Ver o código fonte de «Dominio de ideais principais»

En [[matemáticas]], un '''dominio de ideais principais''', ou '''PID''', é un [[dominio de integridade]] (é dicir, un [[anel conmutativo]] sen [[Divisor de cero|divisores de cero]] distintos de cero) no que todo [[Ideal (teoría dos aneis)|ideal]] é [[Ideal principal|principal]] (é dicir, está formado polos múltiplos dun só elemento). Algúns autores como [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] fan referencia aos PID como '''aneis principais'''.

Os dominios de ideais principais son obxectos matemáticos que se comportan como os [[Número enteiro|números enteiros]], en relación á [[Dominio de integridade|divisibilidade]]: calquera elemento dun PID ten unha factorización única en [[Elemento primo|elementos primos]] (polo que cumpren con un análogo do [[teorema fundamental da aritmética]]); dous elementos calquera dun PID teñen un [[máximo común divisor]] (aínda que quizais non sexa posíbel atopalo usando o [[Algoritmo de Euclides|algoritmo euclidiano]]). Se {{Math|''x''}} e {{Math|''y''}} son elementos dun PID sen divisores comúns, entón cada elemento do PID pode escribirse na forma {{Math|''ax'' + ''by''}}, etc.

Os dominios de ideais principais son [[Anel Noetheriano|noetherianos]], son [[Dominio de integridade pechado|dominios de integridade pechados]], son [[Dominio de factorización única|dominios de factorización única]] e [[Dominio de Dedekind|dominios de Dedekind]]. Todos [[Dominio euclidiano|os dominios euclidianos]] e todos [[Corpo (álxebra)|os corpos]] son dominios de ideais principais.

Os dominios de ideais principais aparecen na seguinte cadea de inclusións de clases:{{Commutative ring classes}}

== Exemplos ==

* <math>K</math>: calquera [[Corpo (álxebra)|corpo]],
* <math>\mathbb{Z}</math> : o [[Anel (álxebra)|anel]] de [[Número enteiro|enteiros]],
* <math>K[x]</math>: [[Anel de polinomios|aneis de polinomios]] nunha variábel con coeficientes nun corpo. (O contrario tamén é certo, é dicir, se <math>A[x]</math> é un PID entón <math>A</math> é un corpo). A maiores, un [[Serie formal de potencias|anel de serie de potencias formais]] nunha variábel sobre un corpo é un PID xa que cada ideal é da forma <math>(x^k)</math> ,
* <math>\mathbb{Z}[i]</math>: o anel de [[Enteiro de Gauss|enteiros gaussianos]], 
* <math>\mathbb{Z}[\omega]</math> (onde <math>\omega</math> é unha [[raíz cúbica]] primitiva de 1): os [[enteiros de Eisenstein]],
* Calquera [[anel de valoración discreta]], por exemplo o anel de [[Número p-ádico|enteiros {{Mvar|p}}-ádicos]] <math>\mathbb{Z}_p</math>.

=== Non exemplos ===

* <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]</math> é un exemplo de anel que non é un [[dominio de factorización única]], xa que <math>4 = 2\cdot 2 = (1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3}).</math> Polo tanto, non é un dominio de ideais principais porque os dominios de ideais principais son dominios de factorización única. Alén diso, <math>\langle 2, 1+\sqrt{-3} \rangle</math> é un ideal que non pode ser xerado por un só elemento.
* <math>\mathbb{Z}[x]</math>: o anel de todos os polinomios con coeficientes enteiros. Non é principal porque <math>\langle 2, x \rangle</math> é un ideal que non pode ser xerado por un só polinomio.
* <math>K[x, y, \ldots],</math> o anel de polinomios en polo menos dúas variábeis sobre un anel {{Mvar|K}} non é principal, xa que o ideal <math>\langle x, y \rangle</math> non é principal.
* A maioría [[Anel de enteiros alxébricos|dos aneis de enteiros alxébricos]] non son dominios de ideais principais. Esta é unha das principais motivacións detrás da definición de Dedekind dos [[Dominio de Dedekind|dominios de Dedekind]], que permite substituír [[Dominio de factorización única|a factorización única]] de elementos por unha factorización única de ideais. En particular, moitos <math>\mathbb{Z}[\zeta_p],</math> para a [[Raíz da unidade|raíz p-ésimo primitiva da unidade]] <math>\zeta_p,</math> non son dominios de ideais principais.<ref>{{Cita web|first = James|last=Milne|authorlink = James Milne (mathematician)|title=Algebraic Number Theory|url=https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ANT301.pdf|pages=5}}</ref> O [[número de clase]] dun anel de enteiros alxébricos dá unha medida de "a que distancia" está o anel de ser un dominio de ideais principais.

== Módulos ==
O resultado clave é o teorema da estrutura: se ''R'' é un dominio de ideais principais e ''M'' é un módulo ''R'' finitamente xerado, entón <math>M</math> é unha suma directa de módulos cíclicos, é dicir, módulos cun xerador. Os módulos cíclicos son isomorfos a <math>R/xR</math> para algún <math>x\in R</math>  (nótese que <math>x</math> pode ser igual a <math>0</math>, nese caso <math>R/xR</math> é <math>R</math>).

Se ''M'' é un [[módulo libre]] sobre un dominio de ideais principais ''R'', daquela cada submódulo de ''M'' é de novo libre. Isto non se cumpre para módulos sobre aneis arbitrarios, como mostra o exemplo <math>(2,X) \subseteq \mathbb{Z}[X]</math> de módulos sobre <math>\mathbb{Z}[X]</math>.

== Propiedades ==
Nun dominio de ideais principais, dous elementos calquera {{Math|''a'',''b''}} teñen un [[máximo común divisor]], que se pode obter como xerador do ideal {{Math|(''a'', ''b'')}} .

Todos [[Dominio euclidiano|os dominios euclidianos]] son dominios de ideais principais, mais a inversa non é verdade. Un exemplo dun dominio de ideais principais que non é un dominio euclidiano é o anel <math>\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}} 2\right]</math>,<ref>Wilson, Jack C. "A Principal Ring that is Not a Euclidean Ring." [[Math. Mag]] '''46''' (Jan 1973) 34-38 [https://www.jstor.org/stable/2688577]</ref><ref>George Bergman, ''A principal ideal domain that is not Euclidean - developed as a series of exercises'' [http://math.berkeley.edu/~gbergman/grad.hndts/nonEucPID.ps PostScript file]</ref> isto foi probado por Theodore Motzkin e foi o primeiro caso coñecido.<ref>{{Cita revista |last=Motzkin |first=Th |date=decembro de 1949 |title=The Euclidean algorithm |url=https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society/volume-55/issue-12/The-Euclidean-algorithm/bams/1183514381.full |journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |volume=55 |issue=12 |pages=1142–1146 |doi=10.1090/S0002-9904-1949-09344-8 |issn=0002-9904 }}</ref> Neste dominio non existen {{Mvar|q}} e {{Mvar|r}}, con {{Math|0 ≤ {{!}}''r''{{!}} < 4}}, que consigan a igualdade <math>(1+\sqrt{-19})=(4)q+r</math>, a pesar de que <math>1+\sqrt{-19}</math> e <math>4</math> teñen un máximo común divisor de {{Math|2}}.

Todo dominio de ideais principais é un [[dominio de factorización única]] (UFD). Non se verifica a inversa xa que para calquera UFD {{Math|''K''}}, o anel {{Math|''K''[''X'', ''Y'']}} de polinomios en 2 variábeis é un UFD pero non é un PID. (Para demostrar isto pódese ver o ideal xerado por <math>\left\langle X,Y \right\rangle.</math> Non é o anel completo xa que non contén polinomios de grao 0, pero non pode ser xerado por ningún elemento único.)

# Todo dominio de ideais principal é [[Anel noetheriano|noetheriano]].
# En todos os aneis unitarios, [[Ideal maximal|os ideais maximais]] son [[Ideal primo|primos]]. Nos dominios de ideais principais cúmprese un caso inverso: todo ideal primo distinto de cero é máximal.
# Todos os dominios de ideais principais son [[Dominio de integridade pechado|dominios de integridade pechados]].

As tres afirmacións anteriores dan a definición dun [[dominio de Dedekind]] e, polo tanto, todo dominio de ideais principais é un dominio de Dedekind.

Sexa ''A'' un [[dominio de integridade]], as seguintes afirmacións son equivalentes.

# ''A'' é un PID.
# Todo ideal primo de ''A'' é principal.<ref>{{Cita web|url=http://math.berkeley.edu/~mreyes/oka1.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20100726160025/http://math.berkeley.edu/~mreyes/oka1.pdf|title=T. Y. Lam and Manuel L. Reyes, A Prime Ideal Principle in Commutative Algebra|archive-date=26 xullo 2010|access-date=31 marzo 2023}}</ref>
# ''A'' é un dominio de Dedekind que é un UFD.
# Todo ideal finitamente xerado de ''A'' é principal (é dicir, ''A'' é un [[dominio de Bézout]]) e ''A'' satisfai a condición de cadea ascendente nos ideais principais.
# ''A'' admite unha [[norma de Dedekind–Hasse]].

Calquera [[Dominio euclidiano|norma euclidiana]] é unha norma de Dedekind-Hasse; así,(5) mostra que un dominio euclidiano é un PID. (4) pódese comparar con:

* Un dominio de integridade é un UFD [[se e só se]] é un [[dominio GCD]] (é dicir, un dominio onde cada dous elementos teñen un máximo común divisor) que satisfai a condición de cadea ascendente nos ideais principais.

Un dominio de integridade é un [[dominio de Bézout]] se e só se dous elementos nel teñen un mcd ''que é unha combinación linear dos dous.'' Un dominio de Bézout é, polo tanto, un dominio GCD, e (4) dá outra proba de que un PID é un UFD.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* [[Michiel Hazewinkel]], Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. ''Algebras, rings and modules''. [[Kluwer Academic Publishers]], 2004. {{isbn|1-4020-2690-0}}
* John B. Fraleigh, Victor J. Katz. ''A first course in abstract algebra''. Addison-Wesley Publishing Company. 5 ed., 1967. {{isbn|0-201-53467-3}}
* [[Nathan Jacobson]]. Basic Algebra I. Dover, 2009. {{isbn|978-0-486-47189-1}}
* Paulo Ribenboim. ''Classical theory of algebraic numbers''. Springer, 2001. {{isbn|0-387-95070-2}}

=== Outros artigos ===
* [[Dominio de integridade]].
* [[Algoritmo de Euclides]].
* [[Ideal (teoría dos aneis)]].
=== Ligazóns externas ===
* [http://mathworld.wolfram.com/PrincipalRing.html Principal ring] on [[MathWorld]]

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de aneis]]