Ver o código fonte de «Cuaternión»

{| class="wikitable" align="right" style="text-align:center; margin-left:0.5em; max-width: 230px;"
|+táboa de multiplicar dos cuaternións
! nowrap="" width="15" | &#x2193;&#x2009;&#xD7;&#x2009;&#x2192;
! width="15" | {{Math|1}}
! width="15" | {{Math|'''i'''}}
! width="15" | {{Math|'''j'''}}
! width="15" | {{Math|'''k'''}}
|-
! {{Math|1}}
| {{Math|1}}
| {{Math|'''i'''}}
| {{Math|'''j'''}}
| {{Math|'''k'''}}
|-
! {{Math|'''i'''}}
| {{Math|'''i'''}}
| {{Math|−1}}
| {{Math|'''k'''}}
| {{Math|−'''j'''}}
|-
! {{Math|'''j'''}}
| {{Math|'''j'''}}
| {{Math|−'''k'''}}
| {{Math|−1}}
| {{Math|'''i'''}}
|-
! {{Math|'''k'''}}
| {{Math|'''k'''}}
| {{Math|'''j'''}}
| {{Math|−'''i'''}}
| {{Math|−1}}
|-
| colspan="5" | A columna da esquerda mostra o factor esquerdo, a fila superior mostra o factor dereito. A maiores, <math>a\mathbf{b}=\mathbf{b}a</math> e tamén <math>-\mathbf{b} = (-1)\mathbf{b}</math> para <math>a\in \mathbb{R} </math>, <math>\mathbf{b} = \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} </math>.
|}
[[Ficheiro:Cayley_Q8_multiplication_graph.svg|miniatura| Grafo de Cayley Q8 que mostra os seis ciclos de multiplicación por {{Vermello|'''i'''}}, {{Verde|'''j'''}} e {{Azul|'''k'''}}. (Se a imaxe se abre en [[Wikimedia Commons]] premendo dúas veces nela, pódense resaltar os ciclos pasando o cursor sobre eles ou facendo clic neles).]]

En [[matemáticas]], o [[Número|sistema numérico]] '''de cuaternións''' estende os [[Número complexo|números complexos]]. Os cuaternións foron descritos por primeira vez polo matemático irlandés [[Rowan Hamilton|William Rowan Hamilton]] en 1843<ref>{{cita revista |title=On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra |journal=Letter to John T. Graves |date=17 October 1843}}</ref><ref>{{cita libro |title=The history of non-euclidean geometry: Evolution of the concept of a geometric space |url=https://archive.org/details/historyofnoneucl0000roze |year=1988 |publisher=Springer |first=Boris Abramovich |last=Rozenfelʹd |page=[https://archive.org/details/historyofnoneucl0000roze/page/n400 385] |isbn=9780387964584}}</ref> e aplicados á [[mecánica]] no [[espazo tridimensional]]. A álxebra dos cuaternións adoita denotarse por {{Math|'''H'''}} (por ''Hamilton''), ou por <math>\mathbb H.</math> Os cuaternións non son un [[Corpo (álxebra)|corpo]], porque a multiplicación de cuaternións non é, en xeral, [[Conmutatividade|conmutativa]]. Os cuaternións proporcionan unha definición do cociente de dous [[vector|vectores]] nun espazo tridimensional.<ref>{{cita libro|url=https://archive.org/details/bub_gb_TCwPAAAAIAAJ |quote=quaternion quotient lines tridimensional space time |title=Hamilton |page=[https://archive.org/details/bub_gb_TCwPAAAAIAAJ/page/n188 60] |year=1853 |publisher=Hodges and Smith}}</ref><ref>{{cita libro  |title=Hardy 1881 |page=32 |year=1881 |publisher=Ginn, Heath, & co.|isbn=9781429701860 }}</ref> Os cuaternións son xeralmente representados na forma

:<math>a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j +d\,\mathbf k,</math>

onde os coeficientes {{Mvar|a}}, {{Mvar|b}}, {{Mvar|c}}, {{Mvar|d}} son [[Número real|números reais]] e {{Math|1, '''i''', '''j'''}}, {{Math|'''k'''}} son os ''vectores'' ou ''elementos da'' base.

Os cuaternións utilízanse en [[Matemática pura|matemáticas puras]], pero tamén teñen usos prácticos en [[Matemática aplicada|matemáticas aplicadas]], particularmente para [[Cuaternións e rotación espacial|cálculos que implican rotacións tridimensionais]], como en [[Gráficos 3D por ordenador|gráficos tridimensionais por ordenador]], [[Visión artificial|visión por ordenador]], robótica, [[Imaxe por resonancia magnética|resonancia magnética]]<ref name="Mamone">{{Cita publicación periódica| last1=Mamone|first1=Salvatore | last2=Pileio|first2=Giuseppe | last3=Levitt|first3=Malcolm H. | year=2010 | title=Orientational Sampling Schemes Based on Four Dimensional Polytopes | journal=Symmetry | volume=2 |issue=3 | pages=1423–1449 | doi=10.3390/sym2031423 |bibcode=2010Symm....2.1423M}}</ref> e análise [[Textura (química)|de texturas cristalográficas]].<ref name="Lunze">{{Cita publicación periódica| first1=Karsten |last1=Kunze |first2=Helmut |last2=Schaeben |title=The Bingham distribution of quaternions and its spherical radon transform in texture analysis |journal=Mathematical Geology |date=November 2004 |volume=36 |issue=8 |pages=917–943 |doi=10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59|bibcode=2004MatGe..36..917K}}</ref> Pódense empregar xunto a outros métodos de rotación, como [[ángulos de Euler|os ángulos de Euler]] e [[Matriz de rotación|as matrices de rotación]], ou como alternativa a eles, segundo a aplicación.

En termos modernos, os cuaternións forman unha [[álxebra de división]] [[Álxebra de composición|normada]] [[Álxebra asociativa|asociativa]] de catro dimensións sobre os números reais e, polo tanto, un anel, tamén un [[anel de división]] e un [[Dominio (teoría dos aneis)|dominio]]. É un caso especial dunha [[álxebra de Clifford]], clasificada como <math>\operatorname{Cl}_{0,2}(\mathbb R)\cong \operatorname{Cl}_{3,0}^+(\mathbb R).</math> Foi a primeira álxebra de división non conmutativa que se descubriu.

Os [[cuaternións unitarios]] dan unha estrutura [[Grupo (matemáticas)|de grupo]] nas esferas de {{Math|S<sup>3</sup>}}  isomorfas aos grupos Spin(3) e SU(2), é dicir, o grupo [[Recubrimento (topoloxía)|de recubrimento universal]] SO(3). Os vectores da base positivos e negativos forman o [[grupo de cuaternións]] de oito elementos.
[[Ficheiro:Quaternion_2.svg|dereita|miniatura| Representación gráfica de produtos de  cuaternións unitarios como rotacións de 90° nos planos do espazo de 4 dimensións estendidos por dous de {{Math|{1, '''i''', '''j''', '''k'''}.}} O factor esquerdo pódese ver como rotado polo factor dereito para chegar ao produto. Visualmente {{Math|1={{font color|blue|'''i{{nbsp}}⋅{{nbsp}}j'''}} = −{{font color|red|('''j{{nbsp}}⋅{{nbsp}}i''')}}}}. {{Lista con marcas|{{font color|blue|en ''azul'':
{{bulleted list |{{Math|1=1{{nbsp}}⋅{{nbsp}}'''i'''{{nbsp}}{{=}}{{nbsp}}'''i'''}} (plano 1/'''i''') | {{Math|1='''i'''{{nbsp}}⋅{{nbsp}}'''j'''{{nbsp}}{{=}}{{nbsp}}'''k'''}} (plano '''i'''/'''k''')
}} }}|{{font color|red|en ''vermello'':
{{bulleted list |{{Math|1=1{{nbsp}}⋅{{nbsp}}'''j'''{{nbsp}}{{=}}{{nbsp}}'''j'''}} (plano 1/'''j''') | {{Math|1='''j'''{{nbsp}}⋅{{nbsp}}'''i'''{{nbsp}}{{=}}{{nbsp}}−'''k'''}} (plano '''j'''/'''k''')
}}
}}}}]]

== Definición ==
Un ''cuaternión'' é unha expresión da forma

:<math>a + b\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k},</math>

onde {{Mvar|a}}, {{Mvar|b}}, {{Mvar|c}}, {{Mvar|d}}, son números reais e {{Math|'''i'''}}, {{Math|'''j'''}}, {{Math|'''k'''}}, son [[Símbolos matemáticos|símbolos]] que se poden interpretar como vectores unitarios que apuntan ao longo dos tres eixes espaciais. 

Hamilton describe un cuaternión <math>q = a + b\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k}</math>, de forma que consta dunha parte [[escalar]] e unha parte vectorial. O cuaternión <math> b\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k}</math> chámase ''parte vectorial'' (ás veces ''parte imaxinaria'') de {{Mvar|q}}, e {{Mvar|a}} é a ''parte escalar'' (ás veces ''parte real'') de {{Mvar|q}}. 

O conxunto de cuaternións é un [[espazo vectorial]] de 4 dimensións sobre os números reais, con <math>\left\{ 1, \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k\right\}</math> como [[Base (álxebra linear)|base]], pola adición de compoñentes

:<math>\begin{align}
&(a_1 + b_1\mathbf i + c_1\mathbf j + d_1\mathbf k) + (a_2 + b_2\mathbf i + c_2\mathbf j + d_2\mathbf k) \\[3mu]
&\qquad = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\mathbf i + (c_1 + c_2)\mathbf j + (d_1 + d_2)\mathbf k,
\end{align}</math>

e a multiplicación escalar por compoñentes

:<math>\lambda(a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j + d\,\mathbf k) = \lambda a + (\lambda b)\mathbf i + (\lambda c)\mathbf j + (\lambda d)\mathbf k.</math>

Unha estrutura de grupo multiplicativa, chamada ''produto de Hamilton'', denotada por xustaposición, pódese definir nos cuaternións do seguinte xeito:

* O cuaternión real {{Math|'''1'''}} é o [[Elemento neutro|elemento de identidade]].
* Os cuaternións '''reais''' conmutan con todos os outros cuaternións, é dicir, {{Math|''aq'' {{=}} ''qa''}} para cada cuaternión {{Mvar|q}} e cada cuaternión real {{Mvar|a}}. En terminoloxía alxébrica isto quere dicir que o corpo dos cuaternións reais é o ''[[Centro (teoría de aneis)|centro]]'' desta álxebra cuaterniónica.
* Primeiro dáse o produto para os elementos básicos (ver subsección seguinte), e despois esténdese a todos os cuaternións utilizando a [[Distributividade|propiedade distributiva]] e a propiedade central dos cuaternións reais. O produto de Hamilton non é [[Conmutatividade|conmutativo]], pero é [[Asociatividade (álxebra)|asociativo]], polo que os cuaternións forman unha álxebra asociativa sobre os números reais.
* A maiores, cada cuaternión distinto de cero ten unha inversa con respecto ao produto de Hamilton: 
:<math>(a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j + d \,\mathbf k)^{-1} = \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}\,(a - b\,\mathbf i - c\,\mathbf j- d\,\mathbf k).</math>

Así, os cuaternións forman unha álxebra de división.

=== Multiplicación dos elementos da base ===
{| class="wikitable" align="right" style="text-align:center"
|+[[Táboa de multiplicar|Táboa de multiplicación]]
! width="15" | ×
! width="15" | {{Math|1}}
! width="15" | {{Math|'''i'''}}
! width="15" | {{Math|'''j'''}}
! width="15" | {{Math|'''k'''}}
|-
! {{Math|1}}
| {{Math|1}}
| {{Math|'''i'''}}
| {{Math|'''j'''}}
| {{Math|'''k'''}}
|-
! {{Math|'''i'''}}
| {{Math|'''i'''}}
| {{Math|−1}}
| style="background: #FF9999;" | {{Math|'''k'''}}
| style="background: #9999FF;" | {{Math|−'''j'''}}
|-
! {{Math|'''j'''}}
| {{Math|'''j'''}}
| style="background: #FF9999;" | {{Math|−'''k'''}}
| {{Math|−1}}
| style="background: #99FF99;" | {{Math|'''i'''}}
|-
! {{Math|'''k'''}}
| {{Math|'''k'''}}
| style="background: #9999FF;" | {{Math|'''j'''}}
| style="background: #99FF99;" | {{Math|−'''i'''}}
| {{Math|−1}}
|-
|+ A non conmutatividade é enfatizada por cadrados de cores
|}
A multiplicación por {{Math|1}} dos elementos da base {{Math|'''i''', '''j'''}} e {{Math|'''k'''}} defínese polo feito de que {{Math|1}} é unha [[Elemento neutro|identidade multiplicativa]], é dicir,

:<math>\mathbf i \, 1 = 1 \, \mathbf i = \mathbf i, \qquad \mathbf j \, 1 = 1 \, \mathbf j = \mathbf j, \qquad \mathbf k \, 1 = 1 \, \mathbf k= \mathbf k .</math>

Os produtos dos outros elementos da base son

:<math>\begin{align}
\mathbf i^2 &= \mathbf j^2 = \mathbf k^2 = -1, \\[5mu]
\mathbf{i\,j} &= - \mathbf{j\,i} = \mathbf k, \qquad
\mathbf{j\,k} = - \mathbf{k\,j} = \mathbf i, \qquad
\mathbf{k\,i} = - \mathbf{i\,k} = \mathbf j.
\end{align}</math>

Combinando estas regras,

:<math>\begin{align}
\mathbf{i\,j\,k}&=-1.
\end{align}</math>

=== Centro ===
O [[Centro (teoría de aneis)|''centro'']] dun [[anel non conmutativo]] é o subanel dos elementos {{Mvar|c}} tal que {{Math|1=''cx'' = ''xc''}} para todo {{Mvar|x}}. O centro da álxebra de cuaternións é o suborpo dos cuaternións reais. De feito, forma parte da definición que os cuaternións reais pertencen ao centro. Pola contra, se {{Math|''q'' {{=}} ''a'' + ''b'' '''i''' + ''c'' '''j''' + ''d'' '''k'''}} pertence ao centro, entón

:<math>0 = \mathbf i\,q - q\,\mathbf i = 2c\,\mathbf{ij} + 2d\,\mathbf{ik} = 2c\,\mathbf k - 2d\,\mathbf j,</math>

e {{Math|''c'' {{=}} ''d'' {{=}} 0}}. Un cálculo similar con {{Math|'''j'''}} en lugar de {{Math|'''i'''}} mostra que tamén se ten {{Math|''b'' {{=}} 0}}. Por tanto {{Math|''q'' {{=}} ''a''}} é un cuaternión ''real''.

=== Produto de Hamilton ===
Para dous elementos {{Math|''a''<sub>1</sub> + ''b''<sub>1</sub>'''i''' + ''c''<sub>1</sub>'''j''' + ''d''<sub>1</sub>'''k'''}} e {{Math|''a''<sub>2</sub> + ''b''<sub>2</sub>'''i''' + ''c''<sub>2</sub>'''j''' + ''d''<sub>2</sub>'''k'''}}, o seu produto, chamado '''produto de Hamilton''' ({{Math|''a''<sub>1</sub> + ''b''<sub>1</sub>'''i''' + ''c''<sub>1</sub>'''j''' + ''d''<sub>1</sub>'''k'''}}) ( {{Math|''a''<sub>2</sub> + ''b''<sub>2</sub>'''i''' + ''c''<sub>2</sub>'''j''' + ''d''<sub>2</sub>'''k'''}} ), está determinado polos produtos dos elementos da base e a [[Distributividade|lei distributiva]]. A lei distributiva permite ampliar o produto para que sexa unha suma de produtos de elementos da base. Isto dá a seguinte expresión:

:<math>\begin{alignat}{4}
    &a_1a_2 &&+ a_1b_2 \mathbf i  &&+ a_1c_2 \mathbf j  &&+ a_1d_2 \mathbf k\\
 {}+{} &b_1a_2 \mathbf i &&+ b_1b_2 \mathbf i^2 &&+ b_1c_2 \mathbf{ij} &&+ b_1d_2 \mathbf{ik}\\
 {}+{} &c_1a_2 \mathbf j &&+ c_1b_2 \mathbf{ji} &&+ c_1c_2 \mathbf j^2 &&+ c_1d_2 \mathbf{jk}\\
 {}+{} &d_1a_2 \mathbf k &&+ d_1b_2 \mathbf{ki} &&+ d_1c_2 \mathbf{kj} &&+ d_1d_2 \mathbf k^2
\end{alignat}</math>

Agora os elementos da base pódense multiplicar usando as regras indicadas anteriormente para obter: <ref name="SeeHazewinkel">See {{Cita Harvard sen parénteses|Hazewinkel|Gubareni|Kirichenko|2004|p=[https://books.google.com/books?id=AibpdVNkFDYC&pg=PA12 12]}}</ref>

:<math>\begin{alignat}{4}
     &a_1a_2 &&- b_1b_2 &&- c_1c_2 &&- d_1d_2\\
  {}+{} (&a_1b_2 &&+ b_1a_2 &&+ c_1d_2 &&- d_1c_2) \mathbf i\\
  {}+{} (&a_1c_2 &&- b_1d_2 &&+ c_1a_2 &&+ d_1b_2) \mathbf j\\
  {}+{} (&a_1d_2 &&+ b_1c_2 &&- c_1b_2 &&+ d_1a_2) \mathbf k
\end{alignat}</math>

=== Partes escalares e vectoriais ===
Un cuaternión da forma {{Math|''a'' + 0 '''i''' + 0 '''j''' + 0 '''k'''}}, onde {{Mvar|a}} é un número real, chámase '''escalar''', e un cuaternión da forma {{Math|0 + ''b'' '''i''' + ''c'' '''j''' + ''d'' '''k'''}}, onde {{Mvar|b}}, {{Mvar|c}} e {{Mvar|d}} son números reais, e polo menos un de {{Mvar|b}}, {{Mvar|c}} ou {{Mvar|d}} é distinto de cero, chámase '''cuaternión vectorial'''. Se {{Math|''a'' + ''b'' '''i''' + ''c'' '''j''' + ''d'' '''k'''}} é calquera cuaternión, entón {{Mvar|a}} chámase a súa '''parte escalar''' e {{Math|''b'' '''i''' + ''c'' '''j''' + ''d'' '''k'''}} a súa '''parte vectorial'''. Aínda que cada cuaternión pode ser visto como un vector nun espazo vectorial de catro dimensións, é común referirse á parte '''vectorial''' como vectores nun espazo tridimensional. Con esta convención, un vector é o mesmo que un elemento do espazo vectorial <math>\mathbb R^3.</math> {{Efn|A parte vectorial dun cuaternión é un vector "axial" ou "[[pseudovector]]", ''non'' un vector ordinario ou "polar", como foi formalmente probado por Altmann (1986).<ref>{{cita libro |first=S.L. |last=Altmann |at=Ch. 12 |title=Rotacións, cuaternións e grupos dobres}}</ref> Pódese representar un vector polar nos cálculos (por exemplo, para a rotación por un cuaternión "transformada de semellanza") por un puro cuaternión imaxinario, sen perda de información, mais non se deben confundir os dous. O eixo dun cuaternión de rotación "binario" (180°) corresponde á dirección do vector polar representado neste caso.}}

Se un cuaternión se divide nunha parte escalar e unha parte vectorial, é dicir,

:<math>
\mathbf q = (r,\,\vec{v}),\ \mathbf q \in \mathbb{H},\ r \in \mathbb{R},\ \vec{v}\in \mathbb{R}^3,
</math>

entón as fórmulas para a suma, a multiplicación e a inversa multiplicativa son

:<math>\begin{align}
(r_1,\,\vec{v}_1) + (r_2,\,\vec{v}_2)
&= (r_1 + r_2,\,\vec{v}_1 + \vec{v}_2), \\[5mu]
(r_1,\,\vec{v}_1) (r_2,\,\vec{v}_2)
&= (r_1 r_2 - \vec{v}_1\cdot\vec{v}_2,\,r_1\vec{v}_2+r_2\vec{v}_1 + \vec{v}_1\times\vec{v}_2), \\[5mu]
(r,\,\vec{v})^{-1}
&= \left(\frac{r}{r^2 + \vec{v}\cdot\vec{v}},\ \frac{-\vec{v}}{r^2 + \vec{v}\cdot\vec{v}}\right),
\end{align}</math>

onde "<math>{}\cdot{}</math>" e "<math>\times</math>" indican respectivamente o [[produto escalar]] e o [[produto vectorial]].

== A conxugación, a norma e a recíproca ==
A conxugación de cuaternións é análoga á conxugación de números complexos e á transposición (tamén coñecida como reversión) de elementos das álxebras de Clifford. Para definilo, temos o cuaternión <math>q = a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j + d\,\mathbf k </math>. O '''conxugado''' de {{Mvar|q}} é o cuaternión <math> q^* = a - b\,\mathbf i - c\,\mathbf j - d\,\mathbf k </math>. Denotase por {{Math|''q''<sup>∗</sup>}}, ''q<sup>t</sup>'', <math>\tilde q</math> ou {{Overline|''q''}}.<ref name="SeeHazewinkel">See {{Cita Harvard sen parénteses|Hazewinkel|Gubareni|Kirichenko|2004|p=[https://books.google.com/books?id=AibpdVNkFDYC&pg=PA12 12]}}</ref> A conxugación é unha [[Involución (matemáticas)|involución]], o que significa que é a súa propia [[Función inversa|inversa]], polo que conxugar un elemento dúas veces devolve o elemento orixinal. O conxugado dun produto de dous cuaternións é o produto dos conxugados ''na orde inversa''. É dicir, se {{Mvar|p}} e {{Mvar|q}} son cuaternións, entón {{Math|1=(''pq'')<sup>∗</sup> = ''q''<sup>∗</sup>''p''<sup>∗</sup>}}, non {{Math|''p''<sup>∗</sup>''q''<sup>∗</sup>}}.

A conxugación dun cuaternión, en marcado contraste cos complexos, pódese expresar coa multiplicación e adición de cuaternións:

:<math>
q^* = - \tfrac{1}{2} (q + \mathbf i \,q \,\mathbf i + \mathbf j \,q \,\mathbf j + \mathbf k \,q \,\mathbf k).
</math>

A conxugación pódese usar para extraer as partes escalares e vectoriais dun cuaternión. A parte escalar de {{mvar|p}} é {{math|{{sfrac|1|2}}(''p'' + ''p''<sup>∗</sup>)}}, e a parte vectorial de {{mvar|p}} é {{math|{{sfrac|1|2}}(''p'' − ''p''<sup>∗</sup>)}}.

A [[raíz cadrada]] do produto dun cuaternión co seu conxugado chámase [[Norma (matemáticas)|''norma'']] e denótase <math>\lVert q \rVert</math>. En fórmulas, isto exprésase do seguinte xeito:

:<math>\lVert q \rVert = \sqrt{qq^*} = \sqrt{q^*q} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}</math>.

Isto é sempre un número real non negativo, e é o mesmo que a norma euclidiana en <math>\mathbb H</math> considerado como o espazo vectorial <math>\mathbb R^4</math>. Multiplicando un cuaternión por un número real escala a súa norma polo valor absoluto do número. É dicir, se {{Mvar|α}} é real, entón

:<math>\lVert\alpha q\rVert = \left| \alpha\right|\,\lVert q\rVert.</math>

Este é un caso especial do feito de que a norma é ''multiplicativa'', é dicir

:<math>\lVert pq \rVert = \lVert p \rVert\,\lVert q \rVert</math>

para dous cuaternións {{Mvar|p}} e {{Mvar|q}} calquera. A multiplicatividade é unha consecuencia da fórmula do conxugado dun produto. Alternativamente, dedúcese da identidade

:<math> \det \begin{pmatrix}
a + i b & i d + c \\
 i d - c & a - i b
\end{pmatrix} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2,</math>

(onde {{Mvar|i}} denota a [[unidade imaxinaria]] habitual) e, polo tanto, a partir da propiedade multiplicativa dos [[Determinante (matemáticas)|determinantes]] das matrices cadradas.

Esta norma permite definir a '''distancia''' {{Math|''d''(''p'', ''q'')}} entre {{Mvar|p}} e {{Mvar|q}} como a norma da súa diferenza:

:<math>d(p, q) = \lVert p - q \rVert.</math>

Isto fai de <math>\mathbb H</math> un [[espazo métrico]]. A suma e a multiplicación son [[Función continua|continuas]] en relación coa [[Espazo métrico|topoloxía métrica]] asociada. Isto dedúcese exactamente coa mesma proba que para os números reais <math>\mathbb R</math> do feito de que <math>\mathbb H</math> é unha álxebra normada.

=== Cuaternión unitario ===
Un '''cuaternión unitario''' é un cuaternión de norma 1. Dividindo un cuaternión {{Mvar|q}} distinto de cero pola súa norma produce un cuaternión unitario {{Math|'''U'''''q''}} chamado ''versor'' de {{Mvar|q}}:

:<math>\mathbf{U}q = \frac{q}{\lVert q\rVert}.</math>

Todo cuaternión distinto de cero ten unha [[descomposición polar]] única <math> q = \lVert q \rVert \cdot \mathbf{U} q, </math> mentres que o cuaternión cero pode formarse a partir de calquera cuaternión unitario.

Usando a conxugación e a norma permite definir o [[Inverso multiplicativo|recíproco]] dun cuaternión distinto de cero. O produto dun cuaternión co seu recíproco debe ser igual a 1, e as consideracións anteriores implican que o produto de <math>q</math> e <math>q^* / \left \Vert q \right \| ^2</math> é 1 (para calquera orde de multiplicación). Polo tanto, o ''[[Inverso multiplicativo|recíproco]]'' de {{Mvar|q}} defínese como

:<math>q^{-1} = \frac{q^*}{\lVert q\rVert^2}.</math>

Dado que a multiplicación é non conmutativa, as cantidades cocientes {{Math|''p q''<sup>−1</sup>}} e {{Math|''q''<sup>−1</sup>''p''}} son diferentes (agás se {{Mvar|p}} e {{Mvar|q}} son múltiplos escalares entre si ou se un deles é escalar): a notación

== Os cuaternións e a xeometría tridimensional ==
A parte vectorial dun cuaternión pódese interpretar como un vector de coordenadas en <math>\mathbb R^3;</math> polo tanto, as operacións alxébricas dos cuaternións reflicten a xeometría de <math>\mathbb R^3.</math> Operacións como o produto escalar e o produto vectorial poden definirse en termos de cuaternións, e isto fai posíbel aplicar técnicas de cuaternións alí onde xurdan vectores espaciais. Unha aplicación útil dos cuaternións foi interpolar as orientacións de fotogramas clave en gráficos por ordenador. 

Para o resto desta sección, {{Math|'''i'''}}, {{Math|'''j'''}} e {{Math|'''k'''}} denotarán os tres vectores da base imaxinarios <ref>{{cita libro |url=https://archive.org/details/vectoranalysisa00wilsgoog |quote=right tensor dyadic |title=Vector Analysis |publisher=Yale University Press |last1=Gibbs |first1=J. Willard |last2=Wilson |first2= Edwin Bidwell |year=1901 |page=[https://archive.org/details/vectoranalysisa00wilsgoog/page/n452 428]}}</ref> de <math>\mathbb H</math> e unha base para <math>\mathbb R^3.</math> Substituíndo {{Math|'''i'''}} por {{Math|−'''i'''}}, {{Math|'''j'''}} por {{Math|−'''j'''}} e {{Math|'''k'''}} por {{Math|−'''k'''}} envía un vector ao seu [[inverso aditivo]], polo que o inverso aditivo dun vector é o mesmo que o seu conxugado como un cuaternión. Por esta razón, a conxugación ás veces chámase ''inverso espacial''.

Para dous cuaternións vectoriais {{Nowrap|{{math|''p'' {{=}} ''b''<sub>1</sub>'''i''' + ''c''<sub>1</sub>'''j''' + ''d''<sub>1</sub>'''k'''}}}} e {{Nowrap|{{math|''q'' {{=}} ''b''<sub>2</sub>'''i''' + ''c''<sub>2</sub>'''j''' + ''d''<sub>2</sub>'''k'''}}}} o seu [[produto escalar]], por analoxía cos vectores en <math>\mathbb R^3,</math> é

:<math>p \cdot q = b_1 b_2 + c_1 c_2 + d_1 d_2.</math>

Tamén se pode expresar de forma sen compoñentes como

:<math>p \cdot q = \textstyle\frac{1}{2}(p^*q + q^*p) = \textstyle\frac{1}{2}(pq^* + qp^*).</math>

Isto é igual ás partes escalares dos produtos {{Math|''pq''<sup>∗</sup>, ''qp''<sup>∗</sup>, ''p''<sup>∗</sup>''q'', e ''q''<sup>∗</sup>''p''}}. Teña en conta que as súas partes vectoriais son diferentes.

O [[produto vectorial]] de {{Mvar|p}} e {{Mvar|q}} en relación coa orientación determinada pola base ordenada {{Math|'''i''', '''j'''}} e {{Math|'''k'''}} é

:<math>p \times q = (c_1 d_2 - d_1 c_2)\mathbf i + (d_1 b_2 - b_1 d_2)\mathbf j + (b_1 c_2 - c_1 b_2)\mathbf k.</math>

(Lembre que a orientación é necesaria para determinar o signo.) Isto é igual á parte vectorial do produto {{Math|''pq''}} (como cuaternións), así como á parte vectorial de {{Math|−''q''<sup>∗</sup>''p''<sup>∗</sup>}} . Tamén ten a fórmula

:<math>p \times q = \textstyle\tfrac{1}{2}(pq - qp).</math>

Para o [[Conmutador (matemáticas)|conmutador]], {{Math|[''p'', ''q''] {{=}} ''pq'' − ''qp''}}, de dous cuaternións vectoriais temos

:<math>[p,q]= 2p \times q.</math>

En xeral, sexan {{Mvar|p}} e {{Mvar|q}} cuaternións e escribimos

:<math>\begin{align}
p &= p_\text{s} + p_\text{v}, \\[5mu]
q &= q_\text{s} + q_\text{v},
\end{align}</math>

onde {{Math|''p''<sub>s</sub>}} e {{Math|''q''<sub>s</sub>}} son as partes escalares, e {{Math|''p''<sub>v</sub>}} e {{Math|''q''<sub>v</sub>}} son as partes vectoriais de {{Mvar|p}} e {{Mvar|q}}. Logo temos a fórmula

:<math>pq = (pq)_\text{s} + (pq)_\text{v} = (p_\text{s}q_\text{s} - p_\text{v}\cdot q_\text{v}) + (p_\text{s} q_\text{v} + q_\text{s} p_\text{v} + p_\text{v} \times q_\text{v}).</math>

Os cuaternións unitarios pódense identificar con rotacións en <math>\mathbb R^3</math> e foron chamados versores por Hamilton.<ref name="Hamilton">{{cita revista |author-link=William Rowan Hamilton |first=W.R. |last=Hamilton |year=1844–1850 |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/OnQuat/ |title=On quaternions or a new system of imaginaries in algebra |journal=[[Philosophical Magazine]] |department=David R. Wilkins collection |publisher=[[Trinity College Dublin]]}}</ref> Consulte tamén [[Cuaternións e rotación espacial]] para obter máis información sobre como modelar rotacións tridimensionais mediante cuaternións.

== Representacións en matrices ==
Do mesmo xeito que os números complexos poden ser [[Número complexo|representados como matrices]], tamén poden representarse os cuaternións. Hai polo menos dúas formas de representar os cuaternións como matrices de tal xeito que a suma e a multiplicación de cuaternións correspondan á suma e [[Produto de matrices|á multiplicación da matriz]]. Unha delas é usar matrices complexas 2 × 2, e outra é usar matrices [[Número real|reais]] de 4 × 4. En cada caso, a representación dada é unha dunha familia de representacións linearmente relacionadas. Estas son [[Homomorfismo de aneis|homomorfismos]] [[Función inxectiva|inxectivos]] de <math>\mathbb H</math> nos [[Anel de matrices|aneis de matrices]] {{Math|M(2,'''C''')}} e {{Math|M(4,'''R''')}}, respectivamente.

O cuaternión {{Math|''a'' + ''b'''''i''' + ''c'''''j''' + ''d'''''k'''}} pódese representar usando unha matriz complexa 2 × 2 como

:<math>\begin{bmatrix}
\phantom-a + bi & c + di \\
    -c + di & a - bi
\end{bmatrix}.</math>

Usando matrices reais 4 × 4, ese mesmo cuaternión pódese escribir como

:<math>\begin{align}
\left[ \begin{array}{rrrr}
 a & -b & -c & -d \\
 b & a & -d & c \\
 c & d & a & -b \\
 d & -c & b & a
\end{array} \right]
&= a
\left[ \begin{array}{rrrr}
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right]
+ b
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & -1 & 0 & 0 \\
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & -1 \\
 0 & 0 & 1 & 0
\end{array} \right] \\[10mu]
&\qquad + c
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & 0 & -1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1 \\
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & -1 & 0 & 0
\end{array} \right]
+ d
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & 0 & 0 & -1 \\
 0 & 0 & -1 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 1 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right].
\end{align}</math>

Porén, a representación dos cuaternións en {{Math|M(4,'''R''')}} non é única. Por exemplo, o mesmo cuaternión tamén se pode representar como

:<math>\begin{align}
\left[ \begin{array}{rrrr}
 a & d & -b & -c \\
 -d & a & c & -b \\
 b & -c & a & -d \\
 c & b & d & a
\end{array} \right]
&= a
\left[ \begin{array}{rrrr}
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right]
+ b
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & 0 & -1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & -1 \\
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0
\end{array} \right] \\[10mu]
&\qquad + c
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & 0 & 0 & -1 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & -1 & 0 & 0 \\
 1 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right]
+ d
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 -1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & -1 \\
 0 & 0 & 1 & 0
\end{array} \right].
\end{align}</math>

== Teorema dos catro cadrados de Lagrange ==
{{Artigo principal|Teorema dos catro cadrados de Lagrange}}
Os cuaternións tamén se usan nunha das demostracións do teorema dos catro cadrados de Lagrange na [[teoría de números]], que afirma que todo número enteiro non negativo é a suma de catro cadrados enteiros. Alén de ser un teorema elegante por dereito propio, o teorema dos catro cadrados de Lagrange ten aplicacións útiles en áreas das matemáticas fóra da teoría de números, como a teoría do deseño combinatorio. A proba baseada en cuaternións usa [[cuaternións de Hurwitz]], un subanel do anel de todos os cuaternións para os que hai un análogo do [[Algoritmo de Euclides|algoritmo euclidiano]].

== Raíces cadradas de −1 ==
Nos números complexos, <math>\mathbb C,</math> hai exactamente dous números, {{mvar|i}} e {{math|−''i''}}, que dan −1 ao cadrado. En <math>\mathbb H</math> hai infinitas raíces cadradas de menos un: a solución do cuaternión para a raíz cadrada de −1 é a [[esfera]] da unidade en <math>\mathbb R^3.</math> Para ver isto, sexa {{nowrap|{{math|''q'' {{=}} ''a'' + ''b'' '''i''' + ''c'' '''j''' + ''d'' '''k'''}} }} un cuaternión, e supoña que o seu cadrado é −1. En termos de {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} e {{mvar|d}}, isto significa que

:<math>\begin{align}
a^2 - b^2 - c^2 - d^2 &= -1, \vphantom{x^|} \\[3mu]
2ab &= 0, \\[3mu]
2ac &= 0, \\[3mu]
2ad &= 0.
\end{align}</math>

Para satisfacer as tres últimas ecuacións, {{nowrap|{{math|''a'' {{=}} 0}}}} ou {{mvar|b}}, {{mvar|c}} e { {mvar|d}} son todos 0. O último é imposíbel porque ''a'' é un número real e a primeira ecuación implicaría que {{nowrap|{{math|''a''<sup>2</sup> {{=}} −1}}.}} Polo tanto, {{nowrap|{{math|''a'' {{ =}} 0}}}} e {{nowrap|{{math|''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup> {{=}} 1}}.}} Noutras palabras: un cuaternión elévase ao cadrado a −1 se e só se é un cuaternión vectorial coa norma 1. Por definición, o conxunto de todos eses vectores forma a esfera unitaria.

Só os cuaternións reais negativos teñen infinitas raíces cadradas. Todos os demais teñen só dúas (ou unha no caso de 0).{{efn|A identificación das raíces cadradas de menos un en <math>\mathbb H</math> foi dada por Hamilton<ref>{{cita libro |author=Hamilton, W.R. |ano=1899 |título=Elementos dos cuaternións |edición=2ª |page=244 |publisher=Cambridge University Press |isbn=1-108-00171-8}}</ref> pero omitiuse con frecuencia noutros textos. En 1971, Sam Perlis incluíu a esfera na súa exposición de tres páxinas incluída en ''Temas históricos en álxebra'' publicado polo [[National Council of Teachers of Mathematics]].<ref>{{Cita libro |last=Perlis |first=Sam |capítulo=Cápsula 77: Cuaternións |título=Temas históricos en álxebra |chapter-url=https://archive.org/details/historicaltopics0000nati/page/38/mode/2up  |publisher=[[National Council of Teachers of Mathematics]] |location=Reston, VA |serie=Temas históricos para a aula de matemáticas |volume=31 |ano=1971 |páxina=39 |isbn=9780873530583 |oclc=195566 }}</ref> Máis recentemente, a esfera de raíces cadradas de menos un descríbese no libro de [[Ian R. Porteous]] ''Clifford Algebras and the Classical Groups'' (Cambridge, 1995) na proposición 8.13.<ref>{{Cita libro |last=Porteous |first=Ian R. |author-link=Ian R. Porteous |capítulo=Capítulo 8: Cuaternions |url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/porteous3.pdf |título=Clifford Algebras and the Classical Groups |serie=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |editor=[[Cambridge University Press]] |localización=Cambridge |volume=50 |páxinas=60 |ano=1995 |doi=10.1017/CBO9780511470912.009 |isbn=9780521551779 |oclc=32348823 |mr=136909>}}</ref>4}}

==Grupos de rotación tridimensionais e de catro dimensións==
{{Principal|Cuaternións e rotación espacial|Operador de rotación (espazo vectorial)}}
A palabra "conxugación", a maiores do significado dado anteriormente, tamén pode significar levar un elemento {{mvar|a}} a {{math|''rar''<sup> −1</sup>}} onde {{mvar|r}} é algún cuaternión distinto de cero. Todos os [[clase de conxugación|elementos que se conxugan cun elemento dado]] (neste sentido da palabra conxugado) teñen a mesma parte real e a mesma norma da parte vectorial. (Así o conxugado noutro sentido é un dos conxugados neste sentido.) <ref>{{cita arXiv |last=Hanson |first=Jason |year=2011 |title=Rotacións en tres, catro e cinco dimensións | class=math.MG |eprint=1103.5263 }}</ref>

Así, o grupo multiplicativo de cuaternións distintos de cero actúa por conxugación sobre a copia de <math>\mathbb R^3</math> formada por cuaternións con parte real igual a cero. A conxugación por un cuaternión unitario (un cuaternión de valor absoluto 1) con parte real {{math|cos(''φ'')}} é unha rotación dun ángulo {{math|2''φ''}}, sendo o eixo da rotación a dirección da parte vectorial. As vantaxes dos cuaternións son:<ref>{{cita libro |type=BS |last=Günaşti |first=Gökmen |year=2016 |title=Quaternions Alxebra, Their Applications in Rotations and Beyond Quaternions |publisher=Linnaeus University |url=http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:535712/FULLTEXT02 }}</ref>

* Evitando o [[bloqueo do cardán]], un problema con sistemas como os ángulos de Euler.
* Máis rápido e máis compacto que as matrices.
* Representación non singular (comparada cos ángulos de Euler, por exemplo).
* Os pares de cuaternións unitarios representan unha rotación no espazo [[espazo de catro dimensións|4D]].

O conxunto de todos os cuaternións unitarios ([[versor]]es) forma unha esfera de {{math|''S''<sup>3</sup>}} e un grupo (un [[grupo de Lie]]) baixo multiplicación, como cubrimento do grupo <math>\text{SO}(3,\mathbb{R})</math> de matrices ortogonais 3×3 reais de [[determinante (matemáticas)|determinante]] 1 xa que "dous" cuaternións unitarios corresponden a cada rotación baixo a correspondencia anterior. Ver [[truco do cinto de Dirac]].
== Álxebras de cuaternións ==
{{Principal|Álxebra de cuaternións}}

Os cuaternións pódense xeneralizar en outras álxebras chamadas ''álxebras de cuaternións''. Considere {{mvar|F}} calquera corpo con característica diferente de 2, e {{mvar|a}} e {{mvar|b}} son elementos de {{mvar|F}}; unha álxebra asociativa unitaria de catro dimensións pódese definir sobre {{mvar|F}} con base {{math| 1, '''i''', '''j''',}} e {{math|'''i j'''}}, onde  {{nowrap|{{math|'''i'''<sup>2</sup> {{=}} ''a''}}}}, {{nowrap|{{math|'''j'''<sup>2</sup> {{=}} ''b''}}}} e {{nowrap|{{math|'''i j''' {{=}} −'''j i'''}}}} (así temos {{nowrap|{{math|'''(i j)'''<sup>2</sup> {{=}} −''a b''}}}}).

As álxebras de cuaternións son isomorfas á álxebra de matrices 2×2 sobre {{mvar|F}} ou forman álxebras de división sobre {{mvar|F}}, dependendo da escolla de {{mvar|a}} e {{mvar| b}}.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 
{{Reflist|group=lower-alpha}} 
== Véxase tamén ==
{{Commonscat}}
=== Bibliografía ===
* {{cita web|url=https://www.emis.de/classics/Hamilton/Quatern2.pdf|title=On quaternions|author=William Rowan Hamilton|ano=1847}}
* {{cita web|url=http://repositorio.ulusiada.pt/bitstream/11067/338/1/mm_adilia_marinho_dissertacao.pdf|publisher=Universidade lusíada|title=Os quaterniões e suas aplicações
}}

=== Outros artigos ===
* {{Annotated link|Conversión entre cuaternións e ángulos de  Euler}}
* {{Annotated link|Cuaternión dual}}
* {{Annotated link|Álxebra exterior}}
* {{Annotated link|Ciaternión hiperbólico}}
* {{Annotated link|Esfera de Lénárt}}
* {{Annotated link|Matrices de Pauli}}
* {{Annotated link|Variedade cuaterniónica}}
* {{Annotated link|Matriz cuaterniónica}}
* {{Annotated link|Polítopo cuaterniónico}}
* {{Annotated link|Rotacións no espazo euclidiano 4-dimensional}}
* {{Annotated link|Slerp}}

=== Ligazóns externas ===
* [[Lawrence Paulson|Paulson, Lawrence C.]] [https://www.isa-afp.org/entries/Quaternions.html Quaternions (Formal proof development in Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs) ]
* [https://quaternions.online/ Quaternions – Visualisation]


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Wikipedia:Artigos que inclúen citas EB1911 con referencia Wikisource]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]
[[Categoría:Álxebra]]
[[Categoría:Física]]
[[Categoría:Xeometría]]