Ver o código fonte de «Distribución normal multivariante»

{{Outros homónimos|Distribución}}
{{Modelo de distribución de probabilidade
|nome       = Normal multivariante
|tipo       =multivariante
|pdf_image  =[[Ficheiro:MultivariateNormal.png|325px]]<br/>
|cdf_image  =
|parámetros =<math>\mu = [\mu_1, \dots, \mu_n]^T</math> ([[vector]] [[número real|real]])<br /><math>\Sigma</math> [[matriz de covarianza]] ([[Matriz (matemáticas)|matriz]] real [[Matriz definida positiva|definida positiva]] de dimensión <math>n\times n</math> )
|soporte= <math>x \in\mathbb{R}^n\!</math>
|pdf =<math>f_X(x_1, \dots, x_n)=\frac {1} {(2\pi)^{n/2} \left|\Sigma\right|^{1/2}}</math><br /><math>
                 \exp\left( -\frac{1}{2}( x - \mu)^\top \Sigma^{-1} (x - \mu)\right)</math>
|cdf =Sen expresión analítica
|media =<math>\mu \,\!</math>
|mediana=<math>\mu \,\!</math>
|moda=<math>\mu \,\!</math>
| varianza=<math>\sigma^2 \,\!</math>
|asimetría =<math>0\,</math>
|curtose   =<math>0\,</math>
|entropía =<math>\ln\left(\sqrt{(2\,\pi\,e)^n \left| \Sigma \right|}\right)\!</math>
|mgf =<math>M_X(t)= \exp\left( \mu^\top t + \frac{1}{2} t^\top \Sigma t\right)</math>
|char=<math>\phi_X(t;\mu,\Sigma)=\exp\left( i \mu^\top t - \frac{1}{2} t^\top \Sigma t\right)</math>
|}}
En [[probabilidade]] e [[estatística]], unha '''distribución normal multivariante''', tamén chamada '''distribución gaussiana multivariante''', é unha xeneralización da [[distribución normal]] unidimensional a dimensións superiores.

== Caso xeral ==
Un [[vector aleatorio]] <math>\ X = [X_1, \dots, X_n]^T</math> segue unha distribución normal multivariante se satisfai as seguintes condicións equivalentes:

*Toda combinación linear <math>\ Y = a_1 X_1 + \cdots + a_n X_n</math> está [[distribución normal|normalmente distribuída]].
*Hai un vector aleatorio <math>\ Z = [Z_1, \dots, Z_m]^T</math>, con compoñentes que son [[Variable aleatoria|variables aleatorias]] independentes distribuídas segundo a normal estándar, un vector <math>\ \mu = [\mu_1, \dots, \mu_n]^T</math> e unha matriz <math>n \times m</math> <math>\ A</math> tal que <math>\ X = A Z + \mu</math>. 
*Hai un vector <math>\mu</math> e unha matriz semidefinida positiva simétrica <math>\ \Sigma</math> tal que a [[función característica]] de ''X'' es
{{ecuación|
:<math>
\phi_X\left(u;\mu,\Sigma\right)
=
\exp
\left(
 i \mu^\top u - \frac{1}{2} u^\top \Sigma u
\right).
</math>
||left}}
Se <math>\ \Sigma</math> é unha [[matriz non singular]], entón a distribución pode describirse pola seguinte [[función de densidade]]:
{{ecuación|
<math>
f_X(x_1, \dots, x_n)
=
\frac
 {1}
 {(2\pi)^{n/2}|\Sigma|^{1/2}}
\exp
\left(
 -\frac{1}{2}
 ( \mathbf x - \mathbf \mu)^\top \Sigma^{-1} (\mathbf x - \mathbf \mu)
\right)
</math>
||left}}
onde <math>\ \left| \Sigma \right|</math> é o [[determinante (matemáticas)|determinante]] de <math>\ \Sigma</math>. A ecuación redúcese á distribución normal se <math>\ \Sigma</math> é un [[escalar]] (é dicir, unha matriz 1x1).

O vector μ nestas circunstancias é a [[valor esperado|esperanza]] de ''X'' e a matriz <math>\ \Sigma = A A^T</math> é a [[matriz de covarianza]] das compoñentes ''X''<sub>''i''</sub>.

É importante comprender que a matriz de covarianza pode ser singular (aínda que non estea así descrita pola fórmula de arriba, para a que <math>\ \Sigma^{-1}</math> está definida).

Este caso aparece con frecuencia en [[estatística]]; por exemplo, na distribución do vector de residuos en problemas ordinarios de [[regresión linear]]. Ademais, os ''X''<sub>''i''</sub> son en xeral ''non'' independentes; poden verse como o resultado de aplicar a transformación linear ''A'' a unha colección de variables normais ''Z''.

Esta distribución dun vector aleatorio ''X'' que segue unha distribución normal multivariante pode ser descrita coa seguinte notación:
{{ecuación|
<math>X\ \sim \mathcal{N}(\mu, \Sigma),</math>
||left}}
ou facer explícito que ''X'' é ''n''-dimensional,
{{ecuación|
<math>X\ \sim \mathcal{N}_N(\mu, \Sigma).</math>
||left}}

=== Función de distribución ===
A [[función de distribución]] <math>F(x)</math> defínese como a probabilidade de que todos os valores dun vector aleatorio <math>X</math> sexan menores ou iguais que os valores correspondentes dun vector <math>x</math>. Aínda que F non teña unha fórmula, hai unha serie de algoritmos que permiten estimala numericamente.<ref>Pode verse MVNDST en [http://www.math.wsu.edu/faculty/genz/software/software.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080415030646/http://www.math.wsu.edu/faculty/genz/software/software.html |date=15 de abril de 2008 }}, que inclúe [[Código fonte|código]] [[FORTRAN]] ou [https://web.archive.org/web/20080513222841/http://alex.strashny.org/a/Multivariate-normal-cumulative-distribution-function-(cdf)-in-MATLAB.html], con código [[MATLAB]].</ref>

=== Contraexemplo ===
O feito de que dúas variables aleatorias ''X'' e ''Y'' sigan unha distribución normal, cada unha, non implica que o par (''X'',&nbsp;''Y'') siga unha distribución normal conxunta. Un exemplo simple dáse con ''X''  Normal(0,1), ''Y'' = ''X'' se |''X''| > 1 e ''Y'' = −''X'' se |''X''| < 1.  isto tamén é certo para máis de dúas variables aleatorias.

=== Normalmente distribuídas e independencia ===
Se ''X'' e ''Y'' están normalmente distribuídas e son [[estatísticamente independentes|independentes]], a súa distribución conxunta tamén está normalmente distribuída, é dicir, o par (''X'',&nbsp;''Y'') debe ter unha distribución normal bivariante. En calquera caso, un par de variables aleatorias normalmente distribuídas non teñen por que ser independentes ao seren consideradas de forma conxunta.

== Caso bivariante ==
No caso particular de dúas dimensións, a función de densidade (con media (0, 0)) é

:<math>
f(x,y) = \frac{1}{2 \pi \sigma_x \sigma_y \sqrt{1-\rho^2}}
\exp
\left(
 -\frac{1}{2 (1-\rho^2)}
 \left(
  \frac{x^2}{\sigma_x^2} +
  \frac{y^2}{\sigma_y^2} -
  \frac{2 \rho x y}{ (\sigma_x \sigma_y)}
 \right)
\right)
</math>

onde <math>\rho</math> é o [[coeficiente de correlación]] entre <math>X</math> e <math>Y</math>. Neste caso,

:<math>
\Sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_x^2              & \rho \sigma_x \sigma_y \\
\rho \sigma_x \sigma_y  & \sigma_y^2
\end{bmatrix}.
</math>

== Transformación afín ==
Se <math>Y = c + B X \,</math> é unha [[Transformación linear|transformación afín]] de <math>X\ \sim \mathcal{N}(\mu, \Sigma),</math> onde <math>c\,</math> é un vector de constantes <math>M \times 1</math> e <math>B\,</math> unha matriz <math>M \times N</math>, entón <math>Y\,</math> ten unha distribución normal multivariante con esperanza <math>c + B \mu \,</math> e varianza <math>B \Sigma B^T \,</math> é dicir, <math>Y \sim \mathcal{N} \left(c + B \mu, B \Sigma B^T\right)</math>. En particular, calquera subconxunto dos <math>X_i\,</math> ten unha distribución marxinal que é tamén unha normal multivariante.

Para ver isto, pode considerarse o seguinte exemplo: para extraer o subconxunto <math>(X_1, X_2, X_4)^T \,</math>, emprégase

:<math>
B =
\begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0
\end{bmatrix}
</math>

o que extrae directamente os elementos desexados.

Outro corolario sería que a distribución de <math>Z=b\cdot X</math>, onde <math>b</math> é un vector da mesma lonxitude que <math>X</math> e o punto indica un [[produto vectorial]], é unha distribución gaussiana unidimensional con <math>Z\sim\mathcal{N}\left(b\cdot\mu, b^T\Sigma b\right)</math>. Este resultado obtense empregando

:<math>
B=\begin{bmatrix}
b_1    & b_2    & \ldots & b_n    \\
0      & 0      & \ldots & 0      \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0      & 0      & \ldots & 0
\end{bmatrix}
</math>

e considerando só a primeira compoñente do produto (a primeira fila de <math>B</math> é o vector <math>b</math>). A definición positiva de <math>\Sigma</math> implica que a [[varianza]] do produto vectorial debería ser positiva.

== Interpretación xeométrica ==

As curvas de equidensidade dunha distribución normal multivariante son [[elipsoide]]s (é dicir, transformacións lineares de [[hiperesfera]]s) centrados na media.<ref>{{cita web|autor=Nikolaus Hansen|título=The CMA Evolution Strategy: A Tutorial|url=http://www.lri.fr/~hansen/cmatutorial.pdf|formato=PDF|data-acceso=19 de maio de 2016|urlarquivo=https://web.archive.org/web/20100331114258/http://www.lri.fr/~hansen/cmatutorial.pdf|dataarquivo=31 de marzo de 2010|urlmorta=yes}}</ref> as direccións dos eixes principais dos elipsoides veñen dadas polos [[vector propio|vectores propios]] da matriz de covarianza <math>\Sigma</math>. As lonxitudes relativas dos cadrados dos eixes principais veñen dadas polos correspondentes vectores propios.

Se <math>\Sigma=U\Lambda U^T=U\Lambda^{1/2}(U\Lambda^{1/2})^T</math> é unha [[descomposición espectral]] onde as columnas de U son vectores propios unitarios e <math>\Lambda</math> é unha [[matriz diagonal]] de valores propios, entón temos

::<math>X\ \sim N(\mu, \Sigma) \iff X\ \sim \mu+U\Lambda^{1/2}N(0, I) \iff X\ \sim \mu+UN(0, \Lambda).</math>

Ademais, ''U'' pode escollerse de tal modo que sexa unha [[matriz de rotación]], tal que invertendo un eixe non teña ningún efecto en <math>N(0, \Lambda)</math>, pero invertendo unha columna, cambie o signo do determinante de ''U'''. A distribución <math>N(\mu, \Sigma)</math> é en efecto <math>N(0, I)</math> escalada por <math>\Lambda^{1/2}</math>, rotada por ''U'' e trasladada por <math>\mu</math>.

Reciprocamente, calquera escolla de <math>\mu</math>, matriz de rango completo ''U'', e valores diagonais positivos <math>\Lambda_i</math> cede o paso a unha distribución normal non singular multivariante. Se calquera <math>\Lambda_i</math> é cero e ''U'' é cadrada, a matriz de covarianza <math>U\Lambda U^T</math> é [[matriz singular|singular]]. Xeometricamente isto significa que cada curva elipsoide é infinitamente delgada e ten volume cero nun espazo ''n''-dimensional, así como, polo menos, un dos principais eixes ten lonxitude cero.

== Correlacións e independencia ==
En xeral, as variables aleatorias poden ser incorreladas, pero altamente dependentes, mais se un vector aleatorio ten unha distribución normal multivariante, entón calquera dúas ou máis das súas compoñentes que sexan incorreladas, son [[Independencia estatística|independentes]].

Porén, non é certo que dúas variables aleatorias que están (separadamente, marxinalmente) normalmente distribuídas e incorreladas sexan independentes. Dúas variables aleatorias que están normalmente distribuídas poden que non o estean conxuntamente.

== Momentos máis altos ==
O [[momento estándar]] de ''k''-ésima orde de ''X'' defínese como

:<math>
\mu _{1,\dots,N}(X)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mu _{r_{1},\dots,r_{N}}(X)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  E\left[
\prod\limits_{j=1}^{N}X_j^{r_{j}}\right]
</math>

onde <math>r_1 +r_2 + \cdots + r_N =k.</math>

Os [[Momento central|momentos centrais]] de orde ''k'' veñen dados como segue:

(a) Se ''k'' é impar, <math>\mu _{1,\dots,N}(X-\mu )=0</math>.

(b) Se ''k'' é par, con <math>k=2\lambda</math>, entón

:<math>
\mu _{1,\dots,2\lambda }(X-\mu )=\sum \left( \sigma _{ij}\sigma _{k\ell}\cdots\sigma _{XZ}\right)
</math>

onda a suma se toma sobre todas as disposicións de conxuntos <math>\left\{ 1,\dots,2\lambda
\right\}</math> en <math>\lambda</math> pares (non ordenados). É dicir, se se ten un ''k''-ésimo (<math>{}=2\lambda=6</math>) momento central, estaranse a sumar os produtos de <math>\lambda=3</math> covarianzas (a notación -<math>\mu</math> suprimiuse para facilitar a lectura):

:<math>\begin{align}
& {} E[X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6] \\
&{} = E[X_1 X_2 ]E[X_3 X_4 ]E[X_5 X_6 ] + E[X_1 X_2 ]E[X_3 X_5 ]E[X_4 X_6] + E[X_1 X_2 ]E[X_3 X_6 ]E[X_4 X_5] \\
&{} + E[X_1 X_3 ]E[X_2 X_4 ]E[X_5 X_6 ] + E[X_1 X_3 ]E[X_2 X_5 ]E[X_4 X_6 ] + E[X_1 X_3]E[X_2 X_6]E[X_4 X_5] \\
&+ E[X_1 X_4]E[X_2 X_3]E[X_5 X_6]+E[X_1 X_4]E[X_2 X_5]E[X_3 X_6]+E[X_1 X_4]E[X_2 X_6]E[X_3 X_5] \\
& + E[X_1 X_5]E[X_2 X_3]E[X_4 X_6]+E[X_1 X_5]E[X_2 X_4]E[X_3 X_6]+E[X_1 X_5]E[X_2 X_6]E[X_3 X_4] \\
& + E[X_1 X_6]E[X_2 X_3]E[X_4 X_5 ] + E[X_1 X_6]E[X_2 X_4 ]E[X_3 X_5] + E[X_1 X_6]E[X_2 X_5]E[X_3 X_4].
\end{align}</math>

Isto dá lugar a <math>(2\lambda -1)!/(2^{\lambda -1}(\lambda -1)!)</math> termos na suma (15 no caso superior), nos que cada un é o produto de <math>\lambda</math> (3 neste caso) covarianzas. Para momentos de orde cuarta (catro variables) hai tres termos. Para momentos de orde sexta hai 3&nbsp;×&nbsp;5 = 15 termos, e para momentos de orde oitava hai 3&nbsp;×&nbsp;5&nbsp;×&nbsp;7 = 105 termos.

As covarianzas son entón determinadas mediante a substitución dos termos da lista <math>\left[ 1,\dots,2\lambda \right]</math> polos termos correspondentes da lista que consiste en <math>r_1</math> uns, logo <math>r_2</math> douses etc... Para ilustrar isto, pode examinarse o seguinte caso de momento central de orde cuarta:

:<math>E\left[ X_i^4\right] = 3\sigma _{ii}^2</math>
:<math>E\left[ X_i^3 X_j\right] = 3\sigma _{ii} \sigma _{ij}</math>
:<math>E\left[ X_i^2 X_j^2\right] = \sigma _{ii}\sigma_{jj}+2\left( \sigma _{ij}\right) ^2</math>
:<math>E\left[ X_i^2X_jX_k\right] = \sigma _{ii}\sigma _{jk}+2\sigma _{ij}\sigma _{ik}</math>
:<math>E\left[ X_i X_j X_k X_n\right] = \sigma _{ij}\sigma _{kn}+\sigma _{ik}\sigma _{jn}+\sigma _{in}\sigma _{jk}.
</math>

onde <math> \sigma_{ij} </math> é a covarianza de <math> X_i </math> e <math> X_j</math>. A idea do método descrito é que primeiro se atopa o caso xeral para o momento <math>k</math>-ésimo, onde se teñen <math>k</math> diferentes variables <math>X</math> - <math>E\left[ X_i X_j X_k X_n\right]</math> e entón pódense simplificar apropiadamente. Se se ten <math>E\left[ X_i^2 X_k X_n\right]</math> entón, simplemente se considera <math>X_i = X_j</math> e dedúcese que <math>\sigma_{ii}=\sigma_i^2</math>.

== Distribucións condicionais ==
Se <math>\mu</math> y <math>\Sigma</math> se dividen como segue:

:<math>
\mu =
\begin{bmatrix}
 \mu_1 \\
 \mu_2
\end{bmatrix}
\quad</math> con tamaños <math>\begin{bmatrix} q \times 1 \\ (N-q) \times 1 \end{bmatrix}</math>

:<math>
\Sigma =
\begin{bmatrix}
 \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\
 \Sigma_{21} & \Sigma_{22}
\end{bmatrix}
\quad</math> con tamaños <math>\begin{bmatrix} q \times q & q \times (N-q) \\ (N-q) \times q & (N-q) \times (N-q) \end{bmatrix}</math>

entón a distribución de <math>x_1</math> condicionada a <math>x_2=a</math> é unha normal multivariante <math>(X_1|X_2=a) \sim N(\bar{\mu}, \overline{\Sigma})</math> onde

:<math>
\bar{\mu}
=
\mu_1 + \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1}
\left(
 a - \mu_2
\right)
</math>

e matriz de covarianza

:<math>
\overline{\Sigma}
=
\Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21}.
</math>

Esta matriz é o [[complemento de Schur]] de <math>{\mathbf\Sigma_{22}}</math> en <math>{\mathbf\Sigma}</math>. Isto significa que para calcular a matriz condicional de covarianza se inverte a matriz global de covarianza, desprézanse as filas e as columnas correspondentes ás variables baixo as que está condicionada e entón invértese de novo para conseguir a matriz condicional de covarianza.

Sábese que <math>x_2=a</math> altera a varianza, aínda que a nova varianza non dependa do valor específico de <math>a</math>; quizais resulta máis sorprendente que a media se cambia por <math>\Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \left(a - \mu_2 \right)</math>; pode compararse isto coa situación na que non se coñece o valor de <math>a</math>, caso no que <math>x_1</math> tería como distribución

<math>N_q \left(\mu_1, \Sigma_{11} \right)</math>.

A matriz <math>\Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1}</math> coñécese como a matriz de coeficientes de [[Análise da regresión|regresión]].

=== Esperanza condicional bivariante ===
No caso

<math>
\begin{pmatrix}
 X_1 \\
 X_2
\end{pmatrix}  \sim \mathcal{N} \left( \begin{pmatrix}
 0 \\
 0
\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}
 1 & \rho \\
 \rho & 1 
\end{pmatrix} \right)
</math>

entón

<math>
E(X_1 | X_2 > z) = \rho { \phi(z) \over \Phi(-z) }
</math>

onde esta última razón adoita chamarse [[razón inversa de Mills]].

== Matriz de información de Fisher ==
A [[matriz de información de Fisher]] (MIF) para unha distribución normal toma unha formulación especial. O elemento <math>(m,n)</math> da MIF para <math>X \sim N(\mu(\theta), \Sigma(\theta))</math> é

:<math>
\mathcal{I}_{m,n}
=
\frac{\partial \mu}{\partial \theta_m}
\Sigma^{-1}
\frac{\partial \mu^\top}{\partial \theta_n}
+
\frac{1}{2}
\mathrm{tr}
\left(
 \Sigma^{-1}
 \frac{\partial \Sigma}{\partial \theta_m}
 \Sigma^{-1}
 \frac{\partial \Sigma}{\partial \theta_n}
\right)
</math>

onde
*<math>
\frac{\partial \mu}{\partial \theta_m}
=
\begin{bmatrix}
 \frac{\partial \mu_1}{\partial \theta_m} &
 \frac{\partial \mu_2}{\partial \theta_m} &
 \cdots &
 \frac{\partial \mu_N}{\partial \theta_m} &
\end{bmatrix}
</math>
*<math>
\frac{\partial \mu^\top}{\partial \theta_m}
=
\left(
 \frac{\partial \mu}{\partial \theta_m}
\right)^\top
=
\begin{bmatrix}
 \frac{\partial \mu_1}{\partial \theta_m} \\  \\
 \frac{\partial \mu_2}{\partial \theta_m} \\  \\
 \vdots \\  \\
 \frac{\partial \mu_N}{\partial \theta_m} \\  \\
\end{bmatrix}
</math>
*<math>
\frac{\partial \Sigma}{\partial \theta_m}
=
\begin{bmatrix}
 \frac{\partial \Sigma_{1,1}}{\partial \theta_m} &
 \frac{\partial \Sigma_{1,2}}{\partial \theta_m} &
 \cdots &
 \frac{\partial \Sigma_{1,N}}{\partial \theta_m} \\  \\
 \frac{\partial \Sigma_{2,1}}{\partial \theta_m} &
 \frac{\partial \Sigma_{2,2}}{\partial \theta_m} &
 \cdots &
 \frac{\partial \Sigma_{2,N}}{\partial \theta_m} \\  \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  \\
 \frac{\partial \Sigma_{N,1}}{\partial \theta_m} &
 \frac{\partial \Sigma_{N,2}}{\partial \theta_m} &
 \cdots &
 \frac{\partial \Sigma_{N,N}}{\partial \theta_m}
\end{bmatrix}
</math>
*<math>\mathrm{tr}</math> é a función [[Traza (álxebra linear)|traza dunha matriz]].

== Diverxencia de Kullback-Leibler ==
A [[diverxencia de Kullback-Leibler]] de <math>N0_N(\mu_0, \Sigma_0)</math> a <math>N1_N(\mu_1, \Sigma_1)</math> é:

:<math>
D_\text{KL}(N0 \| N1) = { 1 \over 2 } \left( \log_e \left( { \det \Sigma_1 \over \det \Sigma_0 } \right) + \mathrm{tr} \left( \Sigma_1^{-1} \Sigma_0 \right) + \left( \mu_1 - \mu_0\right)^\top \Sigma_1^{-1} ( \mu_1 - \mu_0 ) - N \right).
</math>

O [[logaritmo]] debe tomarse con base ''[[Número e|e]]'' nos dous termos (logaritmos neperianos); seguindo o logaritmo están os logaritmos neperianos das expresións que son ambos os factores da función de densidade ou se non, xorden naturalmente. A diverxencia de arriba mídese en [[Nat (información)|nats]]. Dividindo a expresión de arriba por log<sub>''e''</sub>&nbsp;2 dáse paso a a diverxencia en [[bit]]s.

== Estimación de parámetros ==
A función de densidade de probabilidade dunha normal multivariante ''N''-dimensional é

:<math>f(x)=(2 \pi)^{-N/2} \det(\Sigma)^{-1/2} \exp\left(-{1 \over 2} (x-\mu)^T \Sigma^{-1} (x-\mu)\right)</math>

e o [[estimador]] de [[máxima verosimilitude]] da matriz de covarianza para unha mostra de ''n'' observacións é

:<math>\widehat\Sigma = {1 \over n}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})(X_i-\overline{X})^T</math>

o que é, simplemente, a [[matriz da mostra de covarianza]]. Este é un estimador con [[nesgo]] que ten como esperanza

:<math>E[\widehat\Sigma] = {n-1 \over n}\Sigma.</math>

Unha covarianza da mostra sen nesgo é

:<math>\widehat\Sigma = {1 \over n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})(X_i-\overline{X})^T.</math>

== Entropía ==
A [[entropía diferencial]] da distribución normal multivariante é<ref>{{cita publicación periódica
 | nome1 = DV
 | apelidos1 = Gokhale
 | nome2 = NA |apelidos2=Ahmed|nome3= BC|apelidos3= Res|nome4=NJ|apelidos4= Piscataway
 | ano = 1989
 | título = Entropy Expressions and Their Estimators for Multivariate Distributions
 | revista = Information Theory, IEEE Transactions on
 | volume = 35
 | número = 3
 | páxinas = 688–692
 | doi =10.1109/18.30996
}}</ref>

:<math>
\begin{align}
h\left(f\right) & = -\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \cdots\int_{-\infty}^\infty f(x) \ln f(x)\,dx \\
& = \frac12 \left(N+N\ln\left(2\pi\right) + \ln\left| \Sigma \right|\right) \\
& =\frac{1}{2}\ln\{(2\pi e)^N \left| \Sigma \right|\}
\end{align}
</math>

onde <math>\left| \Sigma \right|</math> é o [[determinante (matemáticas)|determinante]] da matriz de covarianza <math>\Sigma</math>.

== Tests de normalidade multivariante ==
Os tests de normalidade multivariante comproban a similitude dun conxunto dado de datos coa distribución normal multivariante. A [[hipótese nula]] é que o [[conxunto de datos]] é similar á distribución normal e polo tanto un [[p-valor]] suficientemente pequeno indica datos non normais. Os tests de normalidade multivariante inclúen o test de Cox-Small<ref>{{cita publicación periódica
 | nome = D. R.
 | apelidos = Cox
 | nome2 = N. J. H. |apelidos2=Small
 | ano = 1978
 | título = Testing multivariate normality
 | url = https://archive.org/details/sim_biometrika_1978-08_65_2/page/263
 | revista = Biometrika
 | volume = 65
 | número = 2
 | páxinas = 263–272
| doi = 10.1093/biomet/65.2.263
}}</ref> e a adaptación de Smith y Jain
<ref>{{cita publicación periódica
 | nome = Stephen P.
 | apelidos = Smith
| nome2 = Anil K. |apelidos2=Jain
 | ano = 1988
 | título = A test to determine the multivariate normality of a dataset
 | revista = IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence
 | volume = 10
 | número = 5
 | páxinas = 757–761
 | doi = 10.1109/34.6789
}}</ref> do test de Friedman-Rafsky.

== Simulando valores da distribución ==
Un método amplamente empregado para simular un vector aleatorio <math>X</math> da distribución normal multivariada  <math>N</math>-dimensional con vector de medias <math>\mu</math> e [[matriz de covarianza]] <math>\Sigma</math> (requirida para que sexa simétrica e definida positiva) funciona como segue:

# Calcúlase a [[descomposición de Cholesky]] de <math>\Sigma</math>, é dicir, atópase a única matriz triangular inferior <math>A</math> tal que <math>A\,A^T = \Sigma</math>. Podería empregarse calquera outra matriz <math>A</math> que satisfaga esta condición, ou sexa, que é un a [[Raíz cadrada dunha matriz|raíz cadrada]] de <math>\Sigma</math>, mais habitualmente atopar esa matriz, distinta da da descomposición de Cholesky, sería bastante máis custoso en termos de computación.
# Sexa <math>Z=(z_1,\dots,z_N)^T</math> un vector con compoñentes <math>N</math> normais e independentes que varían e que pode xerarse, por exemplo, empregando o [[método de Box-Muller]].
# Sexa <math>X = \,</math> <math>\mu + AZ \,.</math>

== Notas ==
{{Listaref|30em}}

{{Control de autoridades}}

{{ORDENAR:Normal multivariante, distribución}}
[[Categoría:Distribucións continuas]]