Ver o código fonte de «Derivada total»


En [[matemáticas]], a '''derivada total''' dunha función {{mvar|f}} nun punto é a mellor [[aproximación linear]] preto deste punto da función en relación aos seus argumentos. A diferenza das [[derivada parcial|derivadas parciais]], a derivada total aproxima a función en relación a todos os seus argumentos, non só a un. En moitas situacións, isto é o mesmo que considerar todas as derivadas parciais simultaneamente. 

Sería a derivada dunha función de varias variábeis en relación a unha delas, sen manter constantes as demais.

O termo "derivada total" úsase principalmente cando {{mvar|f}} é unha función de varias variábeis, porque cando {{mvar|f}} é unha función dunha única variábel, a derivada total é a mesma que a [[derivada]] ordinaria da función.<ref name=Chiang>{{cite book |last=Chiang |first=Alpha C. |author-link=Alpha Chiang |title=Fundamental Methods of Mathematical Economics |url=https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_h4v2 |publisher=McGraw-Hill |edition=Third |year=1984 |isbn=0-07-010813-7 }}</ref>{{rp|198–203}}

A derivada total incorpora estas ''dependencias indirectas'' sobre ''t'' (é dicir, ''x(t)'' e ''y(t)'') para describir a dependencia de ''f'' sobre ''t''.
{| class="wikitable"
!Operador \ Función
!<math>f(x)</math>
!<math>f(x, y, u(x, y), v(x, y))</math>
|-
|[[Diferencial dunha función|Diferencial]]
|1: <math>\operatorname{d}\!f \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} f'_x\operatorname{d}\!x</math>
|2: <math>\operatorname{d}_x\!f
\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}
f'_x\operatorname{d}\!x</math>

3: <math>\operatorname{d}\!f
\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}
f'_x\operatorname{d}\!x +
f'_y\operatorname{d}\!y +
f'_u\operatorname{d}\!u +
f'_v\operatorname{d}\!v</math>
|-
|[[Derivada parcial]]
|<math>f'_x \overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} \frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x}</math>
|<math>f'_x
\overset{\underset{\mathrm{(2)}}{}}{=}
\frac{\operatorname{d}_x\!f}{\operatorname{d}\!x} =
{\partial f\over \partial x}</math>
|-
|Derivada total
|<math>\frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x}
\overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=}
f'_x</math>
|<math>\frac{\operatorname{d}\!f}{\operatorname{d}\!x}
\overset{\underset{\mathrm{(3)}}{}}{=}
f'_x +
f'_u \frac{\operatorname{d}\!u}{\operatorname{d}\!x} +
f'_v \frac{\operatorname{d}\!v}{\operatorname{d}\!x};
(f'_y \frac{\operatorname{d}\!y}{\operatorname{d}\!x} = 0) </math>
|}
== A derivada total como unha aplicación linear ==
Sexa <math>U \subseteq \R^n</math> un [[conxunto aberto|subconxunto aberto]]. Entón, dise que unha función <math>f:U \to \R^m</math> é  '''diferenciábel''' ('''totalmente''')  nun punto <math>a\in U</math> se existe unha [[aplicación linear]] <math>df_a:\R^n \to \R^m</math> tal que

:<math>\lim_{x \to a} \frac{\|f(x)-f(a)-df_a(x-a)\|}{\|x-a\|}=0.</math>

A [[aplicación linear]] <math>df_a</math> chámase '''derivada''' ('''total''') ou  '''diferencial'''  ('''total''')  de <math>f</math> en <math>a</math>. Outras notacións para a derivada total inclúen <math>D_a f</math> e <math>Df(a)</math>. Unha función é '''diferenciábel''' ('''totalmente''')  se a súa derivada total existe en cada punto do seu dominio.

Conceptualmente, a definición da derivada total expresa a idea de que <math>df_a</math> é a mellor aproximación linear a <math>f</math> no punto <math>a</math>. Isto pódese precisar cuantificando o erro na aproximación linear determinada por <math>df_a</math>. Para facelo, escríbese
:<math>f(a + h) = f(a) + df_a(h) + \varepsilon(h),</math>
onde <math>\varepsilon(h)</math> é igual ao erro na aproximación. Dicir que a derivada de <math>f</math> en <math>a</math> é <math>df_a</math> é equivalente á afirmación
:<math>\varepsilon(h) = o(\lVert h\rVert),</math>
onde <math>o</math> é a [[Notación o pequena|notación o pequena]] e indica que <math>\varepsilon(h)</math> é moito máis pequeno que <math>\lVert h\rVert</math> cando <math>h \to 0</math>. A derivada total <math>df_a</math> é a ''única'' aplicación linear para a cal o termo de erro é tan pequeno, e este é o sentido no que é a mellor aproximación linear a <math>f</math>.

A función <math>f</math> é diferenciábel se e só se cada unha das súas compoñentes <math>f_i \colon U \to \R</math> é diferenciábel, polo que, ao estudar derivadas totais, a miúdo é posíbel traballar unha coordenada de cada vez no codominio. Se todas as derivadas parciais de <math>f</math> en <math>a</math> existen e son continuas nunha veciñanza de <math>a</math>, entón <math>f</math> é diferenciábel en <math>a</math>. Cando isto ocorre, ademais, a derivada total de <math>f</math> é a aplicación linear correspondente á [[matriz jacobiana]] de derivadas parciais nese punto.<ref>{{cita libro |first1=Ralph |last1=Abraham |author-link=Ralph Abraham (mathematician) |first2=J. E. |last2=Marsden |author-link2=Jerrold E. Marsden |first3=Tudor |last3=Ratiu |author-link3=Tudor Ratiu |title=Manifolds, Tensor Analysis, and Applications |publisher=Springer Science & Business Media |year=2012 |page=78 |isbn=9781461210290 |url=https://books.google.com/books?id=b-IlBQAAQBAJ&pg=PA78 }}</ref>

== A derivada total como unha forma diferencial ==
Cando a función en cuestión é de valor real, a derivada total pode reformularse usando [[diferencial|formas diferenciais]]. 

Por exemplo, supoña que <math>f \colon \R^n \to \R</math> é unha función diferenciábel de variábeis <math>x_1, \ldots, x_n</math>. A derivada total de <math>f</math> en <math>a</math> pódese escribir en termos da súa matriz jacobiana, que neste caso é unha matriz fila:
:<math>D f_a = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \end{bmatrix}.</math>
A propiedade de aproximación linear da derivada total implica que se
:<math>\Delta x = \begin{bmatrix} \Delta x_1 & \cdots & \Delta x_n \end{bmatrix}^\mathsf{T}</math>
é un vector pequeno (onde o <math>\mathsf{T}</math> denota a transposta, de xeito que este vector é un vector columna), entón
:<math>f(a + \Delta x) - f(a) \approx D f_a \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) \cdot \Delta x_i.</math>
Heuristicamente, isto suxire que se <math>dx_1, \ldots, dx_n</math> son incrementos [[infinitesimal]]s nas direccións das coordenadas, entón
:<math>df_a = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) \cdot dx_i.</math>


Supoña agora que <math>f</math> é unha función vectorial, é dicir, <math>f \colon \R^n \to \R^m</math>. Neste caso, as compoñentes <math>f_i</math> de <math>f</math> son funcións de valor real, polo que teñen formas diferenciais asociadas <math>df_i</math>. A derivada total <math>df</math> combina estas formas nun único obxecto e, polo tanto, é un exemplo dunha [[forma diferencial vectorial]].

== A regra da cadea para derivadas totais ==
{{principal|Regra da cadea}}

A regra da cadea ten unha formulación particularmente elegante en termos de derivadas totais. Di que, para dúas funcións <math>f</math> e <math>g</math>, a derivada total da [[composición de funcións]] <math>f \circ g</math> en <math>a</math> satisfai
:<math>d(f \circ g)_a = df_{g(a)} \cdot dg_a.</math>
Se as derivadas totais de <math>f</math> e <math>g</math> se identifican coas súas matrices xacobianas, entón a composición do lado dereito é simplemente a [[multiplicación de matrices]]. Isto é enormemente útil en aplicacións, xa que permite ter en conta dependencias esencialmente arbitrarias entre os argumentos dunha función composta.

=== Exemplo: Diferenciación con dependencias directas ===
Supoña que ''f'' é unha función de dúas variábeis, ''x'' e ''y''. Se estas dúas variábeis son independentes, de xeito que o dominio de ''f'' é <math>\R^2</math>, entón o comportamento de ''f'' pódese entender en termos das súas derivadas parciais nas direccións ''x'' e ''y''. 

No entanto, nalgúns casos, ''x'' e ''y'' poden ser dependentes. Por exemplo, pode ocorrer que ''f'' estea restrinxida a unha curva <math>y = y(x)</math>. Neste caso, estamos realmente interesados no comportamento da función composta <math>f(x, y(x))</math>. A derivada parcial de ''f'' en relación a ''x'' non dá a verdadeira taxa de cambio de ''f'' en relación ao cambio de ''x'', porque mudar ''x'' necesariamente muda ''y''. Porén, a regra da cadea para a derivada total ten en conta estas dependencias. 

Se temos <math>\gamma(x) = (x, y(x))</math>. Entón, a regra da cadea di
:<math>d(f \circ \gamma)_{x_0} = df_{(x_0, y(x_0))} \cdot d\gamma_{x_0}.</math>
Expresando a derivada total usando matrices xacobianas, isto convértese en:
:<math>\frac{df(x, y(x))}{dx}(x_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y(x_0)) \cdot \frac{dx}{dx}(x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y(x_0)) \cdot \frac{dy}{dx}(x_0).</math>
Suprimindo a avaliación en <math>x_0</math> para maior claridade, tamén podemos escribir isto como
:<math>\frac{df(x, y(x))}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx}.</math>
Isto dá unha fórmula directa para a derivada de <math>f(x, y(x))</math> en termos das derivadas parciais de <math>f</math> e da derivada de <math>y(x)</math>.

Por exemplo, supoña
:<math>f(x,y)=xy.</math>
A taxa de cambio de ''f'' en relación a ''x'' é normalmente a derivada parcial de ''f'' en relación a ''x''; neste caso,
:<math>\frac{\partial f}{\partial x} = y.</math>
No entanto, se ''y'' depende de ''x'', a derivada parcial non dá a verdadeira taxa de cambio de ''f'' a medida que ''x'' cambia, porque a derivada parcial asume que ''y'' é fixo. Supoña que estamos restrinxidos á liña
:<math>y=x.</math>
Entón
:<math>f(x,y) = f(x,x) = x^2,</math>
e a derivada total de ''f'' respecto a <math>x </math> é
:<math>\frac{df}{dx} = 2 x,</math>
que vemos que non é igual á derivada parcial <math>\partial f/\partial x</math> que era <math>y </math>. En vez de substituír inmediatamente <math>y </math> en termos de <math>x </math>, tamén podemos usar a regra da cadea como antes:
:<math>\frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx} = y+x \cdot 1 = x+y = 2x.</math>

=== Exemplo: Diferenciación con dependencias indirectas ===
Aínda que a miúdo se poden realizar substitucións para eliminar dependencias indirectas, a [[regra da cadea]] proporciona unha técnica máis eficiente e xeral. 

Supoña que <math>L(t,x_1,\dots,x_n)</math> é unha función do tempo <math>t</math> e <math>n</math> variábeis <math>x_i</math> que dependen do tempo. Entón, a derivada temporal de <math>L</math> é
:<math>\frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt} L \bigl(t, x_1(t), \ldots, x_n(t)\bigr).</math>

A regra da cadea expresa esta derivada en termos das derivadas parciais de <math>L</math> e as derivadas temporais das funcións <math>x_i</math>:
:<math>\frac{dL}{dt}
= \frac{\partial L}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{\partial x_i}\frac{dx_i}{dt}
= \biggl(\frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{dx_i}{dt}\frac{\partial}{\partial x_i}\biggr)(L).</math>

Esta expresión úsase a miúdo en [[física]] para unha [[transformación de escala]] do [[mecánica lagrangiana|lagrangiano]], xa que dous lagrangianos que difiren só pola derivada temporal total dunha función do tempo e as <math>n</math> [[coordenadas xeneralizadas]] levan ás mesmas ecuacións de movemento. Un exemplo interesante refírese á resolución da causalidade na [[teoría de Wheeler-Feynman|teoría simétrica no tempo de Wheeler-Feynman]]. 

O operador entre parénteses (na expresión final anterior) tamén se chama operador de derivada total (en relación a <math>t</math>).

Por exemplo, a derivada total de <math>f(x(t),y(t))</math> é

:<math>\frac{df}{dt} = { \partial f \over \partial x}{dx \over dt} + {\partial f \over \partial y}{dy \over dt }.</math>

Aquí non hai un termo <math>\partial f / \partial t</math> xa que <math>f</math> non depende directamente de <math>t.</math>

== Notas ==
{{reflist|30em}} 
{{Reflist|group=lower-alpha}}  
== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, ''Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. {{isbn|1-58488-297-2}}
* De thesaurus.maths.org [https://web.archive.org/web/20060501183510/http://thesaurus.maths.org/mmkb/entry.html  total derivative]

=== Outros artigos ===
* {{annotated link|Derivada de Fréchet}}, xeneralización de derivada total 
* {{annotated link|Gradiente}}
=== Ligazóns externas ===
* {{MathWorld|TotalDerivative|Total Derivative}}
* Ronald D. Kriz (2007) [http://www.sv.rkriz.net/classes/ESM4714/methods/df2D.html Envisioning total derivatives of scalar functions of two dimensions using raised surfaces and tangent planes] de [[Virginia Tech]]

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Cálculo]]
[[Categoría:Análise matemática]]