Ver o código fonte de «Derivada parcial»

{{Outros homónimos|Derivada (homónimos)}}En [[matemáticas]], unha '''derivada parcial''' dunha [[función matemática|función]] de diversas variables, é a súa [[derivada]] respecto a unha desas variables mantendo as outras como constantes. As derivadas parciais son útiles no [[cálculo vectorial]] e na [[xeometría diferencial]].

A derivada parcial dunha función ''f'' respecto á variable ''x'' represéntase con calquera das seguintes notacións equivalentes:
{{ecuación|
<math>\frac{ \partial f }{ \partial x }  =  \partial_xf  =  f'_{x}</math> 
||left}}
Onde <math>\scriptstyle \partial</math> é a letra 'd' redondeada, coñecida como o 'd de Jacobi'.

Cando unha magnitude <math>A</math> é función de diversas [[Variábel|variable]]s (<math>x</math>,<math>y</math>,<math>z</math>,<math>...</math>), é dicir:
{{ecuación|
<math> A = f\left(x,y,z,...\right) </math>
||left}}
Ao realizar esta derivada obtemos a expresión que nos permite obter a pendente da recta tanxente a dita función <math>A</math> nun punto dado. Esta recta é paralela ao plano formado polo eixe da incógnita respecto á cal se fixo a derivada e o eixe z.

Analiticamente o [[gradiente]] dunha función é a máxima pendente de dita función na dirección que se elixa. Visto desde a [[álxebra linear]], a dirección do gradiente indícanos cara a onde hai maior variación na función.

== Introdución ==
Supoñamos que <math>\scriptstyle f</math> é unha función de máis dunha variable, é dicir, unha función real de variable vectorial. Para o caso,
{{ecuación|
<math> f(x, y) = x^2 + xy + y^2\, </math>
||left}}
[[Ficheiro:Grafico 3d x2+xy+y2.png‎|miniatura|300px|Un gráfico de ''z''&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''xy''&nbsp;+&nbsp;''y''<sup>2</sup>. Queremos encontrar a derivada parcial en (1,&nbsp;1,&nbsp;3) que deixa ''y'' constante; a correspondente liña tanxente é paralela ao eixe ''x''.]]

É difícil describir a derivada de tal función, xa que existe un número infinito de liñas tanxentes en cada punto da súa superficie. A derivación parcial é o acto de elixir unha desas liñas e encontrar a súa pendente. Xeralmente, as liñas que máis interesan son aquelas que son paralelas ao eixe ''x'', e aquelas que son paralelas ao eixe ''y''.

[[Ficheiro:X2+x+1.png|left|miniatura|300px|Este é un corte do gráfico á dereita de ''y''&nbsp;=&nbsp;1.]]Unha boa maneira de encontrar os valores para esas liñas paralelas é a de tratar as outras variables como constantes mentres se deixa a variar só unha. Por exemplo, para encontrar a liña tanxente da función de arriba en (1,&nbsp;1,&nbsp;3) que é paralela o eixe ''x'', tratamos a variable ''y'' como constante. O gráfico da función e o plano y = 1 móstranse á dereita. Á esquerda, vemos como se ve a función, no plano ''y''&nbsp;=&nbsp;1. Encontrando a liña tanxente neste gráfico, descubrimos que a pendente da liña tanxente de ''ƒ'' en (1,&nbsp;1,&nbsp;3) que é paralela ao eixe x é tres. Que escribimos:
{{ecuación|
<math>\frac{\partial z}{\partial x} = 3</math>
||left}}
no punto (1,&nbsp;1,&nbsp;3),

ou como "a derivada parcial de ''z'' con respecto a ''x'' en (1,&nbsp;1,&nbsp;3) é 3."

== Exemplos ==
[[Ficheiro:Cone 3d.png|miniatura|O volume dun cono depende da altura (h) e o radio (r)]]
* Considera o volume ''V'' dun [[cono]], este depende da altura ''h'' do cono e o seu radio ''r'' de acordo coa fórmula
{{ecuación|
<math>V(r,h) = \frac{ r^2 h \pi }{3}</math>
||left}}
As derivadas parciais de ''V'' respecto a ''r'' e ''h'' son:
{{ecuación|
<math>\frac{ \partial V}{\partial r}(r, h) = \frac{ 2r h \pi }{3}, \qquad \frac{ \partial V}{\partial h}(r, h) = \frac{ r^2 \pi }{3}</math>
||left}}
* Outro exemplo, dada a función <math>F : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} </math> tal que:
:<math> F(x,y) = 3x^3 y + 2x^2 y^2 -7y\,</math>
a derivada parcial de <math>F</math>  respecto de <math>x</math> é:
:<math>\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) =  9x^2y + 4xy^2 </math>
mentres que con respecto de <math>y</math> é:
:<math>\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = 3 x^3 + 2 x^2 2y - 7 = 3 x^3 + 4 x^2 y - 7 </math>

== Definición formal ==
Como as derivadas nunha variable, as derivadas parciais están definidas como o [[Límite matemático|límite]]. Onde ''U'' é un subconxunto aberto de '''R'''<sup>''n''</sup> e ''f'' : ''U'' → '''R''' unha función. Definimos derivada parcial de ''f'' no punto '''''a''''' = (''a''<sub>1</sub>,..., ''a''<sub>''n''</sub>) ∈ ''U'' con respecto á  ''i''-ésima variable ''x''<sub>''i''</sub> como:
{{ecuación|
<math>\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) =
\lim_{h \rightarrow 0}{ 
f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - 
f(a_1, \dots ,a_n) \over h }
</math>
||left}}
Ou visto respecto á derivada direccional:
{{ecuación|
<math>\frac{ \partial}{\partial x_i} f(\vec{x}_0) = D_{\vec{v}}f \left( \vec{x}_0 \right) =
\underset{t\rightarrow 0}{\lim }\frac{f\left(\overrightarrow{x_0}+t\vec{v}\right)-f\left( \vec{x}_0 \right)}{t}</math>}}
onde <math>\vec{v}</math> é o vector unitario do eixe respecto ao que se deriva (<math>{x_i}</math>).

Se todas as derivadas parciais existen no punto ''a'', a función non necesariamente é continua nese punto. Mais, se todas as derivadas parciais existen '''arredor''' de ''a'' e son continuas, entón a función non só é continua senón ademais [[función diferenciábel|diferenciable]] onda ''a''. Neste caso, ''f'' é unha función C<sup>1</sup>.

== Notación ==
Para o seguinte exemplo, ''f'' será unha función de ''x'' e ''y''.

* Derivadas parciais de primeira orde:
{{ecuación|
<math>\frac{\partial f}{\partial x} = f'_x = \partial_x f</math>
||left}}
Derivadas parciais (dobres) de segunda orde:
{{ecuación|
<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f''_{xx} = \partial_{xx} f, \qquad
      \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = f''_{yy} = \partial_{yy} f,</math>
||left}}
Derivadas cruzadas de segunda orde:
{{ecuación|
<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = f''_{yx} = \partial_{xy} f, \qquad
      \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = f''_{xy} = \partial_{yx} f,</math>
||left}}

=== Termodinámica ===
En [[termodinámica]] e outras áreas da física emprégase a seguinte notación:
{{ecuación|
<math>\left( \frac{\partial Y}{\partial X} \right)_Z</math>
||left}}
Que significa que <math>\exists f_{XZ}(\cdot):\ Y = f_{XZ}(X,Z)\,</math> e entón:
{{ecuación|
<math>\left( \frac{\partial Y}{\partial X} \right)_Z := \frac{\partial f_{XZ}(X,Z)}{\partial X}</math>
||left}}
Esta notación úsase pois frecuentemente unha magnitude pode expresarse como función de diferentes variables polo que en xeral:
{{ecuación|
<math>\left( \frac{\partial Y}{\partial X} \right)_{Z_1} \ne
\left( \frac{\partial Y}{\partial X} \right)_{Z_2}
</math>||left}}
Xa que a forma precisa das funcións <math>f_{XZ_1}(\cdot,\cdot)</math> e <math>f_{XZ_2}(\cdot,\cdot)</math> é diferente, é dicir, trátanse de funcións diferentes.

== Derivadas parciais de orde superior ==
Á súa vez, a derivada parcial <math>\partial_{x_i} f</math> pode verse como outra función definida en ''U'' e derivarse parcialmente. Se todas as súas derivadas parciais existen e son continuas, chamamos a ''f'' unha función C<sup>2</sup>; neste caso, as derivadas parciais poden ser intercambiadas polo [[teorema de Clairaut]] tamén coñecido como teorema de [[Laurent Schwartz|Schwartz]].
{{ecuación|
<math>\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} =
\frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}.</math>
||left}}
En '''R'''<sup>''2''</sup>, se se cumpre o xa dito, asegúrase que:
{{ecuación|
<math>\frac{ \partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{ \partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = f_{xy} = f_{yx} </math>
||left}}

== Véxase tamén ==
===Outros artigos===
* [[Derivada]]
* [[Derivada total]]
* [[Derivada de Lie]]
* [[Derivada covariante]]
* [[Jacobiano]]

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Análise matemática]]