Ver o código fonte de «Covarianza e contravarianza de vectores»

[[Ficheiro:Vector_1-form.svg|miniatura|Un vector {{color box|#CC0000}}, '''v''', representado en termos de
<br/>
'''base tanxente''' <br/>
 {{color box|orange}} '''e'''{{sub|1}}, '''e'''{{sub|2}}, '''e'''{{sub|3}} coordenadas sobre as curvas {{color box|black}} (''esquerda''),
<br/>
 '''base dual, base covector ou base recíproca''' <br/>
 {{color box|blue}} '''e'''{{sup|1}}, '''e'''{{sup|2}}, '''e'''{{sup|3}}  {{color box|#4B545B}} coordenadas das superficies (''dereita''),
<br/>
en ''[[coordenadas curvilíneas]] tridimensionais'' {{nowrap|(''q''{{sup|1}}, ''q''{{sup|2}}, ''q''{{sup|3}})}}, unha [[tupla]] de números para definir a posición dun punto. 
<br/>Teña en conta que a base e a cobase coinciden só cando a base é [[base ortonormal|ortonormal]].<ref>
 {{cita libro
  | title=Gravitation |title-link=Gravitation (book)
  | first3=J.A. |last3=Wheeler
  | first1=C. |last1=Misner
  |  first2=K.S. |last2=Thorne
  | publisher=W.H. Freeman
  | year=1973
  | isbn=0-7167-0344-0
 }}</ref>]]

En [[física]], especialmente en [[álxebra multilinear]] e [[análise tensorial]], '''a covarianza''' e '''a contravarianza''' describen como muda a descrición cuantitativa de certas entidades xeométricas ou físicas cun [[cambio de base]].<ref>{{Cita libro|last=Frankel |first=Theodore |url=https://www.worldcat.org/oclc/739094283 |title=The geometry of physics : an introduction |date=2012 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-107-60260-1 |page=42 |location=Cambridge |oclc=739094283}}</ref> En resumo, un vector contravariante é unha lista de números que se transforma en sentido contrario a un cambio de base, e un vector covariante é unha lista de números que se transforma do mesmo xeito. Os vectores contravariantes denomínanse só ''vectores'' e os vectores covariantes chámanse ''covectores'' ou ''vectores duais''. Os termos ''covariante'' e ''contravariante'' foron introducidos por [[James Joseph Sylvester]] en 1851.<ref>{{cita libro |first=J.J. |last=Sylvester |chapter=On the general theory of associated algebraical forms |chapter-url=https://books.google.com/books?id=mZ9EAAAAcAAJ&pg=PA289 |editor= |title=Cambridge and Dublin Mathematical Journal |publisher= |location= |date=1851 |isbn= |volume=6 |pages=289–293 |url=}}</ref><ref>{{Cita libro|title=The collected mathematical papers of James Joseph Sylvester |volume=3, 1870–1883|last=Sylvester|first=J.J. University Press|date=16 February 2012 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1107661431|oclc=758983870}}</ref>

[[Tensor|Os tensores]] son obxectos na [[álxebra multilinear]] que poden ter aspectos tanto de covarianza como de contravarianza.

== Introdución ==
Un ''vector'', que é un exemplo de tensor ''contravariante'', ten compoñentes que se transforman inversamente á transformación dos eixos de referencia (con transformacións de exemplo incluíndo [[Rotación (xeometría)|rotación]] e [[Dilación (espazo métrico)|dilatación]]). O vector en si non muda con estas operacións; en cambio, os compoñentes do vector mudan dun xeito que cancela o cambio nos eixos espaciais. Noutras palabras, se os eixes de referencia fosen rotados nunha dirección, a representación do compoñente do vector xiraría exactamente no sentido contrario. Do mesmo xeito, se os eixos de referencia estirasen nunha dirección, as compoñentes do vector, reduciríanse dun xeito exactamente compensatorio. Matematicamente, se o sistema de coordenadas sofre unha transformación descrita por unha [[matriz invertíbel]] ''M, de dimensións <math>n\times n</math>'', de xeito que os vectores da base se transforman segundo <math>\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1^\prime\ \mathbf{e}_2^\prime\ ... \ \mathbf{e}_n^\prime\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1\ \mathbf{e}_2\ ... \ \mathbf{e}_n\end{bmatrix}M</math>, entón as compoñentes dun vector '''v''' na base orixinal (<math>v^i</math>) deben transformarse de forma similar vía <math>\begin{bmatrix} v^1{^\prime} \\ v^2{^\prime} \\ ... \\ v^n{^\prime} \end{bmatrix}=M^{-1}\begin{bmatrix} v^1 \\ v^2 \\ ... \\ v^n \end{bmatrix}</math>. As compoñentes dun ''vector'' represéntanse a miúdo dispostas nunha columna.

Pola contra, un ''covector'' ten compoñentes que se transforman do mesmo modo que os eixos de referencia. Vive no espazo vectorial dual, e representa un mapa linear de vectores a escalares. O operador de produto escalar que inclúe vectores é un bo exemplo de covector. Para ilustralo, supoñamos que temos un covector definido como <math>\mathbf{v}\ \cdot</math>, onde <math>\mathbf{v}</math> é un vector. As compoñentes deste covector nalgunha base arbitraria son <math>\begin{bmatrix} \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_1 & \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_2 & ... & \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_n \end{bmatrix}</math>, con <math>\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1\ \mathbf{e}_2\ ... \ \mathbf{e}_n\end{bmatrix}</math> sendo os vectores base no espazo vectorial correspondente. A covarianza destes compoñentes covectores vese entón observando que se unha transformación descrita por unha  [[matriz invertíbel]] ''M, de dimensións'' <math>n\times n</math>, debía aplicarse aos vectores básicos no espazo vectorial correspondente, <math>\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1^\prime\ \mathbf{e}_2^\prime\ ... \ \mathbf{e}_n^\prime\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1\ \mathbf{e}_2\ ... \ \mathbf{e}_n\end{bmatrix}M</math>, daquela  os compoñentes do covector <math>\mathbf{v}\ \cdot</math> transformarase coa mesma matriz <math>M</math>, é dicir, <math>\begin{bmatrix} \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_1^\prime & \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_2^\prime & ... & \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_n^\prime \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_1 & \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_2 & ... & \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_n \end{bmatrix}M</math> . Os compoñentes dun ''covector'' adoitan representarse dispostos nunha fila.

Un terceiro concepto relacionado coa covarianza e a contravarianza é o de [[invariante]]. Un [[Escalar (física)|escalar]] (tamén chamado tensor de tipo 0 ou rango 0) é un obxecto que non varía co cambio de base. O produto escalar dun vector e dun covector é invariante, porque un deles ten compoñentes que varían co cambio de base, e o outro ten compoñentes que varían en sentido contrario, e os dous efectos anúlanse. Dise así que os covectores son ''duais'' aos vectores.

* Un vector ou [[vector tanxente]], ten compoñentes que ''contra-varían'' cun cambio de base para compensar. Dise que os compoñentes dos vectores (en oposición aos dos covectores) son '''contravariantes'''. Na [[notación de Einstein]] (suma implícita sobre índice repetido), os compoñentes contravariantes denótanse con super''índices''  como en
*: <math>\mathbf{v} = v^i \mathbf{e}_i</math>
* Un covector ou [[vector cotanxente]] ten compoñentes que ''co-varían'' cun cambio de base no espazo vectorial (inicial) correspondente.  As compoñentes dos covectores (en oposición ás dos vectores) dise que son '''covariantes'''. Na [[notación de Einstein]], as compoñentes covariantes denótanse con sub''índices''  como en
*: <math>\mathbf{w} = w_i \mathbf{e}^i.</math>
* O produto escalar dun vector e un covector é o escalar <math>v^iw_i</math>, que é invariante. É o emparellamento de dualidade de vectores e covectores.

== Definición ==
A formulación xeral de covarianza e contravarianza refírese a como se transforman os compoñentes dun vector de coordenadas baixo un [[cambio de base]] ( transformación pasiva). Así, sexa ''V'' un [[espazo vectorial]] de dimensión ''n'' sobre un [[Corpo (álxebra)|corpo]] de [[Escalar|escalares]] ''S'', e sexa cada un de {{Nowrap|1='''f''' = (''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>)}} e {{Nowrap|1='''f'''′ = (''Y''<sub>1</sub>, ..., ''Y''<sub>''n''</sub>)}} unha [[Base (álxebra linear)|base]] de ''V''. A maiores, sexa o cambio de base de '''f''' a '''f''' ′ dado por
{{Bloque numerado|:|<math>\mathbf{f}\mapsto \mathbf{f}' = \biggl(\sum_i a^i_1X_i,\dots,\sum_i a^i_nX_i\biggr) = \mathbf{f}A</math>|{{EquationRef|1}}}}
para algunha matriz [[Matriz invertíbel|invertíbel]] ''n'' × ''n'' ''A'' con entradas <math>a^i_j</math> . Aquí, cada vector ''Y''<sub>''j''</sub> da base '''f''' ′ é unha combinación linear dos vectores ''X''<sub>''i''</sub> da base '''f''', de xeito que

: <math>Y_j=\sum_i a^i_jX_i,</math>

que son as columnas do produto matricial <math>\mathbf f A</math>.

=== Transformación contravariante ===
Un vector <math>v</math> en ''V'' exprésase unicamente como unha [[combinación linear]] dos elementos <math>X_i</math> da base '''f''' as
{{Bloque numerado|:|<math>v=\sum_i v^i[\mathbf{f}]X_i,</math>|{{EquationRef|2}}}}

onde <math>v^i[\textbf{f}]</math> son elementos do corpo ''S'' coñecidos como '''compoñentes''' de ''v'' na base '''f'''. Denotamos o [[Vectores fila e columna|vector columna]] das compoñentes de ''v'' como '''v'''['''f''']:

: <math>\mathbf{v}[\mathbf{f}] = \begin{bmatrix}v^1[\mathbf{f}]\\v^2[\mathbf{f}]\\\vdots\\v^n[\mathbf{f}]\end{bmatrix}</math>

de xeito que ({{EquationNote|2}}) se pode reescribir como un produto matricial

: <math>v = \mathbf{f}\, \mathbf{v}[\mathbf{f}].</math>

O vector ''v'' tamén se pode expresar en termos da base '''f'''′, de xeito que

: <math>v = \mathbf{f'}\, \mathbf{v}[\mathbf{f'}].</math>

No entanto, dado que o propio vector ''v'' é invariante baixo a escolla da base,

: <math>\mathbf{f}\, \mathbf{v}[\mathbf{f}] = v = \mathbf{f'}\, \mathbf{v}[\mathbf{f'}].</math>

A invariante de ''v'' combinada coa relación ({{EquationNote|1}}) entre '''f''' e '''f'''′ implica que

: <math>\mathbf{f}\, \mathbf{v}[\mathbf{f}] = \mathbf{f}A\, \mathbf{v}[\mathbf{f}A],</math>

dando a regra da transformación

: <math>\mathbf{v}[\mathbf{f'}] = \mathbf{v}[\mathbf{f}A] = A^{-1}\mathbf{v}[\mathbf{f}].</math>

En canto aos compoñentes,

: <math>v^i[\mathbf{f}A] = \sum_j \tilde{a}^i_jv^j[\mathbf{f}]</math>

onde os coeficientes <math>\tilde{a}^i_j</math> son as entradas da [[Matriz invertíbel|matriz inversa]] de ''A''.

Dado que as compoñentes do vector ''v'' transfórmanse coa ''inversa'' da matriz ''A'', dise que estas compoñentes se '''transforman de forma contravariante''' baixo un cambio de base.

A forma en que ''A'' relaciona os dous pares represéntase no seguinte diagrama informal mediante unha frecha. A inversión da frecha indica un cambio contravariante:

: <math>\begin{align}
   \mathbf{f} &\longrightarrow \mathbf{f'} \\
 v[\mathbf{f}] &\longleftarrow v[\mathbf{f'}]
\end{align}</math>

=== Transformación covariante ===
Un [[funcional linear]] <math>\alpha</math> en ''V'' exprésase unicamente en termos dos seus '''compoñentes''' (elementos en ''S'') na base '''f''' como

: <math>\alpha(X_i) = \alpha_i[\mathbf{f}], \quad i=1,2,\dots,n.</math>

Estes compoñentes son a acción de <math>\alpha</math> sobre os vectores base ''X''<sub>''i''</sub> da base '''f'''.

Baixo o cambio de base de '''f''' a '''f''' ′ (vía {{EquationNote|1}}), os compoñentes transfórmanse de xeito que

{{Bloque numerado|:|<math>\begin{align}
  \alpha_i[\mathbf{f}A] &= \alpha(Y_i) \\
                        &= \alpha\biggl(\sum_j a^j_i X_j\biggr) \\
                        &= \sum_j a^j_i \alpha(X_j) \\
                        &= \sum_j a^j_i \alpha_j[\mathbf{f}].
\end{align}</math>|{{EquationRef|3}}}}

Denotamos o [[Vectores fila e columna|vector fila]] das compoñentes de <math>\alpha</math> como ''<math>\alpha</math>''['''f''']:

: <math>\mathbf{\alpha}[\mathbf{f}] = \begin{bmatrix}\alpha_1[\mathbf{f}],\alpha_2[\mathbf{f}],\dots,\alpha_n[\mathbf{f}]\end{bmatrix}</math>

de xeito que ({{EquationNote|3}}) pode reescribirse como produto matricial

: <math>\alpha[\mathbf{f}A] = \alpha[\mathbf{f}]A.</math>

Debido a que as compoñentes do funcional linear <math>\alpha</math> se transforman coa matriz ''A'', dise que estas compoñentes se '''transforman de forma covariante''' baixo un cambio de base.

A forma en que ''A'' relaciona os dous pares represéntase no seguinte diagrama informal mediante unha frecha. Indícase unha relación covariante xa que as frechas viaxan na mesma dirección:

: <math>\begin{align}
     \mathbf{f} &\longrightarrow \mathbf{f'} \\
 \alpha[\mathbf{f}] &\longrightarrow \alpha[\mathbf{f'}]
\end{align}</math>

Se se usase unha representación vectorial columna, a lei de transformación sería a [[Matriz transposta|transposición]]

: <math>\alpha^\mathrm{T}[\mathbf{f}A] = A^\mathrm{T}\alpha^\mathrm{T}[\mathbf{f}].</math>

== Coordenadas ==
A escolla da base '''f''' no espazo vectorial ''V'' define unicamente un conxunto de funcións de coordenadas en ''V'', por medio de

: <math>x^i[\mathbf{f}](v) = v^i[\mathbf{f}].</math>

As coordenadas en ''V'' son polo tanto contravariantes no sentido de que

: <math>x^i[\mathbf{f}A] = \sum_{k=1}^n \tilde{a}^i_kx^k[\mathbf{f}].</math>

Pola contra, un sistema de ''n'' cantidades ''v''<sup>''i''</sup> que se transforman como as coordenadas ''x''<sup>''i''</sup> sobre ''V'' define un vector contravariante (ou simplemente vector). Un sistema de ''n'' cantidades que se transforman en sentido oposto ás coordenadas é entón un vector covariante (ou covector).

Esta formulación de contravarianza e covarianza adoita ser máis natural en aplicacións nas que hai un espazo de coordenadas (unha [[Variedade (xeometría)|variedade]]) no que os vectores viven como [[Vector tanxente|vectores tanxentes]] ou [[Vector cotanxente|vectores cotanxentes]]. Dado un sistema de coordenadas local ''x''<sup>''i''</sup> na variedade, os eixos de referencia para o sistema de coordenadas son os [[Campo vectorial|campos vectoriais]]

: <math>X_1 = \frac{\partial}{\partial x^1},\dots,X_n=\frac{\partial}{\partial x^n}.</math>

Isto dá lugar ao sistema de referencia {{Nowrap|1='''f''' = (''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>)}} en cada punto do parche de coordenadas.

Se ''y''<sup>''i''</sup> é un sistema de coordenadas diferente e

: <math>Y_1=\frac{\partial}{\partial y^1},\dots,Y_n = \frac{\partial}{\partial y^n},</math>

entón o sistema de referencia '''f'''' está relacionado co sistema de referencia '''f''' pola inversa da [[matriz jacobiana]] da transición de coordenadas:

: <math>\mathbf{f}' = \mathbf{f}J^{-1},\quad J = \left(\frac{\partial y^i}{\partial x^j}\right)_{i,j=1}^n.</math>

Ou, en índices,

: <math>\frac{\partial}{\partial y^i} = \sum_{j=1}^n\frac{\partial x^j}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^j}.</math>

Un vector tanxente é por definición un vector que é unha combinación linear de coordenadas parciais <math>\partial/\partial x^i</math>. Así, un vector tanxente defínese por

: <math>v = \sum_{i=1}^n v^i[\mathbf{f}] X_i = \mathbf{f}\ \mathbf{v}[\mathbf{f}].</math>

Tal vector é contravariante cen relación ao cambio de sistema de referencia. Baixo os cambios no sistema de coordenadas, temos

: <math>\mathbf{v}\left[\mathbf{f}'\right] = \mathbf{v}\left[\mathbf{f}J^{-1}\right] = J\, \mathbf{v}[\mathbf{f}].</math>

Polo tanto, as compoñentes dun vector tanxente transfórmanse vía

: <math>v^i\left[\mathbf{f}'\right] = \sum_{j=1}^n \frac{\partial y^i}{\partial x^j}v^j[\mathbf{f}].</math>

En consecuencia, un sistema de ''n'' magnitudes ''v''<sup>''i''</sup> en función das coordenadas que se transforman deste xeito ao pasar dun sistema de coordenadas a outro chámase vector contravariante.

== Compoñentes covariantes e contravariantes dun vector cunha métrica ==
[[Ficheiro:Covariantcomponents.gif|miniatura| Compoñentes covariantes e contravariantes dun vector cando a base non é ortogonal.]]
Nun [[espazo vectorial]] de dimensión finita ''V'' sobre un corpo ''K'' cunha [[Operador bilinear|forma bilinear]] simétrica {{Nowrap|''g'' : ''V'' × ''V'' → ''K''}} (que pode denominarse [[tensor métrico]]), hai pouca distinción entre vectores covariantes e contravariantes, porque a [[Operador bilinear|forma bilinear]] permite identificar os covectores con vectores. É dicir, un vector ''v'' determina unívocamente un covector ''α'' via

: <math>\alpha(w) = g(v, w) </math>

para todos os vectores ''w'' . Pola contra, cada covector ''α'' determina un vector único ''v'' por esta ecuación. Debido a esta identificación de vectores con covectores, pódese falar de '''compoñentes covariantes''' ou '''compoñentes contravariantes''' dun vector, é dicir, son só representacións do mesmo vector utilizando a [[base dual]].

Dada unha base {{Nowrap|1='''f''' = (''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>)}} de ''V'', existe unha única base recíproca {{Nowrap|1='''f'''<sup>#</sup> = (''Y''<sup>1</sup>, ..., ''Y''<sup>''n''</sup>)}} de ''V'' determinada esixindo que

: <math>g(Y^i,X_j) = \delta^i_j,</math>

o [[delta de Kronecker]]. En termos destas bases, calquera vector ''v'' pódese escribir de dúas formas:

: <math>\begin{align}
v &= \sum_i v^i[\mathbf{f}]X_i = \mathbf{f}\,\mathbf{v}[\mathbf{f}]\\
&=\sum_i v_i[\mathbf{f}]Y^i = \mathbf{f}^\sharp\mathbf{v}^\sharp[\mathbf{f}].
\end{align}
</math>

'''As''' compoñentes ''v''<sup>''i''</sup>['''f'''] son as '''compoñentes contravariantes''' do vector ''v'' na base '''f''', e as compoñentes ''v<sub>i</sub>''['''f'''] son as '''compoñentes covariantes''' de ''v'' na base '''f'''. A terminoloxía está xustificada porque baixo un cambio de base,

: <math>\mathbf{v}[\mathbf{f}A] = A^{-1}\mathbf{v}[\mathbf{f}],\quad \mathbf{v}^\sharp[\mathbf{f}A] = A^T\mathbf{v}^\sharp[\mathbf{f}].</math>

=== Plano euclidiano ===
No plano euclidiano, o [[produto escalar]] permite identificar vectores con covectores. Se <math>\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2</math> é unha base, entón a base dual <math>\mathbf{e}^1,\mathbf{e}^2</math> satisfai

: <math>\begin{align}
 \mathbf{e}^1\cdot\mathbf{e}_1 = 1, &\quad \mathbf{e}^1\cdot\mathbf{e}_2 = 0 \\
 \mathbf{e}^2\cdot\mathbf{e}_1 = 0, &\quad \mathbf{e}^2\cdot\mathbf{e}_2 = 1.
\end{align}</math>

Así, '''e'''<sup>1</sup> e '''e'''<sub>2</sub> son perpendiculares entre si, como '''e'''<sup>2</sup> e '''e'''<sub>1</sub>, e as lonxitudes de '''e'''<sup>1</sup> e '''e'''<sup>2</sup> normalizadas fronte a  '''e'''<sub>1</sub> e '''e'''<sub>2</sub>, respectivamente.

==== Exemplo ====
Por exemplo,<ref>{{cita libro |last1=Bowen |first1=Ray |first2=C.-C. |last2=Wang |chapter=§3.14 Reciprocal Basis and Change of Basis |chapter-url=https://books.google.com/books?id=Hr5bhIVWr4wC&pg=PA76 |title=Introduction to Vectors and Tensors |year=2008 |orig-year=1976 |publisher=Dover |pages=78, 79, 81 |isbn=9780486469140}}</ref>supoñamos que se nos dá unha base '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub> formada por un par de vectores formando un ángulo de 45° entre si, de tal forma que '''e'''<sub>1</sub> ten lonxitude 2 e '''e'''<sub>2</sub> ten lonxitude 1. Entón, os vectores de base dual danse do seguinte xeito:

* '''e''' <sup>2</sup> é o resultado de xirar '''e'''<sub>1</sub> nun ángulo de 90° (onde o sentido se mide asumindo que o par '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub> está orientado positivamente), e despois mudando a escala para que se cumpra {{Nowrap|'''e'''<sup>2</sup> ⋅ '''e'''<sub>2</sub> {{=}} 1}}.
* '''e'''<sup>1</sup> é o resultado de xirar '''e'''<sub>2</sub> nun ángulo de 90°, e despois mudar a escala para que se cumpra {{Nowrap|'''e'''<sup>1</sup> ⋅ '''e'''<sub>1</sub> {{=}} 1}}.

Aplicando estas regras, atopamos

: <math>\mathbf{e}^1 = \frac{1}{2}\mathbf{e}_1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{e}_2</math>

e

: <math>\mathbf{e}^2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2.</math>

Así, a matriz de cambio de base ao pasar da base orixinal á base recíproca é

: <math>R = \begin{bmatrix}
  \frac{1}{2}     & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
 -\frac{1}{\sqrt{2}} & 2
\end{bmatrix},</math>

xa que

: <math>[\mathbf{e}^1\ \mathbf{e}^2] = [\mathbf{e}_1\ \mathbf{e}_2]\begin{bmatrix}
  \frac{1}{2}    & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
 -\frac{1}{\sqrt{2}} & 2
\end{bmatrix}.</math>

Por exemplo, o vector

: <math>v = \frac{3}{2}\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2</math>

é un vector con compoñentes contravariantes

: <math>v^1 = \frac{3}{2},\quad v^2 = 2.</math>

As compoñentes covariantes obtéñense igualando as dúas expresións para o vector ''v'':

: <math>v = v_1\mathbf{e}^1 + v_2\mathbf{e}^2 = v^1\mathbf{e}_1 + v^2\mathbf{e}_2</math>

así

: <math>\begin{align}
 \begin{bmatrix}v_1\\ v_2\end{bmatrix} &= R^{-1}\begin{bmatrix}v^1 \\ v^2\end{bmatrix} \\
                    &= \begin{bmatrix}4 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 1\end{bmatrix}
                       \begin{bmatrix}v^1 \\ v^2\end{bmatrix} \\
                    &= \begin{bmatrix}6 + 2\sqrt{2} \\ 2 + \frac{3}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}
\end{align}.</math>

=== Espazo euclidiano tridimensional ===
No [[espazo euclidiano]] tridimensional, tamén se pode determinar explicitamente a base dual para un determinado conxunto de [[Base (álxebra linear)|vectores de base]] '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, '''e'''<sub>3</sub> de ''E''<sub>3</sub> que non se supoñen necesariamente ortogonais nin de norma unitaria. Os vectores de base dual son:

: <math> \mathbf{e}^1 = \frac{\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3}{\mathbf{e}_1 \cdot (\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3)} ; \qquad \mathbf{e}^2 = \frac{\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1}{\mathbf{e}_2 \cdot (\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1)}; \qquad \mathbf{e}^3 = \frac{\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2}{\mathbf{e}_3 \cdot (\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2)}.
</math>

Mesmo cando '''e'''<sub>i</sub> e '''e'''<sup>i</sup> non son [[Ortonormalidade|ortonormais]], aínda son mutuamente recíprocas:

: <math>\mathbf{e}^i \cdot \mathbf{e}_j = \delta^i_j,</math>

Entón as compoñentes contravariantes de calquera vector '''v''' pódense obter polo [[produto escalar]] de '''v''' cos vectores da base dual:

: <math> q^1 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{e}^1; \qquad q^2 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{e}^2; \qquad q^3 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{e}^3 .</math>

Así mesmo, as compoñentes covariantes de '''v''' pódense obter a partir do produto escalar de '''v''' con vectores da base, é dicir.

: <math> q_1 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_1; \qquad q_2 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_2; \qquad q_3 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_3 .</math>

Entón '''v''' pódese expresar de dúas formas (recíprocas), a saber.

: <math> \mathbf{v} = q^i \mathbf{e}_i = q^1 \mathbf{e}_1 + q^2 \mathbf{e}_2 + q^3 \mathbf{e}_3 .</math>

ou

: <math> \mathbf{v} = q_i \mathbf{e}^i = q_1 \mathbf{e}^1 + q_2 \mathbf{e}^2 + q_3 \mathbf{e}^3 </math>

Combinando as relacións anteriores, temos

: <math> \mathbf{v} = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}^i) \mathbf{e}_i = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}^i </math>

e podemos converter entre a base e a base dual con

: <math>q_i = \mathbf{v}\cdot \mathbf{e}_i = (q^j \mathbf{e}_j)\cdot \mathbf{e}_i = (\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i) q^j </math>

e

: <math>q^i = \mathbf{v}\cdot \mathbf{e}^i = (q_j \mathbf{e}^j)\cdot \mathbf{e}^i = (\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i) q_j .</math>

Se os vectores de base son ortonormais, entón son os mesmos que os vectores de base dual.

== Uso na análise tensorial ==
A distinción entre covarianza e contravarianza é particularmente importante para os cálculos con [[Tensor|tensores]], que a miúdo teñen '''varianza mixta'''. Isto significa que teñen compoñentes covariantes e contravariantes, ou compoñentes vectoriais e covectores. A valencia dun tensor é o número de termos covariantes e contravariantes, e en [[notación de Einstein]], os compoñentes covariantes teñen subíndices, mentres que os compoñentes contravariantes teñen superíndices. A dualidade entre covarianza e contravarianza intervén sempre que un vector ou unha magnitude tensorial está representada polos seus compoñentes, aínda que [[Xeometría diferencial|a xeometría diferencial]] moderna usa métodos máis sofisticados sen índices para representar tensores .

En termos xeométricos  un tensor xeral terá índices contravariantes así como índices covariantes, porque ten partes que viven no [[fibrado tanxente]] así como no [[fibrado cotanxente]] .

Un vector contravariante é aquel que se transforma como <math>\frac{dx^{\mu}}{d\tau}</math>, onde <math>x^{\mu} \!</math> son as coordenadas dunha partícula no seu [[tempo propio]] <math>\tau</math>. Un vector covariante é aquel que se transforma como <math>\frac{\partial \varphi}{\partial x^{\mu}}</math>, onde <math>\varphi</math> é un corpo escalar.

== Álxebra e xeometría ==
Na [[Teoría das categorías|teoría de categorías]], hai [[Functor|functores covariantes]] e [[Functor contravariante|functores contravariantes]]. A asignación do [[espazo dual]] a un espazo vectorial é un exemplo estándar dun functor contravariante. Os vectores contravariantes (respectivamente covariantes) son functores contravariantes (respectivamente  covariantes) dun <math>\text{GL}(n)</math>-[[torsor]] á representación fundamental de <math>\text{GL}(n)</math>. Do mesmo xeito, os tensores de grao superior son functores con valores noutras representacións de <math>\text{GL}(n)</math>. Porén, algunhas construcións de [[álxebra multilinear]] son de varianza "mixta", o que impide que sexan functores.

En [[xeometría diferencial]], as compoñentes dun vector relativas a unha base do fibrado tanxente son covariantes se mudan coa mesma transformación linear que un cambio de base. Son contravariantes se mudan pola transformación inversa. 

Isto é ás veces unha fonte de confusión por dúas razóns distintas pero relacionadas. O primeiro é que os vectores cuxos compoñentes son covariantes (chamados covectores ou [[Forma-1|formas-1]]) son realmente unha [[Regresión (xeometría diferencial)|regresión]] baixo funcións suaves, o que significa que a operación que asigna o espazo de covectores a unha variedade suave é en realidade un functor ''contravariante''. 

Así mesmo, os vectores cuxos compoñentes son contravariantes son un [[Pulo (diferencial)|pulo]] baixo mapeamentos suaves, polo que a operación que asigna o espazo de vectores (contravariantes) a unha variedade suave é un functor ''covariante''. 

En segundo lugar, no enfoque clásico da xeometría diferencial, non son as bases do fibrado tanxente o obxecto máis primitivo, senón os cambios no sistema de coordenadas. Os vectores con compoñentes contravariantes transfórmanse do mesmo xeito que os cambios nas coordenadas (porque estas realmente mudan en sentido contrario ao cambio de base inducido). Así mesmo, os vectores con compoñentes covariantes transfórmanse en sentido contrario como cambios nas coordenadas.
== Notas ==
{{reflist|30em}} 
{{Reflist|group=lower-alpha}} 
== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{cita libro |last1=Kusse |first1=Bruce R. |last2=Westwig |first2=Erik A. |title=Mathematical Physics: Applied Mathematics for Scientists and Engineers |edition=2nd |publisher=Wiley |year=2010 |isbn=978-3-527-61814-9}}.
* {{cita libro |last1=Arfken |first1=George B.|authorlink1=George B. Arfken |first2=Hans J. |last2=Weber |title=Mathematical Methods for Physicists |edition=6th |publisher=Harcourt |year=2005 |isbn=0-12-059876-0}}.
* {{cita libro | last1=Dodson | first1=C. T. J. | last2=Poston | first2=T. | title=Tensor geometry | publisher=Springer | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-3-540-52018-4 | mr=1223091 | year=1991 | volume=130}}.
* {{cita libro | last1=Greub | first1=Werner Hildbert | title=Multilinear algebra | publisher=Springer | series=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 136 | mr=0224623 | year=1967 |isbn=9780387038278}}.
* {{cita libro | last1=Sternberg | first1=Shlomo | author1-link=Shlomo Sternberg | title=Lectures on differential geometry | url=https://archive.org/details/lecturesondiffer0000ster_a2c2 | publisher=Chelsea | isbn=978-0-8284-0316-0 | year=1983}}.
* {{cita libro |doi=10.1098/rstl.1853.0018 |first=J.J. |last=Sylvester |jstor=108572 |title=On a Theory of the Syzygetic Relations of Two Rational Integral Functions, Comprising an Application to the Theory of Sturm's Functions, and That of the Greatest Algebraical Common Measure |year=1853 |journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London |volume=143 |pages=407–548 |url=https://zenodo.org/record/1432412 }}.
* {{cita libro | last1=Weinreich | first1=Gabriel | title=Geometrical Vectors | url=https://archive.org/details/geometricalvecto0000wein | publisher=The University of Chicago Press | series=Chicago Lectures in Physics | year=1998 | isbn=9780226890487 | pages=126}}

=== Outros artigos ===
* [[Transformacións activa e pasiva]].
* [[Tensor mixto]].
=== Ligazóns externas ===
* {{springer|title=Covariant tensor|id=p/c026880}}
* {{springer|title=Contravariant tensor|id=p/c025970}}
* {{MathWorld | urlname=CovariantTensor | title=Covariant Tensor}}
* {{MathWorld | urlname=ContravariantTensor | title=Contravariant Tensor}}
* [http://www.mathpages.com/home/kmath398/kmath398.htm Invariance, Contravariance, and Covariance]
* {{cite web |first1=Kees |last1=Dullemond |first2=Kasper |last2=Peeters |title=Introduction to tensor calculus |date=2010 |publisher= |url=http://www.ita.uni-heidelberg.de/~dullemond/lectures/tensor/tensor.pdf}}

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Xeometría diferencial]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]