Ver o código fonte de «Atan2»


{{minúscula}}
[[Ficheiro:Atan2 differs from arctan.png|miniatura|{{math|atan2(''y'', ''x'')}} devolve o ángulo {{mvar|θ}} entre o eixe ''x'' positivo e o [[raio (xeometría)|raio]] desde a orixe ata o punto {{math|(''x'', ''y'')}}, confinado a {{open-closed|−''π'', ''π''}}.]]
[[Ficheiro:Arctangent2.svg|miniatura|Gráfico de <math>\operatorname{atan2}(y, x)</math> sobre <math>y / x</math>]]

En [[computación]] e [[matemáticas]], a [[función (matemáticas)|función]] '''atan2''' é o [[arcotanxente]] de 2 [[Argumento dunha función|argumentos]]. Por definición, <math>\theta = \operatorname{atan2}(y, x)</math> é a [[ángulo|medida do ángulo]] (en [[radián|radiáns]], con <math>-\pi < \theta \leq \pi</math>) entre o [[sistema de coordenadas cartesianas|eixo <math>x</math> positivo]] e o [[raio (xeometría)|raio]] desde a [[orixe (matemáticas)|orixe]] ata o punto <math>(x,\,y)</math> no [[sistema de coordenadas cartesianas|plano cartesiano]]. Equivalentemente, <math>\operatorname{atan2}(y, x)</math> é o [[argumento (análise complexa)|argumento]] (tamén chamado ''fase'' ou ''ángulo'') do [[número complexo]] <math>x + iy.</math> (O ''argumento'' dunha función e o ''argumento'' dun número complexo, mencionados anteriormente, non deben confundirse).

A función <math>\operatorname{atan2}</math> apareceu por primeira vez na linguaxe de programación [[Fortran]] en 1961. Orixinalmente, estaba destinada a devolver un valor correcto e inequívoco para o ángulo {{tmath|\theta}} na conversión de coordenadas cartesianas {{tmath|(x,\,y)}} a [[coordenadas polares]] {{tmath|(r,\,\theta)}}. Se <math>\theta = \operatorname{atan2}(y, x)</math> e <math display=inline>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>, entón <math>x = r \cos \theta</math> e <math>y = r \sin \theta.</math>

Se {{tmath|x > 0}}, a medida desexada  do ángulo é <math display=inline>\theta = \operatorname{atan2}(y,x) = \arctan\left( y / x \right).</math> No entanto, cando {{math|''x'' < 0}}, o ángulo <math>\arctan(y / x)</math> é diametralmente oposto ao ángulo desexado, e {{tmath|\pm\pi}} (media volta) debe engadirse para situar o punto no [[cuadrante (xeometría plana)|cuadrante]] correcto.<ref>{{cita web|url=http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116A/arg_11.pdf|title=The argument of a complex number|data=Winter 2011|editorial=Santa Cruz Institute for Particle Physics}}</ref> O uso da función <math>\operatorname{atan2}</math> elimina esta corrección, simplificando o código e as fórmulas matemáticas.

== Definición e cálculo ==
{{anchor|Definition}}
A función {{math|atan2}} calcula o  [[argumento (análise complexa)|argumento principal]] do [[número complexo]] {{tmath|x + iy}}, que tamén é a parte imaxinaria do valor principal do [[logaritmo complexo]]. É dicir,
:<math>\operatorname{atan2}(y, x) = \operatorname{arg}(x + iy) = \operatorname{Im}\operatorname{log}(x + iy).</math>

Engadir calquera múltiplo enteiro de {{tmath|2\pi}} (correspondente a voltas completas ao redor da orixe) dá outro argumento do mesmo número complexo, mais o argumento principal defínese como o ángulo representativo único no [[intervalo (matemáticas)|intervalo]] {{tmath|( -\pi, \pi ]}}.

En termos da función arcotanxente estándar, cuxa imaxe é {{tmath|\bigl({-\tfrac12\pi}, \tfrac12\pi\bigr)}}, {{math|atan2}} pódese expresar [[función por tramos|por tramos]]:

<math display="block"> \operatorname{atan2}(y, x) =
\begin{cases}
 \arctan\left(\frac y x\right) &\text{se } x > 0, \\[5mu]
 \arctan\left(\frac y x\right) + \pi &\text{se } x < 0 \text{ e } y \ge 0, \\[5mu]
 \arctan\left(\frac y x\right) - \pi &\text{se } x < 0 \text{ e } y < 0, \\[5mu]
 +\frac{\pi}{2} &\text{se } x = 0 \text{ e } y > 0, \\[5mu]
 -\frac{\pi}{2} &\text{se } x = 0 \text{ e } y < 0, \\[5mu]
 \text{non definida} &\text{se } x = 0 \text{ e } y = 0.
\end{cases}</math>

[[Ficheiro:The principal value of the argument (-atan2- in some circles).svg|miniatura|A tanxente da metade dun ángulo pódese calcular en termos das coordenadas {{mvar|x}} e {{mvar|y}} e o raio {{mvar|r}}.]]

En vez da tanxente, pode ser conveniente usar a media tanxente {{tmath|1= t = \tan\tfrac12\theta}} como representación dun ángulo, en parte porque o ángulo {{tmath|1= \theta = \operatorname{atan2}(y,\,x)}} ten unha media tanxente única,
:<math>
\tan\tfrac12\theta = \frac{y}{\textstyle \sqrt{x^2 + y^2} + x} = \frac{\textstyle \sqrt{x^2 + y^2} - x}{y}.
</math>

(Véxase [[fórmula da media tanxente]]). 

A expresión con {{tmath|y}} no denominador debe usarse cando {{tmath|x < 0}} e {{tmath|y \ne 0}} para evitar unha posíbel perda de significancia  ao calcular {{tmath|\textstyle \sqrt{x^2 + y^2} + x}}. 

Cando non se dispón dunha función {{math|atan2}}, pódese calcular como dúas veces o arcotanxente da media tanxente {{tmath|t}}. É dicir,
<math display=block>
\operatorname{atan2}(y, x) = 2 \arctan \left(\frac{y}{\textstyle \sqrt{x^2 + y^2} + x}\right) = 2 \arctan \left( \frac{\textstyle \sqrt{x^2 + y^2} - x}{y} \right)\,.
</math>

== Derivada ==
Como a función {{math|atan2}} é unha función de dúas variábeis, ten dúas [[derivada parcial|derivadas parciais]]. Nos puntos onde existen estas derivadas, {{math|atan2}} é, excepto por unha constante, igual a {{math|arctan(''y''/''x'')}}. Polo tanto,
:<math>
\begin{align}
& \frac{\partial}{\partial x}\operatorname{atan2}(y,\, x) = \frac{\partial}{\partial x} \arctan\left(\frac y x \right) = -\frac{y}{x^2 + y^2}, \\[5pt]
& \frac{\partial}{\partial y}\operatorname{atan2}(y,\, x) = \frac{\partial}{\partial y} \arctan\left(\frac y x \right) = \frac x {x^2 + y^2}.
\end{align}
</math>
Así, o [[gradiente]] de atan2 vén dado por
:<math>\nabla \text{atan2}(y,x)=\left({-y\over x^2+y^2}, \ {x\over x^2+y^2}\right).</math>

Representando informalmente a función {{math|atan2}} como a función de ángulo {{math|1=''θ''(''x'', ''y'') = atan2(''y'', ''x'')}} (que só está definida ata unha constante) obtense a seguinte fórmula para o [[derivada total|diferencial total]]:
:<math>\begin{align}
\mathrm{d}\theta
&= \frac{\partial}{\partial x}\operatorname{atan2}(y,\, x)\,\mathrm{d}x + \frac{\partial}{\partial y}\operatorname{atan2}(y,\, x)\,\mathrm{d}y \\[5pt]
&= -\frac{y}{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}x + \frac{x}{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}y.
\end{align}</math>

Aínda que a función {{math|atan2}} é discontinua ao longo do eixo {{mvar|x}} negativo, reflectindo o feito de que o ángulo non se pode definir de forma continua, esta derivada está definida de forma continua excepto na orixe, reflectindo o feito de que os cambios infinitesimais (e de feito locais) no ángulo poden definirse en todas as partes agás na orixe. Integrando esta derivada ao longo dun camiño obtense o cambio total no ángulo sobre o camiño, e integrando sobre un bucle pechado dá o [[índice (análise complexa|índice da curva]].

Na linguaxe da [[xeometría diferencial]], esta derivada é unha [[1-forma]], e é  [[forma diferencial pechada|pechada]] (a súa derivada é cero) mais non [[forma diferencial exacta|exacta]] (non é a derivada dunha 0-forma, é dicir, unha función), e de feito xera a primeira [[cohomoloxía de de Rham]] do [[plano perforado]]. Este é o exemplo máis básico desa forma, e é fundamental en xeometría diferencial.

As derivadas parciais de {{math|atan2}} non conteñen funcións trigonométricas, o que a fai especialmente útil en moitas aplicacións (por exemplo, sistemas embebidos) onde as funcións trigonométricas poden ser custosas de avaliar.

== Ilustracións ==
[[Ficheiro:Atan2 60.svg|miniatura|dereita|300px|atan2 para raios seleccionados]]

Esta figura mostra os valores de atan2 ao longo de raios seleccionados desde a orixe, etiquetados na circunferencia unitaria. Os valores, en radiáns, móstranse dentro do círculo. O diagrama usa a convención matemática estándar de que os ángulos aumentan [[sentido horario|en sentido contrario ás agullas do reloxo]] desde cero ao longo do raio á dereita. Nótese que a orde dos argumentos está invertida; a función {{math|atan2(''y'', ''x'')}} calcula o ángulo correspondente ao punto {{math|(''x'', ''y'')}}.
{{clear}}

[[Ficheiro:Atan2atan.png|miniatura|dereita|300px|Comparación das funcións [[funcións trigonométricas inversas|arctan]] e atan2]]
Esta figura mostra os valores de <math>\arctan(\tan(\theta))</math> xunto con <math>\operatorname {atan2}(\sin(\theta),\cos(\theta))</math> para <math>0\le \theta \le 2\pi</math>. Ambas as funcións son impares e periódicas con períodos <math>\pi</math> e <math>2\pi</math>, respectivamente, e polo tanto poden completarse facilmente a calquera rexión de valores reais de <math>\theta</math>. Pódese ver claramente os [[corte de rama|cortes de rama]] da función <math>\operatorname {atan2}</math> en <math>\theta = \pi</math>, e da función <math>\arctan</math> en <math>\theta \in \{\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{3\pi}{2}\}</math>.<ref>{{cita web|url=http://www.mndynamics.com/indexp.html|title=Wolf Jung: Mandel, software for complex dynamics|website=www.mndynamics.com|data-acceso=20 de abril de 2018}}</ref>

As dúas figuras seguintes mostran vistas en 3D de {{math|atan2(''y'', ''x'')}} e {{math|arctan({{sfrac|''y''|''x''}})}} sobre unha rexión do plano. Nótese que para {{math|atan2(''y'', ''x'')}}, os ''raios'' no plano ''X''/''Y'' que emanan da orixe teñen valores constantes, mais para {{math|arctan({{sfrac|''y''|''x''}})}} as ''liñas'' no plano ''X''/''Y'' que pasan pola orixe teñen valores constantes. Para {{math|''x'' > 0}}, os dous diagramas dan valores idénticos.

{| class="wikitable" style="text-align: center"
| [[Ficheiro:Atan2 diagram.svg|300px]]
| [[Ficheiro:Atan diagram.svg|300px]]
|}

== Identidade de suma e diferenza de ángulos ==
{{Main|Lista de identidades trigonométricas#Identidades de suma e diferenza de ángulos}}

A suma ou diferenza de múltiples ángulos que se van calcular mediante {{tmath|\operatorname{atan2} }} pode calcularse alternativamente compoñéndoos como [[números complexos]]. Dados dous pares de coordenadas {{tmath|(x_1, y_1)}} e {{tmath|(x_2, y_2)}}, os seus ángulos desde o eixo {{tmath|x}} positivo compoñeranse (e as lonxitudes multiplicaranse) se se tratan como números complexos e logo multiplícanse, {{tmath|1=(x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2)={} }}{{tmath|(x_1x_2 - y_1y_2) + i(y_1x_2 + x_1y_2)}}. O ángulo resultante pódese atopar usando unha única operación {{tmath|\operatorname{atan2} }, sempre que o ángulo resultante estea en {{tmath|(-\pi, \pi]}}:

:<math>\operatorname{atan2} (y_1, x_1) \pm \operatorname{atan2} (y_2, x_2) = \operatorname{atan2} (y_1 x_2 \pm x_1 y_2, x_1 x_2 \mp y_1 y_2),</math>

e do mesmo xeito para máis de dous pares de coordenadas. Se o ángulo composto cruza o eixo {{tmath|x}} negativo (é dicir, excede o intervalo {{tmath|(-\pi, \pi]}}), entón os cruces poden contarse e engadirse o múltiplo enteiro apropiado de {{tmath|2\pi}} ao resultado final para corrixilo.

Esta fórmula de diferenza úsase frecuentemente na práctica para calcular o ángulo entre dous [[vector|vectores]] planos, xa que o ángulo resultante está sempre no intervalo {{tmath|(-\pi, \pi]}}.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Outros artigos ===
* [[funcións trigonométricas inversas]]
=== Ligazóns externas ===
* [https://www.medcalc.org/manual/atan2_function.php ATAN2 calculadora Online]

[[Categoría:Trigonometría]]
[[Categoría:Funcións]]