Ver o código fonte de «Divisor»

En [[matemáticas]], un '''divisor''' dun número enteiro <math>n,</math> tamén chamado '''factor''' de <math>n,</math> é un [[número enteiro]] <math>m</math> que se pode multiplicar por algún número enteiro para producir <math>n.</math> {{Sfn|Tanton|2005|p=185}} Neste caso, tamén se di que <math>n</math> é '''[[múltiplo (matemáticas)|múltiplo]]''' de <math>m.</math> Un número enteiro <math>n</math> é '''divisible''' por outro número enteiro <math>m</math> se <math>m</math> é un divisor de <math>n</math>; isto implica que ao dividir <math>n</math> por <math>m</math> non temos un resto.

== Definición ==
Un [[número enteiro]] <math>n</math> é divisible por un número enteiro distinto de cero <math>m</math> se existe un número enteiro <math>k</math> tal que <math>n=km.</math> A nomenclatura habitual é

: <math>m\mid n.</math>

En latex sería "m \mid n".

Isto pódese ler así <math>m</math> divide a <math>n,</math> <math>m</math> é un divisor de <math>n,</math><math>m</math> é un factor de <math>n,</math> ou <math>n</math> é múltiplo de <math>m.</math> Se <math>m</math> non divide a <math>n,</math> daquela a notación é <math>m\not\mid n.</math> {{Sfn|Hardy|Wright|1960|p=1}} {{Sfn|Niven|Zuckerman|Montgomery|1991|p=4}}

Que en latex sería "m \not\mid n".

== Xeral ==
Os divisores poden ser tanto negativos como positivos, aínda que moitas veces o termo está restrinxido a divisores positivos. Por exemplo, hai seis divisores de 4, que son 1, 2, 4, −1, −2 e −4, pero só se mencionarían os positivos (1, 2 e 4).

1, -1, <math>n</math> e <math>-n</math> coñécense como '''divisores triviais''' de <math>n.</math> Un divisor de <math>n</math> que non é un divisor trivial coñécese como un '''divisor non trivial''' (ou divisor estrito {{Refn|{{cite web| url = https://perso.crans.org/cauderlier/org/ITP17_draft.pdf| title = FoCaLiZe and Dedukti to the Rescue for Proof Interoperability by Raphael Cauderlier and Catherine Dubois}}}}). Un número enteiro distinto de cero con polo menos un divisor non trivial coñécese como [[número composto]], mentres que as unidades −1 e 1 e [[Número primo|os números primos]] non teñen divisores non triviais.

Os '''divisores propios''' son todos menos o número en si e o seu negativo, para o exemplo de 4 e tendo en conta só os divisores positivos, o 1 e o 2 son os divisores propios. 

Existen [[Divisibilidade|regras de divisibilidade]] que permiten recoñecer certos divisores dun número a partir dos díxitos do número.

== Exemplos ==

* 7 é un divisor de 42 porque <math>7\times 6=42,</math> así podemos dicir <math>7\mid 42.</math> Tamén se pode dicir que 42 é divisible por 7, 42 é múltiplo de 7, 7 divide 42 ou 7 é un factor de 42.
* Os divisores non triviais de 6 son 2, &#x2212; 2, 3, &#x2212; 3.
* Os divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
* Os divisores positivos propios de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21.
* O [[conxunto]] de todos os divisores positivos de 60, <math>A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},</math> [[conxunto parcialmente ordenado|parcialmente ordenado]] pola divisibilidade, ten o [[diagrama de Hasse]]:

[[Ficheiro:Lattice_of_the_divisibility_of_60;_factors.svg|centro|350x350px]]

== Outras nocións e feitos ==
Algunhas regras elementais:

* Se <math>a \mid b</math>  e  <math>b \mid c,</math> entón <math>a \mid c,</math> é dicir, a divisibilidade é unha [[relación transitiva]].
* Se <math>a \mid b</math>  e  <math>b \mid a,</math> entón <math>a = b</math> ou <math>a = -b.</math>
* Se <math>a \mid b</math>  e  <math>a \mid c,</math> entón cúmprese que  <math> a \mid (b + c)</math>, igual para a resta <math> a \mid (b - c).</math> 

Se <math>a \mid bc,</math> e <math>\gcd(a, b) = 1,</math> entón <math>a \mid c.</math> {{Efn|<math>\gcd</math> refírese ao [[máximo común divisor]], siglas en inglés.}} Isto denómínase [[lema de Euclides]].

Se <math>p</math> é un número primo e <math>p \mid ab</math> entón <math>p \mid a</math> ou <math>p \mid b.</math>

Un número enteiro <math>n > 1</math> cuxo único divisor propio é 1 chámase [[número primo]]. 

Calquera divisor positivo de <math>n</math> é un produto de [[Número primo|divisores primos]] de <math>n</math> elevado a algunha potencia. Esta é unha consecuencia do [[teorema fundamental da aritmética]] .

Un número <math>n</math> dise que é [[Número perfecto|perfecto]] se é igual á suma dos seus divisores propios, [[Número defectivo|deficiente]] se a suma dos seus divisores propios é menor que <math>n,</math> e [[Número abundante|abundante]] se esta suma supera <math>n.</math>

O número total de divisores positivos de <math>n</math> é unha [[función multiplicativa]] <math>d(n),</math> no caso de <math>m</math> e <math>n</math> seren [[Números primos entre si|relativamente primos]], entón <math>d(mn)=d(m)\times d(n).</math> Por exemplo, <math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math> ; Os oito divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. Esta función tamén se pode escribir como a número cero das funcións sigma <math>\sigma_0 (n)</math> 

A suma dos divisores positivos de <math>n</math> é outra función multiplicativa <math>\sigma_1 (n)</math> (p. ex <math>\sigma_1 (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma_1 (2) \times \sigma_1 (3) \times \sigma_1 (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math> ). Esta última coñécese como [[función divisor]] e cada subíndice de sigma representa a potencia dos divisores cos que se fai a suma, por iso <math>d(n)=\sigma_0 (n)</math>, pois os divisores elevados a cero é igual que contalos.

Se a factorización de <math>n</math> está dada polos primos

: <math> n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k} </math>

daquela o número de divisores positivos de <math>n</math> é

: <math> d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_k + 1), </math>

e cada un dos divisores ten a forma

: <math> p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_k^{\mu_k} </math>

onde <math> 0 \le \mu_i \le \nu_i </math> para cada <math>1 \le i \le k.</math>

Para cada número natural <math>n,</math> temos <math>d(n) < 2 \sqrt{n}.</math>

== En álxebra abstracta ==

=== Teoría de aneis ===
{{Principal|Divisibilidade (anel)}}

=== Retícula de división ===
{{Main|Retícula de división}}
Nas definicións que permiten que o divisor sexa 0, a relación de divisibilidade converte o conxunto <math>\mathbb{N}</math> de enteiros non negativos nun [[conxunto parcialmente ordenado]] que é unha retícula distributiva completa. O elemento maior desta retícula é 0 e o menor é 1. A operación de encontro '''∧''' ven dada polo [[máximo común divisor]] e a operación de unión '''∨''' polo [[mínimo común múltiplo]]. Esta retícula é isomorfa ao dual da [[Reticular de subgrupos|retícula de subgrupos]] do [[grupo cíclico]] infinito Z.


== Notas ==
{{reflist|group=lower-alpha}}

{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
{{refbegin}}
* {{cita libro
  | last = Durbin | first = John R.
  | year = 2009
  | title = Modern Algebra: An Introduction
  | edition = 6th
  | location=New York | publisher = Wiley
  | url=https://books.google.com/books?id=dnDJDwAAQBAJ
  | isbn=978-0470-38443-5
  }}
* {{cita libro
  | last1 = Guy | first1 = Richard K. | author1-link = Richard K. Guy
  | year = 2004
  | title = Unsolved Problems in Number Theory
  | url = https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr | edition = 3rd
  | publisher = [[Springer Verlag]]
  | isbn = 0-387-20860-7
  }}; section B
* {{cita libro
  | last1 = Hardy | first1 = G. H. | authorlink1 = G. H. Hardy
  | last2 = Wright | first2 = E. M.
  | year = 1960
  | title = An Introduction to the Theory of Numbers
  | publisher = Oxford University Press
  | edition = 4th
  | location = 
  | url = https://archive.org/details/introductiontoth00hard
  | doi = 
  | id = 
  | isbn = 
  }}
* {{cita libro
  | last = Herstein | first = I. N.
  | year = 1986
  | title = Abstract Algebra
  | place = New York | publisher = Macmillan Publishing Company
  | isbn = 0-02-353820-1
  }}
* {{cita libro
  | last1 = Niven | first1 = Ivan |author1-link=Ivan M. Niven
  | last2 = Zuckerman |first2 = Herbert S.
  | last3 = Montgomery | first3=Hugh L. |author3-link=Hugh Lowell Montgomery
  | title=An Introduction to the Theory of Numbers
  | url = https://archive.org/details/introductiontoth0000nive | year=1991 |publisher=[[John Wiley & Sons]]
  | edition=5th
  | isbn=0-471-62546-9
  }}
* [[Øystein Ore]], Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
* {{cita libro
  |first=Charles C. |last=Sims
  |title=Abstract Algebra: A Computational Approach
  |url=https://archive.org/details/abstractalgebrac0000sims |year=1984
  |publisher=John Wiley & Sons |place=New York
  |isbn=0-471-09846-9
  }}
* {{cita libro
  | url = https://www.worldcat.org/oclc/56057904
  | last1 = Tanton | first1 = James
  | year = 2005
  | title = Encyclopedia of mathematics
  | publication-place = New York |publisher = Facts on File
  | isbn = 0-8160-5124-0
  | oclc = 56057904
  }}
{{refend}}

=== Outros artigos ===
* [[Funcións aritméticas]]
* [[Algoritmo de Euclides|Algoritmo euclidiano]]
* [[Fracción (matemáticas)]]
* [[Factorización de enteiros]]
* [[Táboa de factores primos]] &#x2013; unha táboa de factores primos de 1 a 1000
* [[Divisor unitario]]
* [[Regras de Divisibilidade]]

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Matemáticas]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]