-link= Oskar Perron 
|year= 1950
|title= Die Lehre von den Kettenbrüchen 
|publisher= Chelsea Publishing Company 
|place= New York, NY 
}}
*{{Cita libro
|last1= Pettofrezzo 
|first1= Anthony J. 
|last2= Byrkit 
|first2= Donald R. 
|date= December 1970
|title= Elements of Number Theory 
|url= https://archive.org/details/elementsofnumber0000pett
|publisher= [[Prentice Hall]] 
|location= Englewood Cliffs 
|isbn= 9780132683005 
}}
*{{Cita xornal 
|last = Rieger 
|first = Georg Johann 
|year = 1982 
|title = A new approach to the real numbers (motivated by continued fractions) 
|journal = Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft
|url=https://publikationsserver.tu-braunschweig.de/servlets/MCRFileNodeServlet/dbbs_derivate_00031201/Rieger_A_new_approach_to_the_real_numbers.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20201210192036/https://publikationsserver.tu-braunschweig.de/servlets/MCRFileNodeServlet/dbbs_derivate_00031201/Rieger_A_new_approach_to_the_real_numbers.pdf |archive-date=2020-12-10  
|volume = 33 
|pages = 205–217 
}}
*{{Cita libro 
|last1= Rockett 
|first1= Andrew M. 
|last2= Szüsz 
|first2= Peter
|year= 1992 
|title= Continued Fractions 
|url= https://archive.org/details/continuedfractio0000rock 
|publisher= World Scientific Press 
|isbn= 981-02-1047-7 
}}
*{{Cita libro 
|last= Sandifer 
|first= C. Edward 
|year= 2006 
|title= How Euler Did It
|chapter= Chapter 32: Who proved ''e'' is irrational? 
|publisher= [[Mathematical Association of America]] 
|pages= 185–190 
|isbn= 978-0-88385-563-8 
|lccn= 2007927658
|url= http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2006-02.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20140319071616/http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2006-02.pdf |archive-date=2014-03-19
}}
*{{Cita xornal
|last1= Scheinerman
|first1= Ed
|last2= Pickett
|first2= Thomas J.
|last3= Coleman
|first3= Ann
|year=2008 
|title=Another Continued Fraction for π 
|url= https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2008-12_115_10/page/930
|journal= The American Mathematical Monthly
|volume=115
|issue=10
|pages= 930–933
|doi= 10.1080/00029890.2008.11920610
|jstor= 27642639
}}
*{{Cita libro
|last= Shoemake
|first= Ken
|year= 1995
|editor-last= Paeth
|editor-first= Alan W.
|title= Graphics Gems V (IBM Version)
|chapter=I.4: Rational Approximation
|chapter-url= https://books.google.com/books?id=8CGj9_ZlFKoC&pg=PA25
|pages= 25–31
|publisher=Academic Press
|location=San Diego, California
|isbn= 0-12-543455-3
}}
*{{Cita xornal
|last= Siebeck 
|first= H. 
|year= 1846 
|title= Ueber periodische Kettenbrüche 
|journal= Journal für die reine und angewandte Mathematik 
|volume= 33 
|pages= 68–70 
|url= http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=PPN243919689_0033%7Clog5
}}
*{{Cita xornal 
|last= Thill 
|first=M.
|year=2008 
|title=A more precise rounding algorithm for rational numbers 
|journal=Computing 
|volume=82 
|issue=2–3
|pages=189–198 
|doi=10.1007/s00607-008-0006-7
}}
*{{Cita web
|last=Thurston
|first=Ben
|title= Estimating square roots, generalized continued fraction expression for every square root
|publisher= The Ben Paul Thurston Blog
|date= 2012
|url= http://benpaulthurstonblog.blogspot.com/2012/05/estimating-square-roots.html
|access-date= 26 April 2022
}}
*{{Cita libro 
|last= Wall 
|first= Hubert Stanley
|author-link= Hubert Stanley Wall 
|year= 1948 
|title= Analytic Theory of Continued Fractions 
|url= https://archive.org/details/bwb_T2-CGU-777
|publisher= D. Van Nostrand Company, Inc. 
|isbn= 0-8284-0207-8
}}
*{{Cita web
|last= Weisstein
|first= Eric Wolfgang
|author-link= Eric W. Weisstein
|date= 2022
|title=Periodic Continued Fraction
|editor= MathWorld
|url=https://mathworld.wolfram.com/PeriodicContinuedFraction.html
|access-date= 26 April 2022
}}
=== Outros artigos ===
* [[Fracción exipcia]]
{{Control de autoridades}} 
[[Categoría:Análise matemática]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]