Ver o código fonte de «Conxectura da p-curvatura de Grothendieck-Katz»

En [[matemáticas]], a '''conxectura da p-curvatura de Grothendieck-Katz''' é un [[Principio de Hasse|principio local-global]] para [[Ecuación_diferencial_ordinaria|ecuacións diferenciais ordinarias lineares]], relacionado coa [[teoría diferencial de Galois]] e, nun sentido laxo, análogo ao resultado do [[teorema da densidade de Chebotarev]] considerado como o caso [[Polinomio|polinómico]]. É unha conxectura de [[Alexander Grothendieck]] de finais da década de 1960, e aparentemente non publicada por el de ningunha forma.

O caso xeral segue sen resolverse, mália os últimos avances; está relacionado con investigacións xeométricas que implican [[Foliación|foliacións]] alxébricas.

== Formulación ==
No máis sinxelo enunciado posible a conxectura pódese enunciar esencialmente para un sistema vectorial escrito como

: <math>dv/dz = A(z)v</math>

para un vector ''v'' de tamaño ''n'' e unha matriz ''A de dimensión'' ''n''&#xD7;''n'' de [[Función alxébrica|funcións alxébricas]] con coeficientes de [[Número alxébrico|números alxébricos]]. A cuestión é dar un criterio para decidir cando hai un ''conxunto completo'' de solucións de funcións alxébricas, isto é, unha matriz fundamental (é dicir, ''n'' solucións vectoriais colocadas nunha [[matriz de bloques]]). Por exemplo, unha pregunta clásica perguntaba pola [[ecuación hiperxeométrica]]: cando ten un par de solucións alxébricas, en función dos seus parámetros? A resposta coñécese clásicamente como a lista de Schwarz. En termos de monodromía, a cuestión é identificar os casos do grupo monodrómico finito.

Ao reformular a cuestión e pasar a un sistema maior, o caso esencial é para as funcións racionais en ''A'' e os coeficientes de números racionais. Entón unha condición necesaria é que para case todos os números primos ''p'', o sistema definido por redución módulo ''p'' tamén debería ter un conxunto completo de solucións alxébricas, sobre o corpo finito de ''p'' elementos.

A conxectura de Grothendieck é que estas condicións necesarias, para case todos ''os p'', deberían ser suficientes. A conexión coa [[Curvatura P|''p''-curvatura]] é que a condición mod ''p'' indicada é o mesmo que dicir que a ''p''-curvatura, formada por unha operación de recorrencia en ''A'',<ref>[http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SB/SB_1991-1992__34_/SB_1991-1992__34__183_0/SB_1991-1992__34__183_0.pdf Daniel Bertrand, Bourbaki Seminar 750, 1991-2], section 5.</ref> é cero; polo que outra forma de dicilo é que ''a p''-curvatura de 0 para case todos ''os p'' implica solucións alxébricas suficientes da ecuación orixinal.

== Formulación de Katz para o grupo de Galois ==
[[Nicolás Katz|Nicholas Katz]] aplicou técnicas [[Categoría Tannakian|de categoría tannakiana]] para demostrar que esta conxectura é esencialmente o mesmo que dicir que o [[grupo diferencial de Galois]] ''G'' (ou, en rigor, a [[álxebra de Lie]] '''g''' do [[grupo alxébrico]] ''G'', que neste caso é o [[Peche de Zariski|pechamento de Zariski]] do grupo monodrómico) pódese determinar mediante información mod ''p'', para unha determinada clase ampla de ecuacións diferenciais. <ref>{{Cita publicación periódica|title="A conjecture in the arithmetic theory of differential equations"|volume=110|ano=1982|páxinas=203–239|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1982__110_/BSMF_1982__110__203_0/BSMF_1982__110__203_0.pdf|doi=10.24033/bsmf.1960|accessdate=free}}</ref>

== Progreso ==
Benson Farb e Mark Kisin demostraron unha ampla clase de casos; <ref>{{Cita publicación periódica|title=. "Rigidity, Locally Symmetric Varieties, and the Grothendieck–Katz Conjecture"|ano=2009|volume=2009|páxinas=4159–4167|doi=10.1093/imrn/rnp082|url=http://www.math.uchicago.edu/~farb/papers/pcurv5.pdf}}</ref> estas ecuacións están nunha variedade ''X'' [[Variedade localmente simétrica|localmente simétrica]] suxeita a algunhas condicións teóricas de grupos. Este traballo baséase nos resultados anteriores de Katz para [[Ecuación de Picard-Fuchs|as ecuacións de Picard-Fuchs]] (no sentido contemporáneo da [[conexión Gauss-Manin]]), tal como amplificaba André na dirección de Tannaki. Tamén aplica unha versión de [[superrixidez]] particular dos [[Grupo aritmético|grupos aritméticos]]. Outros avances foron feitos mediante métodos aritméticos.<ref>{{cite arXiv |last=Chambert-Loir |first=Antoine |year=2002 |title=Théorèmes d'algébrisation en géométrie diophantienne |eprint=math/0103192}}</ref>

== Historia ==
Nicholas Katz relacionou algúns casos coa [[teoría da deformación]] en 1972, nun artigo onde se publicou a conxectura. <ref>{{Cita publicación periódica|title=Algebraic solutions of differential equations (p-curvature and the Hodge filtration)|volume=18|ano=1972|páxinas=1–118|doi=10.1007/BF01389714|bibcode=1972InMat..18....1K}}</ref> Desde entón publicáronse reformulacións. Existen propostas de [[Q-analóxico|q-análogo]] para [[Ecuacións diferenciais|ecuacións diferenciais]]. <ref>{{Cita publicación periódica|title=Arithmetic theory of q -difference equations"|ano=2002|volume=150|páxinas=517–578|doi=10.1007/s00222-002-0241-z|arxiv=math/0104178|bibcode=2002InMat.150..517D}}</ref>

Grothendieck expuxo a conxectura en discusión pública na primavera de 1969, mais non escribiu nada sobre o tema. A idea veu a través da área da [[cohomoloxía cristalina]], naquel momento desenvolvida polo seu alumno [[Pierre Berthelot]]. Dalgunha maneira desexando equiparar a noción de "nilpotencia" na teoría das conexións, coa técnica [[Estrutura de poder dividido|de estrutura de potencia dividida]] (ou PD-estrutura) que se converteu en estándar na teoría cristalina. Grothendieck produciu a conxectura como un subproduto.

== Notas ==
{{reflist|30em}}

==Véxase tamén==
=== Bibliografía===

* Nicholas M. Katz, ''Rigid Local Systems'', capítulo 9.

*Jean-Benoît Bost, ''Algebraic leaves of algebraic foliations over number fields'', Publications Mathématiques de L'IHÉS, Volume 93, Number 1, September 2001
*Yves André, ''Sur la conjecture des p-courbures de Grothendieck–Katz et un problème de Dwork'', in ''Geometric Aspects of Dwork Theory'' (2004), editors Alan Adolphson, Francesco Baldassarri, Pierre Berthelot, Nicholas Katz, François Loeser
*Anand Pillay (2006), ''Differential algebra and generalizations of Grothendieck's conjecture on the arithmetic of linear differential equations''
[[Categoría:Cálculo diferencial]]