Ver o código fonte de «Clase de conxugación»

[[Ficheiro:Dihedral-conjugacy-classes.svg|thumb|420px|Dous [[grafo de Cayley|grafos de Cayley]] de [[grupo diédrico|grupos diédrico]] con clases de conxugación distinguidas pola cor.]]

En [[matemáticas]], especialmente na [[teoría de grupos]], dous elementos <math>a</math> e <math>b</math> dun [[Grupo (matemáticas)|grupo]] son '''conxugados''' se hai un elemento <math>g</math> no grupo de tal forma que <math>b = gag^{-1} </math> é unha [[relación de equivalencia]] cuxas clases chámanse '''clases de conxugación'''. Noutras palabras, cada clase de conxugación está pechada baixo <math>b = gag^{-1}</math> para todos os elementos <math>g</math> do grupo.

Os membros da mesma clase de conxugación non se poden distinguir usando só a estrutura do grupo e, polo tanto, comparten moitas propiedades. O estudo das clases de conxugación dos [[grupo non abeliano|grupos non abelianos]] é fundamental para o estudo da súa estrutura.<ref name="dummit">{{cita libro|last1=Dummit|first1=David S.|last2=Foote|first2=Richard M.|title=Abstract Algebra|publisher=[[John Wiley & Sons]]|year=2004|edition=3rd|isbn=0-471-43334-9}}</ref><ref>{{cita libro|last=Lang|first=Serge|author-link=Serge Lang|title=Algebra|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|year=2002|isbn=0-387-95385-X}}</ref> Para un [[grupo abeliano]], cada clase de conxugación é un [[Conxunto |conxunto]] que contén un único elemento ([[Conxunto unitario]]).

As [[función (matemáticas)|funcións]] que son constantes para os membros da mesma clase de conxugación chámanse [[función de clase]].

==Definición==

Sexa <math>G</math> un grupo. Dous elementos <math>a, b \in G</math> son '''conxugados''' se existe un elemento <math>g \in G</math> tal que <math>gag^{-1} = b,</math>, en cuxo caso <math>b</math> chámase {{em|conxugado}} de <math>a</math> e <math>a</math> conxugado de <math>b</math>.

No caso do [[grupo linear xeral]] <math>\operatorname{GL}(n)</math> das [[matriz inversa|matrices invertíbeis]], a relación de conxugación chámase [[matriz semellante]].

Pódese demostrar facilmente que a conxugación é unha relación de equivalencia e, polo tanto, particiona <math>G</math> en clases de equivalencia. (Isto significa que todos os elementos do grupo pertencen precisamente a unha clase de conxugación, e as clases <math>\operatorname{Cl}(a)</math> e <math>\operatorname{Cl}(b)</math> son iguais [[se e só se]] <math>a</math> e <math>b</math> son conxugadas, e [[conxuntos disxuntos|disxuntas]]). A clase de equivalencia que contén o elemento <math>a \in G</math> é
:<math>\operatorname{Cl}(a) = \left\{ gag^{-1} : g \in G \right\}</math>
e chámase '''clase de conxugación''' de <math>a.</math> O '''{{visible anchor|número de clase|Número de clase (teoría de grupos)}}'''<!--negriña por WP:R#PLA--> de <math>G</math> é o número de clases de conxugación distintas (non equivalentes). Todos os elementos pertencentes á mesma clase de conxugación teñen a mesma [[Orde (teoría de grupos)|orde]].

==Exemplos==
O grupo simétrico [[Grupo diédrico de orde 6|<math>S_3,</math>]] que consiste nas 6 [[permutación|permutacións]] de tres elementos, ten tres clases de conxugación:

# Sen cambios <math>(abc \to abc)</math>. O membro único ten orde 1.
# [[Permutación cíclica|Transposición]] de dous elementos <math>(abc \to acb, abc \to bac, abc \to cba)</math>. Os 3 membros teñen todos orde 2.
# Unha [[permutación cíclica]] dos tres elementos <math>(abc \to bca, abc \to cab)</math>. Os dous membros teñen orde 3.

Estas tres clases tamén corresponden á clasificación de [[grupo de isometría|isometrías]] dun [[triángulo equilátero]].

[[Ficheiro:Symmetric group S4; conjugacy table.svg|thumb|300px|Táboa que mostra <math>bab^{-1}</math> para todos os pares <math>(a, b)</math> con <math>a, b \in S_4</math> <small>(compare [[:File:Symmetric group 4; permutation list.svg|lista numerada]])</small> Cada fila contén todos os elementos da clase de conxugación {{nowrap|de <math>a,</math>}} e cada columna contén todos os elementos de <math>S_4.</math>]]
O '''grupo simétrico [[v:Symmetric group S4|<math>S_4,</math>]]''' que consiste nas 24 permutacións de catro elementos, ten cinco clases de conxugación, listadas coa súa descrición, [[Permutation#Cycle type|tipo de ciclo]], orde dos membros e membros:

# Sen cambios. Tipo de ciclo = [1<sup>4</sup>]. Orde = 1. Membros = { (1, 2, 3, 4) }. A única fila que contén esta clase de conxugación móstrase como unha fila de círculos negros na táboa adxacente.
# Trocando dous (outros dous permanecen sen cambios). Tipo de ciclo = [1<sup>2</sup>2<sup>1</sup>]. Orde = 2. Membros = { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }). As 6 filas que conteñen esta clase de conxugación están resaltadas en verde na táboa adxacente.
# Unha permutación cíclica de tres (a outra permanece sen cambios). Tipo de ciclo = [1<sup>1</sup>3<sup>1</sup>]. Orde = 3. Membros = { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }. As 8 filas que conteñen esta clase de conxugación móstranse con letra normal (sen letra grosa nin resaltado en cor) na táboa adxacente.
# Unha permutación cíclica das catro. Tipo de ciclo = [4<sup>1</sup>]. Orde = 4. Membros = { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }). As 6 filas que conteñen esta clase de conxugación están resaltadas en laranxa na táboa adxacente.
# Trocando dous e tamén os outros dous. Tipo de ciclo = [2<sup>2</sup>]. Orde = 2. Membros = { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }). As 3 filas que conteñen esta clase de conxugación móstranse con entradas en negra grosa na táboa adxacente.

As [[Simetría octaédrica|rotacións adecuadas do cubo]], que poden caracterizarse por permutacións das diagonais do corpo, tamén se describen mediante conxugación en <math>S_4.</math>

En xeral, o número de clases de conxugación no '''grupo simétrico <math>S_n</math>''' é igual ao número de [[partición dun  enteiro|particións enteiras]] de <math>n.</math> Isto ocorre porque cada clase de conxugación corresponde exactamente a unha partición de <math>\{ 1, 2, \ldots, n \}</math> en ciclos de elementos, [[ata (matemáticas)|até]] a permutación dos elementos de <math>\{ 1, 2, \ldots, n \}.</math>

En xeral, o '''[[grupo euclidiano]]''' pódese estudar mediante a conxugación de isometrías no espazo euclidiano.

Exemplo

Sexa G = <math>S_3</math>

:<math> a = ( 2 3 ) </math>

:<math> x = ( 1 2 3 ) </math>

:<math> x^{-1} = ( 3 2 1 ) </math>

Daquela  <math>xax^{-1} </math>

:<math> = ( 1 2 3 ) ( 2 3 ) ( 3 2 1 ) </math>

:<math> = ( 3 1 )  </math> é Conxugado de <math>( 2 3 ) </math>

==Propiedades==

* O elemento identidade é sempre o único elemento da súa clase, é dicir, <math>\operatorname{Cl}(e) = \{ e \}.</math>
* Se <math>G</math> é [[grupo abeliano|abeliano]], entón <math>gag^{-1} = a</math> para todos os <math>a, g \in G</math>, é dicir, <math>\operatorname{Cl}(a) = \{ a \}</math> para todos os <math>a \in G</math> (e a inversa tamén é verdade: se todas as clases de conxugación son unitarias entón o grupo é abeliano).
* Se dous elementos <math>a, b \in G</math> pertencen á mesma clase de conxugación (é dicir, se están conxugados), entón teñen a mesma [[Orde (teoría de grupos)|orde]]. De xeito máis xeral, cada afirmación sobre <math>a</math> pódese traducir nunha afirmación sobre <math>b = gag^{-1},</math> porque o mapa <math>\varphi(x) = gxg^{-1}</math> é un [[automorfismo]] de <math>G</math> chamado [[automorfismo interno]]. Vexa a seguinte propiedade para ver un exemplo.
* Se <math>a</math> e <math>b</math> son conxugados, entón tamén o son as súas potencias <math>a^k</math> e <math>b^k.</math> (Proba: se <math>a = gbg^{-1}</math> entón <math>a^k = \left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right) \cdots \left(gbg^{-1}\right) = gb^kg^{-1}</math>). 
* Un elemento <math>a \in G</math> atópase no [[Centro (teoría de grupos)|centro]] <math>\operatorname{Z}(G)</math> de <math>G</math> se e só se a súa clase de conxugación só ten un elemento, o propio <math>a</math>. De xeito máis xeral, se <math>\operatorname{C}_G(a)</math> denota o {{em|[[centralizador]]}} de <math>a \in G,</math> é dicir, o [[subgrupo]] que consta de todos os elementos <math>g</math> de tal forma que <math>ga = ag,</math> entón o [[Índice dun subgrupo|índice]] <math>\left[G : \operatorname{C}_G(a)\right]</math> é igual ao número de elementos na clase de conxugación de <math>a</math> (polo [[acción de grupo#Teorema órbita-estabilizador|teorema órbita-estabilizador]]).
* Tome <math>\sigma \in S_n</math> e sexan <math>m_1, m_2, \ldots, m_s</math>  os distintos enteiros que aparecen como lonxitudes de ciclos no tipo de ciclo de <math>\sigma</math> (incluíndo 1 ciclos). Sexa <math>k_i</math> o número de ciclos de lonxitude <math>m_i</math> en <math>\sigma</math> para cada <math>i = 1, 2, \ldots, s</math> (de xeito que <math>\sum\limits_{i=1}^s k_i m_i = n</math>). Entón, o número de conxugados de <math>\sigma</math> é: <ref name="dummit" />
:<math>\frac{n!}{\left(k_1!m_1^{k_1}\right) \left(k_2!m_2^{k_2}\right) \cdots \left(k_s!m_s^{k_s}\right)}.</math>

==Conxugación como acción de grupo==

Para dous elementos calquera <math>g, x \in G,</math> sexa
:<math>g \cdot x := gxg^{-1}.</math>
Isto define unha [[acción de grupo]] de <math>G</math> en <math>G.</math> 
* A [[acción de grupo#órbitas e estabilizadores|órbita]] do elemento <math>x</math> mediante esta acción é a súa clase de conxugación.
* O [[acción de grupo#órbitas e estabilizadores|estabilizador]] dun subconxunto mediante esta acción é o [[normalizador]] dese subconxunto. Cando temos un único elemento <math>x</math> entón temos o [[centralizador]] de <math>x</math>.<ref name="Grillet-2007-p56">Grillet (2007), [{{Google books|plainurl=y|id=LJtyhu8-xYwC|page=56|text=the orbits are the conjugacy classes}} p. 56]</ref>

Do mesmo xeito, podemos definir unha acción de grupo de <math>G</math> no conxunto de todos os [[subconxunto]]s de <math>G,</math> escribindo
:<math>g \cdot S := gSg^{-1},</math>
ou no conxunto dos subgrupos de <math>G.</math>

==Ecuación de clase de conxugación==

Se <math>G</math> é un [[grupo finito]], entón para calquera elemento de grupo <math>a,</math> os elementos da clase de conxugación de <math>a</math> están en correspondencia un a un con [[coset]]s do [[centralizador]] <math>\operatorname{C}_G(a).</math> Observando que calquera elemento <math>b</math> e <math>c</math> pertencentes á mesma clase (e, polo tanto, <math>b = cz</math> para algúns <math>z</math> no centralizador <math>\operatorname{C}_G(a)</math>) dan lugar ao mesmo elemento ao conxugar <math>a</math>:
:<math>bab^{-1} = cza(cz)^{-1} = czaz^{-1}c^{-1} = cazz^{-1}c^{-1} = cac^{-1}.</math>
Iso tamén se pode ver no [[Acción de grupo#Teorema órbita-estabilizador|Teorema órbita-estabilizador]], cando se considera que o grupo actúa sobre si mesmo mediante a conxugación, de xeito que as órbitas son clases de conxugación e os subgrupos estabilizadores son centralizadores. A inversa tamén se cumpre.

Así, o número de elementos na clase de conxugación de <math>a</math> é o [[Índice dun subgrupo|índice]] <math>\left[ G : \operatorname{C}_G(a)\right]</math> do centralizador <math>\operatorname{C}_G(a)</math> en <math>G</math>; de aí que o tamaño de cada clase de conxugación divida a orde do grupo.

A maiores, se escollemos un único elemento representativo <math>x_i</math> de cada clase de conxugación, inferimos da disxunción das clases de conxugación que
:<math>|G| = \sum_i \left[ G : \operatorname{C}_G(x_i)\right],</math>
onde <math>\operatorname{C}_G(x_i)</math> é o centralizador do elemento <math>x_i.</math> Observando que cada elemento do centro <math>\operatorname{Z}(G)</math> forma unha clase de conxugación que contén só a si mesmo dá lugar á '''ecuación de clase''':<ref>Grillet (2007), [{{Google books|plainurl=y|id=LJtyhu8-xYwC|page=57|text=The Class Equation}} p. 57]</ref>
:<math>|G| = |{\operatorname{Z}(G)}| + \sum_i \left[G : \operatorname{C}_G(x_i)\right],</math>
onde a suma é sobre un elemento representativo de cada clase de conxugación que non está no centro.

O coñecemento dos divisores da orde do grupo <math>|G|</math> pódese empregar a miúdo para obter información sobre a orde do centro ou das clases de conxugación.

===Exemplo===

Considere un [[p-grupo|<math>p</math>-grupo]] <math>G</math> (é dicir, un grupo con orde <math>p^n,</math> onde <math>p</math> é un [[número primo]] e <math>n > 0</math>). Imos demostrar que {{em|todo <math>p</math>-grupo finito ten un centro non [[Trivial (matemáticas)|trivial]]}}.

Dado que a orde de calquera clase de conxugación de <math>G</math> debe dividir a orde de <math>G,</math> dedúcese que cada clase de conxugación <math>H_i</math> que non estea no [[centro (teoría de grupos)|centro]] tamén ten de orde algunha potencia de <math>p^{k_i},</math> onde <math>0 < k_i < n.</math> Mais daquela a ecuación de clase esixe que <math display="inline">|G| = p^n = |{\operatorname{Z}(G)}| + \sum_i p^{k_i}.</math> A partir disto vemos que <math>p</math> debe dividir a <math>|{\operatorname{Z}(G)}|,</math> polo que <math>|\operatorname{Z}(G)| > 1.</math>

En particular, cando <math>n = 2,</math> entón <math>G</math> é un grupo abeliano xa que calquera elemento de grupo non trivial é de orde <math>p</math> ou <math>p^2.</math> Se algún elemento <math>a</math> de <math>G</math> é de orde <math>G</math> é de orde <math>p^2</math> entón <math>G</math> é isomorfo ao grupo cíclico de orde <math>p^2</math>, polo tanto abeliano. 

Por outra banda, se cada elemento non trivial en <math>G</math> é de orde <math>p</math>, daí pola conclusión anterior <math>|\operatorname{Z}(G)| > 1,</math> despois <math>|\operatorname{Z}(G)| = p > 1</math> ou <math>p^2.</math> 

Só necesitamos considerar o caso cando <math>|\operatorname{Z}(G)| = p > 1,</math> entón hai un elemento <math>b</math> de <math>G</math> que non está no centro de <math>G.</math> Teña en conta que <math>\operatorname{C}_G(b)</math> inclúe <math>b</math> e o centro que non contén <math>b</math> pero polo menos <math>p</math> elementos. Polo tanto, a orde de <math>\operatorname{C}_G(b)</math> é estritamente maior que <math>p,</math> polo tanto <math>\left|\operatorname{C}_G(b)\right| = p^2,</math> polo tanto <math>b</math> é un elemento do centro de <math>G,</math> unha contradición. Polo tanto, <math>G</math> é abeliano e, de feito, isomorfo ao produto directo de dous grupos cíclicos cada un de orde <math>p.</math>

==Conxugación de subgrupos e subconxuntos xerais==

De xeito máis xeral, dado calquera [[subconxunto]] <math>S \subseteq G</math> (<math>S</math> non necesariamente un subgrupo), defina un subconxunto <math>T \subseteq G</math> como o conxugado de <math>S</math> se existe algún <math>g \in G</math> tal que <math>T = gSg^{-1}.</math> Sexa  <math>\operatorname{Cl}(S)</math> o conxunto de todos os subconxuntos <math>T \subseteq G</math> de tal forma que <math>T</math> é conxugado de <math>S.</math>

Un teorema de uso frecuente é que, dado calquera subconxunto <math>S \subseteq G,</math> o [[índice dun subgrupo|índice]] de <math>\operatorname{N}(S)</math> (o [[normalizador]] de <math>S</math>) en <math>G</math> é igual á cardinalidade de <math>\operatorname{Cl}(S)</math>:
:<math>|\operatorname{Cl}(S)| = [G : N(S)].</math>

Isto dedúcese de que, se <math>g, h \in G,</math> entón <math>gSg^{-1} = hSh^{-1}</math> se e só se <math>g^{-1}h \in \operatorname{N}(S),</math> noutras palabras, se e só se <math>g \text{ e } h</math> están no mesmo [[coset]] de <math>\operatorname{N}(S).</math>

Usando <math>S = \{ a \},</math> esta fórmula xeneraliza a dada anteriormente para o número de elementos nunha clase de conxugación.

O anterior é particularmente útil cando se fala de subgrupos de <math>G.</math> Os subgrupos pódense dividir en clases de conxugación, con dous subgrupos pertencentes á mesma clase se e só se son conxugados.

Os subgrupos conxugados son [[isomorfismo|isomorfos]], mais os subgrupos isomorfos non teñen por que seren conxugados. Por exemplo, un grupo abeliano pode ter dous subgrupos diferentes que son isomorfos, mais nunca son conxugados.

==Interpretación xeométrica==

As clases de conxugación no [[grupo fundamental]] dun espazo topolóxico [[conexo por camiños]] poden considerarse como clases de equivalencia de [[bucle libre|bucles libres]] baixo homotopía libre.

==Clase de conxugación e representacións irredutíbeis  en grupo finito==

En calquera [[grupo finito]], o número de [[representación irredutíbel|representacións irredutíbeis]] non isomorfas sobre os [[números complexos]] é precisamente o número de clases de conxugación.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 
== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
* {{cita libro|last1=Grillet|first1=Pierre Antoine |title=Abstract algebra|edition=2|series=Graduate texts in mathematics|volume=242|year=2007|publisher=Springer|isbn=978-0-387-71567-4}}
=== Outros artigos ===
* [[Conxugación topolóxica]]
* [[ligazón anotada|Subgrupo pechado por conxugación]]

=== Ligazóns externas ===
* {{springer|title=Elementos conxugados|id=p/c025010}}

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de grupos]]