Ver o código fonte de «Elemento primo»

En [[matemáticas]], especificamente en [[álxebra abstracta]], un '''elemento primo''' dun [[anel conmutativo]] é un obxecto que satisfai certas propiedades similares aos [[Número primo|números primos]] dos [[Número enteiro|enteiros]] e aos [[Polinomio irredutíbel|polinomios]] [[Polinomio irredutíbel|irredutíbeis]]. Débese ter coidado de distinguir os elementos primos dos elementos irreducíbeis, un concepto que é o mesmo nos [[Dominio de factorización única|UFD]] mas non o mesmo en xeral.

== Definición ==
Un elemento {{Mvar|p}} dun anel conmutativo {{Mvar|R}} dise que é '''primo''' se non é o [[elemento cero]] ou unha [[Unidade (teoría dos aneis)|unidade]] e sempre que {{Mvar|p}} [[Divisibilidade (teoría do anel)|divide]] {{Mvar|ab}} para algúns {{Mvar|a}} e {{Mvar|b}} en {{Mvar|R}}, entón {{Mvar|p}} divide {{Mvar|a}} ou {{Mvar|p}} divide {{Mvar|b}}. Con esta definición, [[Lema de Euclides|o lema de Euclides]] é a afirmación de que [[Número primo|os números primos]] son elementos primos no [[anel de enteiros]]. De forma equivalente, un elemento {{Mvar|p}} é primo se, e só se, o [[ideal principal]] {{Math|(''p'')}} xerado por {{Mvar|p}} é un [[Ideal primo|ideal primo]] distinto de cero.<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Hungerford|1980}}</ref> (Teña en conta que nun [[dominio de integridade]], o ideal {{Math|(0)}} é un ideal primo, mais {{Math|0}} é unha excepción na definición de "elemento primo".)

Ser primo está relacionado con en que anel se considera que está un elemento. Por exemplo, 2 é un elemento primo en {{Math|'''Z'''}} mais non está en {{Math|'''Z'''[''i'']}}, o anel dos [[enteiro gaussiano|enteiros gaussianos]], xa que {{Math|1=2 = (1 + ''i'')(1 − ''i'')}} e 2 non divide ningún factor no lado dereito da igualdade.

== Conexión cos ideais primos ==
Un ideal {{Math|''I''}} no anel {{Math|''R''}} (con unidade) é un [[Ideal primo|primo]] se o anel factor {{Math|''R''/''I''}} é un [[dominio de integridade]].

Nun dominio de integridade, un [[ideal principal]] distinto de cero é [[Ideal primo|primo]] se e só se é xerado por un elemento primo.

Un elemento {{Mvar|p}} nun anel {{Math|''R''}} é un elemento primo se xera un ideal primo. Se {{Math|''R''}} é conmutativo, isto equivale a dicir que para todos os <math> a, b \in R</math>, se {{Mvar|p}} divide a {{Mvar|b}},
daquela {{Mvar|p}} divide {{Mvar|a}} ou {{Mvar|p}} divide {{Mvar|b}}.<ref>{{Cita web|title=prime element|publisher=Planet Math|url=https://planetmath.org/primeelement}}</ref>

== Elementos irreducíbeis ==
{{ap|elemento irreducíbel}}
Os elementos primos non deben confundirse cos elementos irreducíbeis. Nun [[dominio de integridade]], todo primo é irreducíbel<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Hungerford|1980}}</ref> mais o recíproco non é certo en xeral. No entanto, en dominios de factorización única, <ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Hungerford|1980}}</ref> ou máis xeralmente en [[dominio GCD|dominios GCD]], os primos e os irreducíbeis son iguais.

== Exemplos ==
Os seguintes son exemplos de elementos primos en aneis:

* Os enteiros {{Math|±2}}, {{Math|±3}}, {{Math|±5}}, {{Math|±7}}, {{Math|±11}}, ... no anel de enteiros {{Math|'''Z'''}}
* os números complexos {{Math|(1 + ''i'')}}, {{Math|19}} e {{Math|(2 + 3''i'')}} no anel de enteiros gaussianos {{Math|'''Z'''[''i'']}}
* os polinomios {{Math|''x''<sup>2</sup> − 2}} e {{Math|''x''<sup>2</sup> + 1}} en {{Math|'''Z'''[''x'']}}, o anel de polinomios sobre {{Math|'''Z'''}} .
* 2 no anel cociente {{Math|'''Z'''/6'''Z'''}}
* {{Math|''x''<sup>2</sup> + (''x''<sup>2</sup> + ''x'')}} é primo mais non irreducíbel no anel {{Math|'''Q'''[''x'']/(''x''<sup>2</sup> + ''x'')}}
* No anel {{Math|'''Z'''<sup>2</sup>}} de pares de enteiros, {{Math|(1, 0)}} é primo mais non irreducíbel (temos {{Math|1=(1, 0)<sup>2</sup> = (1, 0)}} ).
* No [[Anel de enteiros alxébricos|anel dos enteiros alxébricos]] <math>\mathbf Z[\sqrt{-5}],</math> o elemento {{Math|3}} é irreducíbel mais non primo (pois 3 divide <math>9=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})</math> e 3 non divide ningún factor do lado dereito da igualdade).
== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
*Section III.3 of {{Cita libro
| authorlink=Thomas W. Hungerford
| last=Hungerford
| first=Thomas W.
| title=Algebra
| edition=Reprint of 1974
| year=1980
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| location=New York
| series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
| volume=73
| isbn=978-0-387-90518-1
| mr=0600654
}}
*{{cita libro   |author=[[Nathan Jacobson|Jacobson, Nathan]]   |title=Basic algebra. II   |edition=2   |publisher=W. H. Freeman and Company   |place=New York   |year=1989   |pages=xviii+686   |isbn=0-7167-1933-9   |mr=1009787}}
*{{cita libro   |author=[[Irving Kaplansky|Kaplansky, Irving]]   |title=Commutative rings   |publisher=Allyn and Bacon Inc.   |place=Boston, Mass.   |year=1970   |pages=x+180   |mr=0254021 }}
=== Outros artigos ===
* [[Ideal primo]].
* [[Anel (álxebra)]].
=== Ligazóns externas ===
* [https://mathworld.wolfram.com/PrimeElement.html Prime element MathWorld].
* [https://planetmath.org/primeelement  Prime element PlanetMath].

{{control de autoridades}}

[[Categoría:Teoría de aneis]]