Ver o código fonte de «Anel (álxebra)»

{{Outros homónimos|Anel (homónimos)}}
Na [[álxebra]], un '''anel''' é unha [[estrutura alxébrica]] formada por un [[conxunto]] (<math>A</math>) e dúas [[Operación matemática|operacións]]: chamadas habitualmente suma e produto: <math>(A, +, \cdot)</math>; de tal xeito que <math>(A, +)</math> é un [[Grupo (matemáticas)|grupo conmutativo]] con [[elemento neutro]] (que designamos <math>0</math>), e o produto <math>\cdot</math> é [[propiedade asociativa|asociativo]], ten un [[elemento neutro]] (que designamos <math>1</math>) e ten a [[propiedade distributiva]] respecto da suma. 

Se o produto é [[propiedade conmutativa|conmutativo]] falaremos dun anel conmutativo.

Se o anel non posúe un elemento neutro para o produto, chamarase [[rng]].

Ao anel aquí definido algúns autores o denominan '''anel unitario''' (ou '''anel con unidade''').

== Definición formal ==
Sexa <math>A</math> un conxunto non baleiro, e sexan <math>+</math> e <math>\cdot</math> dúas [[operación matemática|operacións binarias]] en <math>A</math>, dise que o conxunto <math>(A,+,\cdot) \,</math>{{efn|Como se comentou na entrada as operacións máis frecuentes son a suma é o produto. Poderíanse usar outros símbolos para remarcar precisamente que poden ser outras operacións con tal de cumpriren esas propiedades. É frecuente por exemplo que unha das dúas operacións sexa a operación <math>\circ</math>, símbolo usado usualmente para a composición.}} é un '''anel''' se se cumpren as seguintes propiedades:

:{|
|width="20px"|1. ||width="300px"| <math>A</math> é pechado baixo a operación <math>+</math>. || <math>\forall a, b \in A, a + b \in A</math>
|-
|2. || A operación <math>+</math> é [[Asociatividade|asociativa]]. || <math>\forall a,b,c \in A, (a + b) + c = a + (b + c)</math>
|-
|3. || A operación <math>+</math> ten ''0'' como elemento neutro. || <math>\forall a \in A, a + 0 = 0 + a = a</math>{{efn| Outra vez esta é a terminoloxía máis frecuente, poderíamos representar o elemento neutro con outros símbolos.}}
|-
|4. || Existe un [[elemento inverso]] para <math>+</math>. || <math>\forall a \in A, \exists b \in A, a + b = b + a = n</math>
|} {{efn| Cando a operación é a suma o elemento inverso tamén se chama simétrico ou oposto ou inverso aditivo.}}

Estas catro condicións definen un [[grupo (matemáticas)|grupo]]. Unha quinta condición define un [[grupo abeliano]]:

:{|
|width="20px"|5. ||width="300px"| A operación <math>+</math> é [[Conmutatividade|conmutativa]]. || <math>\forall a,b \in A, a + b = b + a</math>
|}

Para definir un anel, é necesario agregar catro condicións máis que falan acerca da segunda operación binaria:

:{|
|width="20px"|6. ||width="300px"| <math>A</math> é pechado baixo a operación <math>\cdot</math>. || <math>\forall a, b \in A, a \cdot b \in A</math>
|-
|7. || A operación <math>\cdot</math> é [[Asociatividade|asociativa]]. || <math>\forall a,b,c \in A, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)</math>
|-
|8. || A operación <math>\cdot</math> ten ''1'' como [[elemento neutro|identidade multiplicativa]]. || <math>\forall a \in A, a \cdot 1 = 1 \cdot a = a</math>.{{efn|Algúns autores non asumen a existencia de 1; aquí, o termo ''[[rng (álxebra)|rng]]'' úsase se non se asume a existencia dunha identidade multiplicativa. Ver sección seguinte.}} {{efn| É frecuente ver escrit o elemento identidade coa letra {{Mvar|e}}.}}
|-
|9. || A operación <math>\cdot</math> é distributiva respecto de <math>+</math>.
|<math>
   \forall a, b, c \in A, \quad
   \left \{
      \begin{array}{l}
         a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \\
         (a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) \\
      \end{array}
   \right .
</math>
|}

E agregando unha décima condición, defínese un [[anel conmutativo]]:

:{|
|width="20px"|10. ||width="300px"| A operación <math>\cdot</math> é [[Conmutatividade|conmutativa]]. || <math>\forall a,b \in A, a \cdot b = b \cdot a</math>
|}

=== Variacións na definición ===
Na terminoloxía deste artigo, defínese que un anel ten unha [[elemento neutro|identidade multiplicativa]],<!--- Esta é tamén a convención na wikipedia en inglés [[Wikipedia:Manual of Style/Mathematics]]. ---> mentres que unha estrutura coa mesma definición axiomática mais sen o requisito dunha identidade multiplicativa chámase, pola contra, '''[[rng (álxebra)|rng]]''' (non é un erro, sería ring sen o "i"). Por exemplo, o conxunto de enteiros pares cos usuais + e <math>\cdot </math> é un rng, mais non un anel. Moitos autores aplican o termo '''anel''' sen esixir unha identidade multiplicativa e falan de '''anel con unidade''' ou '''anel unitario''' cando consideran que inclúe a identidade multiplicativa.

Incídese neste aspecto da nomenclatura xa comentado na introdución porque nas diversas páxinas da Galipedia poderá aparecer con ambos os nomes segundo as fontes do autor.

=== Definición sintética ===

Un anel <math>A</math> é un conxunto con dúas leis de composición, chamadas ''adición'' e ''multiplicación'', cumprindo as seguintes condicións:
* <math>A</math> é grupo abeliano para a adición; o elemento neutro nesta adición noméase ''cero'' do anel, e denótase usualmente 0.
* <math>A</math> é un [[monoide]] para a multiplicación.
* A multiplicación é distributiva (polos dous lados) en relación á adición.

== Exemplos ==
O exemplo máis intuitivo e familiar de anel é o conxunto dos [[Número enteiro|números enteiros]]:

:... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

xunto coas operacións binarias da [[suma]] e a [[multiplicación]]. Historicamente, o conxunto Z dos enteiros coas súas dúas operacións serviu de base para a formulación do concepto de anel. A razón pola cal estas tres cousas forman un anel, é porque posúen as seguintes propiedades:

# Os números enteiros están [[pechamento|pechados]] baixo a suma: dados dous números enteiros ''a'' e ''b'', cúmprese que ''a'' + ''b'' é un número enteiro.
# A suma é [[Asociatividade|asociativa]]: dados tres números enteiros ''a'', ''b'' e ''c'', cúmprese que (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'').
# Existe un [[elemento neutro]] para a suma: para todo número enteiro ''a'', ''a'' + 0 = 0 + ''a'' = ''a''.
# Existe un [[elemento inverso]] para a suma (inverso aditivo): para todo número enteiro ''a'', sempre existe algún número enteiro ''b'', tal que ''a'' + ''b'' = 0.
# A suma é [[Conmutatividade|conmutativa]]: dados dous números enteiros ''a'' e ''b'', cúmprese que ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''.
# Os números enteiros están [[pechamento|pechados]] baixo a multiplicación: dados dous números enteiros ''a'' e ''b'', cúmprese que ''a'' × ''b'' é un número enteiro.
# A multiplicación é [[asociatividade|asociativa]]: dados tres números enteiros ''a'', ''b'' e ''c'', cúmprese que (''a'' × ''b'') × ''c'' = ''a'' × (''b'' × ''c'').
# Existe un [[elemento neutro]] para a multiplicación: para todo número enteiro ''a'', ''a'' × 1 = ''a''.
# A multiplicación é [[Propiedade distributiva|distributiva]] respecto da suma: ''a'' × (''b'' + ''c'') = (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'').

;Outros exemplos:
* O conxunto dos [[enteiro gaussiano|enteiros gaussianos]] <math>\mathbf{Z}[i]=\{a+bi \mid a,b\in \mathbf{Z} \}, \quad \text{ onde } i^2 = -1.</math>, <math>\mathbf{Z}[i]</math> é un subconxunto do conxunto C dos complexos, coa adición e multiplicación usuais.
* O conxunto das [[matriz cadrada|matrices cadradas]] 2-por-2 con coeficientes nun [[corpo (matemáticas)|corpo]] {{mvar|F}} <math>\operatorname{M}_2(F) = \left\{ \left.\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right|\  a, b, c, d \in F \right\}</math>, coa [[suma de matrices]] e [[multiplicación de matrices]] é un anel non conmutativo.
* O conxunto  {{tmath|\Z/6\Z}} dos restos módulo 6; coa [[aritmética modular|adición e multiplicación de restos]]; é un anel finito con [[divisor de cero|divisores de 0]].
* O conxunto <math>F[x]</math> dos [[Polinomio|polinomios]] con coeficientes en <math>\mathbb{Z}</math>, conxunto dos enteiros, coa adición e multiplicación. Véxase: [[anel de polinomios]].

== Elementos destacables dun anel ==

* '''Elemento cero''': denotado por <math>0</math>. É o neutro para a suma. Sexa A un anel arbitrario. <math>0x = 0 \; \forall x \in A </math> A súa demostración sería: <math> 0x = (0+0)x = 0x+0x</math>. Logo <math>0x= 0x + 0x</math>. Restando o inverso aditivo de <math>0x</math>, que existe dado que A é un grupo para a suma, <math>0x -0x = 0x</math>
Pero <math>0x-0x= 0</math>. Finalmente <math>0 = 0x \forall x\in A</math>

* '''Elemento unitario''' ou '''identidade''': se un elemento, que denotamos 1, cumpre <math>1 \cdot a = a \cdot 1 = a</math> para todo elemento {{Mvar|a}} do anel, denomínase elemento unitario ou identidade. Úsase identidade cando se quere evitar a confusión entre elemento unitario e [[unidade (teoría dos aneis)|unidade]] (unit en inglés, elementos con [[inverso multiplicativo]]).

O elemento cero e o elemento unitario só coinciden no caso de que o anel sexa trivial ( {0} ):
Demostración: Sexa <math>a\in A a=a1 = a0 =0</math> Logo, <math>\forall a\in A , a=0</math>

* '''[[Inverso multiplicativo]]''': <math>b</math> é inverso multiplicativo pola esquerda (ou simplemente inverso pola esquerda) de <math>a</math> se <math>b \cdot a=1</math>. Así mesmo, <math>c</math> é inverso multiplicativo pola dereita (ou simplemente inverso pola dereita) de <math>a</math> se <math>a \cdot c=1</math>. Un elemento <math>a^{-1}</math> dise que é inverso multiplicativo (ou simplemente inverso) de <math>a</math> se <math>a^{-1}</math> é inverso pola esquerda de <math>a</math> e inverso pola dereita de <math>a</math>, é dicir, <math>a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1</math>. Se existe o inverso dun elemento, entón este é único (pois se existise outro, "este deixaría de ser inverso").

* '''[[Unidade (teoría dos aneis)|Elemento inversible]]''', ou '''elemento invertible''' ou '''unidade''': é todo aquel elemento que posúe inverso multiplicativo.
* '''Divisor de cero''': un elemento <math>a \neq 0</math> é divisor do cero pola esquerda, se existe algún b distinto de 0, tal que a·b=0. Éo pola dereita se existe un c distinto de 0 tal que c·a=0. Dirase que a é divisor de cero se o é tanto pola dereita como pola esquerda.
* '''Elemento regular''': un elemento <math>a \neq 0</math> dun anel é regular se non é divisor de cero. Todo elemento invertible é regular.
* '''Elemento [[idempotente]]''': é calquera elemento <math>e</math> do anel que ao multiplicarse por si mesmo non varía, é dicir, tal que <math>e \cdot e=e</math> (isto adóitase escribir como <math>e^2=e</math>). O cero é sempre idempotente nun anel, e tamén o 1 é idempotente.
* '''Elemento [[nilpotente]]''' (ou '''nihilpotente'''): é calquera elemento <math>x</math> do anel para o que existe un [[número natural]] <math>n</math> de forma que <math>x^n = 0</math> (onde <math>x^n</math> se define por recorrencia: <math>x^0 = 1</math>, <math>x^n = x \cdot x^{n-1}</math>). O 0 é sempre un nilpotente de calquera anel. Todo elemento nilpotente é divisor de cero.

== Tipos de aneis ==
Algúns tipos destacables de aneis son:
* '''[[Anel conmutativo]]''': aquel no que o produto é conmutativo, isto é, a·b=b·a para todo a e b (non debe confundirse con '''anel abeliano''').
* '''Anel unitario''' (definido neste artigo): aquel que posúe un elemento unitario e ademais, este é distinto do neutro da suma.
* '''[[Rng]]''': anel sen identidade multiplicativa.
* '''[[Anel de división]]''': é o anel no cal todo elemento, a excepción do 0, ten inverso.
* '''Anel con leis de simplificación''': aquel no que se cumpren as leis de simplificación. Se un anel non ten divisores do cero, cúmprense as leis de simplificación, e o recíproco tamén é certo.
* '''[[Dominio de integridade]]''': se un anel non posúe divisores do cero, é un dominio de integridade (tamén se adoita esixirlle que se trate dun anel conmutativo e unitario, mais esta esixencia non é aceptada por todos os autores).
* '''[[Corpo (matemática)|Corpo]]''': trátase dun anel de división conmutativo.
* '''Anel abeliano''': é un anel no que todo elemento idempotente pertence ao [[Centro (teoría de grupos)|centro]] do anel, é dicir, todo elemento idempotente conmuta con calquera elemento do anel.
* '''Anel euclidiano''' (nome dado por A.I. Kostrikin). Un dominio de integridade R dise que é un ''anel euclidiano'' se para calquera elemento x distinto de 0 en R está determinado un enteiro n(x) maior ou igual que 0 e cumpre:

i)Para x e y elementos calquera de R, ningún nulo, n(x) menor ou igual que n(xy).

ii)Para x, y calquera, dous elementos non nulos á vez de R, existen q e r en R, de modo que x=qy+r, sendo r=0 o n(r) menor que n(y). 
* n(x) é unha aplicación de R* en Z≥0, onde R* é o anel sen o seu 0.

Son aneis euclidianos o anel dos enteiros, o dos enteiros gaussianos e os aneis de polinomios.
Fraleigh denomínao ''dominio euclidiano''.

== Subsistemas notables ==

=== Subaneis e ideais ===

Un subanel <math>S</math> dun anel <math>R</math> =(A,+,·) é un [[subconxunto]] <math>S \subset R</math> que cumpre que é cerrado para a suma e a multiplicación no anel, isto é, se <math>a,b \in S</math>, entón <math>a+b \in S</math> e <math>a\cdot b \in S</math>. Se <math>1 \in R</math> (é dicir, se o anel é unitario), entón esixirase ademais que <math>1 \in S</math>. Nótese que neste caso, cando o anel é unitario, {0} non será subanel de <math>R</math>, e so o será se <math>R</math> non é unitario.

Un subanel <math>S</math> é propio cando non coincide con todo o anel, é dicir, se <math>R \neq S</math>.

Resulta pois que un subanel é un anel dentro doutro anel (para as mesmas operacións). En particular, <math>(S,+)</math> é un [[subgrupo]] de <math>(R,+)</math>.

Pero na [[Teoría de aneis]] hai un tipo de subconxunto máis notable que o de subanel, o de '''[[Ideal (teoría dos aneis)|ideal]]'''.

Un subconxunto <math>I \subset R</math> é un ideal pola esquerda dun anel (A,+,·) se <math>(I,+)</math> é un subgrupo de <math>(R,+)</math> e dados calquera <math>r \in R</math> e <math>x \in I</math> tense que <math>r \cdot x \in I</math>.

Un subconxunto <math>I \subset R</math> é un ideal pola dereita dun anel (A,+,·) se <math>(I,+)</math> é un subgrupo de <math>(R,+)</math> e dados calquera <math>r \in R</math> e <math>x \in I</math> se ten que <math>x \cdot r \in I</math>.

Cando un subconxunto <math>I</math> é ideal pola dereita e ideal pola esquerda dise que é un ideal bilátero (do anel), ou simplemente que é un ideal (do anel).

A propiedade conmutativa asegúranos que en todo anel conmutativo todo ideal pola esquerda é ideal pola dereita, e todo ideal pola dereita é ideal pola esquerda, isto é, todos os ideais (pola esquerda ou pola dereita) dun anel conmutativo son ideais biláteros.

Un ideal <math>I</math> (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) dise que é propio se é distinto de todo o anel, isto é, <math>I \neq R</math>.

=== Unidades ===

O conxunto de elementos invertibles dun anel unitario <math>(R,+,\cdot,1_R)</math> denomínase '''[[unidade (teoría dos aneis)|conxunto de unidades (do anel)]]''', e denótase por <math>U(R)</math>.

Se <math>I</math> é ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio dun anel unitario <math>R</math> e <math>U(R)</math> son as súas unidades ou elementos invertibles, entón <math>I \cap U(R) = \varnothing</math>, isto é, ningún ideal propio ten elementos invertibles. En particular, ningún ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio ten por elemento a 1, o que impide aos ideais ser subaneis de aneis unitarios.

=== Centro ===

O [[centro (teoría de grupos)|centro]] dun anel <math>(R,+,\cdot)</math> (denotado por <math>Z(R)</math>) é o conxunto de elementos que conmutan para o produto, é dicir <math>Z(R):= \{ r \in R : r \cdot s = s \cdot r , \forall s \in R \}</math>. O centro dun anel vén a ser como "a parte conmutativa do anel". Nótese que sempre se ten que <math>0 \in Z(R)</math>. Os aneis conmutativos son, logo, aqueles que coinciden co seu centro, i.e., <math>R=Z(R)</math>.

* O centro do anel das [[matriz cadrada|matrices cadradas]] de orde n constitúese unicamente das matrices escalares.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 
{{Reflist|group=lower-alpha}}
== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
{{Refempeza}}
* {{Cita publicación periódica | autor=R.B.J.T. Allenby | título=Rings, Fields and Groups|editor= Butterworth-Heinemann | ano=1991 | id= ISBN 0-340-54440-6}}
* [[Michael Atiyah|Atiyah M. F.]], [[Ian G. Macdonald|Macdonald, I. G.]], ''Introduction to commutative algebra''. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.
* Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.
* {{Cita publicación periódica | autor=T.S. Blyth and E.F. Robertson| título=Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3| publisher= Cambridge university Press| ano=1985| id = ISBN 0-521-27288-2}}
* Dresden, G. "Small Rings." [https://web.archive.org/web/20100717021842/http://home.wlu.edu/~dresdeng/smallrings/]
* Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
* Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., ''An introduction to noncommutative Noetherian rings''. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp.&nbsp;ISBN 0-521-36086-2
* Herstein, I. N., ''Noncommutative rings''. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Lance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1994. xii+202 pp.&nbsp;ISBN 0-88385-015-X
* {{Cita publicación periódica| apelidos=Jacobson| nome=Nathan| ano=2009| título=Basic algebra| edición=2º| volume = 1 | editor=Dover| id =ISBN 978-0-486-47189-1}}
* Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. Nova York: Wiley, pp.&nbsp;19–21, 1951
* [[Nathan Jacobson]], ''Structure of rings''. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
* Nathan Jacobson, ''The Theory of Rings''. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, Nova York, 1943. vi+150 pp.
* {{Cita publicación periódica | apelidos=Kaplansky | nome=Irving  | título=Commutative rings | url=https://archive.org/details/commutativerings00irvi | editor=[[University of Chicago Press]] |  | ano=1974 | id = ISBN 0-226-42454-5}}
* Lam, T. Y., ''A first course in noncommutative rings''. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, Nova York, 2001. xx+385 pp.&nbsp;ISBN 0-387-95183-0
* Lam, T. Y., ''Exercises in classical ring theory''. Second edition. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, Nova York, 2003. xx+359 pp.&nbsp;ISBN 0-387-00500-5
* Lam, T. Y., ''Lectures on modules and rings''. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, Nova York, 1999. xxiv+557 pp.&nbsp;ISBN 0-387-98428-3
* {{Cita publicación periódica | apelidos=Lang | nome=Serge | título=Undergraduate Algebra | editor=[[Springer-Verlag]] | edición=3º | id = ISBN 978-0-387-22025-3 | ano=2005}}.
* {{Cita publicación periódica | apelidos=Matsumura | nome=Hideyuki | título=Commutative Ring Theory | editor=[[Cambridge University Press]] | edición=2º | revista=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | id = ISBN 978-0-521-36764-6 | ano=1989}}
* McConnell, J. C.; Robson, J. C. ''Noncommutative Noetherian rings''. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp.&nbsp;ISBN 0-8218-2169-5
* {{Cita publicación periódica | autor=Pinter-Lucke, James | título=Commutativity conditions for rings: 1950–2005 | doi=10.1016/j.exmath.2006.07.001 | ano=2007 | revista=Expositiones Mathematicae | id = ISSN 0723-0869 | volume=25 | número=2 | páxinas=165–174}}
* Rowen, Louis H., ''Ring theory''. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2
* Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
* Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp.&nbsp;141–143, 1995
{{Reftermina}}
=== Outros artigos ===
* [[Teoría de aneis]]
* [[Anel de polinomios]]

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Teoría de aneis]]
[[Categoría:Álxebra abstracta]]