Ver o código fonte de «Área»

{{1000}}
{{1000 artigos icona título|materia=Matemáticas}}
{{Outros homónimos|Área (unidade de superficie)|para=a unidade de superficie}}
'''Área'''<ref>{{DRAG|área}}</ref> é a extensión ou [[superficie]] comprendida dentro dunha figura (de dúas [[dimensión]]s), expresada en unidades de medida denominadas superficiais. Para superficies planas o concepto é intuitivo. Calquera superficie plana de lados rectos pode triangularse e pódese calcular a súa área como suma de triángulos.

Con todo, para calcular a área de superficies curvas requírese introducir métodos de [[xeometría diferencial]].

Para poder definir a área dunha superficie en xeral, que é un concepto métrico, tense que definir un tensor métrico sobre a superficie en cuestión: cando a superficie está dentro dun [[espazo euclidiano]], a superficie herda unha estrutura métrica natural inducida pola métrica euclídea.

== Historia ==
[[Ficheiro:Orilla del Nilo.jpg|miniatura|300px|Os [[Antigo Exipto|exipcios]] desenvolveron a xeometría pola necesidade que tiveron de medir as terras á beira do [[río Nilo]].]]
A idea de que a área é a medida que proporciona o tamaño da rexión encerrada nunha [[figura xeométrica]] provén da antigüidade. No [[Antigo Exipto]], tras a crecida anual do [[río Nilo]] inundando os campos, xorde a necesidade de calcular a área de cada parcela agrícola para restablecer os seus límites; para liquidar iso, os exipcios inventaron a [[xeometría]], segundo [[Heródoto]]. Heródoto ''Historias'', Libro II.

O modo de calcular a área dun polígono como a suma das áreas dos triángulos, é un método que foi proposto por primeira vez polo sabio grego Antifón cara ao ano 430 a. C. Achar a área dunha figura curva entraña máis dificultade. O método de esgotamento consiste en inscribir e circunscribir polígonos na figura xeométrica, aumentar o número de lados de devanditos polígonos e achar a área buscada. Con este sistema, que se coñece como método de exhaución de [[Eudoxo]], conseguiu achar a fórmula para calcular a área dun [[círculo]]. Devandito sistema foi empregado tempo despois por [[Arquimedes]] para resolver outros problemas similares: o problema da área así como o cálculo aproximado do [[número pi|número π]].

== Área de figuras planas ==
=== Área dun triángulo ===
A área dun [[triángulo]] calcúlase mediante a seguinte fórmula:<ref>Spiegel y Abellanas, 1992, p.9</ref>
{{ecuación|
<math>A =\frac{l\cdot h}{2}</math>
||left}}
onde ''l'' é calquera dos lados e ''h'' é a altura correspondente a ese lado.

Se o [[Triángulo#O triángulo rectángulo|triángulo é rectángulo]], a altura coincide cun dos catetos, e a fórmula quedaría da seguinte forma: 
:<math>A =\frac{a\cdot b}{2}</math>
onde '''a''' e '''b''' son os catetos.
 
Se o que coñecemos é a lonxitude dos seus lados aplicamos a fórmula de Herón.
:<math>S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>

onde a, b , c son os valores das lonxitudes dos seus lados 
''s''&nbsp;=&nbsp;&frac12;&nbsp;(''a''&nbsp;+&nbsp;''b''&nbsp;+&nbsp;''c'') é o '''semiperímetro''' do triángulo.

Se o triángulo é equilátero, de lado ''a'', a súa área está dada por

<math>A =\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}</math>
[[Ficheiro:Area.svg|miniatura|200 px|Áreas]]

=== Área dun cuadrilátero ===

[[Ficheiro:Tetragon measures.svg|miniatura|200px|Trapezoide.]]
* O [[trapezoide]] ou cuadrilátero totalmente irregular que ten os seus catro ángulos diferentes e lados de lonxitudes desiguais. Neste caso a área pódese obter mediante [[triangulación]] sendo:
{{ecuación|
<math>A = \frac {a \cdot d \cdot \sin \alpha + b \cdot c \cdot \sin \gamma}{2}</math> 
||left}}
:Sendo:
::<math>\alpha\,</math> o ángulo comprendido entre os lados <math>a\,</math> e <math>d\,</math>.
::<math>\gamma\,</math> o ángulo comprendido entre os lados <math>b\,</math> e <math>c\,</math>.

* O [[rectángulo]] é un paralelogramo cuxos ángulos son todos de 90º; a área sería a multiplicación de dúas dos seus lados contiguos ''a'' e ''b'':
{{ecuación|
<math>A = a \cdot b \,</math>
||left}}

* O [[rombo]], cuxos 4 lados son iguais, ten a súa área dada polo semiproduto das súas dúas diagonais:
{{ecuación|
<math>A = \frac{AC\cdot BD}{2}</math>
||left}}

* O cadrado é o polígono regular de catro lados, é á vez un rectángulo e un rombo, polo que a súa área pode ser calculada da mesma maneira que a destes dous. En particular, dado que os seus lados son iguais, úsase a fórmula:
{{ecuación|
<math>A = a \cdot a \, = a^2</math>
||left}}

* Os [[paralelogramo]]s en xeral teñen a súa área dada polo produto un dos seus lados e a súa [[Altura (magnitude)|altura]] respectiva:
{{ecuación|
<math>A = b\cdot h\,</math> 
||left}}

* O [[trapecio]] (que ten dous lados paralelos entre si e dous lados non paralelos) cuxa área vén dada pola media aritmética dos seus lados paralelos multiplicado pola distancia entre eles (altura):
{{ecuación|
<math>A = \frac{a + b}{2} \cdot h</math> 
||left}}

=== Área do círculo e a elipse ===
A área dun [[círculo]], ou a delimitada por unha [[circunferencia]], calcúlase mediante a seguinte expresión matemática:
{{ecuación|
<math> A = \pi \cdot r^2\,</math>
||left}}

[[Ficheiro:Areabetweentwographs.svg|miniatura|200px|A área delimitada entre a gráfica de dúas curvas pode calcularse mediante a diferenza entre as integrais de ambas as funcións.]]

A área delimitada por unha [[Elipse (xeometría)|elipse]] é similar e obtense como produto do semieixe maior polo semieixe menor multiplicados por π:
{{ecuación|
<math> A = \pi \cdot a \cdot b</math>
||left}}

=== Área delimitada entre dúas funcións ===
Unha forma para achar a área delimitada entre dúas [[función matemática|funcións]], é utilizando o [[Integral|cálculo integral]]:
{{ecuación|
<math> A(a,b) = \int^b_a | f(x) - g(x) | dx </math>
||left}}
O resultado desta integral é a área comprendida entre as curvas: <math>f(x)\,</math> e <math>g(x) [< f(x)]\,</math> no intervalo <math>[a,b]\,</math>.

;Exemplo
Se se quere achar a área delimitada entre o eixo x e a función f(x) = 4 - x^2 no intervalo [-2;2], utilízase a ecuación anterior, neste caso: g(x)=0 entón avaliando a integral, obtense:
{{ecuación|
<math> A(-2,2) = \int^2_{-2} | 4 - x^2 - 0 | dx = 2 \int^2_0 4 - x^2 dx = 2 \left[ 8 - \left(\frac{2^3 - 0}{3}\right) \right] = \frac{32}{3}</math>
||left}}
Polo que se conclúe que a área delimitada é <math>\frac{32}{3}</math>..

O [[Volume (física)|volume]] encerrado entre dúas funcións tamén pode ser reducido ao cálculo dunha integral, similar.

== Área de superficies curvas ==
[[Ficheiro:Cone 3d.png|esquerda|miniatura|Dous exemplos de [[cono]]s.]]
A área dunha superficie curva é máis complexo e en xeral supón realizar algún tipo de idealización ou límite para medilo.

* Cando a superficie é desenvolvíbel, como sucede coa área lateral dun [[cilindro]] ou dun [[cono]] a área da superficie pode calcularse a partir da área desenvolvida que sempre é unha figura plana. Unha condición matemática necesaria para que unha superficie sexa desenvolvíbel é que a súa curvatura gaussiana sexa nula.
* Cando a superficie non é desenvolvíbel, o cálculo da superficie ou a fórmula analítica para atopar devandito valor é máis traballoso. Un exemplo de superficie non desenvolvíbel é a [[esfera]] xa que a súa curvatura gaussiana coincide co inverso do seu radio ao cadrado, e por tanto non é cero. Con todo a esfera é unha superficie de revolución.

=== Superficie de revolución ===
[[Ficheiro:Surface of revolution illustration.png|miniatura|200px|Unha superficie de revolución xerada por un tramo da curva ''y''=2+cos&nbsp;''x'' rotada arredor do eixo ''x''.]]

Cando unha superficie curva pode ser xerada facendo virar unha curva plana ao redor dun eixo [[directriz]], a superficie resultante chámase [[superficie de revolución]] e a súa área pode ser calculada facilmente a partir da lonxitude da curva xeratriz que ao virar conforma a superficie. Se ''y''=''f''(''x'') é a ecuación que define un tramo de curva, ao virar esta curva ao redor do eixo X xérase unha superficie de revolución cuxa área lateral vale:
{{ecuación|
<math>A_r(a,b) = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+\left(\frac{df(x)}{dx}\right)^2}\ dx</math>
||left}}

=== Cálculo xeral de áreas ===
Mediante a xeometría diferencial de superficies ou máis xeralmente a xeometría riemanniana pode calcularse a área de calquera superficie curva finita. Se a superficie vén dada pola función explícita ''z'' = ''f''(''x, y'') entón, dada unha rexión Ω contida nunha superficie a súa área resultar ser:
{{ecuación|
<math> A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{1+
\left(\frac{\partial f}{\partial x} \right )^2+
\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right )^2} dxdy</math>
||left}}
De maneira un pouco máis xeral se coñecemos a ecuación paramétrica da superficie en función de dúas coordenadas calquera ''o'' e ''v'' entón a área anterior pode escribirse como:
{{ecuación|
<math> A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{EG-F^2}\ dudv</math>
||left}}
Onde ''E'', ''F'' e ''G'' son as compoñentes do tensor métrico ou primeira forma fundamental da superficie nas coordenadas paramétricas ''u'' e ''v''.

== Unidades de medida de superficies ==
{{Artigo principal|Unidade de superficie}}
=== Sistema métrico ([[Sistema Internacional de Unidades|SI]]) ===
'''Múltiplos:'''
* [[Quilómetro cadrado]]: 10<sup>6</sup> metros cadrados
* [[Hectárea]]: 10<sup>4</sup> metros cadrados
* [[Área (unidade de superficie)|Área]]: 10² metros cadrados

'''Unidade básica:'''
* [[metro cadrado]]: Unidade derivada do [[SI]]

'''Submúltiplos:'''
* [[centímetro cadrado]]: 10<sup>−4</sup> metros cadrados
* [[barn]]: 10<sup>−28</sup> metros cadrados

=== Sistema inglés de medidas ===
* [[polgada cadrada]]
* [[pé cadrado]]
* [[iarda cadrada]]
* [[Acre (unidade de superficie)|acre]]
* [[milla cadrada]]
* [[legua cadrada]]

== Notas ==
{{Listaref}}

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}}
=== Bibliografía ===
{{cita libro
 | apelidos = Spiegel, Murray R.
 | nome = 
 | ligazónautor = 
 |autor2= Abellanas, Lorenzo
 | editor = McGraw-Hill
 | outros = 
 | título = Fórmulas y tablas de matemática aplicada
 | edición = 
 | data = 
 | ano = 
 | mes = 
 | publicación = 
 |lugar= Aravaca (Madrid)
 | id = ISBN 84-7615-197-7
 | páxinas = 
 | capítulo = 
 | URLcapítulo = 
 | cita =
}}
{{Control de autoridades}}

{{ORDENAR:Area}}

[[Categoría:Xeometría]]
[[Categoría:Artigos que toda Wikipedia debería ter (Ciencia)]]