Ver o código fonte de «Coeficiente binomial»

[[Ficheiro:Pascal's_triangle_5.svg|dereita|miniatura|200x200px| Os coeficientes binomiais pódense ordenar para formar [[Triángulo de Pascal|o triángulo de Pascal]], no que cada entrada é a suma das dúas inmediatamente anteriores.]]
Os '''coeficientes binomiais''' ou '''números combinatorios''' son os [[Número enteiro|enteiros]] positivos que aparecen como coeficientes no [[teorema do binomio]]. Normalmente, un coeficiente binomial está representado por un par de números enteiros {{Math|''n'' ≥ ''k'' ≥ 0}} e escríbese <math>\tbinom{n}{k}.</math> Correspóndese co coeficiente do termo {{Math|''x''<sup>''k''</sup>}} na [[Polinomio|expansión polinómica]] da [[Potenciación|potencia]] [[Binomio|binomial]] {{Math|(1 + ''x'')<sup>''n''</sup>}}; este coeficiente pódese calcular mediante a fórmula 

: <math>\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}.</math>

Imos ver un exemplo, a cuarta potencia de ({{Math|1 + ''x''}}) é

: <math>\begin{align}
(1 + x)^4 &= \tbinom{4}{0} x^0 + \tbinom{4}{1} x^1 + \tbinom{4}{2} x^2 + \tbinom{4}{3} x^3 + \tbinom{4}{4} x^4 \\
&= 1 + 4x + 6 x^2 + 4x^3 + x^4,
\end{align}</math>

e calculamos o coeficiente binomial <math>\tbinom{4}{2} =\tfrac{4\times 3}{2\times1} = \tfrac{4!}{2!2!} = 6</math> é o coeficiente do termo {{Math|''x''<sup>2</sup>}}.

Se ordenamos os números <math>\tbinom{n}{0}, \tbinom{n}{1}, \ldots, \tbinom{n}{n}</math> en filas sucesivas para {{Math|1=''n'' = 0, 1, 2, ...}} daquela temos unha matriz triangular chamada [[triángulo de Pascal]], que satisfai a [[relación de recorrencia]]

: <math>\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} .</math>

En moitas áreas das matemáticas aparecen os coeficientes binomiais, e teñen especial incidencia na [[combinatoria]]. O símbolo <math>\tbinom{n}{k}</math> adoita lerse como "{{Mvar|n}} sobre {{Mvar|k}}". Hai <math>\tbinom{n}{k}</math> formas de escoller un subconxunto (desordenado) de {{Mvar|k}} elementos dun conxunto fixo de {{Mvar|n}} elementos. Por exemplo, hai <math>\tbinom{4}{2}=6</math> formas de escoller {{Math|2}} elementos entre {{Mset|1, 2, 3, 4}}, é dicir, {{Mset|1, 2}}, {{Mset|1, 3}}, {{Mset|1, 4}}, {{mset|2, 3}}, {{Mset|2, 4 }} e {{mset|3, 4}}.

Agora podemos xeneralizar para que <math>\tbinom{z}{k}</math> poida usarse para calquera [[número complexo]] {{Mvar|z}} e enteiro {{Math|''k'' ≥ 0}}, e moitas das súas propiedades seguen a manterse nesta forma máis xeral.

As notacións alternativas máis frecuentes son {{Math|''C''(''n'', ''k'')}},   {{Math|''C''{{su|p=''n''|b=''k''|lh=0.8}}}}, e {{Math|''C''{{sub|''n'',''k''}}}}, en todas elas o {{Mvar|C}} significa ''[[combinacións]]''. 

== Definición e interpretacións ==
Para [[Número natural|os números naturais]] ''n'' e ''k'', o coeficiente binomial <math>\tbinom nk</math> pódese definir como o coeficiente do monomio ''X''<sup>''k''</sup> na expansión de {{Math|(1 + ''X'')<sup>''n''</sup>}}. O mesmo coeficiente tamén ocorre (se {{Math|''k'' ≤ ''n''}} ) na [[Teorema do binomio|fórmula binomial]]{{Bloque numerado|:|<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk x^ky^{n-k}</math>|{{EquationRef|∗}}}}(válida para calquera elemento ''x'', ''y'' dun [[anel conmutativo]]), o que explica o nome de "coeficiente binomial".

Tamén aparece na combinatoria, onde dá  o número de subconxuntos de {{Mvar|k}} elementos (ou {{Mvar|k}}-combinacións) dun conxunto de {{Mvar|n}} elementos.

== Cálculo do valor dos coeficientes binomiais ==

=== Fórmula recursiva ===
:<math> \binom nk = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}k</math>para todos os números enteiros <math>n,k</math> tal que <math>1 \le k < n,</math>
con valores límite
:<math>\binom n0 = \binom nn = 1</math>
para todos os números enteiros {{Math|''n'' ≥ 0}}.

=== Fórmula multiplicativa ===
<math display="block">\binom nk = \frac{n^{\underline{k}}}{k!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-(k-1))}{k(k-1)(k-2)\cdots 1} = \prod_{i=1}^k\frac{ n+1-i}{ i},</math>onde o numerador da primeira fracción <math>n^{\underline{k}}</math> exprésase como o símbolo de Pochhammer do [[Factorial descendente e ascendente|factorial descendente]]. 

=== Fórmula factorial ===
:<math> \binom nk = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \quad \text{for }\ 0\leq k\leq n,</math>onde {{Math|''n''!}} denota o factorial de {{Mvar|n}} . A fórmula presenta unha simetría {{Bloque numerado|:|<math> \binom nk = \binom n{n-k} \quad \text{for }\ 0\leq k\leq n.</math>|{{EquationRef|1}}}}

=== Xeneralización e conexión coa serie binomial ===
A fórmula multiplicativa permítenos ampliar a definición dos coeficientes binomiais substituíndo '''{{mvar|n}}''' por un número arbitrario <math>\alpha</math> (negativo, real, complexo) ou mesmo un elemento de calquera [[anel conmutativo]] no que todos os enteiros positivos sexan invertibles:<math display="block">\binom \alpha k = \frac{\alpha^{\underline k}}{k!} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}
\quad\text{para } k\in\N \text{ e un arbitrario } \alpha.
</math>Aproveitamos esta definición para ter unha xeneralización da fórmula binomial, cunha das variables posta a 1, :{{Bloque numerado|:|<math> (1+X)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} X^k.</math>|{{EquationRef|2}}}}Esta fórmula é válida para todos os números complexos ''α'' e ''X'' con |''X''| < 1.

== Triángulo de Pascal ==
A regra de Pascal é unha importante relación de recorrencia{{Bloque numerado|:|<math> {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1},</math>|{{EquationRef|3}}}}que se pode utilizar para demostrar por [[indución matemática]] que <math> \tbinom n k</math> é un número natural para todos os enteiros ''n'' ≥ 0 e todos os enteiros ''k'', un feito que non é inmediatamente obvio a partir da fórmula (1).

A regra de Pascal dá lugar ao [[triángulo de Pascal]]:
{|
|0:
|
|
|
|
|
|
|
|
|1
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|1:
|
|
|
|
|
|
|
|1
|
|1
|
|
|
|
|
|
|
|-
|2:
|
|
|
|
|
|
|1
|
|2
|
|1
|
|
|
|
|
|
|-
|3:
|
|
|
|
|
|1
|
|3
|
|3
|
|1
|
|
|
|
|
|-
|4:
|
|
|
|
|1
|
|4
|
|6
|
|4
|
|1
|
|
|
|
|-
|5:
|
|
|
|1
|
|5
|
|10
|
|10
|
|5
|
|1
|
|
|
|-
|6:
|
|
|1
|
|6
|
|15
|
|20
|
|15
|
|6
|
|1
|
|
|-
|7:
|
|1&nbsp;
|
|7&nbsp;
|
|21
|
|35
|
|35
|
|21
|
|7&nbsp;
|
|1&nbsp;
|
|-
|8:
|1&nbsp;
|
|8&nbsp;
|
|28
|
|56
|
|70
|
|56
|
|28
|
|8&nbsp;
|
|1&nbsp;
|}
O número de fila {{Mvar|n}} contén os números <math>\tbinom{n}{k}</math> para {{Math|1=''k'' = 0, …, ''n''}}. Constrúese colocando primeiro 1 nas posicións máis externas e despois enchendo cada posición interna coa suma dos dous números directamente enriba. 

== Combinatoria e estatística ==
Os coeficientes binomiais son de importancia en [[combinatoria]], porque proporcionan fórmulas feitas para certos problemas frecuentes de contaxe:

* Hai <math>\tbinom n k</math> formas de escoller ''k'' elementos dun conxunto de ''n'' elementos. Consulte [[Combinacións]].
* Hai <math>\tbinom {n+k-1}k</math> formas de escoller ''k'' elementos dun conxunto de ''n'' elementos se se permiten as repeticións. Consulte [[multiconxunto|Multiconxunto]].
* Hai <math> \tbinom {n+k} k</math> cadeas que conteñen ''k'' uns e ''n'' ceros.
* Hai <math> \tbinom {n+1} k</math> cadeas formadas por ''k'' uns e ''n'' ceros de xeito que non hai dous uns adxacentes.<ref>{{cite journal|last=Muir|first=Thomas|title=Note on Selected Combinations|journal=Proceedings of the Royal Society of Edinburgh|year=1902|url=https://books.google.com/books?id=EN8vAAAAIAAJ&pg=GBS.PA102}}</ref>
* Os [[números de Catalan]] son <math>\tfrac{1}{n+1}\tbinom{2n}{n}.</math>
* A [[distribución binomial]] en [[estatística]] é <math>\tbinom n k p^k (1-p)^{n-k} .</math>

== Coeficientes binomiais como polinomios ==
Dado calquera enteiro non negativo ''k'', a expresión <math display="inline">\binom{t}{k}</math> pódese simplificar e definir como un polinomio dividido por {{Math|''k''!}}:

: <math>\binom{t}{k} = \frac{t^\underline{k}}{k!} = \frac{t(t-1)(t-2)\cdots(t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots2 \cdot 1};</math>

isto presenta un [[polinomio]] en ''t'' con coeficientes [[Número racional|racionais]].

Os seus coeficientes poden expresarse en termos dos [[números de Stirling]]:

: <math>\binom{t}{k} = \sum_{i=0}^k s(k,i)\frac{t^i}{k!}.</math>

== Identidades que implican coeficientes binomiais ==
Se ''k'' é un número enteiro positivo e ''n'' é arbitrario, entón{{Bloque numerado|:|<math> \binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}.</math>|{{EquationRef|5}}}}

: <math>\binom {n-1}{k} - \binom{n-1}{k-1} = \frac{n-2k}{n} \binom{n}{k}.</math>

: <math>\binom {n-1}{k} = \frac{n-k}{n} \binom {n}{k}.</math>

: <math>\binom{n}{h}\binom{n-h}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{h}=\binom{n}{h+k}\binom{h+k}{h}.</math>

Para ''n constnte'', temos a seguinte recorrencia:

: <math> \binom{n}{k} = \frac{n-k+1}{k} \binom{n}{k-1}.</math>

: <math>\binom {n}{k} = \binom n{n-k} = \frac{n-k+1}{k} \binom {n}{k-1} = \frac{n}{n-k} \binom {n-1}{k} = \frac{n}{k} \binom {n-1}{k-1} = \frac{n}{n-2k} \Bigg(\binom {n-1}{k} - \binom{n-1}{k-1}\Bigg) = \binom{n-1}k + \binom{n-1}{k-1}.</math>

=== Sumas dos coeficientes binomiais ===
A fórmula{{Bloque numerado|:|<math> \sum_{k=0}^n \binom n k = 2^n</math>|{{EquationRef|∗∗}}}}expresa que os elementos da fila {{Mvar|n}}-ésima do triángulo de Pascal sempre suman 2 elevados á potencia {{Mvar|n}}-ésima. 

Temos dúas fórmulas máis, 
: <math>\sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} = n 2^{n-1}.</math>.
: <math>\sum_{k=0}^n k^2 \binom n k = (n + n^2)2^{n-2}</math>.

Estas dúas fórmulas séguense do teorema do binomio despois de [[Derivada| diferenciar]] con respecto a {{Mvar|x}} (dúas veces na segunda) e despois de substituír {{Math|1=''x'' = ''y'' = 1}}.

A [[identidade de Vandermonde|identidade de Chu-Vandermonde]], que se cumpre para calquera valores complexos ''m'' e ''n'' e calquera número enteiro non negativo ''k'', é{{Bloque numerado|:|<math> \sum_{j=0}^k \binom m j \binom{n-m}{k-j} = \binom n k.</math>|{{EquationRef|7}}}} No caso especial {{Math|1=''n'' = 2''m'', ''k'' = ''m''}}, usando (1), a expansión (7) fica como{{Bloque numerado|:|<math> \sum_{j=0}^m \binom{m}{j} ^2 = \binom {2m} m,</math>|{{EquationRef|8}}}}onde o termo do lado dereito é un [[coeficiente binomial central]].

Imos ver outra forma da identidade de Chu-Vandermonde que se aplica a calquera número enteiro ''j'', ''k'' e ''n'' que satisfaga {{Math|0 ≤ ''j'' ≤ ''k'' ≤ ''n''}}, é{{Bloque numerado|:|<math>\sum_{m=0}^n \binom m j \binom {n-m}{k-j}= \binom {n+1}{k+1}.</math>|{{EquationRef|9}}}}Cando {{Math|1=''j'' = ''k''}}, a ecuación (9) dá 

: <math>\sum_{m=k}^n \binom m k = \binom {n+1}{k+1}</math>

Sexa ''F'' (''n'') o ''n''-ésimo [[Sucesión de Fibonacci|número de Fibonacci]], entón

: <math> \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom {n-k} k = F(n+1).</math>

==== Sumas de multiseccións ====
Para os enteiros ''s'' e ''t'' tales que <math>0\leq t < s,</math> as series de multisección (con termos igualmente espazados) dás a seguinte identidade para a suma dos coeficientes binomiais:

: <math>\binom{n}{t}+\binom{n}{t+s}+\binom{n}{t+2s}+\ldots=\frac{1}{s}\sum_{j=0}^{s-1}\left(2\cos\frac{\pi j}{s}\right)^n\cos\frac{\pi(n-2t)j}{s}.</math>

Para {{Mvar|s}} pequenos, estas series teñen formas particularmente feitucas; por exemplo, <ref>{{Harvtxt|Gradshteyn|Ryzhik|2014}}.</ref>

: <math> \binom{n}{0} + \binom{n}{3}+\binom{n}{6}+\cdots = \frac{1}{3}\left(2^n +2 \cos\frac{n\pi}{3}\right) </math>
: <math> \binom{n}{1} + \binom{n}{4}+\binom{n}{7}+\cdots = \frac{1}{3}\left(2^n +2 \cos\frac{(n-2)\pi}{3}\right) </math>
: <math> \binom{n}{2} + \binom{n}{5}+\binom{n}{8}+\cdots = \frac{1}{3}\left(2^n +2 \cos\frac{(n-4)\pi}{3}\right) </math>
: <math> \binom{n}{0} + \binom{n}{4}+\binom{n}{8}+\cdots = \frac{1}{2}\left(2^{n-1} +2^{\frac{n}{2}} \cos\frac{n\pi}{4}\right) </math>

==== Sumas parciais ====

: <math> \sum_{j=0}^k (-1)^j\binom{n}{j} = (-1)^k\binom {n-1}{k},</math>

co caso especial 

: <math>\sum_{j=0}^n (-1)^j\binom n j = 0</math>

para {{Math|''n'' > 0}}. Este último resultado é tamén un caso especial do resultado da teoría das [[diferenzas finitas]] que para calquera polinomio ''P''(''x'') de grao menor que ''n'', <ref>{{cite journal|last=Ruiz|first=Sebastian|title=An Algebraic Identity Leading to Wilson's Theorem|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1996-11_80_489/page/579|journal=The Mathematical Gazette|year=1996|volume=80|issue=489|pages=579–582|doi=10.2307/3618534| jstor=3618534|arxiv=math/0406086}}</ref>

: <math> \sum_{j=0}^n (-1)^j\binom n j P(j) = 0.</math>

Cando ''P''(''x'') é de grao menor ou igual a ''n'',{{Bloque numerado|:|<math> \sum_{j=0}^n (-1)^j\binom n j P(n-j) = n!a_n</math>|{{EquationRef|10}}}}onde <math>a_n</math> é o coeficiente de grao ''n'' en ''P''(''x'').

=== Identidade de Dixon ===
A [[identidade de Dixon]] é

: <math>\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a\choose k+a}^3 =\frac{(3a)!}{(a!)^3}</math>

ou, máis xeralmente,

: <math>\sum_{k=-a}^a(-1)^k{a+b\choose a+k} {b+c\choose b+k}{c+a\choose c+k} = \frac{(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}\,,</math>

onde ''a'', ''b'' e ''c'' son enteiros non negativos.

=== Identidades continuas ===
Existen certas integrais trigonométricas que teñen valores expresables en termos de coeficientes binomiais,  para calquera <math>m, n \in \N,</math>

: <math>\int_{-\pi}^{\pi} \cos((2m-n)x)\cos^n(x)\ dx = \frac{\pi}{2^{n-1}} \binom{n}{m}</math>
: <math>
\int_{-\pi}^{\pi} \sin((2m-n)x)\sin^n(x)\ dx =
\begin{cases}
(-1)^{m+(n+1)/2} \frac{\pi}{2^{n-1}} \binom{n}{m}, & n \text{ impar} \\
0, & \text{noutro caso}
\end{cases}</math>
: <math>
\int_{-\pi}^{\pi} \cos((2m-n)x)\sin^n(x)\ dx =
\begin{cases}
(-1)^{m+(n/2)} \frac{\pi}{2^{n-1}} \binom{n}{m}, & n \text{ par} \\
0, & \text{noutro caso}
\end{cases}</math>

Estas integrais pódense demostrar usando [[Fórmula de Euler|a fórmula de Euler]] para converter [[Función trigonométrica|funcións trigonométricas]] en exponenciais complexas, expandindo usando o [[teorema binomial]] e integrando termo por termo.

=== Congruencias ===
Se ''n'' é primo, entón<math display="block">\binom {n-1}k \equiv (-1)^k \mod n</math>por cada ''k'' con <math>0\leq k \leq n-1.</math>

De xeito máis xeral, isto segue sendo certo se ''n'' é calquera número e ''k'' é tal que todos os números entre 1 e ''k'' son coprimos con ''n''.

Daquela temos

: <math>
\binom {n-1} k = {(n-1)(n-2)\cdots(n-k)\over 1\cdot 2\cdots k}
= \prod_{i=1}^{k}{n-i\over i}\equiv \prod_{i=1}^{k}{-i\over i} = (-1)^k \mod n.
</math>

== Funcións xeradoras ==

=== Funcións xeradoras ordinarias ===
Se temos un {{Mvar|n}} fixo, a [[función xeradora|función xeradora ordinaria]] da secuencia <math>\tbinom n0,\tbinom n1,\tbinom n2,\ldots</math> é

: <math>\sum_{k=0}^\infty {n\choose k} x^k = (1+x)^n.</math>

Agora, se facemos que {{Mvar|k}} sexa fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia <math>\tbinom 0k,\tbinom 1k, \tbinom 2k,\ldots,</math> é

: <math>\sum_{n=0}^\infty {n\choose k} y^n = \frac{y^k}{(1-y)^{k+1}}.</math>

A función xeradora bivariada dos coeficientes binomiais é

: <math>\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n {n\choose k} x^k y^n = \frac{1}{1-y-xy}.</math>

=== Función xeradora exponencial ===
Para dúas variables, unha función xeradora  exponencial simétrica dos coeficientes binomiais é:

: <math>\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty {n+k\choose k} \frac{x^k y^n}{(n+k)!} = e^{x+y}.</math>

== Propiedades de divisibilidade ==
En 1852, [[Ernst Kummer|Kummer]] demostrou ([[Teorema de Kummer|Teorema de Kummer)]] que se ''m'' e ''n'' son enteiros non negativos e ''p'' é un número primo, entón a maior potencia de ''p'' que divide <math>\tbinom{m+n}{m}</math> é igual ''a p''<sup>''c''</sup>, onde ''c'' é o número de carrexos cando ''m'' e ''n'' se suman na base ''p''. Isto é valoración p-ádica dun coeficiente binomial. 

Os coeficientes binomiais teñen propiedades de divisibilidade relacionadas cos mínimos múltiplos comúns (lcm) de números enteiros consecutivos. Por exemplo:<ref name="Farhi2007">{{cite journal |last=Farhi |first=Bakir |title=Nontrivial lower bounds for the least common multiple of some finite sequence of integers |journal=Journal of Number Theory |volume=125 |issue=2 |year=2007 |pages=393–411 |doi=10.1016/j.jnt.2006.10.017 |arxiv=0803.0290 }}</ref>

: <math>\binom{n+k}k  \text{ divide a }  \frac{\operatorname{lcm}(n,n+1,\ldots,n+k)}n</math>.

: <math>\binom{n+k}k  \text{ é múltiplo de } \frac{\operatorname{lcm}(n,n+1,\ldots,n+k)}{n\cdot \operatorname{lcm}(\binom{k}0,\binom{k}1,\ldots,\binom{k}k)}</math>.

un dato máis en relación á divisibilidade: un número enteiro {{Math|''n'' ≥ 2}} é primo se e só se todos os coeficientes binomiais intermedios

: <math> \binom n 1, \binom n 2, \ldots, \binom n{n-1} </math>

son divisibles por '''{{mvar|n}}'''.

== Límites e fórmulas asintóticas ==
Os seguintes límites para <math>\tbinom n k</math> cúmprense para todos os valores de ''n'' e ''k'' tal que {{Math|1 ≤ ''k'' ≤ ''n''}}:<math display="block">\frac{n^k}{k^k} \le {n \choose k} \le \frac{n^k}{k!} < \left(\frac{n\cdot e}{k}\right)^k.</math>Das propiedades de divisibilidade podemos inferir que<math display="block">\frac{\operatorname{lcm}(n-k, \ldots, n)}{(n-k) \cdot \operatorname{lcm}\left(\binom{k}{0}, \ldots, \binom{k}{k}\right)}\leq\binom{n}{k} \leq \frac{\operatorname{lcm}(n-k, \ldots, n)}{n - k}.</math>

=== Tanto ''n'' como ''k'' grandes ===
A [[Fórmula de Stirling|aproximación de Stirling]] dá a seguinte aproximación, válida cando <math>n-k,k</math>  tenden ao infinito:<math display="block">{n \choose k} \sim
\sqrt{n\over 2\pi k (n-k)} \cdot
{n^n \over k^k (n-k)^{n-k}}
</math>En particular, cando <math>n</math> é suficientemente grande, temos
:<math> {2n \choose n} \sim \frac{2^{2n}}{\sqrt{n\pi }} </math>.
:<math>  \sqrt{n}{2n \choose n} \ge 2^{2n-1}</math>.

Se ''n'' é grande e ''k'' é linear en ''n'', existen varias estimacións asintóticas precisas para o coeficiente binomial <math display="inline"> \binom{n}{k}</math>. Por exemplo, se <math>| n/2 - k | = o(n^{2/3})</math> entón<math display="block"> \binom{n}{k} \sim \binom{n}{\frac{n}{2}} e^{-d^2/(2n)} \sim \frac{2^n}{\sqrt{\frac{1}{2}n \pi }} e^{-d^2/(2n)}</math>onde ''d'' = ''n'' − 2''k''.<ref>{{cite book|title=Asymptopia|last1=Spencer|first1=Joel|last2=Florescu|first2=Laura|date=2014| publisher=[[American Mathematical Society|AMS]]|isbn=978-1-4704-0904-3|series=Student mathematical library|volume=71|page=66| oclc=865574788|author1-link=Joel Spencer}}</ref>

=== {{Mvar|n}} moito maior que {{Mvar|k}} ===
Se {{Mvar|n}} é grande e {{Mvar|k}} é {{Math|''o''(''n'')}} (é dicir, se {{Math|''k''/''n'' → 0}}), entón<math display="block"> \binom{n}{k} \sim \left(\frac{n e}{k} \right)^k \cdot (2\pi k)^{-1/2} \cdot \exp\left(- \frac{k^2}{2n}(1 + o(1))\right)</math>onde de novo {{Mvar|o}} é a [[Pouca notación o|notación o pequena]]. <ref>{{cite book|title=Asymptopia|last1=Spencer|first1=Joel| last2=Florescu|first2=Laura|date=2014|publisher=[[American Mathematical Society|AMS]]|isbn=978-1-4704-0904-3|series=Student mathematical library|volume=71|page=59|oclc=865574788|author1-link=Joel Spencer}}</ref>

=== Coeficientes binomiais xeneralizados ===
Obtemos unha nova expresión para os coeficientes binomiais usando a [[Función gamma|fórmula do produto infinito para a función gamma]]<math display="block">(-1)^k {z \choose k}= {-z+k-1 \choose k} = \frac{1}{\Gamma(-z)} \frac{1}{(k+1)^{z+1}} \prod_{j=k+1} \frac{\left(1+\frac{1}{j}\right)^{-z-1}}{1-\frac{z+1}{j}}</math>que produce as fórmulas asintóticas<math display="block">{z \choose k} \approx \frac{(-1)^k}{\Gamma(-z) k^{z+1}} \qquad \text{and} \qquad {z+k \choose k} = \frac{k^z}{\Gamma(z+1)}\left( 1+\frac{z(z+1)}{2k}+\mathcal{O}\left(k^{-2}\right)\right)</math>cando <math>k \to \infty</math>.

== Xeneralizacións ==

=== Xeneralización a multinomial ===
{{Artigo principal|Teorema Multinomial}}
Os coeficientes binomiais pódense xeneralizarse a '''coeficientes multinomiais''' definidos como o número:

: <math>{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_r} =\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_r!}</math>

onde
: <math>\sum_{i=1}^rk_i=n.</math>

Lembrando o que representan os coeficientes binomiais  de {{Math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}}, vemos que os coeficientes multinomiais representan os coeficientes do polinomio

: <math>(x_1 + x_2 + \cdots + x_r)^n.</math>

O caso ''r'' = 2 dá os coeficientes binomiais:

: <math>{n\choose k_1,k_2}={n\choose k_1, n-k_1}={n\choose k_1}= {n\choose k_2}.</math>

A interpretación combinatoria dos coeficientes multinomiais sería que temos  ''n'' elementos distinguibles sobre ''r'' recipientes distinguibles, onde cada un contén exactamente ''k<sub>i</sub>'' elementos, onde ''i'' é o índice do recipiente.

=== Serie de Taylor ===
Usando os números de Stirling do primeiro tipo,<math>s_{k,i}</math>, temos que a [[Serie de Taylor|expansión en serie]] arredor de calquera punto escollido arbitrariamente <math>z_0</math> é

: <math>\begin{align} {z \choose k} = \frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k z^i s_{k,i}&=\sum_{i=0}^k (z- z_0)^i \sum_{j=i}^k {z_0 \choose j-i} \frac{s_{k+i-j,i}}{(k+i-j)!} \\ &=\sum_{i=0}^k (z-z_0)^i \sum_{j=i}^k z_0^{j-i} {j \choose i} \frac{s_{k,j}}{k!}.\end{align}</math>

=== Coeficiente binomial con {{Math|1=''n'' = 1/2}} ===
Podemos estender a definición dos coeficientes binomiais ao caso en que <math>n</math> é real e <math>k</math> é enteiro.

En particular, a seguinte identidade cúmprese para calquera número enteiro non negativo <math>k</math>:

: <math>{{1/2}\choose{k}}={{2k}\choose{k}}\frac{(-1)^{k+1}}{2^{2k}(2k-1)}.</math>

Isto vese cando se expande <math>\sqrt{1+x}</math> nunha serie de potencias utilizando a serie binomial de Newton:

: <math>\sqrt{1+x}=\sum_{k\geq 0}{\binom{1/2}{k}}x^k.</math>

=== Descomposición de fracción parcial ===
A [[descomposición en fracción parcial|descomposición en fraccións parciais]] do recíproco vén dada por
: <math>\frac{1}{{z \choose n}}= \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{n-1-i} {n \choose i} \frac{n-i}{z-i}.</math>

: <math> \frac{1}{{z+n \choose n}}= \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} {n \choose i} \frac{i}{z +i}.</math>

=== Serie binomial de Newton ===
{{principal|Serie binomial}}
A serie binomial de Newton, que recibe o nome de [[Isaac Newton]], é unha xeneralización do teorema binomial a series infinitas:
: <math> (1+z)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty}{\alpha\choose n}z^n = 1+{\alpha\choose1}z+{\alpha \choose 2}z^2+\cdots</math>

A identidade pódese obter mostrando que ambos os dous lados satisfan a [[ecuación diferencial]] {{math|1=(1 + ''z'') ''f'''(''z'') = ''α '' ''f''(''z'')}}.

O raio de [[serie converxente|converxencia]] desta serie é 1. Unha expresión alternativa é
: <math>\frac{1}{(1-z)^{\alpha+1}} = \sum_{n=0}^{\infty}{n+\alpha \choose n}z^n</math >
onde se aplica a identidade
: <math>{n \choose k} = (-1)^k {k-n-1 \choose k}</math>.

=== Coeficiente binomial multiconxunto (ascendente) ===

Os coeficientes binomiais contan subconxuntos de tamaño prescrito dun conxunto dado. Un problema combinatorio relacionado é contar [[multiconxunto]]s  é dicir, contar o número de formas de seleccionar un determinado número de elementos dun conxunto dado incluíndo a posibilidade de seleccionar o mesmo elemento con repetición. Os números resultantes chámanse ''[[Multiconxunto|coeficientes multiconxuntos]]'';<ref>
{{cita libro
 | last = Munarini | first = Emanuele
 | doi = 10.2298/AADM110609014M
 | issue = 2
 | journal = Applicable Analysis and Discrete Mathematics
 | mr = 2867317
 | pages = 176–200
 | title = Riordan matrices and sums of harmonic numbers
 | volume = 5
 | year = 2011| url = http://www.doiserbia.nb.rs/img/doi/1452-8630/2011/1452-86301100014M.pdf
}}.</ref> o número resultante dunha "multiescolla" (isto é, escolla con remprazacemento) de ''k'' elementos de  un conxunto de ''n'' elementos denótase cun duplo paréntese <math display="inline">\left(\!\!\binom n k\!\!\right)</math>.

O valor dos coeficientes multiconxunto é 
<math display="block">\left(\!\!{n\choose k}\!\!\right) = {n+k-1 \choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!} = {n(n+1)(n+2)\cdots(n+k-1)\over k!},</math>

==== Xeneralización a enteiros negativos  ====
Para calquera ''n'',
: <math>\begin{align}\binom{-n}{k} &= \frac{-n\cdot-(n+1)\dots-(n+k-2)\cdot-(n+k-1)}{k!}\\
&=(-1)^k\;\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)\cdots (n + k - 1)}{k!}\\
&=(-1)^k\binom{n + k - 1}{k}\\
&=(-1)^k\left(\!\!\binom{n}{k}\!\!\right).\end{align}</math>
En particular, os coeficientes binomiais para enteiros negativos ''n'' poden darse con coeficientes multiconxuntos negativos. 

Por exemplo, 
: <math>\begin{align}\binom{-4}{7} &= \frac
{-10\cdot-9\cdot-8\cdot-7\cdot-6\cdot-5\cdot-4}
{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7}\\
&=(-1)^7\;\frac{4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10}
{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7}\\
&=\left(\!\!\binom{-7}{7}\!\!\right)\left(\!\!\binom{4}{7}\!\!\right)=\binom{-1}{7}\binom{10}{7}.\end{align}</math>

=== Dous argumentos reais ou complexos ===
Xeneralízase a dous argumentos reais ou complexos usando a [[función gamma]] ou a [[función beta]] vía
: <math>{x \choose y}= \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(y+1) \Gamma(x-y+1)}= \frac{1}{(x+1) \Beta(y+1, x-y+1)}.</math>
Esta definición herda as seguintes propiedades da <math>\Gamma</math>:
: <math>{x \choose y}= \frac{\sin (y \pi)}{\sin(x \pi)} {-y-1 \choose -x-1}= \frac{\sin((x-y) \pi)}{\sin (x \pi)} {y-x-1 \choose y};</math>
e tamén,
: <math>{x \choose y} \cdot {y \choose x}= \frac{\sin((x-y) \pi)}{(x-y) \pi}.</math>
A función resultante ten sido pouco estudada, ao parecer obtívose un gráfico dela por primeira vez en {{Harv|Fowler|1996}}.

=== Xeneralización a ''q''-series ===
O coeficiente binomial ten un [[q-análogo]] coñecido como [[:en:Gaussian binomial coefficient|coeficiente binomial gaussiano]] (ligazón en inglés).

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
* {{cite book | first=Robert B. | last=Ash | title=Information Theory | url=https://archive.org/details/informationtheor0000ashr | publisher = Dover Publications, Inc. | orig-year = 1965| year = 1990 | isbn = 0-486-66521-6 }}
* {{cite book
 | title = Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof
 | first1 = Arthur T.
 | last1 = Benjamin
 | author1-link = Arthur T. Benjamin
 | first2 = Jennifer J.
 | last2 = Quinn
 | author2-link = Jennifer Quinn
 | publisher = [[Mathematical Association of America]]
 | series = Dolciani Mathematical Expositions
 | volume = 27
 | year = 2003
 | isbn = 978-0-88385-333-7
 | title-link = Proofs That Really Count
 }}
* {{cite book | first=Victor | last=Bryant | author-link=Victor Bryant | title=Aspects of combinatorics | url=https://archive.org/details/aspectsofcombina0000brya | publisher= Cambridge University Press | year=1993 | isbn=0-521-41974-3 }}
* {{cite book | last1=Flum | first1=Jörg | last2=Grohe | first2=Martin | author2-link=Martin Grohe | title=Parameterized Complexity Theory | year=2006 | publisher=Springer | url=https://www.springer.com/east/home/generic/search/results?SGWID=5-40109-22-141358322-0 | isbn=978-3-540-29952-3 | access-date=2017-08-28 | archive-date=2007-11-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20071118193434/http://www.springer.com/east/home/generic/search/results?SGWID=5-40109-22-141358322-0 }}
* {{Cite journal | doi = 10.2307/2975209 | title = The Binomial Coefficient Function | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1996-01_103_1/page/1 | first = David | last = Fowler | author-link = David Fowler (mathematician) | journal = [[The American Mathematical Monthly]] | volume = 103 |date=January 1996 | pages = 1–17 | issue = 1 | publisher = Mathematical Association of America | jstor = 2975209 }}
* {{cite journal |first=P. |last=Goetgheluck |title=Computing Binomial Coefficients |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1987-04_94_4/page/360 |journal=American Mathematical Monthly |volume=94 |issue=4 |year=1987 |pages=360–365 |doi=10.2307/2323099|jstor=2323099 }}
* {{cite book | first1=Ronald L. | last1=Graham | author-link=Ronald Graham | first2=Donald E. | last2=Knuth | author2-link=Donald Knuth | first3=Oren | last3=Patashnik | author3-link=Oren Patashnik | title=Concrete Mathematics | url=https://archive.org/details/concretemathemat00grah_444| publisher=Addison-Wesley | year=1994 | edition=Second | isbn=0-201-55802-5 | pages=[https://archive.org/details/concretemathemat00grah_444/page/n165 153]–256 }}
* {{cite book
 | last1 = Gradshteyn | first1 = I. S.
 | last2 = Ryzhik | first2 = I. M.
 | title =Table of Integrals, Series, and Products | title-link = Gradshteyn and Ryzhik
 | edition = 8th
 | year = 2014
 | publisher = Academic Press
 | isbn = 978-0-12-384933-5
}}
* {{cita libro | last1=Grinshpan | first1=A. Z. | title=Weighted inequalities and negative binomials | doi=10.1016/j.aam.2010.04.004 | year=2010 | journal=Advances in Applied Mathematics | volume=45 | issue=4 | pages=564–606 }}
* {{cite book |first=Nicholas J. |last=Higham |author-link=Nicholas Higham |title=Handbook of writing for the mathematical sciences |url=https://archive.org/details/handbookofwritin0000high |publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] |isbn=0-89871-420-6 |year=1998 |page=[https://archive.org/details/handbookofwritin0000high/page/25 25] }}
* {{cite book | first=Donald E.| last=Knuth | author-link=Donald Knuth | title=The Art of Computer Programming, Volume 1: ''Fundamental Algorithms'' | edition=Third | publisher=Addison-Wesley | year=1997 | isbn= 0-201-89683-4 | pages=52–74  }}
* {{cite journal | first=David | last=Singmaster | author-link=David Singmaster | title=Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients | journal=Journal of the London Mathematical Society | volume=8 | issue=3 | year=1974 | pages=555–560 | doi=10.1112/jlms/s2-8.3.555 }}
* {{cite book |first=G. E. |last=Shilov |title=Linear algebra |url=https://archive.org/details/linearalgebra0000shil |publisher=Dover Publications |year=1977 |isbn=978-0-486-63518-7}}
* {{cita libro |first=James|last=Uspensky|author-link=J. V. Uspensky |title=Introduction to Mathematical Probability |year=1937 |publisher=McGraw-Hill |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.263184/page/n25/mode/2up }}

=== Outros artigos ===
* [[Transformación binomial]]
* [[Número de Delannoy]]
* [[Número euleriano]]
* [[Función hiperxeométrica]]
* [[Número de Motzkin]]
* [[Número de Narayana]]
=== Ligazóns externas ===
* {{springer|title=Binomial coefficients|id=p/b016410}}
* {{cite journal |author=Andrew Granville |url=http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/granville/Binomial/toppage.html |title=Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I. Binomial coefficients modulo prime powers |journal=CMS Conf. Proc |volume=20 |pages=151–162 |year=1997 |author-link=Andrew Granville }}

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Álxebra]]
[[Categoría:Teoría de números]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]
[[Categoría:Combinatoria]]