Ver o código fonte de «Factorización»

[[Ficheiro:Factorisatie.svg|dereita|miniatura|O polinomio ''x<sup>2</sup> + cx + d'', on''d''e ''a + b = c'' e ''ab = d'', pode ser factorizado en (''x + a'')(''x + b'').]]
En [[matemáticas]], a '''factorización''' consiste en escribir un número ou outro obxecto matemático como produto de varios ''factores'', normalmente obxectos máis pequenos ou máis sinxelos do mesmo tipo. Por exemplo, {{Math|3 × 5}} é unha factorización do [[Número enteiro|enteiro]] {{Math|15}}, e {{Math|(''x'' – 2)(''x'' + 2)}} é unha factorización do [[polinomio]] {{Math|''x''<sup>2</sup> – 4}}.

A factorización non se adoita considerar en tanto a estar a traballar dentro de sistemas de números que posúen división, como os números [[Número real|reais]] ou [[Número complexo|complexos]], xa que calquera <math>x</math> pode ser trivialmente escrito como <math>(xy)\times(1/y)</math> se <math>y</math> non é [[cero]] ou unha unidade. Con todo, pódense obter factorizacións que teñan un significado claro, por exemplo se se escribe un [[número racional]] ou unha [[función racional]] en termos máis pequenos e separando os factores do numerador e o denominador.

Nas matemáticas da Antiga Grecia, a factorización soamente se consideraba no caso dos enteiros. Daquela probouse o [[teorema fundamental da aritmética]], que afirma que todos os enteiros positivos poden ser descompostos nun produto de números primos, que non poden ser [[factorización de enteiros|factorizados en enteiros]] maiores ca 1. Ademais, esta factorización é única a menos de cambios da orde dos factores. Malia que a factorización de enteiros case semella o contrario á multiplicación, é moito máis difícil algoritmicamente e neste feito baséase o sistema criptográfico RSA para pór en funcionamento unha [[criptografía]] de chave pública.

A factorización de [[polinomio]]s tamén foi estudada ao longo dos séculos. En [[álxebra]] xeral, factorizar un polinomio é reducir o problema de atopar as súas raíces a atopar as raíces dos factores. No caso dos polinomios con coeficientes enteiros ou pertencentes a un [[Corpo (álxebra)|corpo]], estes posúen a propiedade da factorización única, unha versión do teorema fundamental da aritmética na que os polinomios irredutíbeis substituíron os números primos. En particular, un polinomio dunha variable cos coeficientes [[Número complexo|complexos]] admite unha única (sen ter en conta a orde) factorización en [[Polinomio|polinomios lineares]]: isto é unha versión do [[teorema fundamental da álxebra]]. Neste caso, a factorización pode ser feita cos algoritmos de atopar raíces.

Un [[anel conmutativo]] que posúe a propiedade de factorización única é chamado [[dominio de factorización única]]. Malia de existir aneis de enteiros alxébricos que non son un [[dominio de factorización única|dominios de factorización única]], estes satisfán a propiedade máis débil de [[dominio de Dedekind|dominios de Dedekind]]: factorización única de ideais en [[ideal primo|ideais primos]].

O termo ''factorización'' tamén fai referencia a descomposicións máis xerais dun obxecto matemático no produto de obxectos máis pequenos ou máis sinxelos. Por exemplo, cada función pode ser factorizada como unha composición dunha función sobrexectiva cunha función inxectiva. As [[Matriz (matemáticas)|matrices]] posúen moitas clases de [[Descomposición de matrices|factorizacións]]. Por exemplo, cada matriz ten unha única factorización LUP como produto dunha matriz triangular inferior ''L'', con tódalas entradas diagonais iguais a un, unha matriz triangular superior ''U'', e unha matriz permutación ''P'', e esta é unha formulación de matriz de [[eliminación de Gauss]].

== Enteiros ==
{{ap|Factorización de enteiros}}
Polo [[teorema fundamental da aritmética]], todo enteiro maior que 1 ten unha única (a menos cambios da orde) factorización en [[Número primo|números primos]], que son os enteiros que non poden ser factorizados no produto de [[Número enteiro|enteiros]] maiores que 1.

Para calcular a factorización dun enteiro ''n'', precísase dun [[algoritmo]] para atopar un divisor ''q'' de ''n'' ou que ''n'' é primo, e polo tanto non existe ''q''. De atoparen o divisor ''q'', obteríanse dous factores de ''n'', {{Math|''n'' / ''q''}} e ''q'', nos que, ao aplicárenlles este algoritmo repetidamente, conséguese a factorización completa de n.<ref>{{Cita libro|apelido1=Hardy |apelido2= Wright|título= An Introduction to the Theory of Numbers|isbn=978-0198531715|edición=5ª|ano=1980|editor=Oxford Science Publications}}</ref>

Para atopar un divisor ''q'' de ''n'', se ten algún, abonda con probar todos os valores ''q'' tal que {{Math|1 < q}} e {{Math|''q''<sup>2</sup> ≤ ''n''}}. Chega con probar só con estes porque se ''r'' é un divisor de ''n'' tal que {{Math|''r''<sup>2</sup> > ''n''}} , entón {{Math|1=''q'' = ''n'' / ''r''}} é un divisor de ''n'' tal que {{Math|''q''<sup>2</sup> ≤ ''n''}}, e xa tería sido atopado.

Ao procurar divisores en orde crecente, o primeiro divisor que sexa atopado ten que ser necesariamente un número primo, e o ''cofactor'' r = n / q non pode ter ningún divisor menor que ''q''. Para conseguir a factorización completa, abondará con continuar o algoritmo na procura dun divisor de ''r'' que nin é máis pequeno que ''q'', nin é máis grande que <math display="inline">\sqrt{r} </math>.

Non é preciso probar tódolos valores de ''q'' para aplicar o método, pois chega con probar con todos os primos divisores. Mais isto xa precisa dunha táboa de números primos como, por exemplo, a xerada mediante a [[criba de Eratóstenes]]. Como método de factorización fai esencialmente o mesmo traballo que a criba de Eratosthenes, en xeral é máis eficiente de probar como divisor só aqueles números que non é evidente se son primos ou non. Tipicamente, procedendo por probar con 2, 3, 5, e os números maiores a 5, cuxo último díxito é 1, 3, 7, 9 e coa suma dos díxitos non [[divisor|múltiplo]] de 3.

Este método funciona ben para a factorización de números enteiros pequenos, mais é ineficiente para enteiros máis grandes. Por exemplo, [[Pierre de Fermat]] non foi quen de descubrir que o sexto [[número de Fermat]]

: <math>1 + 2^{2^5} = 1 + 2^{32} = 4\,294\,967\,297</math>

non é un número primo. De feito, a aplicación do método anterior precisaría máis de 10 000 divisións, ao ter o número 10 [[Cifra|díxitos]].

Na actualidade coñécense algoritmos de factorización máis eficientes, mais fican relativamente ineficientes ao tentar factorizar un número de 500 díxitos, que é o produto de dous primos escollidos ao chou, incluso cos ordenadores máis potentes. Isto é o que asegura a seguranza do [[RSA|sistema criptográfico RSA]], que é amplamente utilizado para comunicación segura en [[Internet]].

=== Exemplo ===
Farase un exemplo da factorización de {{Math|1=''n'' = 1386}} en primos:

* Comézase dividindo por 2: o número é par, e {{Math|1=''n'' = 2 · 693}}. Continúase con 693, e 2 como primeiro divisor candidato.
*693 é impar (2 non é divisor), mais é un múltiplo de 3: {{Math|1=693 = 3 · 231}} e {{Math|1=''n'' = 2 · 3 · 231}}. Continúase con 231, e 3 como primeiro divisor candidato.
* {{Math|1=231 = 3 · 77}} , é tamén un múltiplo de 3: temos {{Math|1=''n'' = 2 · 3<sup>2</sup> · 77}} , por isto {{Math|1=''n'' = 2 · 3<sup>2</sup> · 77}}. Continúase con 77, e 3 como primeiro divisor candidato.
* 77 non é un múltiplo de 3 porque a suma dos seus díxitos é 14, que non é un múltiplo de 3. Tampouco é un múltiplo de 5, pois o seu último díxito é 7. O próximo divisor a probar é 7. Temos que {{Math|1=77 = 7 · 11}}, e entón {{Math|1=''n'' = 2 · 3<sup>2</sup> · 7 · 11}}. Isto amosa que 7 é primo (cousa fácil de probar directamente). Continúase con 11, e 7 como primeiro divisor candidato.
* Como {{Math|7<sup>2</sup> > 11}}, remata; 11 é primo, e a factorización en primos é {{Math|1=''n'' = 2 · 3<sup>2</sup> · 7 · 11}}.

== Expresións ==
A manipulación de expresións está na base da [[álxebra]], e a factorización é un dos métodos máis importantes. Por exemplo, ao poñer unha [[ecuación]] na forma factorizada {{Math|1=''E''⋅''F'' = 0}}, a resolución do problema divídese nos dous problemas independentes (a miúdo tamén máis sinxelos) {{Math|1=''E'' = 0}} e {{Math|1=''F'' = 0}}. Cando unha expresión pode ser factorizada, os factores son a miúdo moito máis sinxelos e poden ofrecer unha mellor visión do problema. Por exemplo,

: <math>x^3-ax^2-bx^2-cx^2+ abx+acx+bcx-abc</math>

que ten 16 multiplicacións, 4 subtraccións e 3 adicións, pode ser factorizada á expresión

: <math>(x-a)(x-b)(x-c),</math>

que só ten dúas multiplicacións e tres subtraccións. Ademais, a forma factorizada amosa con claridade as [[Raíz dunha función|raíces]] ''x = a,b,c'' do polinomio en ''x'' representado por esta expresión.

Doutra banda, a factorización non é sempre posíbel, ou cando é posíbel, os factores non son sempre máis sinxelos. Por exemplo, <math>x^{997}-1</math>pode ser factorizado en dous factores irredutíbeis: <math>x-1</math> e <math>x^{996}+x^{995}+\cdots+x^2+x+1</math>.

A solución de ecuacións alxébricas pode pensarse como un problema de factorización e, de feito, o [[teorema fundamental da álxebra]] pode ser enunciado cun carácter de factorización: todo polinomio {{Math|''x''}} de grao {{Math|''n''}} cos coeficientes complexos factoriza en {{Math|''n''}} factores lineais <math>x-a_i</math>, para {{Math|1=''i'' = 1, ..., ''n''}}, onde os {{Math|''a''<sub>''i''</sub>}} son as raíces do [[polinomio]].<ref>{{harvnb|Klein|1925|pp=101–102}}</ref> Aínda que a estrutura da factorización é coñecida nestes casos, os {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} xeralmente non se poden calcular en termos de radicais (raíces ''n-''ésimas), polo [[teorema de Abel-Ruffini]]. Na maioría destes casos, o único que se pode facer é calcular unha [[aproximación]] da raíz con algún algoritmo para encontrar raíces.

=== Historia da factorización de expresións ===
O uso sistemático de manipulacións alxébricas para simplificar expresións (máis especificamente [[ecuación]]s) rexístrase até o século IX, co libro ''[[Libro Compendio sobre Cálculo por Restauración e Balanceamento]]'' de [[Al-Khwarizmi]], titulado con dous tipos de manipulación. Con todo, mesmo para solucionar [[ecuación cadrática|ecuacións cadráticas]], a factorización non se utilizou até a publicación en 1631 do traballo de [[Thomas Harriot]], dez anos após a súa morte.<ref>In {{cita libro|nome=Vera|apelido=Sanford|título=A Short History of Mathematics|ano=2008|origyear=1930|editor=Read Books|isbn=9781409727101}}.</ref>

No seu libro ''Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas'', Harriot debuxou, nunha primeira sección, táboas para adición, subtracción, multiplicación e división de monomiais, binomiais, e trinomiais. Entón, nunha segunda sección, montou a ecuación {{Math|1=''aa'' − ''ba'' + ''ca''  = + ''bc''}} , e mostrou que isto emparella a forma da multiplicación, xa proporcionada, sendo a factorización {{Math|(''a'' − ''b'')(''a'' + ''c'')}} .
<ref>[https://books.google.com/books?id=771CAAAAcAAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Harriot, ''Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas'']</ref>

=== Métodos xerais ===
Os métodos que son descritos abaixo aplícanse a calquera expresión que é unha suma, ou ben pode ser transformada nunha suma. Por tanto, acotío son usadas cos [[polinomio]]s, mesmo tamén se poden aplicar cando os termos da suma non son [[monomio]]s, senón que son produto de variábeis e constantes.

==== Factor común ====
No caso de seren produtos todos os termos dunha suma e que algúns factores sexan comúns a tódolos termos, pola [[Distributividade|propiedade distributiva]] pódese factorizar este factor común. Tamén, de haber coeficientes enteiros, pódese sacar fóra o [[máximo común divisor]] destes coeficientes.

Por exemplo,<ref>{{harvnb|Fite|1921|p=19}}</ref>

: <math>6x^3y^2 + 8x^4y^3 - 10x^5y^3 = 2x^3y^2(3 + 4xy -5x^2y),</math>

Xa que <math>2</math>, que é máximo común divisor de <math>6, 8</math> e <math>10</math>, e <math>x^3y^2</math> dividen tódolos termos.
             
==== Agrupación ====
Ás veces, ao agruparmos os termos faise posíbel aplicar outros métodos para factorizar.
Por exemplo, para factorizar

: <math>4x^2+20x+3xy+15y, </math>

pódese remarcar que os dous primeiros termos comparten o factor común {{Math|''x''}} e os dous últimos termos o factor común {{Math|''y''}}. Así

: <math>4x^2+20x+3xy+15y = (4x^2+20x)+(3xy+15) = 4x(x+5) + 3y(x+5)</math>

Entón, agora os dous termos actuais comparten o factor común {{Math|''x'' + 5}}, que leva á factorización

: <math>4x^2+20x+3xy+15y = (x+5)(4x+3y)</math>

En xeral, isto funciona para sumas de 4 termos que foron obtidas como o produto de dous binomiais. A pesar de non ser frecuentemente, este método tamén se pode empregar para exemplos máis complicados.

==== Sumando e restando termos ====
Ás veces, algunha agrupación de termos deixa aparecer unha parte dun padrón recoñecíbel. Entón é útil de engadir termos para completar o padrón, e restarllos para non mudaren o valor da expresión.

Un uso típico disto é o método de "completar cadrados" para conseguir a fórmula de resolución dunha [[ecuación de segundo grao]].

Outro exemplo é a factorización de <math>x^4 + 1</math>. Se consideramos a [[Unidade imaxinaria|raíz cadrada imaxinaria]]  de <math>-1</math>, xeralmente denotada [[Número complexo|como <math>i</math>]], entón tense unha diferenza de cadrados que se pode transformar en suma por diferenza

: <math>x^4+1= (x^2)^2 - (i)^2 = (x^2+i)(x^2-i).</math>

Con todo, pódese tamén querer unha factorización con coeficientes de [[Número real|números reais]]. Sumando e restando <math>2x^2,</math> e agrupando tres termos xuntos, un pode recoñecer o termo dun binomial

: <math>x^4+1 = (x^4+2x^2+1)-2x^2= (x^2+1)^2 - \left(x\sqrt2\right)^2 =\left(x^2+x\sqrt2 +1\right)\left(x^2-x\sqrt2 +1\right).</math>

Coa suma e a resta de <math>2x^2</math> tamén se acada a factorización

: <math>x^4+1=\left(x^2+x\sqrt{-2} -1\right)\left(x^2-x\sqrt{-2} -1\right).</math>

Estas factorizacións non só traballan sobre os números complexos, mais tamén sobre calquera [[Corpo (álxebra)|corpo]] onde <math>1, 2 \text{ ou } -2</math> sexan cadrados. Nun [[corpo finito]], o produto de dous termos non cadrados é un termo cadrado, isto implica que o [[polinomio]] <math>x^4 + 1</math>, que é irredutíbel sobre os enteiros, é reducíbel [[Aritmética modular|módulo]] calquera [[número primo]]. Por exemplo

: <math>x^4 + 1 \equiv (x+1)^4 \pmod 2;</math>
: <math>x^4 + 1 \equiv (x^2+x-1)(x^2-x-1) \pmod 3,\qquad</math>xa que <math>1^2 \equiv -2 \pmod 3;</math>
: <math>x^4 + 1 \equiv (x^2+2)(x^2-2) \pmod 5,\qquad</math> xa que <math>2^2 \equiv -1 \pmod 5;</math>
: <math>x^4 + 1 \equiv (x^2+3x+1)(x^2-3x+1) \pmod 7,\qquad</math> xa que <math>3^2 \equiv 2 \pmod 7.</math>

=== Padróns recoñecíbeis ===
Moitas [[Identidade (matemáticas)|identidades]] proporcionan igualdades entre unha suma e un produto. Os métodos anteriormente descritos poden ser utilizados para illar na expresión a parte da suma, para despois substituíla por un produto.

Nas seguintes identidades, o lado dereito será usado como padrón. Deste xeito, as variábeis <math>E</math> e  <math> e F</math> que aparecen nas identidades poden representar calquera subexpresión da expresión a factorizar.<ref>{{harvnb|Selby|1970|p=101}}</ref>

*; Diferenza de dous cadrados
:: <math> E^2 - F^2 = (E+F)(E-F)</math>
: Por exemplo,
:: <math>\begin{align}
a^2 + 2ab + b^2 - x^2 +2xy - y^2 &= (a^2 + 2ab + b^2) - (x^2 -2xy + y^2) \\
&= (a+b)^2 - (x -y)^2 \\
&= (a+b + x -y)(a+b -x + y).
\end{align} </math>

*; Diferenza/suma de dous cubos

[[Ficheiro:Differenceofcubes.jpg|miniatura|Unha representación visual da factorización dos cubos que utiliza volumes. Para unha suma de cubos, sinxelamente substitúese z=-y.]]

:: <math> E^3 + F^3 = (E + F)(E^2 - EF + F^2)</math>
:: <math> E^3 - F^3 = (E - F)(E^2 + EF + F^2)</math>

*; Diferenza de dúas potencias cuartas

:: <math> E^4 - F^4 = (E^2 + F^2)(E^2 - F^2) = (E^2 + F^2)(E + F)(E - F)</math>

*; Diferenza/suma de dúas potencias n-ésimas

: Nas identidades seguintes, ao factorizar aparecen termos máis longos:
:*; Diferenza, expoñente par
::<math>E^{2n}-F^{2n}= (E^n+F^n)(E^n-F^n)</math>
:*; Diferenza, expoñente par ou impar
::<math> E^n - F^n  = (E-F)(E^{n-1} + E^{n-2}F + E^{n-3}F^2 + \cdots + EF^{n-2}  + F^{n-1} )</math>
:: Isto é un exemplo que amosa que un factor pode ter moitos máis termos que a suma que factoriza.
:*; Suma, expoñente impar
::<math> E^n + F^n  = (E+F)(E^{n-1} - E^{n-2}F + E^{n-3}F^2 - \cdots - EF^{n-2}  + F^{n-1} )</math>
:: (Obtido mudando ''F'' por –''F'' na fórmula anterior)
:*; Suma, expoñente par
:: Se o expoñente é unha potencia de dous, a expresión non se pode factorizar en xeral sen engadir números complexos (de conter E e F [[Número complexo|números complexos]], pode mudar o caso). Se ''n'' ten un divisor impar, que é {{Math|1=''n'' = ''pq''}} con {{Math|1=''p''}} impar, poderíase usar a fórmula do caso de expoñente impar aplicado a <math>(E^q)^p+(F^q)^p.</math>

*; Trinomiais e fórmulas cúbicas
:::<math>
\begin{align}
 &x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy +yz+xz)= (x + y+ z)^2 \\
 &x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)\\
 &x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2(y + z) +3y^2(x+z) + 3z^2(x+y) + 6xyz = (x + y+z)^3 \\
 &x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 + xy+y^2)(x^2 - xy + y^2).
\end{align}
</math>

*; Expansións binomiais

[[Ficheiro:Binomial_theorem_visualisation.svg|miniatura|300x300px|Visualización da expansión binomial até a 4.ª potencia]]

: O [[Binomio de Newton|teorema do binomio]] subministra padróns que facilmente poden ser recoñecidos grazas aos enteiros que aparecen. Con graos pequenos:
::<math> a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2</math>
::<math> a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2</math>
::<math> a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3 </math>
::<math> a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3 </math>
: Máis xeralmente, os coeficientes das formas expandidas de <math>(a+b)^n</math> e <math>(a-b)^n</math>son os coeficientes binomiais que aparecen na ''n''-ésima fileira do [[triángulo de Pascal]].

==== Raíces de unidade ====
As n-ésimas raíces da unidade son os [[Número complexo|números complexos]] tales que son a raíz do polinomio <math>x^n-1</math> e son da forma:

: <math>e^{2ik\pi/n}=\cos \frac{2\pi k}n +i\sin \frac{2\pi k}n</math>

para <math>k=0, \ldots, n-1.</math>

Dedúcese que para dúas expresións calquera ''E'' e ''F'', tense:

: <math>E^n-F^n= (E-F)\prod_{k=1}^{n-1} \left(E-F e^{2ik\pi/n}\right)</math>
:<math>E^{n}+F^{n}=\prod_{k=0}^{n-1} \left(E-F e^{(2k+1)\pi/n}\right) \qquad \text{se } n \text{ é par}</math>
:<math>E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod_{k=1}^{n-1}\left(E+F e^{2ik\pi/n}\right) \qquad \text{se } n \text{ é impar}</math>

Se ''E'' e ''F'' son expresións reais, de querermos factores reais, teríase que substituír cada par de factores complexos conxugados polo seu produto. Como o complexo conxugado <math>e^{i\alpha}</math> é <math>e^{-i\alpha},</math> e <math>\left(a-be^{i\alpha}\right)\left(a-be^{-i\alpha}\right)=
a^2-ab\left(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}\right)+b^2e^{i\alpha}e^{-i\alpha}=
a^2-2ab\cos\,\alpha +b^2, </math> temos a seguintes factorizacións reais (pasamos dunha a outra trocando ''k'' por {{Math|''n'' – ''k''}} ou {{Math|''n'' – ''k'' + 1}}, e aplicando as [[Identidade (matemáticas)|fórmulas trigonométricas]] usuais:

: <math>\begin{align}E^{2n}-F^{2n}&= (E-F)(E+F)\prod_{k=1}^{n-1} \left(E^2-2EF \cos\,\frac{k\pi}n +F^2\right)\\
&=(E-F)(E+F)\prod_{k=1}^{n-1} \left(E^2+2EF \cos\,\frac{k\pi}n +F^2\right)\end{align}</math>
: <math> \begin{align}E^{2n} + F^{2n} &= \prod_{k=1}^n \left(E^2 + 2EF\cos\,\frac{(2k-1)\pi}{2n}+F^2\right)\\
&=\prod_{k=1}^n \left(E^2 - 2EF\cos\,\frac{(2k-1)\pi}{2n}+F^2\right)
\end{align}</math>

O [[Función trigonométrica|coseno]] que aparece nestas factorizacións é un [[número alxébrico]], e pode ser expresado en termos de radicais (isto é posíbel porque o seu [[grupo de Galois]] é cíclico); con todo, estas expresións [[Raíz (matemáticas)|radicais]] son demasiado complicadas para ser utilizadas, excepto valores baixos de ''n''. Por exemplo,

: <math> a^4 + b^4 = (a^2 - \sqrt 2 ab + b^2)(a^2 + \sqrt 2 ab + b^2).</math>
: <math> a^5 - b^5 = (a - b)\left(a^2 + \frac{1-\sqrt 5}2 ab + b^2\right)\left(a^2 +\frac{1+\sqrt 5}2 ab + b^2\right),</math>
:<math> a^5 - b^5 = (a - b)\left(a^2 - \frac{1-\sqrt 5}2 ab + b^2\right)\left(a^2 -\frac{1+\sqrt 5}2 ab + b^2\right),</math>

A miúdo, quérese unha factorización con coeficientes racionais. Tal factorización implica polinomios ciclotómicos. Para expresar factorizacións racionais de sumas e diferenzas ou potencias, precisamos da notación para a homoxeneización dun polinomio: se <math>P(x)=a_0x^n+a_ix^{n-1} +\cdots +a_n,</math> a súa homoxeneización é o [[Polinomio|polinomio bivariante]]

<math>\overline P(x,y)=a_0x^n+a_ix^{n-1}y +\cdots +a_ny^n.</math>          
        
Entón, tense que

: <math>E^n-F^n=\prod_{k\mid n}\overline Q_n(E,F),</math>
:<math>E^n+F^n=\prod_{k\mid 2n,k \not\mid n}\overline Q_n(E,F),</math>

onde os produtos fanse sobre tódolos divisores de ''n'', ou tódolos divisores de {{Math|2''n''}} que non dividen ''n'', e <math>Q_n(x)</math> é o ''n''-ésimo polinomio ciclotómico.

Por exemplo, <blockquote><math>a^6-b^6= \overline Q_1(a,b)\overline Q_2(a,b)\overline Q_3(a,b)\overline Q_6(a,b)=(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2),</math></blockquote><blockquote><math>a^6+b^6=\overline Q_4(a,b)\overline Q_{12}(a,b) = (a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^2),</math></blockquote> posto que os divisores de 6 son 1, 2, 3, 6, e os divisores de 12 que non dividen a 6 son 4 e 12.

== Polinomios ==
Nos polinomios, a factorización vai fortemente ligada co problema de solucionar [[Ecuación|ecuacións alxébricas]]. Unha ecuación alxébrica ten a forma

: <math>P(x)=0,</math>

onde

: <math>P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n,</math>

onde {{Math|''P''(''x'')}} é un polinomio en ''x'', tal que <math>a_0\ne 0.</math>. A solución desta ecuación, ou [[Raíz dunha función|raíz]] do polinomio, é un valor ''r'' de ''x'' tal que

: <math>P(r)=0.</math>

Se

: <math>P(x)=Q(x)R(x)</math>

é unha factorización de ''P'' como produto de dous polinomios, entón as raíces de ''P'' son a unión das raíces de ''Q'' e mais as raíces de ''R''. Así, solucionar ''P'' redúcese aos problemas, máis sinxelos, de solucionar ''Q'' e ''R''.

Inversamente, o [[teorema do factor]] afirma que, se ''r'' é unha raíz de ''P'', entón ''P'' pode ser escrita da forma <blockquote><math>P(x)=(x-r)Q(x),</math></blockquote>onde {{Math|''Q''(''x'')}} é o cociente da [[división euclidiana]] de ''P'' por {{Math|''x'' – ''r''}}.

Se os coeficientes de P son números reais ou complexos, o [[teorema fundamental da álxebra]] afirma que P ten unha raíz [[Número real|real]] ou [[Número complexo|complexa]]. Entón, utilizado co teorema do factor recursivamente, resulta en que

:<math>P(x)=a_0(x-r_1)\cdots (x-r_n),</math>

onde <math>r_1, \ldots, r_n</math> son as raíces, reais ou complexas, de ''P'' e con posíbeis repeticións. Esta factorización completa é única levada a orde dos factores.

De seren reais os coeficientes de ''P'', polo xeral quérese tamén unha factorización onde os factores tivesen coeficientes reais. Neste caso, os factores da factorización completa poden chegar a ter grao dous. Esta factorización pode ser facilmente deducida da factorización completa vista enriba. De feito, se {{Math|1=''r'' = ''a'' + ''ib''}} é unha raíz non real de ''P'', entón o seu conxugado {{Math|1=''s'' = ''a'' - ''ib''}} é tamén unha raíz de ''P'', xa que  <blockquote><math>\begin{align}
\overline{P(x)} &= \overline{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n} = \\
                &= \overline{a_0x^n}+\overline{a_1x^{n-1}}+ \cdots \overline{a_{n-1}x} + \overline{a_n} = \\
                &= a_0\bar{x}^n + a_1\bar{x}^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\bar{x} + a_n = \\
                &= P(\bar{x})
\end{align}</math></blockquote>e entón <blockquote><math>P(r) = 0 \implies P(s) = P(\bar{r}) = \overline{P(r)} = 0</math></blockquote>Polo que o produto<blockquote><math>(x-r)(x-s) = x^2-(r+s)x+rs =x^2+2ax+a^2+b^2</math></blockquote>é un factor de ''P'' de só coeficientes reais. De continuar a facer esta agrupación de factores non reais, chegase finalmente até conseguir unha factorización de factores reais que son polinomios de graos un ou dous.

Para calcular estas factorizacións reais ou complexas, tense que coñecer as raíces do polinomio, malia que, en xeral, non poderán ser calculadas exactamente, e ter que recorrer a valores aproximados dos valores das raíces.

A maioría de ecuacións alxébricas atopadas na práctica son de coeficientes [[Número enteiro|enteiros]] ou [[Número racional|racionais]], e quererase unha expresión en factores da mesma clase. Neste caso, O teorema fundamental da aritmética xeneraliza en que os polinomios con coeficientes enteiros ou racionais teñen a propiedade de factorización única. Máis precisamente, todo polinomio cos coeficientes racionais factoriza nun produto

: <math>P(x)=q\,P_1(x)\cdots P_k(x),</math>

onde ''q'' é un número racional e <math>P_1, \ldots, P_k</math> son polinomios non constantes con coeficientes enteiros que son irredutíbeis e primitivos, isto é, que ningún <math>P_i</math> pode escribirse como produto de dous polinomios (de coeficientes enteiros) que non son nin 1 nin –1 (os enteiros son considerados como polinomios de grao cero). Ademais, esta factorización é única ao non ter en conta a orde dos factores e a multiplicación por –1 dun número par de factores.

Malia da existencia de [[algoritmo]]s eficientes para calcular esta factorización, desafortunadamente, para o cálculo a man son complicados de máis para ser usados. Ademais das heurísticas xerais xa descritas anteriormente, só hai uns cantos métodos dispoñíbeis neste caso, os cales xeralmente traballan só para polinomios de grao baixo e con poucos coeficientes non nulos. O principais métodos son descritos nas próximas subseccións.

=== Factorización primitiva baseada no contido ===
Todo polinomio con coeficientes [[Número racional|racionais]], pode ser factorizado de xeito único como produto dun número racional e un polinomio de coeficientes enteiros, que é primitivo (o [[máximo común divisor]] dos coeficientes é 1) e o seu coeficiente principal (coeficiente do termo do grao máis alto) é positivo. Por exemplo:

: <math>-10x^2 + 5x + 5 = (-5)\cdot (2x^2 - x - 1)</math>
: <math>\frac{1}{3}x^5 + \frac{7}{2} x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{6} ( 2x^5 + 21x^2 + 12x + 6)</math>

Nesta factorización, ao número racional nomease o ''contido'' e ao polinomio primitivo, como a ''parte primitiva''. O cálculo da factorización pode ser feita cos seguintes pasos:

* En primeiro lugar, redúcense tódolos coeficientes a un denominador común, para conseguir o cociente dun polinomio con coeficientes enteiros por un enteiro ''q''.
* Entón sácase como factor común o máximo común divisor ''p'' dos coeficientes deste polinomio para conseguir a parte primitiva, e sendo o contido <math>p/q.</math>
* Finalmente, se se precisa, múdanse os signos de ''p'' e de tódolos coeficientes da parte primitiva.

Esta factorización pode producir un resultado que é máis grande ca do polinomio orixinal (o exemplo típico é se hai moitos denominadores [[Números primos entre si|coprimos]]), mais, mesmo cando isto é o caso, a parte primitiva é xeralmente máis fácil de manipular para factorizacións posteriores.

=== Utilizando o teorema do factor ===
{{Artigo principal|Teorema do factor}} O [[teorema do factor]] expón que, se ''r'' é [[Raíz dunha función|raíz]] dun [[polinomio]]

: <math>P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_0</math>

(o número que cumpre que ''P(r) = 0''), entón hai unha factorización

: <math>P(x)=(x-r)Q(x),</math>

onde

: <math>Q(x)=b_0x^{n-1}+\cdots+b_{n-2}x+b_{n-1},</math>

con <math>a_0=b_0,</math> e <math>b_i=a_0r^i +\cdots+a_{i-1}r+a_i</math> para {{Math|1=''i'' = 1, ..., ''n'' – 1}}

Isto pode ser útil cando se coñece unha raíz do polinomio tanto dunha inspección ou dunha información externa. Para calcular ''Q(x)'', no canto de empregar a fórmula anterior, tamén é posíbel usar a [[regra de Ruffini]].

Por exemplo, para o polinomio <math>x^3 - 3x + 2,</math> un facilmente podería ver que a suma dos seus coeficientes é 0. Por isto, {{Math|1=''r'' = 1}} é unha raíz. Como {{Math|1=''r'' + 0 = 1}}, e <math>r^2 +0r-3=-2,</math> tense que

: <math>x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2).</math>

=== Raíces racionais ===
{{Ver tamén|Teorema das raíces racionais}}
A procura das raíces [[Número racional|racionais]] dun polinomio terá sentido só de traballarmos con polinomios con coeficientes racionais. A factorización primitiva baseada no contido (xa vista) reduce o problema de buscar raíces racionais ao caso de polinomios con coeficientes enteiros tal que o máximo común divisor dos coeficientes é 1,

Se <math>\frac pq</math> é unha raíz racional do polinomio

: <math>P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,</math>

o teorema do factor di que ten unha factorización

: <math>P(x)=(qx-p)Q(x),</math>

onde ámbolos dous factores teñen coeficientes enteiros (que Q teña coeficientes enteiros vén da fórmula do cociente de {{Math|''P''(''x'')}} por <math>x-p/q</math>).

Ao compararmos coeficientes de grao ''n'' e os coeficientes constantes na igualdade de enriba, é claro que, se <math>\frac pq</math> é unha raíz racional en [[Fracción irredutible|forma reducida]], entón ''q'' é divisor de <math>a_0,</math> ''p'' é un divisor de <math>a_n.</math> Por tanto, hai un número finito de posibilidades para ''p'' e ''q'' e poden ser exploradas de forma sistemática.<ref>{{harvnb|Dickson|1922|p=27}}</ref>

Por exemplo, se o polinomio

: <math>2x^3 - 7x^2 + 10x - 6</math>

ten unha raíz racional <math>p/q,</math>entón ''p'' ten que dividir a 6 e ''q'' a 2, por tanto <math>p\in\{\pm 1,\pm 2,\pm3, \pm 6\}, </math> e <math>q\in\{1, 2\}. </math> Ademais, se {{Math|''x'' < 0}}, tódolos termos do polinomio son negativos, implicando que non ten raíces reais negativas. De acordo a todo isto,

: <math>\frac pq \in \{1, 2, 3, 6, \frac 12, \frac 32\}.</math>

o cálculo directo amosa que <math>\frac 32</math> é unha raíz e que non hai outra raíz racional. Aplicar o teorema do factor leva finalmente á factorización

<math>2x^3 - 7x^2 + 10x - 6 = (2x -3)(x^2 -2x + 2).</math>

==== Método AC ====
Ao restrinxir só a polinomios cadráticos, este método pode ser adaptado no denominado ''método ac'' de factorización.<ref>Stover, Christopher [http://mathworld.wolfram.com/ACMethod.html AC Method - Mathworld] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141112231252/http://mathworld.wolfram.com/ACMethod.html |date=2014-11-12 }}</ref>

Sexa o polinomio cadrático <math>ax^2 + bx + c</math> de coeficientes enteiros. Se ten unha raíz racional, o seu denominador ten que dividir {{Math|''a''}}. Por tanto, de escribir a raíz como [[Fracción irredutible|fracción reducíbel]] <math>r_1 = \frac{r}{a}</math>, polas [[fórmulas de Vieta]], a outra raíz é

:<math>r_2 = -\frac ba - r_1 = -\frac ba-\frac ra =-\frac{b+r}a = \frac sa,</math>

con <math>s=-(b+r).</math> Por isto a segunda raíz é tamén racional, e segundo a fórmula de Vieta tense que <math>r_1 r_2=\frac ca</math> dá

: <math>\frac sa\frac ra =\frac ca,</math>

isto é

:<math>rs=ac\quad \text{e}\quad r+s=-b.</math>

Explorando tódolos pares de enteiros cuxo produto é {{Math|''ac''}} conséguense as raíces racionais, se é que existen.

Por exemplo, no caso do polinomio cadrático

<math>
6x^2 + 13x + 6
</math>

A exploración dos factores de {{Math|1=''ac'' = 36}} leva a {{Math|1=4 + 9 = 13 = ''b''}}, obtendo as dúas raíces

:<math>-\frac 46 =-\frac 23 \quad \text{e} \quad -\frac96 = -\frac 32,</math>

e a factorización

: <math>
\begin{align}
6x^2 + 13x + 6 & = 6(x+\frac 23)(x+\frac 32)\\
&= (3x+2)(2x+3).
\end{align}
</math>

=== Utilizando fórmulas para raíces de polinomios ===
Todo polinomio cadrático dunha variábel <math>ax^2+bx+c</math> factorizado utilizando a fórmula cadrática:

: <math>
ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)  = a\left(x - \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \left(x - \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right),
</math>

onde <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> son as dúas [[Raíz dunha función|raíces]] do polinomio.

Se ''a'', ''b'', ''c'' son todos [[Número real|reais]], os factores son reais se e só se o discriminante <math>b^2-4ac</math> é non-negativo. De no ser deste xeito, o polinomio cadrático non factoriza con factores reais non constantes.

A fórmula cadrática é válida cando os coeficientes pertencen a calquera [[corpo]] de [[Característica (álxebra)|característica]] diferente de 2, e, en particular, para coeficientes nun [[Corpo (álxebra)|corpo]] finito cun número impar de elementos.<ref>Nun anel de característica 2, tense que 2=0 que produce que na fórmula haxa unha división entre 0.</ref>

Tamén existen fórmulas para raíces de polinomios de graos 3 e 4, mais son en xeral complicados de máis para uso práctico. O [[teorema de Abel-Ruffini]] demostra que non existen fórmulas xerais para as raíces en termos de radicais para polinomios de grao cinco ou maior.

=== Usando relacións entre raíces ===
Pode ocorrer que un sabe algunha relación entre as raíces dun polinomio e os seus coeficientes. Utilizando este coñecemento pode axudar a factorizar o polinomio e atopar as súas raíces. A [[teoría de Galois]] está baseada nun estudo sistemático das relacións entre raíces e coeficientes, que inclúe as fórmulas de Vieta.

Aquí, considerarase o caso máis sinxelo onde dúas raíces <math>x_1</math>e <math>x_2</math> dun polinomio <math>P(x)</math> satisfán a relación <math>x_2=Q(x_1),</math> onde Q é un polinomio.

Isto implica que <math>x_1</math>é unha raíz común de <math>P(Q(x))</math> e <math>P(x).</math> De aí que, polo tanto, tamén é unha raíz do [[máximo común divisor]] de ámbolos dous polinomios. Entón o máximo común divisor é un factor non constante de <math>P(x)</math> e o [[algoritmo de Euclides]] de polinomios permite calculalo.

Por exemplo,<ref>{{harvnb|Burnside|Panton|1960|p=38}}</ref> se se adiviña que <math>P(x)=x^3 -5x^2 -16x +80</math> ten dúas raíces que suman a cero, pódese aplicar entón o algoritmo de Euclides para <math>P(x)</math> e <math>P(-x).</math> O primeiro paso consiste en sumar <math>P(x)</math> e <math>P(-x),</math> dando o resto de

: <math>-10(x^2-16).</math>

Entón, dividindo <math>P(x)</math> por <math>x^2-16</math> dá cero como novo resto, e {{Math|''x'' – 5}} como cociente, chegando así á factorización completa<blockquote><math>P(x)=x^3 -5x^2 -16x +80 = (x-5)(x-4)(x+4)</math> </blockquote>

== Dominios de factorización única ==
Os [[enteiro]]s e os [[polinomio]]s sobre un [[Corpo (álxebra)|corpo]] comparten a propiedade de factorización única, que consiste en que todo elemento non nulo factoriza nun produto de elementos invertíbeis (unha unidade, ±1 no caso de enteiros) e un produto de elementos irredutíbeis ([[Número primo|números primos]], no caso dos enteiros), e esta factorización é única apenas cambios da orde dos factores. Os [[dominio de integridade|dominios de integridade]] que comparten esta propiedade son chamados [[dominio de factorización única|dominios de factorización única (DFU)]] (UFD en inglés).

O máximo común divisor sempre existe nos DFU e, inversamente, todo dominio de integridade no que o [[máximo común divisor]] existe é un DFU. Todos os dominios de [[ideal principal|ideais principais]] son un DFU.

Un [[dominio euclidiano]] é un dominio de integridade no cal está definida unha división euclidiana, similar a dos enteiros. Todo dominio euclidiano é un dominio de ideais principais e, polo tanto, un DFU.

Nun dominio euclidiano, a división euclidiana permite definir un [[algoritmo de Euclides]] para calcular o máximo común divisor. Con todo, isto non implica a existencia dun algoritmo de factorización
<!-- Precisa de ser completado -->

== Ideais ==
En [[teoría de números alxébricos]], o estudo de [[Ecuación diofantiana|ecuacións diofantianas]] guiou os matemáticos, durante o século XIX, até chegaren a introducir as xeneralizacións dos [[Número enteiro|enteiros]] chamados [[Número enteiro alxébrico|enteiros alxébricos]]. Os primeiros [[Anel de enteiros alxébricos|aneis de enteiros alxébricos]] estudados teñen sido o anel que considera os [[Enteiro de Gauss|enteiros gaussianos]] e o que considera os [[enteiro de Eisenstein|enteiros de Eisenstein]]. Estas dúas clases de enteiros alxébricos comparten cos enteiros tradicionais a propiedade de ser [[Dominio de ideais principais|dominios de ideais principais]], e ter así a [[Dominio de factorización única|propiedade de factorización única]].

Desafortunadamente, axiña se demostrou que a maioría de aneis de enteiros alxébricos non son principais e non teñen factorización única. Deles, o exemplo máis sinxelo é <math>\mathbb Z[\sqrt{-5}],</math> en que                     
: <math>9=3\cdot 3 = (2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}),</math>
e todos estes factores son irredutíbeis.

A carencia de factorización única é unha gran dificultade para solucionar [[ecuación diofantiana|ecuacións diofantianas]]. Por exemplo, moitas probas incorrectas do [[Último Teorema de Fermat]] (probabelmente incluíndo a demostración de [[Pierre de Fermat|Fermat]] de "teño unha proba verdadeiramente marabillosa disto, mais esta marxe é demasiado estreita para contela") foron baseadas na suposición implícita dunha factorización única.

Dedekind resolveu esta dificultade, quen probou que os aneis de enteiros alxébricos teñen unha factorización única de ideais: nestes aneis, todo ideal é un produto de ideais primos, e esta factorización é única levado a orde dos factores. Os dominios de integridade que teñen esta propiedade de factorización única son chamados [[Anel de Dedekind|dominios de Dedekind]]. Teñen moitas propiedades agradábeis que os fan fundamentais en teoría de números alxébricos.

== Matrices ==
{{Artigo principal|Descomposición de matrices}}
Os aneis de matrices son non conmutativos e non teñen unha factorización única: hai, en xeral, moitos xeitos de escribir unha [[Matriz (matemáticas)|matriz]] como produto de matrices. Así, o problema da factorización muda a consistir no problema de atopar factores de certas formas específicas. Por exemplo, a [[descomposición LU]] factoriza unha matriz como o produto dunha [[Triangular inferior|matriz triangular inferior]] e mais unha [[Triangular superior|matriz triangular superior]]. Ás veces non é sempre posíbel, polo que se considera a "descomposición LUP" tendo unha [[matriz permutación]] como o terceiro factor.

Unha [[matriz lóxica]] representa unha [[relación binaria]], e a multiplicación de matrices corresponde á composición de relacións. A descomposición dunha relación factorizándoa serve para percibir mellor a natureza da relación, como no caso dunha relación difuncional.

== Notas ==
{{listaref|30em}}

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===

* {{cita libro|nome1=William Snow|apelidos=Burnside|nome2=Arthur William|apelidos2=Panton|título=The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one)|ano=1960|editor=Dover|editorial=|ISBN=|ref=|ano-orixinal=1912}}
* {{cita libro|nome=Leonard Eugene|apelidos=Dickson|título=First Course in the Theory of Equations|url=https://archive.org/details/firstcourseinthe00dick|year=1922|editor=John Wiley & Sons|place=New York|editorial=|ano=|ISBN=|ref=}}
* {{ cita libro|nome=William Benjamin|apelidos=Fite|título=College Algebra (Revised)|year=1921|editor=D. C. Heath & Co.|place=Boston}}
* {{ cita libro|nome=Felix|apelidos=Klein|authorlink=Felix Klein|título=Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis|year=1925|editor=Dover}}
* {{ cita libro|nome=Samuel M.|apelidos=Selby|título=CRC Standard Mathematical Tables|edición=18|editor=The Chemical Rubber Co.}}
=== Outros artigos ===
* [[Dominio de ideais principais]].
* [[Dominio de factorización única]].
* [[Máximo común divisor]].
* [[Número primo]].
* [[Ideal primo]].
=== Ligazóns externas ===
* [[Wolfram Alpha]] [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Factor%20-2006+%2B+1155+x+-+78+x^2+%2B+x^3] é capaz de realizar factorizacións.

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Aritmética]]
[[Categoría:Álxebra]]