Ver o código fonte de «Circunferencia inscrita e exinscrita»

[[Ficheiro:Incircle_and_Excircles.svg|dereita|miniatura|337x337px|'''Circunferencia inscrita e exinscritas dun triángulo.'''{{legend-line|solid black|Lados estendidos do triángulo {{math|△''ABC''}}}}
{{legend-line|solid #728fce|Circunferencia inscrita ([[incentro]] en {{mvar|I}})}}
{{legend-line|solid orange|Circunf. exinscritas (excentros en {{mvar|J{{sub|A}}}}, {{mvar|J{{sub|B}}}}, {{mvar|J{{sub|C}}}})}}
{{legend-line|solid red|[[Bisectriz|Ángulos bisectores internos]]}}
{{legend-line|solid #32cd32|[[Bisectriz|Ángulos bisectores externos]] (formando o triángulo excentral)}}]]

En [[xeometría]], a '''circunferencia''' '''inscrita''' dun [[triángulo]] é a [[Circunferencia|círcunferencia]] máis grande que pode estar contida no triángulo; toca (é [[tanxente]] a) os tres lados. O centro da circunferencia é un [[Centros do triangulo|centro do triángulo]] chamado [[incentro]] do triángulo.<ref>{{Harvtxt|Kay|1969|p=140}}</ref>

Unha  '''círcunferencia exinscrito'''<ref name="Altshiller-Court 1925 74">{{Harvtxt|Altshiller-Court|1925|p=74}}</ref> do triángulo é unha circunferenia situado fóra do triángulo, tanxente a un dos seus lados e tanxente ás [[Lado estendido|extensións dos outros dous]]. Cada triángulo ten tres circunferencias exinscritas distintas, cada unha tanxente a un dos lados do triángulo.<ref name="Altshiller-Court 1925 73">{{Harvtxt|Altshiller-Court|1925|p=73}}</ref>

O centro da circunferencia inscrita, chamado '''[[incentro]]''', pódese atopar como a intersección das tres [[Bisectriz|bisectrices do ángulo]] [[Ángulo interno e externo|interno]].<ref name="Altshiller-Court 1925 73"></ref> <ref>{{Harvtxt|Kay|1969}}</ref> O centro dunha circunferencia exinscrita é a intersección da mediatriz interna dun ángulo (no vértice {{Mvar|A}}, por exemplo) e as mediatrices externas dos outros dous. O centro desta excircunferencia chámase '''excentro''' relativo ao vértice {{Mvar|A}}, ou '''excentro''' de {{Mvar|A}}.<ref name="Altshiller-Court 1925 73" /> Como a mediatriz interna dun ángulo é perpendicular á súa mediatriz externa, dedúcese que o centro da circunferencia xunto cos tres centros da circunferencia forman un [[sistema ortocéntrico]].{{Sfn|Johnson|1929|p=182}}

== Circunferencia inscrita e incentro ==
Supoñamos que <math>\triangle ABC </math> ten unha circunferencia inscrita con raio <math>r</math> e centro <math>I</math>. Sexa <math>a</math> a lonxitude de <math>\overline{BC}</math>, <math>b</math> a lonxitude de <math>\overline{AC}</math>, e <math>c</math> a lonxitude de <math>\overline{AB}</math>. Tamén sexan <math>T_A</math>, <math>T_B</math>, e <math>T_C</math> os puntos de contacto onde  a circunferencia inscrita toca os lados <math>\overline{BC}</math>, <math>\overline{AC}</math>, e <math>\overline{AB}</math> .

=== Incentro ===
O incentro é o punto onde se atopan as [[Bisectriz|bisectrices dos ángulos]] internos <math>\angle ABC, \angle BCA, \text{ e } \angle BAC</math>.

A distancia do vértice <math>A</math> ao incentro <math>I</math> é:
:<math>
  d(A, I) 
 = c \, \frac{\sin\frac{B}{2}}{\cos\frac{C}{2}}
 = b \, \frac{\sin\frac{C}{2}}{\cos\frac{B}{2}}.
</math>

==== Coordenadas trilineares ====
As [[coordenadas trilineares]] dun punto do triángulo son a razón de todas as distancias aos lados do triángulo. Como o incentro está á mesma distancia de todos os lados do triángulo, as coordenadas trilineares do incentro son  
:<math>\ 1 : 1 : 1.</math>

==== Coordenadas baricéntricas ====
As [[coordenadas baricéntricas]] dun punto nun triángulo dan pesos tal que o punto é a media ponderada das posicións dos vértices do triángulo. As coordenadas baricéntricas para o incentro veñen dadas por 
:<math>\ a : b : c</math>

onde <math>a</math>, <math>b</math>, e <math>c</math> son as lonxitudes dos lados do triángulo, ou de forma equivalente (usando a [[Teorema do seno|lei dos senos]])  
:<math>\sin A : \sin B : \sin C</math>

onde <math>A</math>, <math>B</math>, e <math>C</math> son os ángulos nos tres vértices.

==== Coordenadas cartesianas ====
As [[Sistema de coordenadas cartesianas|coordenadas cartesianas]] do incentro son unha media ponderada das coordenadas dos tres vértices usando as lonxitudes dos lados do triángulo en relación ao perímetro (é dicir, usando as coordenadas baricéntricas indicadas anteriormente, normalizadas á unidade) como pesos. Os pesos son positivos polo que o incentro está dentro do triángulo como se indicou anteriormente. Se os tres vértices están situados en <math>(x_a,y_a)</math>, <math>(x_b,y_b)</math>, e <math>(x_c,y_c)</math>, e os lados opostos a estes vértices teñen lonxitudes correspondentes <math>a</math>, <math>b</math>, e <math>c</math>, entón o incentro está en  
:<math>
  \left(\frac{a x_a + b x_b + c x_c}{a + b + c}, \frac{a y_a + b y_b + c y_c}{a + b + c}\right)
 = \frac{a\left(x_a, y_a\right) + b\left(x_b, y_b\right) + c\left(x_c, y_c\right)}{a + b + c}.
</math>

==== Raio ====
O inraio <math>r</math> da circunferencia inscrita nun triángulo con lados de lonxitude <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> está dado por <ref>{{Harvtxt|Kay|1969|p=201}}</ref> 
:<math>r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}},</math>

onde <math>s = \tfrac12(a + b + c)</math> é o semiperímetro.

Os puntos de tanxencia da circunferencia inscrita dividen os lados en segmentos de lonxitude <math>s-a</math> dende <math>A</math>, <math>s-b</math> dende <math>B</math>, e <math>s-c</math> dende <math>C</math>. <ref>Chu, Thomas, ''The Pentagon'', Spring 2005, p. 45, problem 584.</ref>

Vexa a [[Fórmula de Herón|fórmula de Heron]].

==== Distancias aos vértices ====
Denotando o incentro de <math>\triangle ABC </math> como <math>I </math>, as distancias do incentro aos vértices combinadas coas lonxitudes dos lados do triángulo obedecen á ecuación<ref>
{{cita libro
 | last1 = Allaire | first1 = Patricia R.
 | last2 = Zhou | first2 = Junmin
 | last3 = Yao | first3 = Haishen
 | date = March 2012
 | journal = [[Mathematical Gazette]]
 | pages = 161–165
 | title = Proving a nineteenth century ellipse identity
 | volume = 96
| doi = 10.1017/S0025557200004277
 }}.</ref> 
:<math>\frac{\overline{IA} \cdot \overline{IA}}{\overline{CA} \cdot \overline{AB}} + \frac{\overline{IB} \cdot \overline{IB}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC}} + \frac{\overline{IC} \cdot \overline{IC}}{\overline{BC} \cdot \overline{CA}} = 1.</math>

A maiores,<ref>{{cita libro|last=Altshiller-Court|first=Nathan|author-link=Nathan Altshiller Court|title=College Geometry|publisher=Dover Publications|year=1980}}</ref> 
:<math>\overline{IA} \cdot \overline{IB} \cdot \overline{IC} = 4Rr^2,</math>

onde <math>R </math> e <math>r </math> son o [[Circunferencia circunscrita|circunraio]] e o inraio do triángulo respectivamente.

=== Circunferencia inscritas e as súas propiedades do seu raio ===

==== Distancias entre o vértice e os puntos de contacto máis próximos ====
As distancias dun vértice aos dous puntos de contacto máis próximos son iguais; por exemplo: <ref name=":0">''Mathematical Gazette'', July 2003, 323-324.</ref> 
:<math>d\left(A, T_B\right) = d\left(A, T_C\right) = \tfrac12(b + c - a) = s - a.</math>

==== Outras propiedades ====
Se as [[Altura (triángulo)|alturas]] dos lados de lonxitudes <math>a</math>, <math>b</math>, e <math>c</math> son <math>h_a</math>, <math>h_b</math>, e <math>h_c</math>, daquela o inraioi <math>r</math> é un terzo da [[media harmónica]] destas alturas; é dicir, <ref>{{Harvtxt|Kay|1969}}</ref> 
:<math> r = \frac{1}{\dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c}}.</math>

O produto do raio da circunferencia <math>r </math> e o raio da [[circunferencia circunscrita|circunferencia]] <math>R </math> dun triángulo con lados <math>a</math>, <math>b</math>, e <math>c</math> é {{Sfn|Johnson|1929|p=189, #298(d)}} 
:<math>rR = \frac{abc}{2(a + b + c)}.</math>

Algunhas relacións entre os lados, o raio da circunferencia inscrita e o raio da circunferencia dircunscrita son:<ref name=Bell>{{Cite web |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf |title=Bell, Amy, "Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization", ''Forum Geometricorum'' 6, 2006, 335–342. |access-date=2012-05-05 |archive-date=2021-08-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210831080348/https://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf }}</ref> 
:<math>\begin{align}
   ab + bc + ca &= s^2 + (4R + r)r, \\
 a^2 + b^2 + c^2 &= 2s^2 - 2(4R + r)r.
\end{align}</math>

Calquera liña a través dun triángulo que divide tanto a área do triángulo como o seu perímetro pola metade pasa polo incentro do triángulo (o centro da súa circunferencia inscrita). Hai un, dous ou tres destes para calquera triángulo dado. <ref>Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers," ''Mathematics Magazine'' 83, April 2010, pp. 141-146.</ref>

Indicando o centro da circunferencia inscrita de <math>\triangle ABC </math> como <math>I </math>, temos<ref>Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", ''[[Mathematical Gazette]]'' 96, March 2012, 161-165.</ref>

:<math>\frac{\overline{IA} \cdot \overline{IA}}{\overline{CA} \cdot \overline{AB}} + \frac{\overline{IB} \cdot \overline{IB}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC}} + \frac{\overline{IC} \cdot \overline{IC}}{\overline{BC} \cdot \overline{CA}} = 1</math>

e<ref>Altshiller-Court, Nathan. ''College Geometry'', Dover Publications, 1980.</ref> {{Rp|121,#84}}
:<math>\overline{IA} \cdot \overline{IB} \cdot \overline{IC} = 4Rr^2.</math>

O raio do circunferencia inscrita non é maior que a novena parte da suma das alturas.<ref>Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. ''[[The Secrets of Triangles]]'', Prometheus Books, 2012.</ref> {{Rp|289}}

A distancia ao cadrado do incentro <math>I </math> ao circuncentro <math>O </math> vén dada por <ref name="Franzsen">{{Cita publicación periódica|MR=2877263|title=The distance from the incenter to the Euler line|páxinas=231–236|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126.pdf|volume=11|ano=2011|data-acceso=20 de setembro de 2024|data-arquivo=05 de decembro de 2020|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20201205220605/http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126.pdf|url-morta=yes}}.</ref> {{Rp|232}}
:<math>\overline{OI}^2 = R(R - 2r) = \frac{a\,b\,c\,}{a+b+c}\left [\frac{a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}-1 \right ]</math>

e a distancia do incentro ao centro <math>N </math> da [[circunferencia de nove puntos]] é <ref name="Franzsen"></ref> {{Rp|232}}
:<math>\overline{IN} = \tfrac12(R - 2r) < \tfrac12 R.</math>

O incentro sitúase no [[triángulo medial]] (cuxos vértices son os puntos medios dos lados).<ref name=Franzsen/>{{rp|233, Lemma 1}}

=== Triángulo e punto de Gergonne ===
[[Ficheiro:Intouch_Triangle_and_Gergonne_Point.svg|dereita|conmarco|
{{legend-line|solid black|Triángulo {{math|△''ABC''}}}}
{{legend-line|solid #728fce|Circunferencia inscrita ([[incentro]] en {{mvar|I}})}}
{{legend-line|solid red|Triángulo do contacto {{math|△''T{{sub|A}}T{{sub|B}}T{{sub|C}}''}}}}
{{legend-line|solid #1dc404|Liñas entre vertices opostos de {{math|△''ABC''}} e {{math|△''T{{sub|A}}T{{sub|B}}T{{sub|C}}''}} (concurrren no punto de Gergonne {{mvar|G{{sub|e}}}})}}]]
O '''triángulo de Gergonne''' (de <math>\triangle ABC</math> ) defínese polos tres puntos de contacto da circunferencia inscrita nos tres lados. O punto de contacto oposto <math>A</math> denotase <math>T_A </math>, etc.

Este triángulo de Gergonne, <math>\triangle T_AT_BT_C</math>, tamén se coñece como '''triángulo de contacto''' de <math>\triangle ABC</math>. A súa área é <math display="block">K_T = K\frac{2r^2 s}{abc}</math>

onde <math>K</math>, <math>r</math>, e <math>s</math> son a área, o raio da circunferencia inscrita e o semiperímetro do triángulo orixinal e <math>a</math>, <math>b</math>, e <math>c</math> son as lonxitudes dos lados do triángulo orixinal. Esta é a mesma área que a do [[triángulo extanxente]] .<ref>
Weisstein, Eric W. "Contact Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html</ref>

As tres liñas <math>AT_A </math>, <math>BT_B </math> e <math>CT_C </math> córtanse nun único punto chamado '''punto de Gergonne''', denotado como <math>G_e </math> (ou centro do triángulo ''X''<sub>7</sub>). O punto de Gergonne atópase no [[disco ortocentroidal]] aberto perforado no seu propio centro, e pode ser calquera punto do mesmo. <ref name="Bradley">Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith, "The locations of triangle centers", ''[[Forum Geometricorum]]'' 6 (2006), 57–70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304000426/http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html |date=04 de marzo de 2016 }}</ref>

O punto de Gergonne dun triángulo ten unha serie de propiedades, incluíndo que é o [[punto simediano]] do triángulo de Gergonne.<ref>
{{Cita publicación periódica
 |last        = Dekov
 |first       = Deko
 |title       = Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point
 |journal     = Journal of Computer-generated Euclidean Geometry
 |year        = 2009
 |volume      = 1
 |pages       = 1&ndash;14
 |url         = http://www.dekovsoft.com/j/2009/01/JCGEG200901.pdf
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20101105045604/http://www.dekovsoft.com/j/2009/01/JCGEG200901.pdf
 |archive-date = 2010-11-05
}}</ref>

== Circunferencias exinscritas e excentros ==
[[Ficheiro:Incircle_and_Excircles.svg|dereita|miniatura|337x337px|{{legend-line|solid black|Lados estendidos de {{math|△''ABC''}}}}
{{legend-line|solid #728fce|Circunferencia inscrita, ([[incentro]] en {{mvar|I}})}}
{{legend-line|solid orange|Circunfs. exinscritas (excentros en {{mvar|J{{sub|A}}}}, {{mvar|J{{sub|B}}}}, {{mvar|J{{sub|C}}}})}}
{{legend-line|solid red|Ángulos bisectores internos}}
{{legend-line|solid #32cd32|Ángulos bisectores externos (formando o triángulo excentral)}}]]
Unha  '''circunferencia exinscrita''' <ref name="Altshiller-Court 1925 74">{{Harvtxt|Altshiller-Court|1925|p=74}}</ref> do triángulo é unha circunferencia situada fóra do triángulo, tanxente a un dos seus lados e tanxente ás [[Lado estendido|extensións dos outros dous]]. Cada triángulo ten tres circunferencias distintas, cada unha tanxente a un dos lados do triángulo.<ref name="Altshiller-Court 1925 73"></ref>

O centro dunha circunferencia exinscrita é a intersección da mediatriz interna dun ángulo (no vértice <math>A</math>, por exemplo) e as mediatrices [[Ángulo interno e externo|externas]] das outras dúas. O centro desta circunferencia chámase '''excentro''' en relación ao vértice <math>A</math>, ou o '''excentro''' de <math>A</math>.<ref name="Altshiller-Court 1925 73"></ref> Dado que a mediatriz interna dun ángulo é perpendicular á súa mediatriz externa, dedúcese que o centro da circunferencia inscrita xunto cos tres centros das circunferencia exinscritas forman un [[sistema ortocéntrico]].{{Sfn|Johnson|1929|p=182}}

=== Coordenadas trilineares dos excentros ===
Mentres que o incentro de <math>\triangle ABC</math> ten [[coordenadas trilineares]] <math>1 : 1 : 1</math>, as dos excentros son 
:<math>\begin{array}{rrcrcr}
 J_A = & -1 &:& 1 &:& 1 \\
 J_B = & 1 &:& -1 &:& 1 \\ 
 J_C = & 1 &:& 1 &:& -1 
\end{array}</math>

=== Exraios ===
Os raios das circunferencias exinscritas chámanse '''exraios'''.

O exraio da circunferencia exinscrita oposta a <math>A</math> (tocando  <math>BC</math>, centrado en <math>J_A</math>) é <ref name="Altshiller-Court 1925 79">{{Harvtxt|Altshiller-Court|1925|p=79}}</ref> <ref>{{Harvtxt|Kay|1969|p=202}}</ref> 
:<math>r_a = \frac{rs}{s - a} = \sqrt{\frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}},</math> onde <math>s = \tfrac{1}{2}(a + b + c).</math>

=== Triángulo de Nagel e punto de Nagel ===
[[Ficheiro:Extouch_Triangle_and_Nagel_Point.svg|dereita|conmarco|
{{legend-line|solid black|Lados estendidos do triángulo {{math|△''ABC''}}}}
{{legend-line|solid orange|Cirs. exinscritas {{math|△''ABC''}} (tanxentes en {{mvar|T{{sub|A}}. T{{sub|B}}, T{{sub|C}}}})}}
{{legend-line|solid red|'''Triángulo extratanxente de Nagel''' {{math|△''T{{sub|A}}T{{sub|B}}T{{sub|C}}''}}}}
{{legend-line|solid #728fce|[[Divisor (xeometría)|Divisores]]: liñas ligando vertices opostos de {{math|△''ABC''}} e {{math|△''T{{sub|A}}T{{sub|B}}T{{sub|C}}''}} (concurren no '''punto de Nagel''' {{mvar|N}})}}]]
O '''triángulo de Nagel''' ou '''triángulo extratanxente''' de <math>\triangle ABC</math> denotado polos vértices <math>T_A</math>, <math>T_B</math>, e <math>T_C</math> que son os tres puntos onde as circunferencia exinscritas tocan a <math>\triangle ABC</math> e onde <math>T_A</math> é oposto a <math>A</math>, etc. Este triángulo <math>\triangle T_AT_BT_C</math> tamén se coñece como o '''triángulo extratanxente''' de <math>\triangle ABC</math>. A [[circunferencia circunscrita]]  do triángulo extratanxente <math>\triangle T_AT_BT_C</math> chámase '''circunferencia de Mandart''' . 

Os tres segmentos de liña <math>\overline{AT_A}</math>, <math>\overline{BT_B}</math> e <math>\overline{CT_C}</math> chámanse os [[Divisor (xeometría)|divisores]] do triángulo; cada un deles xunto ao lado bisecan o perímetro do triángulo,
:<math>\overline{AB} + \overline{BT_A} = \overline{AC} + \overline{CT_A} = \frac{1}{2}\left( \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AC} \right).</math>

Os divisores crúzanse nun único punto, o [[punto de Nagel]] do triángulo <math>N_a</math> (ou centro do triángulo ''X''<sub>8</sub>).

As coordenadas trilineares dos vértices do triángulo extratanxente veñen dadas por 
:<math>\begin{array}{ccccccc}
 T_A &=& 0 &:& \csc^2\frac{B}{2} &:& \csc^2\frac{C}{2} \\[2pt]
 T_B &=& \csc^2\frac{A}{2} &:& 0 &:& \csc^2\frac{C}{2} \\[2pt]
 T_C &=& \csc^2\frac{A}{2} &:& \csc^2\frac{B}{2} &:& 0
\end{array}</math>

As coordenadas trilineares para o punto de Nagel veñen dadas por 
:<math>\csc^2\tfrac{A}{2} : \csc^2\tfrac{B}{2} : \csc^2\tfrac{C}{2},</math>

ou, equivalentemente, pola [[Teorema do seno|Lei dos Senos]], 
:<math>\frac{b + c - a}{a} : \frac{c + a - b}{b} : \frac{a + b - c}{c}.</math>

O punto de Nagel é o [[conxugado isotómico]] do punto de Gergonne.

== Construcións relacionadas ==

=== Circunferencia de nove puntos e punto de Feuerbach ===
[[Ficheiro:Circ9pnt3.svg|dereita|miniatura|250x250px| A circunferencia de nove puntos é tanxente á circunferencia inscrita e ás circunferencias exinscritas]]
En [[xeometría]], a '''circunferencia'''  '''de nove puntos''' é unha [[circunferencia]] que se pode construír para calquera [[triángulo]] dado. Chámase así porque pasa por nove puntos concíclicos significativos definidos a partir do triángulo. Estes nove [[Punto (xeometría)|puntos]] son:<ref>{{Harvtxt|Altshiller-Court|1925}}</ref> <ref>{{Harvtxt|Kay|1969}}</ref>

* O punto medio de cada lado do triángulo
* O [[Perpendicularidade|pé]] de cada [[Altura (triángulo)|altura]]
* O punto medio do [[Segmento|segmento de liña]] desde cada [[vértice]] do triángulo ata o [[Altura (triángulo)|ortocentro]] (onde se atopan as tres alturas; estes segmentos de liña sitúanse nas súas respectivas alturas).

En 1822, [[Karl Wilhelm Feuerbach|Karl Feuerbach]] descubriu que a circunferencia de nove puntos de calquera triángulo é tanxente externamente ás tres circunferencias exinscritas dese triángulo e tanxente internamente á súa circunferencia inscrita; este resultado coñécese como [[teorema de Feuerbach]].

O [[centro do triángulo]] no que se tocan a circunferencia inscrita e a circunferencia de nove puntos chámase [[Punto Feuerbach|punto de Feuerbach]].

== Teorema de Euler ==
[[Teorema de Euler en xeometría|O teorema de Euler]] estabelece que nun triángulo: <math display="block">(R - r)^2 = d^2 + r^2,</math>

onde <math>R</math> e <math>r</math> son o circunraio e o inraio respectivamente, e <math>d</math> é a distancia entre o [[circunferencia circunscrita|circuncentro]] e o incentro.

Para as circunferencias exinscritas  a ecuación é semellante: <math display="block">\left(R + r_\text{ex}\right)^2 = d_\text{ex}^2 + r_\text{ex}^2.</math>

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}}
=== Bibliografía ===
* {{ cita libro | first1 = Nathan | last1 = Altshiller-Court | year = 1925 | lccn = 52013504 | title = College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle | edition = 2nd | publisher = [[Barnes & Noble]] | location = New York }}
* {{cita libro
 | last = Johnson |first = Roger A.
 | year = 1929
 | title = Modern Geometry
 | publisher = Houghton Mifflin
 | chapter = X. Inscribed and Escribed Circles
 | pages = 182–194
 | chapter-url = https://archive.org/details/moderngeometry0000unse_q5z5/page/182/
 }}
* {{ cita libro| first1 = David C. | last1 = Kay | year = 1969 | lccn = 69012075 | title = College Geometry | url = https://archive.org/details/collegegeometry0000kayd | publisher = [[Holt, Rinehart and Winston]] | location = New York }}
* {{ cita publicación periódica | first = Clark | last = Kimberling | title = Triangle Centers and Central Triangles | journal = Congressus Numerantium | issue = 129 | year = 1998 | pages = i-xxv,1–295 }}
* {{ cita publicación periódica | first = Sándor | last = Kiss | title = The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles | journal = Forum Geometricorum | issue = 6 | year = 2006 | pages = 171–177 }}

=== Outros artigos ===
* [[Figura inscrita]]
* [[Circunferencia de nove puntos]].
* [[Circunferencia circunscrita]].
* [[Potencia dun punto]].

=== Ligazóns externas ===
* [http://www.mathalino.com/reviewer/derivation-of-formulas/derivation-of-formula-for-radius-of-incircle Derivation of formula for radius of incircle of a triangle]
* {{MathWorld |title=Incircle |urlname=Incircle}}
*[http://www.mathopenref.com/triangleincenter.html Triangle incenter]&nbsp; &nbsp;[http://www.mathopenref.com/triangleincircle.html Triangle incircle]&nbsp;&nbsp;[http://www.mathopenref.com/polygonincircle.html Incircle of a regular polygon] Con animacións interactivas


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Xeometría]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]