Ver o código fonte de «Esfera»

{{1000 artigos icona título|materia=Matemáticas}}
[[Ficheiro:Sphere-wireframe.png|240px|dereita]]
[[File:Esfera_3D.stl|thumb|Esfera 3D]]
A '''esfera''' é o [[lugar xeométrico]] dos puntos do espazo que teñen unha [[distancia]] constante respecto a outro chamado [[centro (xeometría)|centro]]. Non debe confundirse o valor areal da súa superficie co volumétrico do espazo que pecha. Os dous están en función desa distancia constante chamada [[raio (xeometría)|raio]] (R), pero a medida deste último ten o valor de:

<center><math>V = \frac{4}{3} \pi R^{3} </math></center>

mentres que o valor da súa superficie é:

<center><math>S = 4 \pi R^{2}</math></center>

Podería definirse tamén a '''esfera''' coma un [[poliedro]] de infinitas caras. A importancia desta figura na xeometría levou á creación do sistema de [[coordenadas polares]] en oposición ás tradicionais [[Sistema de coordenadas cartesianas|coordenadas cartesianas]].

==Terminoloxía básica==
[[Ficheiro:Sphere and Ball.png|thumb|upright=1.1|Dous raios ortogonais dunha esfera]]

Como se mencionou anteriormente {{math|''r''}} ou {{math|''R''}} é o raio da esfera; calquera liña dende o centro ata un punto da esfera tamén se chama raio. "Raio" úsase en dous sentidos: como segmento de liña e tamén como lonxitude.<ref name="EB"/>

Se un raio se estende polo centro ata o lado oposto da esfera, crea un [[diámetro]]. Do mesmo xeito que o raio, a lonxitude dun diámetro tamén se denomina diámetro e denótase {{math|''d''}}. Os diámetros son os segmentos de liña máis longos que se poden trazar entre dous puntos da esfera: a súa lonxitude é o duplo do raio, {{math|1=''d'' = 2''r''}}. Dous puntos da esfera conectados por un diámetro son [[puntos antípodas]] un do outro.<ref name="EB" />

Unha [[esfera unitaria]] é unha esfera cun raio unitario ({{math|1=''r'' = 1}}). Por comodidade, a miúdo considérase que as esferas teñen o seu centro na orixe do [[sistema de coordenadas]], e as esferas deste artigo teñen o seu centro na orixe a non ser que se mencione outro centro.

{{áncora|hemisferio}}
Unha ''[[gran circunferencia]]'' na esfera ten o mesmo centro e raio que a esfera, e divídeo en dous '''hemisferios'''   iguais.

Aínda que a [[Terra|figura da Terra]] non é perfectamente esférica, os termos tomados da xeografía son convenientes para aplicar á esfera.
Unha liña particular que pasa polo seu centro define un ''[[Eixe de simetría|eixo]]'' (como no [[eixo de rotación]] da Terra).
A intersección esfera-eixo define dous ''polos'' antípodas (''polo norte'' e ''polo sur''). O gran círculo equidistante aos polos chámase ''[[ecuador]]''. Os grandes círculos que pasan polos polos chámanse liñas de [[lonxitude]] ou [[meridiano|''meridianos'']]. Os círculos pequenos da esfera que son paralelos ao ecuador son [[latitude|círculos de latitude]] (ou ''paralelos''). 

Os matemáticos consideran que unha esfera é unha [[superficie pechada]] [[incrustación|incrustada]] no [[espazo euclidiano]] tridimensional. Estabelecen unha distinción entre unha ''esfera'' e unha ''[[Bóla (matemáticas)|bóla]]'', que é unha [[Variedade (xeometría)|variedade con límite]] tridimensional que inclúe o volume que contén a esfera. Unha ''bóla aberta'' exclúe a esfera en si, mentres que unha ''bóla pechada'' inclúe a esfera: unha bóla pechada é a unión da bóla aberta e a esfera, e unha esfera é o [[Límite (topoloxía)| límite]] dunha bóla (pechada ou aberta). A distinción entre ''bóla'' e ''esfera'' non sempre se mantivo e, sobre todo, as referencias matemáticas máis antigas falan dunha esfera como un sólido. A distinción entre "[[círculo]]" e "[[Disco (matemáticas)|disco]]" no [[Plano (xeometría)|plano]] é semellante.

As pequenas esferas ou bólas chámanse ás veces esférulas.
==Ecuacións==
En [[xeometría analítica]], unha esfera co centro {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>, ''z''<sub>0</sub>)}} e o raio {{mvar|r}} é o [[lugar xeométrico]] de todos os puntos {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} tal que
:<math> (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + (z - z_0 )^2 = r^2.</math>
Dado que se pode expresar como un polinomio cadrático, unha esfera é unha [[superficie cadrática]], un tipo de [[superficie alxébrica]].<ref name="EB">{{Cite EB1911|wstitle=Sphere |volume=25 |pages=647–648 }} </ref>

Sexan {{mvar|a, b, c, d, e}} números reais con {{math|''a'' ≠ 0}} e facemos
: <math>x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.</math>
Así a ecuación
:<math>f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0</math>
non ten puntos reais como solucións se <math>\rho < 0</math> e chámase a ecuación dunha '''esfera imaxinaria'''. Se <math>\rho = 0</math>, a única solución de <math>f(x,y,z) = 0</math> é o punto <math>P_0 = (x_0,y_0,z_0)</math> e dise que a ecuación é a ecuación dunha '''esfera puntual'''. Finalmente, no caso <math>\rho > 0</math>, <math>f(x,y,z) = 0</math> é unha ecuación dunha esfera cuxo centro é <math>P_0</math > e cuxo raio é <math>\sqrt \rho</math>.<ref name=Albert54>{{harvnb|Albert|2016|loc=p. 54}}</ref>

Se {{mvar|a}} na ecuación anterior é cero, entón {{math|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') = 0}} é a ecuación dun plano. Así, pódese pensar que un plano é unha esfera de raio infinito cuxo centro é un [[punto no infinito]].<ref name=Woods266>{{harvnb|Woods|1961|loc=p. 266}}.</ref>

===Paramétricas===
Unha [[ecuación paramétrica]] para a esfera con raio <math>r > 0</math> e centro <math>(x_0,y_0,z_0)</math> pódese parametrizar usando [[función trigonométrica]]s.
:<math>\begin{align}
x &= x_0 + r \sin \theta \; \cos\varphi\\
y &= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi\\
z &= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}</math><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=342}}.</ref>

Os símbolos usados aquí son os mesmos que os usados nas [[coordenadas esféricas]]. Así, {{mvar|r}} é constante, mentres que {{mvar|θ}} varía de 0 a {{mvar|π}} e <math>\varphi</math> varía de 0 a 2{{mvar|π}}.

=== Fórmulas ===

A [[Área|área]] dunha esfera de raio <math>r</math> é:
:<math>A=4\pi r^2</math>.

O [[volume|volume da bóla]] que contén é:
:<math>V=\frac{4\pi r^3}3</math>.

A súa “compacidade”, é dicir, a súa proporción área-volume, é polo tanto:
:<math>C=\frac AV=\frac3r</math>.

O [[momento de inercia]] dunha '''bóla''' homoxénea de raio <math>r</math>, densidade <math>\rho</math> e masa ''M'', con respecto a un eixo que pasa polo seu centro é:

:<math>
I=\frac{2M r^2}{5}=\frac{8 \pi \rho r^5}{15}
</math>.

O momento de inercia dunha '''esfera''' homoxénea de raio <math>r</math> e masa ''M'', en relación a un eixe que pasa polo seu centro é:

:<math>
I=\frac{2Mr^2}{3}=\frac{8 \pi \rho r^5}{9}
</math>.

O elemento de área da esfera de raio <math>r</math> en coordenadas latitude-lonxitude (<math>\lambda</math>-<math>\varphi</math>) é <math> \mathrm d\sigma=r^2\cos\lambda\,\mathrm d\lambda\,d\varphi</math>. Deducimos disto que a área dunha porción limitada por dous semicírculos que unen os polos e forman un ángulo <math>\alpha</math> expresado en [[radián]]s) é <math>2\alpha\,r^2</math>.

Isto tamén permite calcular a área dunha '''[[zona esférica]]''', é dicir, unha porción dunha esfera limitada por dous planos paralelos que cortan a esfera (ou son tanxentes). Atopamos <math>2\pi rh</math> onde <math>h</math> designa a distancia dos dous planos: a área é a mesma que a dun cilindro circular da mesma altura tanxente á esfera (cilindro circunscrito). Este notable resultado é demostrado por [[Arquímedes]] no seu tratado ''[[Sobre a esfera e o cilindro]]''<ref>Obra dixitalizada por Marc Szwajcer, [http://remacle.org/bloodwolf/erudits/ archimede/oeuvresintro.htm Obras de Arquímedes, traducidas literalmente, cun comentario, por F. Peyrard, profesor de Matemáticas e Astronomía en Lycée Bonaparte].</ref>. Segundo [[Cicerón]], Arquímedes pediría que se gravaran na súa tumba unha esfera e o seu cilindro circunscrito, en lembranza deste resultado<ref> Ver por exemplo a [[Enciclopedia ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des profesións científicas|Enciclopedia Diderot]], [[s:Page:Diderot_-_Encyclopedie_1ere_edition_tome_15.djvu/769|Artigo de Siracusa]], en [[Wikisource]].</ref>.

O [[cilindro]] circunscrito por unha esfera dada ten un volume igual a 1.5 veces o volume da esfera.

A esfera ten a menor área entre as superficies que encerran un determinado volume e encerra o maior volume entre as superficies dunha determinada área. É a resposta á pregunta da [[isoperimetría]] para o espazo euclidiano de dimensión 3. Por este motivo, a esfera aparece na natureza, por exemplo as burbullas e as pingas de auga (en ausencia de [[gravidade]]) son esferas, porque a [[tensión superficial]] intenta minimizar a área.
==Rexións==
{{ver tamén|Bóla (matemáticas)#Rexións}}
[[Ficheiro:Esfera celeste.jpg|300px|dereita|Esfera celeste]]
Pódense definir unha serie de rexións especiais para unha bóla:
*''[[casquete esférico|casquete]]'', limitado por un plano.
*''[[sector esférico|sector]]'', limitado por un límite cónico cun ápice no centro da esfera.
*''[[segmento esférico|segmento]]'', limitado por un par de planos paralelos.
*''[[coroa esférica|coroa]]'', limitado por dúas esferas concéntricas de diferentes raios.
*''[[cuña esférica|cuña]]'', limitada por dous planos que pasan polo centro da esfera e pola superficie da esfera.
*Hemisferio
*[[lúa esférica]], área nunha esfera delimitada por dous semicírculos grandes que se atopan en puntos antípodas.
*[[Trigonometría esférica|polígono esférico]], polígono na superficie da esfera

== Notas ==
{{reflist|30em}}
== Véxase tamén ==
{{Commonscat}}

=== Outros artigos ===
* [[Número pi]]

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Esferas| ]]