Ver o código fonte de «Conxunto parcialmente ordenado»

{{Stack|{{Binary relations}}}}
[[Ficheiro:Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg|dereita|miniatura| '''Fig. 1''' O [[diagrama de Hasse]] do [[Conxunto de partes|conxunto de todos os subconxuntos]] dun conxunto de tres elementos <math>\{x, y, z\},</math> ordenado por [[Subconxunto|inclusión]]. Os conxuntos ligados por un camiño ascendente, como <math>\emptyset</math> e <math>\{x,y\}</math>, son comparábeis, mentres que. por exemplo, <math>\{x\}</math> e <math>\{y\}</math> non o son.]]

En [[matemáticas]], especialmente na [[teoría da orde]], unha '''orde parcial''' nun [[conxunto]] é unha disposición tal que, para certos pares de elementos, un precede ao outro. A palabra ''parcial'' úsase para indicar que non todos os pares de elementos han de ser comparábeis; é dicir, pode haber pares para os que ningún elemento precede ao outro. As ordes parciais xeneralizan as [[Orde total|ordes totais]], nas que todo par é comparábel.

Formalmente, unha orde parcial é unha [[relación binaria homoxénea]] que é [[Relación reflexiva|reflexiva]], antisimétrica e [[Relación transitiva|transitiva]]. Un '''conxunto parcialmente ordenado''' ('''poset''' en inglés) é un par ordenado <math>P=(X,\leq)</math> composto por un conxunto <math>X</math> (chamado ''conxunto base'' de <math>P</math>) e unha orde parcial <math>\leq</math> sobre <math>X</math>. 

== Relacións de orde parcial ==
O termo ''orde parcial'' refírese xeralmente ás relacións de orde parcial reflexivas, referidas neste artigo como ordes parciais ''non estritas''. Porén, algúns autores usan o termo para o outro tipo común de relacións de orde parcial, as relacións de orde parcial irreflexivas, tamén chamadas ordes parciais estritas. As ordes parciais estritas e as non estritas pódense poñer nunha [[Bixectiva|correspondencia un a un]], polo que para cada orde parcial estrita hai unha única orde parcial non estrita correspondente, e viceversa.

=== Ordes parciais ===
Unha '''orde parcial non estrita,''' ou '''débil''',<ref name=Wallis/>  ou '''reflexiva''',<ref>{{cita libro|chapter=Partially Ordered Sets|title=Mathematical Tools for Data Mining: Set Theory, Partial Orders, Combinatorics|publisher=Springer|year=2008|isbn=9781848002012|author1=Simovici, Dan A.  |author2=Djeraba, Chabane }}</ref> comunmente coñecida simplemente como '''orde parcial''', é unha [[relación homoxénea]] ≤ nun [[conxunto]] <math>P</math> que é [[Relación reflexiva|reflexiva]], [[Relación antisimétrica|antisimétrica]] e [[Relación transitiva|transitiva]]. É dicir, para todos <math>a, b, c \in P,</math> debe satisfacer:

# [[Relación reflexiva|Reflexividade]]: <math>a \leq a</math>, é dicir, cada elemento está relacionado consigo mesmo.
# [[Relación antisimétrica|Antisimetría]]: se <math>a \leq b</math> e <math>b \leq a</math> entón <math>a = b</math>.
# [[Relación transitiva|Transitividade]]  se <math>a \leq b </math> e <math>b \leq c</math> entón <math>a \leq c</math> .

Unha orde parcial non estrita tamén se coñece como [[Preorde|preorde]] antisimétrica.

=== Ordes parciais estritas ===
Un '''orde parcial estrita''', ou '''forte''',<ref name=Wallis>{{cita libro |last1=Wallis |first1=W. D. |title=A Beginner's Guide to Discrete Mathematics |date=14 marzo 2013 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-1-4757-3826-1 |page=100}}</ref> ou '''irreflexiva''' é unha relación homoxénea < nun conxunto <math>P</math> que é [[Relación reflexiva|irreflexiva]], [[relación asimétrica|asimétrica]] e [[Relación transitiva|transitivoa]]; é dicir, cumpre as seguintes condicións para todos <math>a, b, c \in P:</math>

# [[Relación irreflexiva|Irreflexividade]] : <math>\neg\left( a < a \right)</math>, é dicir, ningún elemento está relacionado consigo mesmo (tamén chamada antirreflexivo).
# Asimetría : se <math>a < b</math> entón non <math>b < a</math>.
# [[Relación transitiva|Transitividade]] : se <math>a < b</math> e <math>b < c</math> entón <math>a < c</math>.

A irreflexividade e a transitividade xuntas implican asimetría. A maiores, a asimetría implica irreflexividade. Noutras palabras, unha relación transitiva é asimétrica se e só se é irreflexiva.<ref name="Flaška 2007">{{cita publicación periódica |last1=Flaška |first1=V. |last2=Ježek |first2=J. |last3=Kepka |first3=T. |last4=Kortelainen |first4=J. |title=Transitive Closures of Binary Relations I |journal=Acta Universitatis Carolinae. Mathematica et Physica |year=2007 |volume=48 |issue=1 |pages=55–69 |publisher=School of Mathematics – Physics Charles University |location=Prague |url=http://dml.cz/dmlcz/142762 }} Lemma 1.1 (iv). This source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".</ref> Lemma 1.1 (iv).</ref> Polo tanto, a definición é a mesma se omite a irreflexividade ou a asimetría (mais non ambas as dúas).

Unha orde parcial estrita tamén se coñece como [[Preorde estrita|preorde estrita]] asimétrica.

=== Correspondencia entre relacións de orde parcial estrita e non estrita ===
As ordes parciais estritas e non estritas nun conxunto <math>P</math> están estreitamente relacionados. Unha orde parcial non estrita <math>\leq</math> pódese converter nunha orde parcial estrita eliminando todas as relacións da forma <math>a \leq a;</math> é dicir, a orde parcial estrita é o conxunto <math>< \; := \ \leq\ \setminus \ \Delta_P</math> onde <math>\Delta_P := \{ (p, p) : p \in P \}</math> é a [[relación de identidade]] sobre <math>P \times P</math> e <math>\;\setminus\;</math> indica [[Complementario (conxuntos)|a resta de conxuntos]]. No outro sentido, unha orde parcial estrita < sobre <math>P</math> pódese converter nunha orde parcial non estrita agregando todas as relacións desa forma; é dicir, <math>\leq\; := \;\Delta_P\; \cup \;<\;</math> é unha orde parcial non estrita. Así, se <math>\leq</math> é unha orde parcial non estrita, entón a orde parcial estrita correspondente < é o [[Relación reflexiva|kernel irreflexivo]] dado por <math display="block">a < b \text{ if } a \leq b \text{ and } a \neq b.</math> Pola contra, se < é unha orde parcial estrita, entón a orde parcial non estrita correspondente <math>\leq</math> é o peche reflexivo dado por: <math display="block">a \leq b \text{ if } a < b \text{ or } a = b.</math>

=== Orde dual ===
A ''dual'' (ou ''oposta'') <math>R^{\text{op}}</math> dunha relación de orde parcial <math>R</math> defínese por <math>R^{\text{op}}</math> sendo a [[relación inversa]] de <math>R</math>, é dicir <math>x R^{\text{op}} y</math> se e só se <math>y R x</math>. A dual dunha orde parcial non estrita é tamén non estrita, {{Sfnp|Davey|Priestley|2002}} e a dual dunha orde parcial estrita tamén estrita. A dual dunha relación dual é a relación orixinal.

== Notación ==
Dado un conxunto <math>P</math> e unha relación de orde parcial, normalmente a orde parcial non estrita <math>\leq</math>, podemos estender de forma única a nosa notación para definir catro relacións de orde parcial <math>\leq,</math><math><,</math><math>\geq,</math> e <math>></math>, onde <math>\leq</math> é unha relación de orde parcial non estrita sobre <math>P</math>, <math> < </math> é a relación de orde parcial estrita asociada en <math>P</math> (o [[Relación reflexiva|kernel irreflexivo]] de <math>\leq</math> ), <math>\geq</math> é o dual de <math>\leq</math>, e <math> > </math> é o dual de <math> < </math>. En rigor, o termo ''conxunto parcialmente ordenado'' refírese a un conxunto con todas estas relacións definidas adecuadamente, mais na práctica, só hai que considerar unha única relación, <math>(P,\leq)</math> ou <math>(P,<)</math>, ou, en casos raros, as relacións non estritas e estritas entre si, <math>(P,\leq,<)</math>.<ref>{{cita libro |last1=Avigad |first1=Jeremy |last2=Lewis |first2=Robert Y. |last3=van Doorn |first3=Floris |title=Logic and Proof |date=29 March 2021 |edition=Release 3.18.4 |url=https://leanprover.github.io/logic_and_proof/relations.html#more-on-orderings |access-date=24 July 2021 |chapter=13.2. More on Orderings |quote=Polo tanto, podemos pensar que cada orde parcial é realmente un par, que consiste nunha orde parcial feble e outra estrita asociada.. |data-arquivo=03 de abril de 2023 |url-arquivo=https://web.archive.org/web/20230403074506/https://leanprover.github.io/logic_and_proof/relations.html#more-on-orderings |url-morta=yes }}</ref>

Cando se refire a ordes parciais, <math>\leq</math> non debe tomarse como [[Complementario (conxuntos)|complemento]] de <math> > </math>. A relación <math> > </math> é a inversa do kernel irreflexivo de <math>\leq</math>, que sempre é un subconxunto do complemento de <math>\leq</math>, mais <math> > </math> é igual ao complemento de <math>\leq</math> [[Se e só se|se, e só se]], <math>\leq</math> é unha orde total.{{Efn|Aquí pode ver unha proba: [[:File:PartialOrders redundencies.pdf|PartialOrders redundencies.pdf]].}}

== Exemplos ==
[[Ficheiro:Division_relation_4.svg|alt=Division Relationship Up to 4|miniatura| '''Fig. 3''' Gráfico da divisibilidade dos números do 1 ao 4. Este conxunto está parcialmente ordenado, mais non totalmente ordenado porque hai unha relación de 1 con todos os demais números, mais non hai relación de 2 con 3 nin de 3 con 4.]]
Exemplos estándar de posets (conxuntos parcialmente ordenados) que aparecen en matemáticas inclúen:

* Os [[Número real|números reais]], ou en xeral calquera conxunto totalmente ordenado, ordenados pola relación estándar ''menor ou igual'' ≤, é unha orde parcial.
* Sobre os números reais <math>\mathbb{R}</math>, a relación usual [[Desigualdade (matemáticas)|menor que]] < é unha orde parcial estrita. O mesmo ocorre tamén coa relación usual [[Desigualdade (matemáticas)|maior que]] > en <math>\R</math>.
* Por definición, toda [[Orde débil e estrita|orde débil estrita]] é unha orde parcial estrita.
* O conxunto de [[Subconxunto|subconxuntos]] dun conxunto dado (o seu [[conxunto de partes]]) ordenados por [[Subconxunto|inclusión]] (ver Fig.&nbsp;1). Do mesmo xeito, o conxunto de [[Sucesión (matemáticas)|secuencias]] ordenadas por subsecuencia, e o conxunto de [[String (informática)|cadeas]] ordenadas por subcadea.
* O conxunto de [[Número natural|números naturais]] equipados coa relación de [[Divisor|divisibilidade]]. (ver Fig.&nbsp;3 e Fig.&nbsp;6)
* O conxunto de vértices dun [[Gráfico acíclico dirixido|grafo acíclico dirixido]] ordenado por [[Accesibilidade|alcanzabilidade]].
* O conxunto de subespazos dun [[espazo vectorial]] ordenados por inclusión.

=== Ordes no produto cartesiano de conxuntos parcialmente ordenados ===
En orde crecente de forza, tres das posíbeis ordes parciais no [[produto cartesiano]] de dous conxuntos parcialmente ordenados son:

* [[orde lexicográfica]]:&nbsp;{{Nowrap|(''a'', ''b'') ≤ (''c'', ''d'')}} se {{Nowrap|''a'' < ''c''}} ou ( {{Nowrap|1=''a'' = ''c''}} e {{Nowrap|''b'' ≤ ''d''}} );
* a [[orde do produto]]:&nbsp;(''a'', ''b'') ≤ (''c'', ''d'') se ''a'' ≤ ''c'' e ''b'' ≤ ''d'';
* o [[peche reflexivo]] do [[produto directo]] das correspondentes ordes estritas:&nbsp;{{Nowrap|(''a'', ''b'') ≤ (''c'', ''d'')}} se ({{Nowrap|''a'' < ''c''}} e {{Nowrap|''b'' < ''d''}}) ou ({{Nowrap|1=''a'' = ''c''}} e {{Nowrap|1=''b'' = ''d''}}).

As tres poden definirse de xeito similar para o produto cartesiano de máis de dous conxuntos.

Aplicado a [[Espazo vectorial ordenado|espazos vectoriais ordenados]] sobre o mesmo [[Corpo (álxebra)|corpo]], o resultado é en cada caso tamén un espazo vectorial ordenado.

Ver tamén [[Orde total#Orde sobre o produto cartesiano de conxuntos totalmente ordenados|ordes sobre o produto cartesiano de conxuntos totalmente ordenados]].

=== Sumas de conxuntos parcialmente ordenados ===
Outra forma de combinar dous posets (disxuntos) é a '''suma ordinal''' (ou '''suma linear'''), {{Sfnp|Davey|Priestley|2002}} {{Nowrap|1=''Z'' = ''X'' ⊕ ''Y''}}, definida na unión dos conxuntos subxacentes ''X'' e ''Y'' pola orde {{Nowrap|''a'' ≤<sub>''Z''</sub> ''b''}} se e só se:

* ''a'', ''b'' ∈ ''X'' con ''a'' ≤ <sub>''X''</sub> ''b'', ou
* ''a'', ''b'' ∈ ''Y'' con ''a'' ≤ <sub>''Y''</sub> ''b'', ou
* ''a'' ∈ ''X'' e ''b'' ∈ ''Y''.

Se dous posets están [[Relación ben ordenada|ben ordenados]], entón tamén o está a súa suma ordinal.<ref>{{cita libro|author=P. R. Halmos|title=Naive Set Theory|url=https://archive.org/details/naivesettheory0000halm_r4g0|year=1974|publisher=Springer |isbn=978-1-4757-1645-0|page=[https://archive.org/details/naivesettheory0000halm_r4g0/page/82 82]}}</ref>

== Nocións derivadas ==
Os exemplos usan o poset <math>(\mathcal{P}(\{x, y, z\}),\subseteq)</math> constituído polo [[Conxunto de partes|conxunto de todos os subconxuntos]] dun conxunto de tres elementos <math>\{x, y, z\},</math> ordenados por inclusión do conxunto (ver Fig.&nbsp;1).

* ''a'' está ''relacionado con'' ''b'' cando ''a'' ≤ ''b''. Isto non implica que ''b'' tamén estea relacionado con ''a'', porque a relación non ten por que ser [[Relación simétrica|simétrica]]. Por exemplo, <math>\{x\}</math> está relacionado con <math>\{x, y\},</math> mais non ao revés.
* ''a'' e ''b'' son ''comparábeis'' se {{Nowrap|''a'' ≤ ''b''}} ou {{Nowrap|''b'' ≤ ''a''}}. Se non se dá ningunha delas son ''non comparábeis''. Por exemplo, <math>\{x\}</math> e <math>\{x, y, z\}</math> son comparábeis, mentres que <math>\{x\}</math> e <math>\{y\}</math> non o son.
* Unha ''[[Orde total|orde total]]'' ou ''orde linear'' é unha orde parcial baixo a cal cada par de elementos é comparábeis, é dicir, a tricotomía vale. Por exemplo, os números naturais coa súa orde estándar.
* Unha ''[[Orde total|cadea]]'' é un subconxunto dun poset que é un conxunto totalmente ordenado. Por exemplo, <math>\{ \{\,\}, \{x\}, \{x, y, z\} \}</math> é unha cadea.
* Unha ''[[Anticadea|anticadea]]'' é un subconxunto dun poset no que non hai dous elementos distintos comparábeis. Por exemplo, o conxunto de [[Conxunto unitario|conxuntos unitarios]] <math>\{\{x\}, \{y\}, \{z\}\}.</math>
* Dise que un elemento ''a'' é ''estritamente menor que'' un elemento ''b'', se ''a'' ≤ ''b'' e <math>a \neq b.</math> Por exemplo, <math>\{x\}</math> é estritamente menor que <math>\{x, y\}.</math>
* Dise que un elemento ''a'' está ''cuberto'' por outro elemento ''b'', escrito ''a'' ⋖ ''b'' (ou ''a'' <: ''b''), se ''a'' é estritamente menor que ''b'' e non cabe un terceiro elemento ''c'' entre eles; formalmente: se tanto ''a'' ≤ ''b'' como <math>a \neq b</math> son verdadeiras, e ''a'' ≤ ''c'' ≤ ''b'' é falsa para cada ''c'' con <math>a \neq c \neq b.</math> Usando a orde estrita <, a relación ''a'' ⋖ ''b'' pódese reformular de forma equivalente como "{{ Nowrap|''a'' < ''b''}} mais non {{Nowrap|''a'' < ''c'' < ''b''}} para calquera ''c''". Por exemplo, <math>\{x\}</math> está cuberto por <math>\{x, z\},</math> mais non está cuberto por <math>\{x, y, z\}.</math>

=== Extrema ===
[[Ficheiro:Hasse_diagram_of_powerset_of_3_no_greatest_or_least.svg|miniatura| '''Figura 5''' A figura anterior cos elementos maiores e menores eliminados. Neste poset reducido, a fila superior de elementos son todos elementos {{Em|maximais}} e a fila inferior son todos elementos {{Em|minimais}}, mais non hai ningún elemento {{Em|maior}} nen {{Em|menor}}.]]
Hai varias nocións de elemento "maior" e "menor" nun poset <math>P,</math> en particular:

* [[Elemento maior e menor]] : Un elemento <math>g \in P</math> é un {{Em|elemento maior}} se <math>a \leq g</math> para todo elemento <math>a \in P.</math> Un elemento <math>m \in P</math> é un {{Em|elemento menor}} se <math>m \leq a</math> para todo elemento <math>a \in P.</math> Un poset só pode ter un elemento maior e un menor. No noso exemplo, o conxunto <math>\{x, y, z\}</math> é o elemento maior e <math>\{\,\}</math> é o elemento menor.
* [[Elemento maximal e minimal|Elementos maximais e minimais]]: Un elemento <math>g \in P</math> é maximal se non hai ningún elemento <math>a \in P</math> tal que <math>a > g.</math> Similarmente, un elemento <math>m \in P</math> é minimal se non hai ningún elemento <math>a \in P</math> tal que <math>a < m.</math> Se un poset ten un elemento maior entón debe ser o único elemento maximal, mais sen elemento maior podería haber varios elementos maximais, e de forma similar para os elementos minimais. No noso examplo, <math>\{x, y, z\}</math> e <math>\{\,\}</math> son o elemento único maximal e minimal respectivamente. Se os eliminamos, daquela fican 3 elementos maximais e 3 elementos minimais (ver Fig. 5).
* [[Elemento maiorante e minorante]]: Para un subconxunto ''A'' de ''P'', un elemento ''x'' en ''P'' é un elemento maiorante de ''A'' se ''a'' ≤ ''x'', para todo elemento ''a'' en ''A''. En particular, ''x'' non necesita estar en ''A'' para ser elemento maiorante de ''A''. Similarmente, un elemento ''x'' en ''P'' é un elemento minorante de ''A'' se ''a'' ≥ ''x'', para todo elemento ''a'' en ''A''. Un elemento maior de ''P'' é un elemento maiorante de ''P'', e un elemento menor é un elemento minorante de ''P''. No noso examplo, o conxunto <math>\{x, y\}</math> é un {{Em|elemento maiorante}} para a colección de elementos <math>\{\{x\}, \{y\}\}.</math>

[[Ficheiro:Infinite_lattice_of_divisors.svg|miniatura| '''Fig. 6''' [[Número natural|Números enteiros non negativos]], ordenados por divisibilidade]]
Como outro exemplo, considere os [[Número enteiro|enteiros]] positivos, ordenados por divisibilidade: 1 é un elemento mínimo, xa que [[Divisor|divide]] a todos os demais elementos; por outra banda este poset non ten un elemento maior. Este conxunto parcialmente ordenado nin sequera ten elementos máximais, xa que calquera ''g'' divide por exemplo a 2''g'', que é distinto del, polo que ''g'' non é máximal. Se se exclúe o número 1, mantendo a divisibilidade como orde nos elementos maiores que 1, entón o poset resultante non ten un elemento mínimal, pero calquera [[número primo]] é un elemento mínimal para el. Neste poset, 60 é un límite superior (aínda que non o mínimo deles ou supremo) do subconxunto <math>\{2, 3, 5, 10\},</math> que non ten límite inferior (xa que 1 non está no poset); por outra banda 2 é un límite inferior do subconxunto de potencias de 2, que non ten ningún límite superior. Se se inclúe o número 0, este será o elemento máis grande, xa que este é un múltiplo de todo número enteiro (ver Fig.&nbsp;6).

== Mapas entre conxuntos parcialmente ordenados ==
{{multiple image
| align = right
| direction = horizontal
| total_width = 580
| image1 = Monotonic but nonhomomorphic map between lattices.gif
| caption1 = '''Fig. 7a''' Mapa con preservación de orde, mais non reflexivo de orde (posto que {{nowrap|''f''(''u'') ≼ ''f''(''v'')}}, mais  non u {{small|<math>\leq</math>}} v).
| image2 = Birkhoff120.svg
| caption2 = '''Fig. 7b''' Isomorfismo de orde entre os divisores de 120 (orde parcial por divisibilidade) e os subconxuntos pechados baixo divisor de {{nowrap|{{mset|2, 3, 4, 5, 8}}}} (orde parcial mediante inclusión de  conxuntos)
}}

Dado dous conxuntos parcialmente ordenados {{Math|(''S'', ≤)}} e {{Math|(''T'', ≼)}}, unha función <math>f : S \to T</math> dise que '''[[Conservación da orde|conserva a orde]]''', ou é  '''monótona''', ou '''isotona''', se para todos os <math>x, y \in S,</math> <math>x \leq y</math> implica {{Math|''f''(''x'') ≼ ''f''(''y'')}}.
Se {{Math|(''U'', ≲)}} tamén é un conxunto parcialmente ordenado, e ambas as <math>f : S \to T</math> e <math>g : T \to U</math> preservan a orde, a súa [[Composición de funcións|composición]] <math>g \circ f : S \to U</math> tamén conserva a orde.

Unha función <math>f : S \to T</math> dise que unha '''reflexión de orde''' se para todos os <math>x, y \in S,</math> {{Math|''f''(''x'') ≼ ''f''(''y'')}} implica <math>x \leq y.</math>

Se {{Mvar|f}}  conserva a orde e tamén reflicte a orde, entón chámase un '''mergullo de ordes''' de {{Math|(''S'', ≤)}} en {{Math|(''T'', ≼)}}.

Neste último caso, {{Mvar|f}} é necesariamente [[inxectiva]], posto que <math>f(x) = f(y)</math> implica <math>x \leq y \text{ e } y \leq x</math> e á súa vez <math>x = y</math> segundo a antisimetría de <math>\leq.</math> 

Se un mergullo de orde <math>f : S \to T</math> é [[Bixectiva|bixectivo]], chámase un '''[[isomorfismo de orde]]''', e as ordes parciais {{Math|(''S'', ≤)}} e {{Math|(''T'', ≼)}} son '''isomorfas'''. As ordes isomorfas teñen estruturalmente similares [[Diagrama de Hasse|Diagramas de Hasse]] (ver Fig.&nbsp;7a). 

Pódese demostrar que se existen os mapas <math>f : S \to T</math> e <math>g : T \to U</math> que conservan a orde tal que <math>g \circ f</math> e <math>f \circ g</math> producen a [[Función identidade|función de identidade]] en ''S'' e ''T'', respectivamente, entón ''S'' e ''T'' son un isomorfismo de orde.{{Sfnp|Davey|Priestley|2002}}

Por exemplo, un mapa <math>f : \N \to \mathbb{P}(\N)</math> Desde o conxunto de números naturais (ordenados por divisibilidade) ata o [[conxunto de partes]] de números naturais (ordenados por inclusión de conxuntos) pódese definir levando cada número ao conxunto dos seus [[Número primo|divisores primos]]. Conserva a orde: se {{Mvar|x}} divide {{Mvar|y}}, entón cada divisor primo de {{Mvar|x}} tamén é un divisor primo de {{Mvar|y}}. Porén, non é nin inxectivo (xa que asigna tanto 12 como 6 a <math>\{2, 3\}</math> ) nin reflicte a orde (xa que 12 non divide 6).

Polo contrario se definimos o mapa que asigna a cada número o conxunto dos seus divisores con [[potencia de primo]], daquela temos un mapa <math>g : \N \to \mathbb{P}(\N)</math> que conserva a orde e máis reflicte a orde e, polo tanto e un mergullo de orde. Non é un isomorfismo de orde (xa que, por exemplo, non asigna ningún número ao conxunto <math>\{4\}</math> ), mais pódese facer un isomorfismo restrinxindo o seu codominio a <math>g(\N).</math> A Fig.&nbsp;7b mostra un subconxunto de <math>\N</math> e a súa imaxe isomorfa baixo {{Mvar|g}}. A construción de tal isomorfismo de orde nun conxunto de partes pódese xeneralizar a unha ampla clase de ordes parciais, chamadas [[Reticula distributiva|retículas distributivas]]; ver o ''[[teorema de representación de Birkhoff]]'' .

== Número de ordes parciais ==
A secuencia [{{fullurl:OEIS:A001035}} A001035] na [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]] dá o número de ordes parciais nun conxunto de ''n'' elementos etiquetados:{{Número de relacións}} 

O número de ordes parciais estritas é o mesmo que o de ordes parciais.

Se a conta se fai só ata isomorfismo, obtemos a secuencia 1, 1, 2, 5, 16, 63, 318,... {{OEIS|id=A000112}}     .

== Subposets ==
Un poset <math>P^*=(X^*, \leq^*)</math> chámase '''subposet''' doutro poset <math>P=(X, \leq)</math> sempre que <math>X^*</math> é un [[subconxunto]] de <math>X</math> e <math>\leq^*</math> é un subconxunto de <math>\leq</math>. Esta última condición equivale ao requisito de que para calquera <math>x</math> e <math>y</math> en <math>X^*</math> (e así tamén en <math>X</math> ), se <math>x \leq^* y</math> entón <math>x \leq y</math> .

Se <math>P^*</math> é un subconxunto de <math>P</math> e a maiores, para todos os <math>x</math> e <math>y</math> en <math>X^*</math>, sempre que <math>x \leq y</math> tamén temos <math>x \leq^* y</math>, entón chamamos a <math>P^*</math> o subconxunto de <math>P</math> '''inducido''' por <math>X^*</math>, e escribimos <math>P^* = P[X^*]</math>.

== Extensión linear ==
Unha orde parcial <math>\leq^*</math> nun conxunto <math>X</math> chámase '''extensión''' doutra orde parcial <math>\leq</math> en <math>X</math> se temos que para todos os elementos <math>x, y \in X,</math> sempre que <math>x \leq y,</math> tamén é o caso de que <math>x \leq^* y.</math> Unha [[Extensión lineal|extensión linear]] é unha extensión que tamén é unha orde linear (é dicir, total). Como exemplo clásico, a orde lexicográfica dos conxuntos totalmente ordenados é unha extensión linear da súa orde de produtos. Toda orde parcial pódese estender a unha orde total ([[principio de extensión da orde]]).<ref>{{cita libro |last=Jech |first=Thomas |author-link=Thomas Jech |title=The Axiom of Choice |year=2008 |orig-year=1973 |publisher=[[Dover Publications]] |isbn=978-0-486-46624-8}}</ref>

En [[Ciencias da computación|informática]], os algoritmos para atopar extensións lineares de ordes parciais (representados como as ordes de [[Accesibilidade|atinxibilidade]] dos [[Gráfico acíclico dirixido|grafos acíclicos dirixidos]]) chámanse [[ordenación topolóxica]].

== Na teoría de categorías ==
Cada poset (e cada [[Preorde|conxunto preordenado]]) pode considerarse como unha [[Categoría (matemáticas)|categoría]] onde, para os obxectos <math>x</math> e <math>y,</math> hai como máximo un [[morfismo]] de <math>x</math> a <math>y.</math> Máis explicitamente, sexa {{Nowrap|1=hom(''x'', ''y'') = {{mset|(''x'', ''y'')}}}} se {{Nowrap|''x'' ≤ ''y''}} (e noutro caso o [[conxunto baleiro]]) e <math>(y, z) \circ (x, y) = (x, z).</math> Esas categorías ás veces chámanse ''[[categoría posetal]]''.

Os posets son [[Equivalencia de categorías|equivalentes]] entre si, se e só se son [[Isomorfismo de categorías|isomorfos]]. Nun poset, o elemento máis pequeno, se existe, é un [[obxecto inicial]], e o elemento máis grande, se existe, é un [[obxecto terminal]]. A maiores, cada conxunto preordenado é equivalente a un poset. Finalmente, cada subcategoría dun poset é un [[isomorfismo pechado]].

== Ordes parciais en espazos topolóxicos ==
Se <math>P</math> é un conxunto parcialmente ordenado ao que tamén se lle deu a estrutura dun [[espazo topolóxico]], entón é habitual asumir que <math>\{ (a,b) : a \le b \}</math> é un subconxunto [[Conxunto pechado|pechado]] do [[Topoloxía produto|espazo produto]] topolóxico <math>P \times P.</math> Baixo este suposto as relacións de orde parcial compórtanse ben nos [[Límite dunha sucesión|límites]] no sentido de que se <math>\lim_{i \to \infty} a_i = a,</math> e <math>\lim_{i \to \infty} b_i = b,</math> e para todos <math>i,</math><math>a_i \leq b_i,</math> entón <math>a \leq b.</math><ref name="ward-1954">{{Cita publicación periódica|first=L. E. Jr|last=Ward|title=Partially Ordered Topological Spaces|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=5 |year=1954|pages= 144–161|issue= 1|doi=10.1090/S0002-9939-1954-0063016-5|hdl=10338.dmlcz/101379}}</ref>

== Intervalos ==
Un '''conxunto convexo''' nun poset ''P'' é un subconxunto {{Mvar|I}} de ''P'' coa propiedade de que, para calquera ''x'' e ''y'' en {{Mvar|I}} e calquera ''z'' en ''P'', se ''x'' ≤ ''z'' ≤ ''y'', entón ''z'' tamén está en {{Mvar|I}}. Esta definición xeneraliza a definición de [[Intervalo (matemáticas)|intervalos]] de [[Número real|números reais]]. Cando é posíbel a confusión cos [[Conxunto convexo|conxuntos convexos]] de [[xeometría]], úsase '''orde convexo''' en lugar de "convexo".

Unha '''subretícula convexa''' dunha [[Reticula (teoría da orde)|retícula]] ''L'' é unha subretícula  de ''L'' que tamén é un conxunto convexo de ''L''. Toda subretícula convexa non baleira pode representarse de forma única como a intersección dun [[Filtro (matemáticas)|filtro]] e un [[Ideal (teoría da orde)|ideal]] de ''L''.

Un '''intervalo''' nun poset ''P'' é un subconxunto que se pode definir coa notación de intervalo:

* Para ''a'' ≤ ''b'', o ''intervalo pechado'' [a, b] é o conxunto de elementos ''x'' que satisfán {{Nowrap|''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''}} (é dicir, {{Nowrap|''a'' ≤ ''x''}} e {{Nowrap|''x'' ≤ ''b''}}). Contén polo menos os elementos ''a'' e ''b'' .
* Usando a correspondente relación estrita "<", o ''intervalo aberto'' (a, b) é o conxunto de elementos ''x'' que satisfán {{Nowrap|''a'' < ''x'' < ''b''}} ( é dicir, {{Nowrap|''a'' < ''x''}} e {{Nowrap|''x'' < ''b''}}). Un intervalo aberto pode estar baleiro aínda que {{Nowrap|''a'' < ''b''}}. Por exemplo, o intervalo aberto (0, 1) nos números enteiros está baleiro xa que non hai ningún número enteiro {{Mvar|x}} tal que {{Math|0 < {{var|x}} < 1}}.
* Os ''intervalos semiabertos'' [a, b) e (a, b] defínense de xeito similar.

Sempre que {{Nowrap|''a'' ≤ ''b''}} non se cumpre, todos estes intervalos están baleiros. Todo intervalo é un conxunto convexo, mais a inversa non se cumpre; por exemplo, no poset dos divisores de 120, ordenados pola divisibilidade (ver Fig.&nbsp;7b), o conxunto {{Mset|1, 2, 4, 5, 8}} é convexo, mais non é un intervalo.

Un intervalo {{Mvar|I}} está limitado se existen elementos <math>a, b \in P</math> tal que '''{{Math|{{var|I}} ⊆ [''a'', ''b'']}}'''. Todo intervalo que se pode representar en notación de intervalos está obviamente limitado, mais a inversa non é verdade. Por exemplo, sexa {{Math|1=''P'' = (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3)}} como subconxunto dos números reais. O subconxunto (1, 2) é un intervalo limitado, mais non ten [[Ínfimo e supremo|ínfimo]] nin [[Ínfimo e supremo|supremo]] en&nbsp;''P'', polo que non se pode escribir en notación de intervalos usando elementos de&nbsp;''P''.

Un poset chámase [[Poset localmente finito|localmente finito]] se cada intervalo limitado é finito. Por exemplo, os enteiros son localmente finitos baixo a súa orde natural. A orde lexicográfica sobre o produto cartesiano <math>\N \times \N</math> non é localmente finito, xa que {{Math|(1, 2) ≤ (1, 3) ≤ (1, 4) ≤ (1, 5) ≤ ... ≤ (2, 1)}}. Usando a notación de intervalo, a propiedade "''a'' está cuberta por ''b''" pódese reformular de forma equivalente como <math>[a, b] = \{a, b\}.</math>

Este concepto de intervalo nunha orde parcial non debe confundirse coa clase particular de ordes parciais coñecidas como [[Orde de intervalos|ordes de intervalo]].

== Notas ==
{{reflist|30em}} 
{{Reflist|group=lower-alpha}}

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{cita libro |last1=Davey |first1=B. A. |last2=Priestley |first2=H. A. |title=Introduction to Lattices and Order |edition=2nd |location=New York |publisher=Cambridge University Press |year=2002 |isbn=978-0-521-78451-1 |title-link= Introduction to Lattices and Order}}
* {{cita publicación periódica|first=Jayant V. |last=Deshpande|title=On Continuity of a Partial Order|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=19|year=1968|pages=383–386|issue=2 |doi=10.1090/S0002-9939-1968-0236071-7}}
* {{cita libro|first=Gunther|last=Schmidt|author-link=Gunther Schmidt|year=2010|title=Relational Mathematics |series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications|volume= 132|publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-76268-7}}
* {{cita libro|author=Bernd Schröder|title=Ordered Sets: An Introduction with Connections from Combinatorics to Topology|date=11 maio 2016 |publisher=Birkhäuser|isbn=978-3-319-29788-0}}
* {{cita libro|first=Richard P.|last=Stanley|author-link=Richard P. Stanley|title=Enumerative Combinatorics 1 |series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|volume=49|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-66351-2 |year=1997}}
* {{cita libro|first=S.|last=Eilenberg|author-link=N. Steenrod|title=Foundations of Algebraic Topology|url=https://archive.org/details/foundationsofalg0000samu|publisher=Princeton University Press|year=2016}}
* {{cita publicación periódica|first=G.|last=Kalmbach|title=Extension of Homology Theory to Partially Ordered Sets|journal=J. Reine Angew. Math.|volume=280|year=1976|pages=134–156}}

=== Outros artigos ===
* [[Retícula (teoría da orde)]].
=== Ligazóns externas ===
*  [https://math.libretexts.org/Courses/Mount_Royal_University/Higher_Arithmetic/2%3A_Binary_relations/2.2%3A_Equivalence_Relations%2C_and_Partial_order 2.2: Equivalence Relations, and Partial order LibreTexts mathematics].

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría da orde]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]