Ver o código fonte de «Corpo de números alxébricos»

En [[matemáticas]], un '''corpo de números alxébricos''' (ou simplemente '''corpo numérico''') ''F'' é unha [[extensión de corpos]] finita (e tamén alxébrica) dos [[Número racional|números racionais]] ℚ. Así pois, ''F'' é un corpo que contén ℚ e ten [[Dimensión de Hamel|dimensión]] finita cando se considera como un [[espazo vectorial]] sobre ℚ.

O estudo dos corpos de números alxébricos, e, máis xeralmente, das extensións alxébricas dos números racionais, é o tema central da [[teoría de números alxébricos]].

== Definición ==
=== Cuestións previas ===
A noción de corpo dos números alxébricos baséase no concepto de [[Corpo (álxebra)|corpo]]. Un exemplo moi común de corpo é o conxunto dos [[Número racional|números racionais]], comunmente denotados por ℚ, xunto coas súas operacións usuais.

Outra noción necesaria para definir os corpos de números alxébricos é o de [[espazo vectorial]]. Na medida necesaria, os espazos vectoriais poden ser considerados como secuencias (ou [[tupla]]s) 
: (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ...) 
coas súas partes constituíntes que son elementos dun corpo fixado, como pode ser o corpo ℚ. Calquera par destas secuencias pode ser sumada mediante a suma das partes constituíntes unha a unha. Ademais, calquera destas secuencias pode ser multiplicada por un elemento ''c'' dun corpo fixado. Estas dúas operacións son coñecidas como [[Vector|suma de vectores]] e [[multiplicación escalar]] satisfacendo un número de propiedades que serven para definir os espazos vectoriais abstractamente. Os espazos vectoriais tamén poden ser de «dimensión infinita», ou o que é o mesmo, que as secuencias constituíntes destes espazos vectoriais teñen lonxitude infinita. Con todo, se o espazo vectorial consiste nun grupo de ''secuencias finitas''
: (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>),
o espazo vectorial dise que ten [[Dimensión de Hamel|dimensión]] finita ''n''.

=== Definición ===
Un corpo de números alxébricos é por definición un [[grao de extensión dun corpo|grao]] finito de extensión de corpos do corpo dos números racionais. Este grao de extensión de ℚ chámase simplemente grao.

== Exemplos ==
* O menor e máis básico corpo numérico é o corpo '''Q''' dos números racionais. Moitas propiedades dos corpos numéricos xerais, como a [[Dominio de factorización única|factorización única]], modélanse con base nas propiedades de '''Q'''.
* Os racionais Gaussianos, denotados por '''Q'''(''i'') (lida como "'''Q''' [[Adxunción (teoría de corpos)|adxunto]] ''i''"), forman o primeiro exemplo non trivial dun corpo numérico. Os seus elementos son expresións da forma
:: ''a''+''bi''
:en que ''a'' e ''b'' son ambos números racionais e ''i'' é a [[unidade imaxinaria]]. Estas expresións poden ser sumadas, subtraídas e multiplicadas de acordo coas regras usuais da [[aritmética]] e simplificadas usando a identidade
:: ''i''<sup>2</sup> = -1.
: Explicitamente,
:: (''a'' + ''bi'') + (''c'' + ''di'') = (''a'' + ''c'') + (''b'' + ''d'')''i'',
:: (''a'' + ''bi'') (''c'' + ''di'') = (''ac'' − ''bd'') + (''ad'' + ''bc'')''i''.
: Os racionais Gaussianos non nulos son [[Elemento inverso|invertibles]], o que pode ser visto a partir da identidade
::<math>(a+bi)\left(\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\right)=\frac{(a+bi)(a-bi)}{a^2+b^2}=1.</math>
: Séguese que os racionais Gaussianos forman un corpo numérico que é bidimensional como espazo vectorial sobre '''Q'''.
* Os [[Número real|números reais]], '''R''', e os [[Número complexo|números complexos]], '''C''', son corpos que teñen dimensión infinita como '''Q'''-espazos vectoriais, polo tanto, non son corpos numéricos. Iso provén da non [[conxunto numerable|numerabilidade]] de '''R''' e '''C''' como conxuntos, xa que todo corpo numérico é necesariamente contable.
* O conxunto '''Q'''<sup>2</sup> de [[Par ordenado|pares ordenados]] de números racionais, coa adición e a multiplicación coordenada a coordenada é unha álxebra conmutativa bidimensional sobre '''Q'''. No entanto, non é un corpo, pois posúe [[Divisor de cero|divisores de cero]]:
: (1, 0) · (0, 1) = (1 · 0, 0 · 1) = (0, 0).

== Véxase tamén ==
=== Outros artigos ===
* [[Extensión de Kummer]]
=== Bibliografía ===
* {{Cita libro| last1=Janusz | first1=Gerald J. | title=Algebraic Number Fields | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | isbn=978-0-8218-0429-2 | year=1997}}
* Serge Lang, ''Algebraic Number Theory'', second edition, Springer, 2000
* Richard A. Mollin, ''Algebraic Number Theory'', CRC, 1999
* Ram Murty, ''Problems in Algebraic Number Theory'', Second Edition, Springer, 2005
* {{Cita libro| last=Narkiewicz| first=Władysław| title=Elementary and analytic theory of algebraic numbers| url=https://archive.org/details/elementaryanalyt0000nark_s8g5| edition=3| year=2004| publisher=[[Springer-Verlag]]| location=Berlín| series=Springer Monographs in Mathematics| isbn=978-3-540-21902-6| id=2078267}}
* {{Cita libro| last1=Neukirch | first1=Jürgen | author1-link=Jürgen Neukirch | title=Algebraic number theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlín, Nova York | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften | isbn=978-3-540-65399-8 | id=1697859 | year=1999 | volume=322}}
* {{Cita libro | last1=Neukirch | first1=Jürgen | author1-link=Jürgen Neukirch | last2=Schmidt | first2=Alexander | last3=Wingberg | first3=Kay | title=Cohomology of Number Fields | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlín, Nova York | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften | isbn=978-3-540-66671-4 | id={{MathSciNet | id = 1737196}} | year=2000 | volume=323}}
* Weil, André, ''Basic Number Theory'', third edition, Springer, 1995

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Teoría de corpos]]
[[Categoría:Álxebra abstracta]]