Ver o código fonte de «Dominio de factorización única»

En [[matemáticas]], un '''dominio de factorización única''' ('''UFD''' en inglés) (tamén ás veces chamado '''anel factorial''' seguindo a terminoloxía de [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]]) é un [[Anel (álxebra)|anel]] no que se mantén un enunciado análogo ao [[teorema fundamental da aritmética]]. Específicamente, un UFD é un [[Dominio de integridade|dominio de integridade]] (un [[anel conmutativo]] non trivial no que o produto de dous elementos distintos de cero é distinto de cero) no que cada elemento non [[Unidade (teoría dos aneis)|unitario]] distinto de cero pode escribirse como produto de elementos irredutíbeis, de forma única ata orde e unidades.

Exemplos importantes de UFD son os enteiros e os [[Anel polinómico|aneis polinómicos]] nunha ou máis variábeis con coeficientes procedentes dos números enteiros ou dun [[Corpo (álxebra)|corpo]].

Os dominios de factorización únicos aparecen na seguinte cadea de inclusións de clases:{{Commutative ring classes}}

== Definición ==
Formalmente, un dominio de factorización única defínese como un [[dominio de integridade]] ''R'' no que todo elemento ''x'' de ''R'' distinto de cero que non sexa unha unidade pode escribirse como un produto finito de elementos irredutíbeis ''p''<sub>''i''</sub> de ''R'':

: ''x'' = ''p''<sub>1</sub> ''p''<sub>2</sub> ⋅⋅⋅ ''p''<sub>''n''</sub> con {{Nowrap|''n'' &ge; 1}}

e esta representación é única no seguinte sentido: Se ''q''<sub>1</sub>, ... , ''q''<sub>''m''</sub> son elementos irredutíbeis de ''R'' tal que

: ''x'' = ''q''<sub>1</sub> ''q''<sub>2</sub> ⋅⋅⋅ ''q''<sub>''m''</sub> con {{Nowrap|''m'' &ge; 1}} ,

entón {{Nowrap|1=''m'' = ''n''}}, e existe un [[Función bixectiva|mapa bixectivo]] {{Nowrap|''&phi;'' : {{mset|1, ..., ''n''}} → {{mset|1, ..., ''m''}}}} tal que ''p''<sub>''i''</sub> está [[Unidade (teoría dos aneis)|asociado]] a ''q''<sub>''&#x3C6;''(''i'')</sub> para {{Nowrap|''i'' &isin; {{mset|1, ..., ''n''}}}}.

== Exemplos ==
A maioría dos aneis familiares das matemáticas elementais son UFD:

* Todos os [[Dominio de ideais principais|dominios de ideais principais]], polo tanto, todos os [[Dominio euclidiano|dominios euclidianos]], son UFD. En particular, os [[Número enteiro|enteiros]] (ver tamén ''[[Teorema fundamental da aritmética|Teorema Fundamental da aritmética]]''), os [[Enteiro de Gauss|Enteiros gaussianos]] e os [[Enteiro de Eisenstein|Enteiros de Eisenstein]] son UFD.
* Se ''R'' é un UFD, entón tamén o é ''R''[''X''], o [[anel de polinomios]] con coeficientes en ''R.'' A menos que ''R'' sexa un corpo, ''R''[''X''] non é un dominio de ideais principais. Por indución, un anel polinómico en calquera número de variábeis sobre calquera UFD (e en particular sobre un corpo ou sobre os enteiros) é un UFD.
* O anel de [[Serie formal de potencias|serie de potencias formais]]  {{Nowrap|''K''{{brackets|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>}}}} sobre un corpo ''K''  é un UFD. Por outra banda, o anel de series formais de potencias sobre un UFD non precisa ser un UFD, aínda que o UFD sexa [[Anel local|local]]. Por exemplo, se ''R'' é a localización de {{Nowrap|''k''[''x'', ''y'', ''z'']/(''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>3</sup> + ''z''<sup>7</sup>)}} no [[ideal primo]] {{Nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}} entón ''R'' é un anel local que é un UFD, pero o anel formal da serie de potencias ''R''{{Corchetes|''X''}} sobre ''R'' non é un UFD.
* O [[Teorema de Auslander-Buchsbaum]] afirma que todo [[anel local regular]] é un UFD.
* <math>\mathbb{Z}\left[e^{\frac{2 \pi i}{n}}\right]</math> é UN UFD para todos os enteiros {{Nowrap|1 ≤ ''n'' ≤ 22}}, pero non para {{Nowrap|1=''n'' = 23}}.
* Mori demostrou que se a completude dun [[anel de Zariski]] como un [[Anel noetheriano|anel local noetheriano]] é un UFD, entón o anel é un UFD.{{Sfnp|Bourbaki|1972}} O contrario disto non é certo: hai aneis locais de Noether que son UFDs pero cuxas completudes non o son. A cuestión de cando isto ocorre é bastante sutil: por exemplo, para o [[Localización dun anel|localización]] de {{Nowrap|''k''[''x'', ''y'', ''z'']/(''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>3</sup> + ''z''<sup>5</sup>)}} no ideal principal {{Nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}}, tanto o anel local como a súa completude son UFD, mais no exemplo aparentemente similar da localización de {{Nowrap|''k''[''x'', ''y'', ''z'']/(''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>3</sup> + ''z''<sup>7</sup>)}} no ideal principal {{Nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}} o anel local é un UFD mais a súa completude non o é.
* O anel {{Nowrap|''Q''[''x'', ''y'']/(''x''<sup>2</sup> + 2''y''<sup>2</sup> + 1)}} é un UFD, pero o anel en complexos {{Nowrap|''Q''(''i'')[''x'', ''y'']/(''x''<sup>2</sup> + 2''y''<sup>2</sup> + 1)}} non o é. Por outra banda, o anel {{Nowrap|''Q''[''x'', ''y'']/(''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> − 1)}} non é un UFD, mais o anel en complexos {{Nowrap|''Q''(''i'')[''x'', ''y'']/(''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> − 1)}} si que o é.{{Sfnp|Samuel|1964|p=35}} 

=== Non exemplos ===

* O [[anel de enteiros cadráticos]] <math>\mathbb Z[\sqrt{-5}]</math> de todos [[Número complexo|os números complexos]] da forma <math>a+b\sqrt{-5}</math>, onde ''a'' e ''b'' son números enteiros, non é un UFD porque o número 6 factoriza tanto en 2×3 como en <math>\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)</math>. Estas son factorizacións diferentes, porque as únicas unidades deste anel son 1 e &#x2212; 1; así, ningún dos números 2, 3, <math>1+\sqrt{-5}</math>, e <math>1-\sqrt{-5}</math> son [[Unidade (teoría dos aneis)|asociados]]. Non é difícil demostrar que os catro factores tamén son irredutíbeis, aínda que isto non sexa obvio. {{Sfnp|Artin|2011|p=360}} Vexa tamén ''[[Enteiro alxébrico]]'' .
* Para un [[Libre de cadrados|enteiro positivo libre de cadrados]] ''d'', o [[anel de enteiros]] de <math> \mathbb Q[\sqrt{-d}]</math> non será un UFD a menos que ''d'' sexa un [[número de Heegner]].
* O anel das [[Serie formal de potencias|series formais de potencias]] sobre os números complexos é un UFD, mais o subanel das que converxen en todas partes, é dicir, o anel de [[Función enteira|funcións enteiras]] nunha única variábel complexa, non é un UFD, xa que existen funcións enteiras cun número infinito de ceros, e polo tanto unha infinidade de factores irredutíbeis, mentres que unha factorización UFD debe ser finita, por exemplo:
*: <math>\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1-{{z^2}\over{n^2}}\right).</math>

== Propiedades ==
Algúns conceptos definidos para números enteiros pódense xeneralizar a UFD:

* Nos UFD, cada elemento irredutíbel é [[Elemento primo|primo]]. (En calquera dominio de integridade, todo elemento primo é irredutíbel, pero a inversa non sempre se cumpre. Por exemplo, o elemento {{Nowrap|''z'' &isin; ''K''[''x'', ''y'', ''z'']/(''z''<sup>2</sup> − ''xy'')}} é irredutíbel, pero non primo). 
* Dous elementos calquera dunha UFD teñen un [[máximo común divisor]] e un [[mínimo común múltiplo]]. Aquí, un máximo común divisor de ''a'' e ''b'' é un elemento ''d'' que [[Divisor|divide]] tanto ''a'' como ''b'', e tal que todos os outros divisores comúns de ''a'' e ''b'' dividen ''d''. Todos os máximos comúns divisores de ''a'' e ''b'' son [[Dominio de integridade|asociados]].
* Calquera UFD son [[Dominio de integridade pechado|dominios de integridade pechados]]. Noutras palabras, se ''R'' é un UFD con [[corpo cociente]] ''K'', e se un elemento ''k'' en ''K'' é unha [[Raíz dunha función|raíz]] dun [[polinomio mónico]] con [[Coeficiente|coeficientes]] en ''R'', entón ''k'' é un elemento de ''R''.
* Sexa ''S'' un subconxunto multiplicativamente pechado dun UFD ''A''. Entón a [[Localización dun anel|localización]] ''S''<sup>−1</sup>''A'' é un UFD. 

== Condicións equivalentes para que un anel sexa un UFD ==
Un dominio de integridade [[Anel de Noether|de Noether]] é un UFD [[se e só se]] todo [[ideal primo]] de [[Altura (teoría de aneis)|altura]] 1 é principal. A maiores, un [[dominio de Dedekind]] é un UFD se e só se o seu [[Grupo de clases de ideais|grupo de clase de ideais]] é trivial. Neste caso, é de feito un [[dominio de ideais principais]].

En xeral, para un dominio de integridade ''A'', as seguintes condicións son equivalentes:

# ''A'' é un UFD.
# Todo [[ideal primo]] distinto de cero de ''A'' contén un [[elemento primo]].{{Refn|[[Irving Kaplansky|Kaplansky]]}}
# ''A'' satisfai a condición de cadea ascendente nos ideais principais (ACCP), e a [[Localización (teoría de aneis)|localización]] ''S''<sup>&#x2212;1</sup>''A'' é un UFD, onde ''S'' é un subconxunto multiplicativamente pechado de ''A'' xerado por elementos primos (criterio de Nagata).

== Notas ==
{{reflist|30em}} 
== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* {{cita libro | last1=Artin | first1=Michael |authorlink = Michael Artin| title=Algebra | url=https://archive.org/details/algebra0000arti_e8q5_2edi | year=2011 | publisher=Prentice Hall | isbn=978-0-13-241377-0 }}
* {{cita libro | last1=Bourbaki | first1= N. | title=Commutative algebra|year=1972 |publisher=Paris, Hermann; Reading, Mass., Addison-Wesley Pub. Co |isbn=9780201006445 | url=https://archive.org/details/commutativealgeb0000bour}}
* {{cita libro | last=Edwards | first=Harold M. | author-link=Harold Edwards (mathematician)| title=Divisor Theory | url=https://archive.org/details/divisortheory0000edwa | publisher=Birkhäuser | publication-place=Boston | date=1990 | isbn=978-0-8176-3448-3}}
* {{cita libro | last1=Hartley | first1=B. | author-link=Brian Hartley | author2=T.O. Hawkes  | title=Rings, modules and linear algebra | url=https://archive.org/details/ringsmodulesline0000hart | publisher=Chapman and Hall | year=1970 | isbn=0-412-09810-5 }}  Chap. 4.
* {{Lang Algebra|edition=3}} Chapter II.5
* {{cita libro | last=Sharpe | first=David | title=Rings and factorization | url=https://archive.org/details/ringsfactorizati0000shar| publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1987 | isbn=0-521-33718-6 }}
* {{cita libro | last1=Samuel | first1=Pierre | author1-link=Pierre Samuel | editor1-last=Murthy | editor1-first=M. Pavman | title=Lectures on unique factorization domains | url=http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/ | publisher=Tata Institute of Fundamental Research | location=Bombay | series=Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics |mr=0214579 | year=1964 | volume=30}}
* {{cita revista | last1=Samuel | first1=Pierre | author1-link=Pierre Samuel | title=Unique factorization | year=1968 | journal=[[American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly]] | issn=0002-9890 | volume=75 | issue=9 | pages=945–952 | doi=10.2307/2315529| jstor=2315529 }}
* {{cita libro | last=Weintraub | first=Steven H. | title=Factorization: Unique and Otherwise | publisher=A K Peters/CRC Press | publication-place=Wellesley, Mass. | date=2008 | isbn=978-1-56881-241-0}}
=== Outros artigos ===
* [[Factorización]]
* [[Dominio de ideais principais]]
* [[Ideal primo]]
* [[Anel conmutativo]]
=== Ligazóns externas ===
* [https://mathworld.wolfram.com/UniqueFactorizationDomain.html Unique Factorization Domain (MathWorld)]
* [https://proofwiki.org/wiki/UFD_is_GCD_Domain UFD is GCD Domain proofWiki]

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números alxébricos]]
[[Categoría:Teoría de aneis]]