Ver o código fonte de «Aproximación diofantiana»

{{Diophantine_approximation_graph.svg}}
En [[teoría de números]], o estudo da '''aproximación diofantiana''' ou '''diofantina''' trata sobre a aproximación de [[Número real|números reais]] por [[Número racional|números racionais]]. Leva o nome de [[Diofanto de Alexandría]].

O primeiro problema foi saber o ben que se pode aproximar un número real mediante números racionais. Para este problema, un número racional ''p''/''q'' é unha "boa" aproximación dun número real ''α'' se o valor absoluto da diferenza entre ''p''/''q'' e ''α'' pode non diminuír se ''p''/''q'' se substitúe por outro número racional cun denominador menor. Este problema resolveuse durante o século XVIII mediante [[Fracción continua|fraccións continuas simples]].

Coñecendo as "mellores" aproximacións dun número dado, o principal problema do campo é atopar [[Elemento maiorante e minorante|límites superiores e inferiores]] nítidos da diferenza anterior, expresados en función do [[Fracción (matemáticas)|denominador]].

Se definimos a [[medida de irracionalidade]] como unha función <math>\mu(x)</math> que cumpre a desigualdade:
: <math>0< \left| x- \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^\mu} </math> 

daquela temos unha clasificación dos tipos de números en función de dita medida:
* Se <math> \mu(x)=1, x \ </math> é [[número racional|racional]].
* Se <math> \mu(x)=2, x \ </math> é [[número alxébrico|alxébrico]] de grao > 1.
* Se <math> \mu(x) \ge 2, x \ </math> é [[número transcendental|transcendental]].

A [[medalla Fields]] de 2022 foi concedida a [[James Maynard]], en parte polo seu traballo sobre a aproximación diofantiana.

== Mellores aproximacións diofantianas dun número real ==
Dado un número real {{Math|''α''}}, hai dúas formas de definir unha mellor aproximación diofantiana de {{Math|''α''}}. Para a primeira definición,<ref name="Khinchin 1997 p.21">{{Cita Harvard sen parénteses|Khinchin|1997|p=21}}</ref> o número racional {{Math|''p''/''q''}} é a ''mellor aproximación diofantiana'' de {{Math|''α''}} se

: <math>\left|\alpha -\frac{p}{q}\right | < \left|\alpha -\frac{p'}{q'}\right |,</math>

para cada número racional {{Math|''p'''/''q' ''}} diferente de {{Math|''p''/''q''}} tal que {{Math|0 < ''q''&prime; ≤ ''q''}} .

Para a segunda definición,<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Cassels|1957|p=2}}</ref><ref name="Lang9">{{Cita Harvard sen parénteses|Lang|1995|p=9}}</ref> substitúese a desigualdade anterior por

: <math>\left|q\alpha -p\right| < \left|q^\prime\alpha - p^\prime\right|.</math>

Unha mellor aproximación para a segunda definición tamén é unha mellor aproximación para a primeira, pero o contrario non é certo en xeral.<ref name="Khinchin24">{{Cita Harvard sen parénteses|Khinchin|1997|p=24}}</ref>

A teoría das [[Fracción continua|fraccións continuas]] permítenos calcular as mellores aproximacións dun número real: para a segunda definición, son os [[Fracción continua|converxentes]] da súa expresión como fracción continua regular.<ref name="Lang9">{{Cita Harvard sen parénteses|Lang|1995|p=9}}</ref><ref name="Khinchin24">{{Cita Harvard sen parénteses|Khinchin|1997|p=24}}</ref><ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Cassels|1957|p=5–8}}</ref> Para a primeira definición, hai que considerar tamén os [[Fracción continua|semiconverxentes]].<ref name="Khinchin 1997 p.21">{{Cita Harvard sen parénteses|Khinchin|1997|p=21}}</ref>

== Medida da precisión das aproximacións ==
A medida obvia da precisión dunha aproximación diofantiana dun número real {{Math|''α''}} por un número racional {{Math|''p''/''q''}} é <math display="inline">\left|\alpha - \frac{p}{q}\right|.</math> Porén, esta cantidade sempre pode facerse arbitrariamente pequena aumentando os valores absolutos de {{Math|''p''}} e {{Math|''q''}}; así, a precisión da aproximación adoita estimarse comparando esta cantidade con algunha función {{Math|''φ''}} do denominador {{Math|''q''}}, normalmente unha potencia negativa da mesma.

Para tal comparación, pódense querer límites superiores ou límites inferiores da precisión. 

Un límite inferior é normalmente descrito por un teorema como "para cada elemento {{Math|''α''}} dalgún subconxunto dos números reais e cada número racional {{Math|''p''/''q''}}, temos <math display="inline">\left|\alpha - \frac{p}{q}\right|>\phi(q)</math>". Nalgúns casos, "cada número racional" pode ser substituído por "todos os números racionais excepto un número finito deles", o que supón multiplicar <math>\phi</math> por algunha constante dependendo de {{Math|''α''}}.

Para os límites superiores, hai que ter en conta que non todas as "mellores" aproximacións diofantianas proporcionadas polos converxentes poden ter a precisión desexada. Polo tanto, os teoremas toman a forma "para cada elemento {{Math|''α''}} dalgún subconxunto dos números reais, hai infinitos números racionais {{Math|''p''/''q''}} tal que <math display="inline">\left|\alpha - \frac{p}{q}\right|<\phi(q)</math>".

=== Números mal aproximábeis ===
Un '''número mal aproximábel''' é un ''x'' para o cal hai unha constante positiva ''c'' tal que para todo ''p''/''q'' racional temos

: <math>\left|{ x - \frac{p}{q} }\right| > \frac{c}{q^2} \ . </math>

Os números mal aproximábeis son precisamente aqueles con cocientes parciais limitados.<ref name="Bug245">{{Cita Harvard sen parénteses|Bugeaud|2012|p=245}}</ref>

De forma equivalente, un número é mal aproximábel [[se e só se]] a súa [[constante de Markov]] é finita e a súa fracción continua simple está limitada.

== Límites inferiores para aproximacións diofantianas ==

=== Aproximación dun racional por outros racionais ===
Un número racional <math display="inline">\alpha =\frac{a}{b}</math> pode ser obvia e perfectamente aproximada por <math display="inline">\frac{p_i}{q_i} = \frac{i\,a}{i \,b}</math> para todo número enteiro positivo ''i''.

Se <math display="inline">\frac{p}{q} \not= \alpha = \frac{a}{b}\,,</math> temos

: <math>\left|\frac{a}{b} - \frac{p}{q}\right| = \left|\frac{aq - bp}{bq}\right| \ge \frac{1}{bq},</math>

como <math>|aq - bp|</math> é un número enteiro positivo e, polo tanto, non é inferior a 1. Así, a precisión da aproximación é ruín en relación aos números irracionais (ver seccións seguintes).

Pódese sinalar que a demostración anterior usa unha variante do [[principio do pombal]]: un enteiro non negativo que non é 0 non é menor que 1. Esta observación aparentemente trivial úsase en case todas as probas de límites inferiores para aproximacións diofantianas, mesmo nas máis sofisticadas.

En resumo, un número racional é perfectamente aproximado por si mesmo, mais é mal aproximado por calquera outro número racional.

=== Aproximación de números alxébricos, resultado de Liouville ===
Na década de 1840, [[Joseph Liouville]] obtivo o primeiro límite inferior para a aproximación de [[Número alxébrico|números alxébricos]]: Se ''x'' é un número alxébrico irracional de grao ''n'' sobre os números racionais, existe unha constante {{Nowrap|''c''(''x'') > 0}} tal que

: <math> \left| x- \frac{p}{q} \right| > \frac{c(x)}{q^n}</math>

cúmprese para todos os números enteiros ''p'' e ''q'' onde {{Nowrap|''q'' > 0}}.

Este resultado permitiulle producir o primeiro exemplo probado dun número transcendental, a [[constante de Liouville]]

: <math>
\sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots\,,
</math>

que non cumpre o teorema de Liouville, calquera grao ''n'' que se escolla.

Este vínculo entre as aproximacións diofantianas e a teoría de números transcendentais continúa ata os nosos días. Moitas das técnicas de proba compártense entre as dúas áreas.

=== Aproximación de números alxébricos, teorema de Thue-Siegel-Roth ===
Durante máis dun século, houbo moitos esforzos para mellorar o teorema de Liouville: cada mellora do límite permítenos demostrar que máis números son transcendentais. As principais melloras débense a {{harvs|first=Axel|last=Thue|authorlink=Axel Thue|year=1909|txt}}, {{harvs|frst=Carl Ludwig|last=Siegel|authorlink=Carl Ludwig Siegel|year=1921|txt}}, {{harvs|first=Freeman|last=Dyson|authorlink=Freeman Dyson|year=1947|txt}} e {{harvs|first=Klaus|last=Roth|authorlink=Klaus Roth|year=1955|txt}}, que conduce finalmente ao teorema de Thue-Siegel-Roth: se {{Math|''x''}} é un número alxébrico irracional e {{Math|''ε > 0''}}, entón existe un número real positivo {{Math|''c''(''x'', ''ε'')}} tal que

: <math>
  \left| x- \frac{p}{q} \right|>\frac{c(x, \varepsilon)}{q^{2+\varepsilon}}
</math>

cúmprese para todo número enteiro {{Math|''p''}} e {{Math|''q''}} tal que {{Math|''q'' > 0}}.

En certo sentido, este resultado é óptimo, xa que o teorema sería falso con ''ε'' = 0. Esta é unha consecuencia inmediata dos límites superiores descritos a continuación.

=== Aproximacións simultáneas de números alxébricos ===
Posteriormente, Wolfgang M. Schmidt xeneralizou isto ao caso das aproximacións simultáneas, demostrando que: Se {{Math|''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>}}  son números alxébricos tal que {{Math|1, ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>}}  son [[Independencia linear|linearmente independentes]] sobre os números racionais e {{Math|''ε''}} é calquera número real positivo dado, entón só hai un número finito {{Math|''n''}}-tuplas racionais {{Math|(''p''<sub>1</sub>/''q'', ..., ''p''<sub>''n''</sub>/''q'')}} tal que

: <math>\left|x_i - \frac{p_i}{q}\right| < q^{-(1 + 1/n + \varepsilon)},\quad i = 1, \ldots, n.</math>

De novo, este resultado é óptimo no sentido de que non se pode eliminar {{Math|''ε''}} do expoñente.

== Límites superiores para aproximacións diofantianas ==

=== Límite superior xeral ===
O primeiro resultado importante sobre os límites superiores das aproximacións diofantianas é o  [[teorema de aproximación de Dirichlet]], que implica que, para cada número irracional {{Math|''α''}}, hai infinitas fraccións <math>\tfrac{p}{q}\;</math> tal que

: <math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2}\,.</math>

Isto implica inmediatamente que non se pode suprimir o {{Math|''ε''}} no enunciado do teorema de Thue-Siegel-Roth.

Adolf Hurwitz (1891) <ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Hurwitz|1891|p=279}}</ref> reforzou este resultado, demostrando que para cada número irracional {{Math|''α''}}, hai infinitas fraccións <math>\tfrac{p}{q}\;</math> tal que

: <math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{\sqrt{5}q^2}\,.</math>

Polo tanto, <math>\frac{1}{\sqrt{5}\, q^2}</math> é un límite superior para as aproximacións diofantianas de calquera número irracional. É posíbel que a constante deste resultado non se mellore aínda máis sen excluír algúns números irracionais (ver máis abaixo).

[[Émile Borel]] (1903) <ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Perron|1913}}</ref> demostrou que, de feito, tendo en conta calquera número irracional {{Math|''α''}}, e dados tres converxentes consecutivas de {{Math|''α''}}, polo menos un debe satisfacer a desigualdade dada no Teorema de Hurwitz.

=== Números reais equivalentes ===
'''Definición''': dous números reais <math>x,y</math> chámanse ''equivalentes'' <ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Hurwitz|1891|p=284}}</ref> <ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Hardy|Wright|1979}}</ref> se hai números enteiros <math>a,b,c,d\;</math> con <math>ad-bc = \pm 1\;</math> tal que:

: <math>y = \frac{ax+b}{cx+d}\, .</math>

Polo tanto, a equivalencia está definida por unha [[transformación de Möbius]] enteira sobre os números reais, ou por un membro do [[Grupo modular|grupo Modular]] <math>\text{SL}_2^{\pm}(\Z)</math>, que é o conxunto de matrices 2 &#xD7; 2 invertíbeis sobre os enteiros. Todo número racional é equivalente a 0; así os números racionais son unha [[clase de equivalencia]] para esta relación.

A equivalencia pódese ler na representación de fracción continua regular, como mostra o seguinte teorema de Serret:

'''Teorema''': dous números irracionais ''x'' e ''y'' son equivalentes se e só se existen dous enteiros positivos ''h'' e ''k'' tal que as representacións da [[fracción continua]] regular de ''x'' e ''y''

: <math>\begin{align}
 x &= [u_0; u_1, u_2, \ldots]\,, \\
 y &= [v_0; v_1, v_2, \ldots]\, ,
\end{align}</math>

satisfán

: <math>u_{h+i} = v_{k+i}</math>

para todo enteiro non negativo ''i''.<ref>See {{Cita Harvard sen parénteses|Perron|1929}}</ref>

Así, agás unha secuencia inicial finita, os números equivalentes teñen a mesma representación de fracción continua.

Os números equivalentes son aproximábeis no mesmo grao, no sentido de que teñen a mesma [[constante de Markov]].

== Distribución uniforme ==
Outro tema que experimentou un desenvolvemento profundo é a teoría da distribución uniforme mod 1. Tome unha secuencia ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub> ,... de números reais e considere as súas ''partes fraccionais''. É dicir, de xeito máis abstracto,  a secuencia en <math>\mathbb{R}/\mathbb{Z}</math>, que é un círculo. Para calquera intervalo ''I'' no círculo observamos a proporción dos elementos da secuencia que se atopan nel, ata algún número enteiro ''N'', e comparámola coa proporción da circunferencia ocupada por ''I''. ''A distribución uniforme'' significa que no límite, a medida que ''N'' medra, a proporción de acertos no intervalo tende ao valor "esperado". [[Hermann Weyl]] demostrou un [[Criterio de Weyl|criterio básico]] que mostra que isto equivale aos límites das sumas exponenciais formadas a partir da secuencia. Isto mostrou que os resultados da aproximación diofantiana estaban intimamente relacionados co problema xeral da cancelación en sumas exponenciais, que ocorre en toda a [[teoría analítica de números]] na delimitación dos termos de erro.

Relacionado coa distribución uniforme está o tema das [[Irregularidade das distribucións|irregularidades das distribucións]], que é de natureza [[combinatoria]].

== Algoritmos ==
Grotschel, Lovasz e Schrijver describen algoritmos para atopar aproximadamente as mellores aproximacións diofantianas, tanto para números reais individuais como para conxuntos de números reais. Este último problema chámase '''aproximación diofantiana simultánea'''.<ref name=":0">{{cita libro
 | last1 = Grötschel | first1 = Martin | author1-link = Martin Grötschel
 | last2 = Lovász | first2 = László | author2-link = László Lovász
 | last3 = Schrijver | first3 = Alexander | author3-link = Alexander Schrijver
 | doi = 10.1007/978-3-642-78240-4
 | edition = 2nd
 | isbn = 978-3-642-78242-8
 | mr = 1261419
 | publisher = Springer-Verlag, Berlin
 | series = Algorithms and Combinatorics
 | title = Geometric algorithms and combinatorial optimization
 | url = https://books.google.com/books?id=hWvmCAAAQBAJ&pg=PA281
 | volume = 2
 | year = 1993}}(Sec. 5.2)</ref>

== Problemas sen resolver ==
Aínda fican problemas sen resolver na aproximación diofantiana, por exemplo a ''[[conxectura de Littlewood]]'' e a ''[[conxectura do corredor solitario]]''. Tamén se descoñece se hai números alxébricos con coeficientes ilimitados na súa expansión de fracción continua.

== Desenvolvementos recentes ==
No seu discurso plenario no [[Congreso Internacional de Matemáticos|Congreso Internacional de Matemáticas]] de Kioto (1990), Grigory Margulis describiu un amplo programa baseado na [[teoría ergódica]] que permite probar resultados da teoría de números utilizando as propiedades dinámicas e ergódicas das accións de subgrupos de [[Grupo de Lie semisimple|grupos de Lie semisimples]]. O traballo de D. Kleinbock, G. Margulis e os seus colaboradores demostraron o poder desta nova aproximación aos problemas clásicos na aproximación diofantiana. Entre os seus éxitos notábeis atópanse a proba por Margulis da [[conxectura de Oppenheim]], con extensións posteriores de Dani e Margulis e Eskin-Margulis-Mozes, e a proba das conxecturas de Baker e Sprindzhuk nas aproximacións diofantianas sobre variedades de Kleinbock e Margulis. Neste marco tamén se obtiveron varias xeneralizacións dos resultados anteriores de Aleksandr Khinchin na aproximación métrica diofantiana.
== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
*{{cite journal |zbl=1148.11033 |last1=Beresnevich |first1=Victor |last2=Velani |first2=Sanju |title=A mass transference principle and the Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=164 |issue=3 |year=2006 |pages=971–992 |doi=10.4007/annals.2006.164.971|arxiv=math/0412141 }}
*{{cite book
 | last1 = Bernik | first1 = V.
 | last2 = Beresnevich | first2 = V.
 | last3 = Götze | first3 = F.
 | last4 = Kukso | first4 = O.
 | editor1-last = Eichelsbacher | editor1-first = Peter
 | editor2-last = Elsner | editor2-first = Guido
 | editor3-last = Kösters | editor3-first = Holger
 | editor4-last = Löwe | editor4-first = Matthias
 | editor5-last = Merkl | editor5-first = Franz
 | editor6-last = Rolles | editor6-first = Silke
 | contribution = Distribution of algebraic numbers and metric theory of Diophantine approximation
 | doi = 10.1007/978-3-642-36068-8_2
 | location = Heidelberg
 | mr = 3079136
 | pages = 23–48
 | publisher = Springer
 | series = Springer Proceedings in Mathematics & Statistics
 | title = Limit Theorems in Probability, Statistics and Number Theory: In Honor of Friedrich Götze
 | volume = 42
 | year = 2013
 | isbn = 978-3-642-36067-1

 }}
* {{cite book |last=Bugeaud |first=Yann |title=Distribution modulo one and Diophantine approximation |series=Cambridge Tracts in Mathematics |volume=193 |location=Cambridge |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=2012 |isbn=978-0-521-11169-0 |zbl=1260.11001}}
* {{cite book |first=J. W. S. |last=Cassels |author-link=J. W. S. Cassels |title=An introduction to Diophantine approximation |series=Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics |volume=45 |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1957 }}
*{{cite journal |zbl=0025.11002 |last1=Duffin |first1=R. J. |last2=Schaeffer |first2=A. C. |title=Khintchine's problem in metric diophantine approximation |journal=[[Duke Mathematical Journal]] |volume=8 |issue=2 |pages=243–255 |year=1941 |issn=0012-7094 |doi=10.1215/s0012-7094-41-00818-9}}
*{{cite journal | last1=Dyson | first1=Freeman J. | author1-link=Freeman Dyson | title=The approximation to algebraic numbers by rationals | doi= 10.1007/BF02404697 | mr=0023854 | zbl=0030.02101 | year=1947 | journal=[[Acta Mathematica]] | issn=0001-5962 | volume=79 | pages=225–240  }}
*{{cite book |first1=G. H. |last1=Hardy |author1-link=G. H. Hardy |first2=E. M. |last2=Wright |author2-link=E. M. Wright |title=An Introduction to the Theory of Numbers |edition=5th |year=1979 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-853170-8 |mr=568909 |title-link=An Introduction to the Theory of Numbers }}
*{{cite journal |first=A. |last=Hurwitz |author-link=Adolf Hurwitz |title=Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche |trans-title=On the approximate representation of irrational numbers by rational fractions |language=de |journal=Mathematische Annalen |volume=39 |year=1891 |issue=2 |pages=279–284 |mr=1510702 |doi=10.1007/BF01206656  }}
* {{cite book |first=A. Ya. |last=Khinchin |author-link=Aleksandr Khinchin |title=Continued Fractions |url=https://archive.org/details/continuedfractio0000khin |publisher=Dover |year=1997 |orig-year=1964 |isbn=0-486-69630-8 }}
*{{cite journal |last1=Kleinbock |first1=D. Y. |last2=Margulis |first2=G. A. |author2-link= Grigory Margulis |title=Flows on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds |journal=Ann. Math. |volume=148 |issue=1 |year=1998 |pages=339–360 |mr=1652916 |zbl=0922.11061 |doi=10.2307/120997 |jstor=120997|arxiv=math/9810036 |bibcode=1998math.....10036K }}
* {{cite book |first=Serge |last=Lang |author-link=Serge Lang |title=Introduction to Diophantine Approximations |url=https://archive.org/details/introductiontodi0000lang_u5c5 |edition=New expanded |publisher=[[Springer-Verlag]] |year=1995 |isbn=0-387-94456-7 |zbl=0826.11030 }}
* {{cite book |first=G. A. |last=Margulis |author-link=Grigory Margulis |chapter=Diophantine approximation, lattices and flows on homogeneous spaces |title=A panorama of number theory or the view from Baker's garden |url=https://archive.org/details/isbn_9780521807999 |editor1-last=Wüstholz |editor1-first=Gisbert |editor1-link=Gisbert Wüstholz |pages=[https://archive.org/details/isbn_9780521807999/page/n299 280]–310 |publisher=[[Cambridge University Press]] |location=Cambridge |year=2002 |mr=1975458 |isbn=0-521-80799-9 }}
* {{cite book |first=Oskar |last=Perron |author-link=Oskar Perron |year=1913 |title=Die Lehre von den Kettenbrüchen |trans-title=The Theory of Continued Fractions |language=de |publisher=B. G. Teubner |location=Leipzig |url=https://archive.org/details/dielehrevondenk00perrgoog }}
* {{cite book |first=Oskar |last=Perron |author-link=Oskar Perron |year=1929 |title=Die Lehre von den Kettenbrüchen |trans-title=The Theory of Continued Fractions |language=de |edition=2nd |location=Chelsea |url=http://catalog.hathitrust.org/Record/009514653 }}
*{{cite journal | last1=Roth | first1=Klaus Friedrich | author1-link=Klaus Friedrich Roth |title=Rational approximations to algebraic numbers | doi=10.1112/S0025579300000644 | mr=0072182 | year=1955 | journal=[[Mathematika]] | issn=0025-5793 | volume=2 | pages=1–20, 168 | zbl=0064.28501}}
* {{cite book |zbl=0421.10019 |last=Schmidt |first=Wolfgang M. |author-link=Wolfgang M. Schmidt |edition=1996 |title=Diophantine approximation |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=785 |location=Berlin-Heidelberg-New York |publisher=[[Springer-Verlag]] |year=1980 |isbn=3-540-09762-7 }}
* {{cite book |last=Schmidt |first=Wolfgang M. |author-link=Wolfgang M. Schmidt |title=Diophantine approximations and Diophantine equations |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=1467 |publisher=[[Springer-Verlag]] |year=1996 |edition=2nd |isbn=3-540-54058-X |zbl=0754.11020 }}
*{{cite journal | last1=Siegel | first1=Carl Ludwig | author1-link=Carl Ludwig Siegel | title=Approximation algebraischer Zahlen  | doi=10.1007/BF01211608 | year=1921 | journal=[[Mathematische Zeitschrift]] | issn=0025-5874 | volume=10 | issue=3 | pages=173–213 | url=https://zenodo.org/record/1538156 }}
* {{cite book |last=Sprindzhuk |first=Vladimir G. |title=Metric theory of Diophantine approximations |url=https://archive.org/details/metrictheoryofdi0000spri |others=Transl. from the Russian and ed. by Richard A. Silverman. With a foreword by Donald J. Newman |series=Scripta Series in Mathematics |publisher=John Wiley & Sons |year=1979 |isbn=0-470-26706-2 |mr=0548467 |zbl=0482.10047}}
*{{cite journal | last1=Thue | first1=A. | author1-link=Axel Thue | title=Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0135 | year=1909 | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | issn=0075-4102 | volume=1909 | issue=135 | pages=284–305 | doi=10.1515/crll.1909.135.284 }}

=== Outros artigos ===
* [[Fracción continua]].
* [[Medida da irracionalidade]].
=== Ligazóns externas ===
* [http://people.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/HCMUNS10.pdf Diophantine Approximation: historical survey] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120214101838/http://people.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/HCMUNS10.pdf |date=2012-02-14 }}. From ''Introduction to Diophantine methods'' course by [[Michel Waldschmidt]].
* {{springer|title=Diophantine approximations|id=p/d032600}}

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números]]