Ver o código fonte de «Conxectura de Erdős-Straus»

A '''conxectura de Erdős-Straus''' é un [[problema sen resolver]] en [[Teoría de números]]. A conxectura consiste en que, por cada [[enteiro]] <math>n</math> igual ou maior que 2, existen enteiros positivos <math>x</math>, <math>y</math>, e <math>z</math> para os que <math display=block>\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.</math>
En outras palabras, o número <math>4/n</math> pode ser escrito como a suma de tres [[fracción unitaria| fraccións unitarias]].

{{unsolved|matemáticas|2=Ten <math>\tfrac4n=\tfrac1x+\tfrac1y+\tfrac1z</math> unha solución enteira positiva para cada enteiro <math>n\ge 2</math>?}}

O nome da conxectura débese a [[Paul Erdős]] e [[Ernst G. Straus]], quen a formularon en 1948. As sumas de fraccións unitarias, como a deste problema, coñécense como [[fracción exipcia]], polo seu uso nas matemáticas do antigo Exipto. A conxectura de Erdős–Straus é un problema matemático relativo a [[ecuación diofantiana|ecuacións diofantianas]].

Aínda que non se coñece unha solución para todos os valores de <math>n</math>, existen infinitos valores de certas infinitas [[progresión aritmética|progresións aritmética]]s que teñen fórmulas sinxelas para a súa solución. Se omitimos estes valores coñecidos podemos acelerar a procura de [[contraexemplo]]s. Ademais, estas buscas só precisan considerar valores de [[número primo|números primos]], porque calquera contraexemplo composto tería un contraexemplo menor entre os seus [[Teorema fundamental da aritmética|factores primo]]s. As buscas informáticas verificaron a verdade da conxectura ata  <math>n\le 10^{17}</math>.

Se a conxectura é reformulada para permitir fraccións unitarias negativas, entón sábese que é verdadeira. Tamén se estudaron as xeneralizacións da conxectura a fraccións con numerador 5 ou superior.

==Antecedentes e historia==
Cando un [[número racional]] se expande nunha suma de fraccións unitarias, a expansión chámase  unha [[fracción exipcia]]. Nesta conxectura as veces se inclúe o requisito de que todas as fraccións sexan diferentes, mais iso non é unha diferencia significativa porque para <math>n>2</math> calquera solución a <math>\tfrac4n=\tfrac1x+\tfrac1y+\tfrac1z</math> onde haxa fraccións iguais pódese converter a fraccións diferentes doadamente; [[#Fraccións unitarias distintas|ver abaixo]].<ref name=distinctness/>

Aínda que os exipcios non sempre atoparon expansións usando o menor número posible de termos, os matemáticos posteriores interesáronse pola cuestión de cantos termos son necesarios. Cada fracción <math>\tfrac{a}{b}</math> ten unha expansión de como máximo <math>a</math> termos, polo que en particular <math>\tfrac{2}{n}</math > precisa como máximo dous termos, <math>\tfrac{3}{n}</math> como máximo tres termos e <math>\tfrac{4}{n}</math> como máximo catro termos. Para <math>\tfrac{2}{n}</math>, sempre son necesarios dous termos, e para <math>\tfrac{3}{n}</math>, ás veces son necesarios tres, polo que para ambos os dous numeradores, coñécese o número máximo de termos que poden ser necesarios. Non obstante, para <math>\tfrac{4}{n}</math>, descoñécese se ás veces se necesitan catro termos ou se é posible expresar todas as fraccións da forma <math>\tfrac{4}{ n}</math> usando só tres fraccións unitarias; esta é a conxectura de Erdős-Straus. Así, a conxectura abrangue o primeiro caso descoñecido dunha pregunta máis xeral, o problema de atopar para todos os <math>a</math> o número máximo de termos necesarios nas expansións de fraccións <math>\tfrac{a}{b} </math>.{{sfnp|Graham|2013}}

Unha forma de atopar expansións curtas (mais non sempre as máis curtas) utiliza o  [[algoritmo cobizoso para fraccións exipcias]] (greedy algorithm), descrito por primeira vez en 1202 por [[Fibonacci]] no seu libro ''Liber Abaci''. Este método escolle unha fracción unitaria cada vez, escollendo en cada paso a fracción unitaria máis grande posible que non faría que a suma expandida supere o número obxectivo. Despois de cada paso, o numerador da fracción que aínda fica por expandir diminúe, polo que o número total de pasos nunca pode superar o numerador inicial,{{sfnp|Graham|2013}} pero ás veces é menor. Por exemplo, cando se aplica a <math>\tfrac3n</math>, o algoritmo exhaustivo usará dous termos sempre que <math>n</math> sexa 2 módulo 3, pero existe unha expansión de dous termos sempre que <math>n</math> ten un factor 2 módulo 3, unha condición máis débil. Para os números da forma <math>\tfrac{4}{n}</math>, o algoritmo exhaustivo producirá unha expansión de catro termos sempre que <math>n</math> sexa 1 módulo 4, e unha expansión con menos termos doutro xeito.{{sfnp|Eppstein|1995}} Así, outra forma de reformular a conxectura de Erdős-Straus e ver se existe outro método para producir fraccións exipcias, utilizando un número máximo de termos menor para os números <math>\tfrac{ 4}{n}</math>.{{sfnp|Graham|2013}}

A conxectura de Erdős-Straus foi formulada en 1948 por [[Paul Erdős]] e [[Ernst G. Straus]], e publicada por {{harvtxt|Erdős|1950}}. Richard Obláth tamén publicou un primeiro traballo sobre a conxectura, un artigo escrito en 1948 e publicado en 1950, no que estendeu os cálculos anteriores de Straus e Harold N. Shapiro co fin de verificar a conxectura para todos os <math>n\le 10^ {5}</math>.<ref>{{harvtxt|Obláth|1950}}; {{harvtxt|Elsholtz|Tao|2013}}</ref>

==Formulación==
A conxectura di que, para cada enteiro <math>n\ge 2</math>, existen enteiros positivos <math>x</math>, <math>y</math> e <math>z</math> tal que
<math display=block>\frac4n = \frac1x + \frac1y + \frac1z.</math>
Por exemplo, para <math>n=5</math>, hai 2 solucións:
<math display=block>\frac45=\frac12+\frac14+\frac1{20}=\frac12+\frac15+\frac1{10}.</math>

Multiplicando ambos os lados da ecuación <math>\tfrac4n=\tfrac1x+\tfrac1y+\tfrac1z</math> por <math>nxyz</math> leva a unha forma  [[polinomio|polinomial]] equivalente <math>4xyz=n(xy+xz+yz)</math>.<ref>Ver por exemplo {{harvtxt|Sander|1994}}, para unha formulación diofántina máis sinxela utilizando supostos máis específicos sobre cal dos <math>x</math>, <math>y</math> e <math>z</math> son divisibles por <math>n</math>.</ref>

===Fraccións unitarias distintas===
Algúns investigadores requiren ademais que os números enteiros <math>x</math>, <math>y</math> e <math>z</math> sexan distintos.{{sfnp|Graham|2013}} Para <math>n\ge 3</math>, ese requisito non é importante: <ref name=distinctness>{{harvtxt|Eppstein|1995}}, [https://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt/conflict.html sección de resolución de conflitos].</ref> Isto débese a que dúas fraccións unitarias idénticas pódense substituír mediante unha das dúas expansións seguintes
<math display=block>
\begin{align}
\frac{1}{2r}+\frac{1}{2r} &\Rightarrow \frac{1}{r+1}+\frac{1}{r(r+1)}\\
\frac{1}{2r+1}+\frac{1}{2r+1} &\Rightarrow \frac{1}{r+1}+\frac{1}{(r+1)(2r+1)}\\
\end{align}</math>
(segundo se a fracción repetida ten un denominador par ou impar) e esta substitución pódese repetir ata que non fiquen fraccións duplicadas.<ref>See the [http://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt/conflict.html conflict resolution] sección de {{harvtxt|Eppstein|1995}} para unha proba de outro proceso de substitución (cunha expansión diferente para denominadores pares que reduce o número de fraccións) sempre remata cunha expansión que non se repite.</ref> Para <math>n=2</math>, no entanto, as únicas solucións son as permutacións de <math>\tfrac42=\tfrac12+\tfrac12+\tfrac11</math>.{{sfnp|Graham|2013}}

===Solucións con números negativos===
A conxectura de Erdős–Straus require que os tres <math>x</math>, <math>y</math> e <math>z</math> sexan positivos. Este requisito é esencial para a dificultade do problema. Realmente a conxectura the Erdős–Straus só é difícil para valores impares de <math>n</math>, e se se permiten valores negativos, daquela para os valores impares de <math>n</math> pode resolverse coa seguinte formula:<ref>{{harvtxt|Jaroma|2004}}.</ref>
<math display=block>\frac{4}{n}=\frac{1}{(n-1)/2}+\frac{1}{(n+1)/2}-\frac{1}{n(n-1)(n+1)/4}.</math>

==Resultados computacionais==
Se a conxectura é falsa, poderíase probar atopando un único número <math>\tfrac4n</math> que non teña representación con tres termos. Para comprobar iso, varios autores realizaron unha procura de contraexemplos por forza bruta.<ref>{{harvtxt|Obláth|1950}}; {{harvtxt|Rosati|1954}}; {{harvtxt|Kiss|1959}}; {{harvtxt|Bernstein|1962}}; {{harvtxt|Yamamoto|1965}}; {{harvtxt|Terzi|1971}}; {{harvtxt|Jollensten|1976}}; {{harvtxt|Kotsireas|1999}}.</ref> Os intentos deste tipo confirmaron que a conxectura é verdade para todos os <math>n</math> ata <math>10^{17}</math>.{{sfnp|Salez|2014}}

Nesas buscas só é necesario atopar expansións <math>\tfrac4n</math> onde <math>n</math> é un [[número primo]]. Isto é porque, cando <math>\tfrac4n</math> ten unha expansión de tres termos, daquela tamén a ten <math>\tfrac4{mn}</math> para todos os enteiros positivos <math>m</math>. Para unha solución de <math>\tfrac4{mn}</math>, só hai que dividir a solución para <math>\tfrac4n</math> por <math>m</math>:
<math display=block>\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}
\ \Rightarrow\ \frac{4}{mn}=\frac{1}{mx}+\frac{1}{my}+\frac{1}{mz}.</math>
Se <math>\tfrac4n</math> fose un [[contraexemplo]] da conxectura, para un [[número composto]] <math>n</math>, cada [[Teorema fundamental da aritmética | factor primo]] <math>p</math> de <math>n</math> sería tamén un contraexamplo <math>\tfrac4p</math> que tería sido atopado antes na busca por forza bruta. Alén diso, as identidades modulares coñecidas para a conxectura (ver [[#Identidades modulares|abaixo]]) poden acelerar as buscas saltándose os valores dos que é sabido teren solucion. Por exemplo, o algoritmo exhaustivo dá atopado unha expansión con tres ou menos termos para todo número <math>\tfrac4n</math> onde <math>n</math> non é  1 módulo 4. Un xeito de progresar neste problema é obter máis identidades modulares, reducindo o número de comprobacións necesarias.{{sfnp|Salez|2014}}

O número de solucións distintas ao problema <math>\tfrac4n</math>, en función de <math>n</math>, tamén se atopou mediante buscas informáticas de <math>n</math> pequenos e aparece crecer de forma algo irregular con <math>n</math>. Comezando por <math>n=3</math>, os números de solucións distintas con denominadores distintos son
1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ... {{OEIS | id = A073101}}.
Mesmo para <math>n</math> máis grandes ás veces pode haber relativamente poucas solucións; por exemplo, só hai sete solucións distintas para <math>n=73</math>.

==Resultados teóricos==
Na forma <math>4xyz=n(xy+xz+yz)</math>, unha ecuación polinomial con variables enteiras, a conxectura de Erdős–Straus é un exemplo de [[ecuación diofantiana]]. O [[principio de Hasse]] para as ecuacións Diofantianas suxire que estas ecuacións deberían estudarse usando [[aritmética modular]]. Se unha ecuación polinómica ten unha solución nos números enteiros, entón tomando esta solución módulo <math>q</math>, para calquera enteiro <math>q</math>, proporciona unha solución en aritmética módulo <math>q</math >. Na outra dirección, se unha ecuación ten unha solución módulo <math>q</math> para cada potencia prima <math>q</math>, daquela nalgúns casos é posible reunir estas solucións modulares, usando métodos relacionados co [[teorema chinés do resto]], para obter unha solución nos enteiros. A capacidade do principio de Hasse para solucionar algúns problemas está limitado pola [[Obstrución de Manin]], mais para a conxectura de Erdős–Straus non existe esta obstrución.{{sfnp|Bright|Loughran|2020}}

Para cada <math>n</math>, a ecuación <math>4xyz=n(xy+xz+yz)</math> é facilmente resolúbel módulo calquera primo ou potencia de primo, mais parece que non hai forma de xuntar esas solucións para obter unha solución enteira positiva da ecuación. Non obstante, a aritmética modular e as identidades baseadas na aritmética modular demostraron ser unha ferramenta moi importante no estudo da conxectura.{{sfnp|Elsholtz|Tao|2013}}

===Identidades modulares===
Para valores de <math>n</math> que satisfán certas [[Aritmética modular|relacións de congruencia]], pódese atopar automaticamente unha expansión para <math>\tfrac4n</math> como unha instancia dunha identidade polinomial. Por exemplo, cando <math>n</math> é 2 módulo 3, <math>\tfrac4n</math> ten a expansión
<math display=block>\frac{4}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)/3} + \frac{1}{n(n+1)/3}.</math>
Aquí cada un dos denominadores <math>n</math>, <math>(n+1)/3</math>, and <math>n(n+1)/3</math> son un polinomio en <math>n</math>, e cada un deles é un enteiro cando <math>n</math> é 2 módulo 3. O [[Algoritmo cobizoso para fraccións exipcias|algoritmo cobizoso para as fraccións exipcias]] dá atopado a solución en tres ou menos termos cando <math>n</math> non é 1 ou 17 mod 24, e o caso 17 mod 24 está coberto pola relación 2 mod 3, así que só os valores de <math>n</math> para os que estes dous métodos non atopan expansión en tres ou menos termos son as congruencias de 1 mod 24.{{sfnp|Ionascu|Wilson|2011}}

As identidades polinomiais listadas por {{harvtxt|Mordell|1967}} dan unha fracción exipcia de tres termos para <math>\tfrac4n</math> cando <math>n</math> é algún de:
*2 mod 3,
*3 mod 4,
*2 ou 3 mod 5,
*3, 5, ou 6 mod 7, ou
*5 mod 8.
As combinacións das identidades de Mordell poden usarse para expandir <math>\tfrac4n</math> para todo <math>n</math>, agás posiblemente algún de entre 
: <math>\{1, 121=11^2, 169=13^2, 289=17^2, 361=19^2, 529=23^2\}</math> <math>\pmod{840}</math>.  {{OEIS|id=A240775}}
O menor primo que estas identidades non cobren é 1009. Webb e outros, combinando clases máis longas de identidades modulares, mostraron que a [[densidade natural]] de contraexemplos potenciais da conxectura é cero: cando un parámetro <math>N</math> tende a infinito, os valores da fracción no intervalo <math>[1,N]</math>, que poderían ser contraexemplos, tende a cero no límite.<ref name="sparse"/>

===Non existencia de identidades===
Se fose posible atopar solucións como as anteriores para suficientes módulos diferentes, formando unha [[cobertura]] completa de congruencias, o problema estaría resolvido. No entanto, como mostrou {{harvtxt|Mordell|1967}}, unha identidade polinómica que proporciona unha solución para valores de <math>n</math> congruentes con <math>r</math> mod <math>p</math > pode existir só cando <math>r</math> non é congruente cun cadrado módulo <math>p</math>. (Máis formalmente, este tipo de identidade só pode existir cando <math>r</math> non é un [[residuo cadrático]] módulo <math>p</math>.) Por exemplo, 2 é un non cadrado mod 3, polo que o resultado de Mordell permite a existencia dunha identidade para <math>n</math> congruente con 2 mod 3. Mais 1 é un cadrado mod 3 (igual ao cadrado de 1 e 2 mod 3), polo que non pode haber unha cobertura mediante identidades similares para todos os valores de <math>n</math> que sexan congruentes con 1 mod 3. De xeito máis xeral, xa que 1 é un cadrado mod <math>n</math> para todos os <math >n>1</math>, non pode haber unha cobertura completa con identidades modulares para todos os <math>n</math>, porque sempre o 1 modular non estará cuberto.{{sfnp|Mordell|1967}}

Mália o resultado de Mordell que limita a forma de identidades modulares para este problema, aínda hai algunha esperanza de usar identidades modulares para probar a conxectura de Erdős-Straus. Ningún número primo pode ser un cadrado, polo que polo [[teorema de Hasse-Minkowski]], sempre que <math>p</math> é primo, existe un <math>q</math> primo maior, de tal xeito que <math> p</math> non é un residuo cuadrático módulo <math>q</math>. Un enfoque posible para demostrar a conxectura sería
atopar para cada <math>p</math> primo un <math>q</math> primo maior e unha congruencia resolvendo o problema <math>\tfrac4n</math> para <math>n</math> congruente a <math>p</math> mod <math>q</math>. Se se puidese facer isto, ningún <math>p</math> primo podería ser un contraexemplo para a conxectura e a conxectura sería certa.{{sfnp|Ionascu|Wilson|2011}}

===O número de solucións===
{{harvtxt|Elsholtz|Tao|2013}} mostraron que o número meio de solucións ao problema <math>\tfrac4n</math> (promediado sobre os números primos ata <math>n</math>) ten limite superior polilogaritmicamente en <math>n</math>. Para algúns outros problemas diofantinos, a existencia dunha solución pode ser demostrada [[asíntota|asintoticamente]] con un [[elemento maiorante e minorante|límite inferior]] no número de solucións, mais isto funciona mellor cando o número de solucións medra polo menos polinomialmente, polo que a taxa de crecemento máis lenta do resultado de Elsholtz e Tao fai menos probable unha proba deste tipo. Elsholtz e Tao clasifican as solucións segundo <math>x</math>, <math>y</math> ou <math>z</math> son divisibles por <math>n</math>, para <math>n</math> primo, estas son as únicas posibilidades, aínda que (de media) a maioría das solucións para <math>n</math> composto son doutro tipo. A súa demostración usa o [[teorema de Bombieri-Vinogradov]], o [[teorema de Brun-Titchmarsh]] e un sistema de identidades modulares, válido cando <math>n</math> é congruente con <math>-c</math> ou <math>-\tfrac{1}{c}</math> módulo <math>4ab</math>, onde <math>a</math> e <math>b</math> son dous [[números primos entre si|coprimos]] positivos calquera enteiros e <math>c</math> é calquera factor impar de <math>a+b</math>. Por exemplo, con <math>a=b=1</math> dá unha das identidades de Mordell, válida cando <math>n</math> é 3 mod 4.<ref>[http://terrytao.wordpress.com/2011/07/07/on-the-number-of-solutions-to-4p-1n_1-1n_2-1n_3/ On the number of solutions to 4/p = 1/n_1 + 1/n_2 + 1/n_3]<!-- sic, unformatted math in title -->, [[Terence Tao]], "What's new", July 7, 2011; [http://terrytao.wordpress.com/2011/07/31/counting-the-number-of-solutions-to-the-erdos-straus-equation-on-unit-fractions/ Counting the number of solutions to the Erdös-Straus equation on unit fractions], [[Terence Tao]], July 31, 2011.
</ref>

==Xeneralizacións==
Do mesmo xeito que coas fraccións da forma <math>\tfrac{4}{n}</math>, tamén se conxectura que <math>\tfrac{5}{n}</math> (para <math>n>1</math>) pode expresarse como suma de tres fraccións unitarias positivas. Unha versión xeneralizada da conxectura afirma que, para calquera <math>k</math> positivo, todas as fraccións <math>\tfrac{k}{n}</math>, menos un número finito, pódense expresar como unha suma de tres fraccións positivas unitarias. A conxectura para as fraccións <math>\tfrac{5}{n}</math> foi feita por [[Wacław Sierpiński]] nun artigo de 1956, que atribuíu a conxectura completa ao seu estudante Andrzej Schinzel.<ref>{{ harvtxt|Sierpiński|1956}}; {{harvtxt|Vaughan|1970}}.</ref>

Aínda que a conxectura xeneralizada sexa falsa para calquera valor fixo de <math>k</math>, entón o número de fraccións <math>\tfrac{k}{n}</math> con <math>n</math> no intervalo de 1 a <math>N</math> que non teñen expansións de tres termos deben medrar só de forma sublinear en función de <math>N</math>.<ref name="sparse">{{harvtxt |Webb|1970}}; {{harvtxt|Vaughan|1970}}; {{harvtxt|Li|1981}}; {{harvtxt|Yang|1982}}; {{harvtxt|Ahmadi|Bleicher|1998}}; {{harvtxt|Elsholtz|2001}}.</ref> En particular, se a propia conxectura de Erdős–Straus (o caso <math>k=4</math>) é falsa, entón o número de contraexemplos medra só de forma sublinear. Aínda temos unha proposición máis forte, para calquera <math>k</math> fixo, só un número sublinear de valores de <math>n</math> precisa máis de dous termos nas súas expansións de fracción exipcia.<ref>{{harvtxt|Hofmeister |Stoll|1985}}.</ref> A versión xeneralizada da conxectura é equivalente á afirmación de que o número de fraccións non expandibles non é só sublinear senón limitado.

Cando <math>n</math> é un [[Paridade (matemáticas)|número impar]], por [[analoxía]] co problema das expansións exhaustivas de números impares mediante fraccións exipcias, un pode preguntarse por solucións a <math>\tfrac{k}{n}=\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{y}+\tfrac{1}{z}</math> no que <math>x</math>, <math>y</math> e <math>z</math> son números impares positivos distintos. Sábese que sempre existen solucións a esta ecuación para o caso no que {{math|''k'' {{=}} 3}}.<ref>{{harvtxt|Schinzel|1956}}; {{harvtxt|Suryanarayana|Rao|1965}}; {{harvtxt|Hagedorn|2000}}.</ref>

== Notas ==
{{Listaref|30em}}

==Véxase tamén==

===Outros artigos===
*[[Lista de sumas de recíprocos]]

===Bibliografía===

*{{Cita libro
 | last1 = Ahmadi | first1 = M. H.
 | last2 = Bleicher | first2 = M. N.
 | mr = 1666363
 | issue = 2
 | journal = International Journal of Mathematical and Statistical Sciences
 | pages = 169–185
 | title = On the conjectures of Erdős and Straus, and Sierpiński on Egyptian fractions
 | volume = 7
 | year = 1998}}.
*{{Cita publicación periódica
 | last = Bernstein | first = Leon
 | mr = 0142508
 | journal = Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
 | pages = 1–10
 | title = Zur Lösung der diophantischen Gleichung  m/n=1/x+1/y+1/z , insbesondere im Fall  m=4 
 | volume = 211
 | ano = 1962| doi = 10.1515/crll.1962.211.1
 }}.
*{{Cita libro
 | last1 = Bright | first1 = Martin
 | last2 = Loughran | first2 = Daniel
 | doi = 10.1112/blms.12374
 | issue = 4
 | journal = Bulletin of the London Mathematical Society
 | mr = 4171399
 | pages = 746–761
 | title = Brauer–Manin obstruction for Erdős–Straus surfaces
 | volume = 52
 | year = 2020| arxiv = 1908.02526
 }}.
*{{Cita libro
  | last = Elsholtz | first = Christian
  | title = Sums of k unit fractions
  | journal = [[Transactions of the American Mathematical Society]]
  | volume = 353
  | issue = 8
  | pages = 3209–3227
  | year = 2001
  | mr = 1828604
  | doi = 10.1090/S0002-9947-01-02782-9
  }}.
*{{Cita libro
 | last1 = Elsholtz | first1 = Christian
 | last2 = Tao | first2 = Terence | author2-link = Terence Tao
 | arxiv = 1107.1010
 | issue = 1
 | journal = Journal of the Australian Mathematical Society
 | mr = 3101397
 | pages = 50–105
 | title = Counting the number of solutions to the Erdős–Straus equation on unit fractions
 | url = https://terrytao.files.wordpress.com/2011/07/egyptian-count13.pdf
 | volume = 94
 | year = 2013
 | doi = 10.1017/S1446788712000468
 }}.
*{{Cita libro
 | last = Eppstein | first = David | authorlink = David Eppstein
 | issue = 2
 | journal = Mathematica in Education and Research
 | pages = 5–15
 | title = Ten algorithms for Egyptian fractions
 | volume = 4
 | year = 1995}} Ver en particular a sección [http://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt/smallnum.html "Small numerators"] 
*{{Cita libro
  | last = Erdős | first = Paul
  | authorlink = Paul Erdős
  | title = Az 1/x_1+1/x_2+1/x_3 =a/b egyenlet egész számú megoldásairól (On a Diophantine Equation)
  | language = Hungarian
  | journal = Mat. Lapok.
  | volume = 1
  | pages = 192–210
  | year = 1950
  | url = http://www.renyi.hu/~p_erdos/1950-02.pdf
  | mr = 0043117}}.
*{{Cita libro
 | last = Graham | first = Ronald L. | author-link = Ronald Graham
 | editor1-last = Lovász | editor1-first = László | editor1-link = László Lovász
 | editor2-last = Ruzsa | editor2-first = Imre Z. | editor2-link = Imre Z. Ruzsa
 | editor3-last = Sós | editor3-first = Vera T. | editor3-link = Vera T. Sós
 | contribution = Paul Erdős and Egyptian fractions
 | contribution-url = https://www.math.ucsd.edu/~ronspubs/13_03_Egyptian.pdf
 | doi = 10.1007/978-3-642-39286-3_9
 | location = Budapest
 | mr = 3203600
 | pages = 289–309
 | publisher = [[János Bolyai Mathematical Society]]
 | series = Bolyai Society Mathematical Studies
 | title = Erdös Centennial
 | volume = 25
 | year = 2013}}
*{{Cita libro
  | authorlink = Richard K. Guy | last = Guy | first = Richard K.
  | title = Unsolved Problems in Number Theory
  | url = https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr | edition = 3rd
  | publisher = [[Springer Verlag]]
  | year = 2004
  | isbn = 0-387-20860-7
  | pages = D11 }}.
*{{Cita libro
  | last = Hagedorn | first = Thomas R.
  | title = A proof of a conjecture on Egyptian fractions
  | journal = [[American Mathematical Monthly]]
  | volume = 107
  | pages = 62–63
  | year = 2000
  | mr = 1745572
  | doi = 10.2307/2589381
  | issue = 1
  | publisher = Mathematical Association of America
  | jstor = 2589381}}.
*{{Cita libro
 | last1 = Hofmeister | first1 = Gerd
 | last2 = Stoll | first2 = Peter
 | mr = 809971
 | journal = Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
 | pages = 141–145
 | title = Note on Egyptian fractions
 | volume = 362
 | year = 1985}}.
*{{Cita libro
 | last1 = Ionascu | first1 = Eugen J.
 | last2 = Wilson | first2 = Andrew
 | arxiv = 1001.1100
 | issue = 1
 | journal = Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées
 | mr = 2848047
 | pages = 21–30
 | title = On the Erdös–Straus conjecture
 | volume = 56
 | year = 2011}}.
*{{Cita libro
 | last = Jaroma | first = John H.
 | issue = 1
 | journal = [[Crux Mathematicorum]]
 | pages = 36–37
 | title = On expanding 4/n into three Egyptian fractions
 | url = https://cms.math.ca/publications/crux/issue/?volume=30&issue=1
 | volume = 30
 | year = 2004}}.
*{{Cita libro
 | last = Jollensten | first = Ralph W.
 | contribution = A note on the Egyptian problem
 | mr = 0429735
 | location = Winnipeg, Man.
 | pages = 351–364
 | publisher = Utilitas Math.
 | series = Congressus Numerantium
 | title = Proceedings of the Seventh Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Louisiana State Univ., Baton Rouge, La., 1976)
 | volume = XVII
 | year = 1976}}.
*{{Cita libro
 | last = Kiss | first = Ernest
 | mr = 0125069
 | journal = Acad. R. P. Romîne Fil. Cluj Stud. Cerc. Mat.
 | pages = 59–62
 | title = Quelques remarques sur une équation diophantienne
 | language = Romanian
 | volume = 10
 | year = 1959}}.
*{{Cita libro
 | last = Kotsireas | first = Ilias
 | contribution = The Erdős-Straus conjecture on Egyptian fractions
 | mr = 1901903
 | location = Budapest
 | pages = 140–144
 | publisher = János Bolyai Math. Soc.
 | title = Paul Erdős and his mathematics (Budapest, 1999)
 | year = 1999}}.
*{{Cita libro
  | last = Li | first = Delang
  | title = On the equation  4/n=1/x+1/y+1/z 
  | journal = [[Journal of Number Theory]]
  | volume = 13
  | issue = 4
  | pages = 485–494
  | year = 1981
  | mr = 0642923
  | doi = 10.1016/0022-314X(81)90039-1 }}.
*{{Cita libro
  | last = Mordell | first = Louis J.
  | authorlink = Louis Mordell
  | title = Diophantine Equations
  | publisher = Academic Press
  | year = 1967
  | pages = 287–290}}.
*{{Cita libro
 | last = Obláth | first = Richard
 | mr = 0038999
 | journal = [[Mathesis (journal)|Mathesis]]
 | quote = M. Strauss [sic] a vérifié l'hypothèse de M. Erdős pour toute valeur de n < 5.000, et M. Shapiro pour n < 20.000. Nos théorèmes donnent la solution pour tout nombre < 106.128
 | pages = 308–316
 | title = Sur l'équation diophantienne 4/n=1/x_1+1/x_2+1/x_3 
 | language = French
 | volume = 59
 | year = 1950}}.
*{{Cita libro
 | last = Rosati | first = Luigi Antonio
 | mr = 0060526
 | journal = Boll. Un. Mat. Ital. (3)
 | language = Italian
 | pages = 59–63
 | title = Sull'equazione diofantea  4/n=1/x_1+1/x_2+1/x_3 
 | volume = 9
 | year = 1954}}.
*{{Cita libro
 | last = Salez | first = Serge E.
 | title = The Erdős-Straus conjecture New modular equations and checking up to  N=10^{17} 
 | arxiv = 1406.6307
 | year = 2014| bibcode = 2014arXiv1406.6307S}}
*{{Cita libro
 | last = Sander | first = J. W.
 | doi = 10.1006/jnth.1994.1008
 | issue = 2
 | journal = Journal of Number Theory
 | mr = 1269248
 | pages = 123–136
 | title = On  4/n=1/x+1/y+1/z  and Iwaniec' half-dimensional sieve
 | volume = 46
 | year = 1994
 }}.
*{{Cita libro
 | last = Schinzel | first = André | authorlink = Andrzej Schinzel
 | mr = 0080683
 | journal = [[Mathesis (journal)|Mathesis]]
 | language = French
 | pages = 219–222
 | title = Sur quelques propriétés des nombres  3/n  et  4/n , où  n  est un nombre impair
 | volume = 65
 | year = 1956}}.
*{{Cita libro
 | last = Sierpiński | first = Wacław | authorlink = Wacław Sierpiński
 | title = Sur les décompositions de nombres rationnels en fractions primaires
 | language = French
 | journal = [[Mathesis (journal)|Mathesis]]
 | year = 1956
 | volume = 65
 | pages = 16–32
 | mr = 0078385}}. Reprinted with additional annotations in {{Cita libro
 | last = Sierpiński | first = Wacław
 | location = Warsaw
 | mr = 0414302
 | pages = 169–184
 | publisher = PWN—Éditions Scientifiques de Pologne
 | title = Oeuvres Choisies
 | volume = I
 | year = 1974}}.
*{{Cita libro
 | last1 = Suryanarayana | first1 = D.
 | last2 = Rao | first2 = N. Venkateswara
 | mr = 0202659
 | journal = J. Indian Math. Soc. |series=New Series
 | pages = 165–167
 | title = On a paper of André Schinzel
 | volume = 29
 | year = 1965}}.
*{{Cita libro
 | last = Terzi | first = D. G.
 | doi = 10.1007/BF01934370
 | mr = 0297703
 | journal = Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT)
 | pages = 212–216
 | title = On a conjecture by Erdős-Straus
 | issue = 2
 | volume = 11
 | year = 1971
 }}.
*{{Cita libro
 | last = Vaughan | first = R. C. | author-link = Bob Vaughan
 | doi = 10.1112/S0025579300002886
 | mr = 0289409
 | issue = 2
 | journal = [[Mathematika]]
 | pages = 193–198
 | title = On a problem of Erdős, Straus and Schinzel
 | volume = 17
 | year = 1970}}
*{{Cita libro
  | last = Webb | first = William A.
  | title = On  4/n=1/x_1+1/x_2+1/x_3 
  | journal = [[Proceedings of the American Mathematical Society]]
  | volume = 25
  | issue = 3
  | pages = 578–584
  | year = 1970
  | mr = 0256984
  | doi = 10.2307/2036647
  | publisher = American Mathematical Society
  | jstor = 2036647}}.
*{{Cita libro
 | last = Yamamoto | first = Koichi
 | mr = 0177945
 | journal = Memoirs of the Faculty of Science. Kyushu University. Series A. Mathematics
 | pages = 37–47
 | title = On the Diophantine equation 4/n=1/x+1/y+1/z
 | volume = 19
 | year = 1965
 | doi = 10.2206/kyushumfs.19.37
 }}.
*{{Cita libro
 | last = Yang | first = Xun Qian
 | doi = 10.2307/2044050
 | mr = 660589
 | issue = 4
 | journal = Proceedings of the American Mathematical Society
 | pages = 496–498
 | title = A note on 4/n=1/x+1/y+1/z
 | volume = 85
 | year = 1982
 | jstor = 2044050}}.

{{control de autoridades}}
{{ORDENAR:conxectura de Erdos-Straus}}
[[Categoría:Problemas non resoltos da Matemática]]
[[Categoría:Teoría de números]]