Ver o código fonte de «Ángulo»

{{1000}}
[[Ficheiro:Angle Symbol.svg|120px|miniatura|∠, o símbolo do '''ángulo''' en [[Unicode]] é U+2220.]]
En [[xeometría plana]], un '''ángulo''' é a rexión do plano comprendida entre dúas [[semirrecta]]s con orixe común<ref>{{Cita web |url=http://www.realacademiagalega.org/dicionario/#loadNoun.do?current_page=1&id=2872 |título=Ángulo |autor= |data= |obra=Dicionario da Real Academia Galega |editor=[[RAG]] |dataacceso=8 de xuño de 2013 |data-arquivo=18 de novembro de 2013 |url-arquivo=https://web.archive.org/web/20131118001904/http://www.realacademiagalega.org/dicionario#loadNoun.do?current_page=1&id=2872 |url-morta=yes }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131118001904/http://www.realacademiagalega.org/dicionario#loadNoun.do?current_page=1&id=2872 |date=18 de novembro de 2013 }}</ref>. As semirrectas son os '''lados''' do ángulo, e a orixe común é o '''vértice''' do ángulo<ref name=Postigo>{{Cita libro |título=Matemáticas |nome=Luis |apelidos=Postigo |ligazónautor= |coautores= |ano=1962 |editor=Ramón Sopena |localización=Barcelona |isbn= |páxina= |páxinas=289, 296 |lingua=castelán}}</ref>.

Na [[xeometría do espazo]] considéranse dous tipos de ángulos:
* O [[ángulo diedro]], que é a rexión do espazo delimitada por dous [[semiplano]]s, chamados caras, que parten dunha [[recta]] común chamada [[aresta]]<ref name=Postigo/>.
* O [[ángulo sólido]], que é a rexión do espazo que subtende un feixe de raios que parten dunha orixe común que é o [[vértice (xeometría)|vértice]] do ángulo<ref name=Margenau>{{Cita libro |título=Principios y aplicaciones de la Física |nome1=Henry |apelidos1=Margenau |ligazónautor1=Henry Margenau |nome2=William Weldon |apelidos2=Watson |ligazónautor2= |nome3=Carol Gray |apelidos3=Montgomery |ligazónautor3= |coautores= |ano=1960 |editor=Reverté |localización=Barcelona |isbn= |páxina=8 |páxinas=  |lingua=castelán}}</ref>. Tipos particulares de ángulos sólidos son:
:* O ángulo sólido cónico, no que a rexión que o forma está delimitada por unha [[cono|superficie cónica]].
:* O [[ángulo poliedro]], que é a rexión do espazo delimitada por tres ou máis ángulos planos, chamados [[cara (xeometría)|caras]] cun vértice común, que é o vértice do ángulo poliedro; e que están dispostos de tal xeito que cada cara comparte os lados que a delimitan con outras dúas caras, e ningunha máis. Ditos lados son as arestas do ángulo poliedro. O ángulo poliedro de tres caras chámase [[ángulo triedro]]<ref name=Postigo/>.

Nas [[xeometrías non euclidianas]] defínese o ángulo dun xeito semellante, por exemplo, na [[xeometría esférica]], un ángulo é a rexión esférica comprendida entre dous [[círculo máximo|semicírculos máximos]].

== Definicións clásicas e etimoloxía ==
Segundo [[Proclo]], un ángulo debe ser ou unha cualidade, ou unha cantidade, ou unha relación. O primeiro concepto foi utilizado por [[Eudemo de Rodas]], que describiu un ángulo como a desviación respecto dunha liña recta; o segundo por [[Carpo de Antioquía]], que o viu como o intervalo ou o espazo entre as liñas que se intersecaban; [[Euclides]] adoptou o terceiro concepto, se ben as súas definicións de ángulos rectos, agudos e obtusos son certamente cuantitativas. Euclides define un ángulo plano como a inclinación recíproca de dúas liñas que se encontran unha á outra e non están en liña recta<ref>{{Cita web|url=http://en.wikisource.org/wiki/1911_Encyclop%C3%A6dia_Britannica/Angle|título=Angle|autor=Hugh Chisholm (ed.)|data=1911|obra=Encyclopædia Britannica (11ª ed.)|editor=Cambridge University Press|dataacceso=8 de xuño de 2013|lingua=inglés|ligazónautor=Hugh Chisholm}}</ref><ref>{{Cita libro |título=The thirteen books of Euclid´s Elements |nome1=Thomas Little |apelidos1=Heath |ligazónautor1=Sir Thomas Little Heath |nome2=Johan Ludvig |apelidos2=Heiberg |ligazónautor2=Johan Ludvig Heiberg |coautores= |ano=1908 |editor=Cambridge University Press |localización=Cambridge, UK |isbn= |páxina= |páxinas=177-178 |dataacceso=8 de xuño de 2013 |url=http://books.google.es/books?id=UhgPAAAAIAAJ&redir_esc=y |lingua=inglés}}</ref>.

A palabra ''ángulo'' provén da raíz [[Lingua protoindoeuropea|indoeuropea]] ''ank'' ("pregar", "curvar"), da que derivan o vocábulo [[Lingua grega antiga|grego]] ἀγκύλος, ''ankýlos'' ("pregado", "curvado"), e o [[Lingua latina|latino]] ''angulus'' ("esquina")<ref>{{Cita web |url=http://www.etymonline.com/index.php?allowed_in_frame=0&search=Angle&searchmode=none |título=Angle |autor= |data= |obra=Online Etymology Dictionary |editor=Douglas Harper |dataacceso=8 de xuño de 2013 |lingua=inglés}}</ref>.

=== Un problema clásico: a trisección do ángulo ===
{{Artigo principal|Trisección do ángulo}}
A trisección do ángulo, xunto coa [[cuadratura do círculo]] e a [[duplicación do cubo]], é un dos tres problemas clásicos da matemática grega, que consiste en dividir un ángulo dado noutros tres iguais usando só [[regra (instrumento)|regra]] sen graduar e [[compás (debuxo)|compás]]. A súa imposibilidade foi demostrada en [[1836]] por [[Pierre Wantzel]]<ref>{{Cita web |url=http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm#curves |título=Trisection of an Angle |autor=Jim Loy |data= |obra= |editor= |lingua=inglés |dataacceso=19 de xuño de 2013 |urlarquivo=https://web.archive.org/web/20131104113041/http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm#curves |dataarquivo=04 de novembro de 2013 |urlmorta=yes }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131104113041/http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm#curves |date=04 de novembro de 2013 }}</ref>.

== Medida de ángulos ==
[[Ficheiro:Angle measure.svg|miniatura|A medida en [[radián]]s do ángulo <var>θ</var> é o cociente de <var>s</var> entre <var>r</var>.]]
[[Ficheiro:Dihedral angle.svg|miniatura|Un [[ángulo diedro]] e o ángulo plano que dá a súa medida.]]
A medida dun ángulo reflicte a súa ''amplitude'', é dicir, o maior ou menor afastamento entre os lados que o delimitan; canto maior sexa esta amplitude, maior será a medida do ángulo. Esta medida caracterízase usualmente pola magnitude da [[rotación]] máis pequena que aplica un dos lados no outro. Os ángulos coa mesma medida chámanse [[Congruencia (xeometría)|congruentes]].

Adoitase usar indistintamente a palabra '''ángulo''' para referirse tanto ao ángulo como á súa medida, así é habitual falar, por exemplo, dun ''ángulo de 43º'' no canto da expresión máis precisa de ''ángulo que mide 43º''.

Para medir un ángulo trázase unha [[circunferencia]] de [[Raio (xeometría)|raio]] arbitrario con centro no vértice do ángulo; a medida do ángulo, <var>θ</var>, é proporcional á razón entre a lonxitude do arco circular que abrangue o ángulo, <var>s</var>, e o raio da circunferencia, <var>r</var>, é dicir:

:<math> \theta = k \frac{s}{r}. </math>

onde <var>k</var> é unha constante que depende da unidade de medida empregada. O valor de <var>θ</var> é independente do raio elixido: ao cambiar a lonxitude do raio, a lonxitude do arco cambia na mesma proporción, co cal o cociente ''s''/''r'' non varía.

No espazo, a medida dun ángulo diedro é igual á medida do ángulo bidimensional que ten por lados dúas rectas perpendiculares nun mesmo punto á aresta do diedro e contidas cadansúa nas caras do diedro.
=== Unidades ===
[[Ficheiro:Angle radian.svg|miniatura|Ángulo que mide 1 radián.]]
[[Ficheiro:Compass Card.png|miniatura|Unha [[rosa dos ventos]] cos 32 [[rumbo]]s.]]
[[Ficheiro:Grade dimension.svg|miniatura|Pendente da costa = 100.Δh/d = 100.tan(α)]]
[[Ficheiro:Steradian.svg|miniatura|[[Ángulo sólido]] que mide un estereorradián.]]
Moitas unidades de medida angular defínense como unha parte dun arco completo de circunferencia, de tal xeito que este é igual a ''n'' unidades angulares, para algún número enteiro ''n''. O [[radián]] e a ''parte diametral'' son as dúas excepcións. Por exemplo, no caso dos [[grao sesaxesimal|graos sesaxesimais]] {{nowrap|1= ''n'' = 360.}} Unha ''volta'' de ''n'' unidades obtense tomando {{nowrap|1= ''k'' = ''n''/(2π)}} na fórmula anterior (Demostración: A fórmula anterior pode ser reescrita como {{nowrap|1= ''k'' = θ''r''/''s''.}}. Unha volta, para a cal {{nowrap|1= θ = ''n''}} unidades, corresponde a un arco igual á lonxitude da circunferencia, que é 2π''r'', polo tanto {{nowrap|1= ''s'' = 2π''r''}}. Substituíndo ''n'' por θ e 2π''r'' por ''s'' na fórmula, resulta {{nowrap|1= ''k'' = ''nr''/(2π''r'') = ''n''/(2π).}})

As unidades de medida de ángulos máis usadas son, de lonxe, os radiáns e os graos sesaxesimais. A continuación enúmeranse algunhas:
* O ''radián'' é a medida dun ángulo que abrangue un arco de circunferencia igual ao raio. A medida dun ángulo en radiáns será, polo tanto, igual ao cociente entre o arco que abrangue e o raio; é dicir, o valor da constante na fórmula anterior é a unidade: ''k=1''. A circunferencia completa mide ''2π'' radiáns. A notación abreviada desta unidade é ''rad'', aínda que se omite frecuentemente nos textos de matemáticas, onde o radián é a unidade asumida por defecto. Os ángulos considéranse adimensionais cando se usan radiáns. Ademais do seu uso na xeometría, o radián úsase virtualmente en todo traballo matemático, por exemplo, as [[función trigonométrica|funcións trigonométricas]] só admiten o radián como medida. O radián é a unidade de medida angular do [[Sistema Internacional de Unidades]].
* Un ''grao'' (sesaxesimal) é a medida do ángulo que abarca un arco que mide ''1/360'' da lonxitude total da circunferencia. A circunferencia completa mide, polo tanto, 360 graos. Na fórmula anterior é ''k=180/π''. Unha vantaxe desta vella medida é que moitos ángulos frecuentes na xeometría elemental exprésanse como un número enteiro de graos, por exemplo os coñecidos ángulos de 30, 45 e 60 graos. O grao divídese en 60 minutos, e este en 60 segundos. As notacións abreviadas son un pequeno círculo como superíndice ('''º''') para os graos, unha coma simple de superíndice ('''´''') para os minutos, e unha coma dobre de superíndice ('''´´''') para os segundos. A expresión habitual dunha medida en graos é mediante a notación decimal normal (por exemplo 3,5° para tres graos e medio), mais as subunidades dos minutos e os segundos tamén se usan para expresar un ángulo da forma "graos-minutos-segundos", especialmente nas [[coordenadas xeográficas]], en [[astronomía]] e en [[balística]].
* Un ''grao centesimal'' ou ''gradian'' é a medida do ángulo que abarca un arco que mide a cuadricentésima parte da lonxitude total da circunferencia. En consecuencia, a circunferencia completa son 400 graos centesimais. O valor da constante na fórmula anterior é ''k=200/π''. A abreviatura usada é ''grad''. O [[quilómetro]] definiuse historicamente como a lonxitude do arco dun círculo máximo da Terra que abarca un centigradián, polo que o quilómetro é o análogo decimal da [[milla náutica]] sesaxesimal. O gradián úsase maoiritariamente en [[triangulación]].
* O [[rumbo]], usado na [[Navegación marítima|navegación]], é 1/32 dunha volta. Vén sendo a oitava parte dun [[ángulo recto]]. Cada rumbo subdivídese en catro ''cuartos de rumbo'', polo tanto unha volta completa ten 128 cuartos de rumbo.
* O [[ángulo horario]] astronómico é 1/24 dunha volta. Xa que este sistema se usa para medir o movemento de obxectos que xiran unha vez ao día (como a posición relativa das estrelas), as súas subunidades sesaxesimais chámanse ''minuto de tempo'' e ''segundo de tempo''. Obsérvese que son distintos dos minutos e segundos de arco, de feito son 15 veces máis grandes.
* A pendente dunha costa exprésase en tanto por cento. É igual á [[función tanxente|tanxente]] do ángulo que forma a horizontal coa traxectoria da pendente multiplicada por cen. Así unha pendente do 4% corresponde a unha costa na que se ascenden 4 metros por cada 100 metros de desprazamento en horizontal. Para valores menores do 5%, a pendente da costa é aproximadamente igual á medida do ángulo en radiáns multiplicada por 100; no exemplo anterior, a pendente do 4% corresponde a un ángulo cuxa tanxente é 0,04, é dicir 2,29º ou 0,03998 rad; o valor do ángulo en radiáns multiplicado por 100 dá 3,998%, practicamente igual ao valor do 4% da pendente.
* O ''grao binario'', tamén coñecido por ''[[radián binario]]'' (ou ''brad''), é 1/256 dunha volta<ref>{{Cita web |url=http://www.oopic.com/pgchap15.htm |título=ooPIC Programmer's Guide (archived) |autor= |data= |obra= |editor=www.oopic.com |lingua=inglés |dataacceso=19 de xuño de 2013 |data-arquivo=28 de xuño de 2008 |url-arquivo=https://web.archive.org/web/20080628051746/http://www.oopic.com/pgchap15.htm |url-morta=unfit }}</ref>. O grao binario úsase en [[informática]] pois esta unidade permite representar eficientemente un ángulo nun [[byte]] (aínda que cunha precisión limitada). Outras medidas de ángulos que se usan en informática deben basearse na división dunha volta completa en 2<sup>''n''</sup> partes iguais para outros valores de ''n''<ref>{{Cita web |url=http://blogs.msdn.com/shawnhar/archive/2010/01/04/angles-integers-and-modulo-arithmetic.aspx |título=Angles, integers, and modulo arithmetic |autor=Shawn Hargreaves |data= |obra= |editor=blogs.msdn.com |lingua=inglés |dataacceso=19 de xuño de 2013 |data-arquivo=04 de febreiro de 2010 |url-arquivo=https://web.archive.org/web/20100204104622/http://blogs.msdn.com/shawnhar/archive/2010/01/04/angles-integers-and-modulo-arithmetic.aspx |url-morta=yes }}</ref>.
* Para definir a medida dun ángulo sólido ''Ω'', trázase unha [[esfera]] de raio ''r'' e considérase a área, ''A'', da rexión esférica intersección do ángulo sólido coa esfera. A medida de ''Ω'' será igual ao cociente entre a área ''A'' e o cadrado do raio da esfera, ''r<sup>2</sup>''.

<center><math> \Omega = \frac{A}{r^2}</math></center>

:A unidade de medida de ángulos sólidos é o ''estereorradián''. O ángulo que mide un estereoradián é aquel que proxecta unha superficie na esfera de ''r<sup>2</sup>'' unidades cadradas. Como a superficie da esfera é igual a ''4πr<sup>2</sup>'', resulta que toda a superficie esférica mide ''4π'' estereorradiáns, a a semiesfera ''2π'' estereorradiáns<ref name=Margenau/>.

=== Instrumentos de medida ===
[[Ficheiro:Goniometro.jpg|miniatura|[[Transportador de ángulos]].]]
Os aparellos para medición de ángulos varían segundo o contexto; así, sobre o terreo úsanse os [[teodólito]]s e os [[goniómetro]]s, como en [[topografía]] e [[enxeñaría]]; na [[Navegación marítima|navegación]] úsabase o [[sextante]], hoxe en día en desuso ao ser substituído polos modernos [[Sistema de posicionamento global|GPS]]; e sobre o papel trabállase co [[transportador de ángulos]], limitado hoxe o seu uso nas tarefas escolares, antigamente úsábase na elaboración de planos de [[arquitectura]] ou enxeñaría, onde caeu en desuso coa aparición dos [[programa informático|programas informáticos]] de [[deseño gráfico]].

== Clasificación ==
=== Ángulos de ata media volta ===
[[Ficheiro:Right angle.svg|miniatura|esquerda|134px|[[Ángulo recto]].]]
Considerando que a rexión da que fala a definición de ángulo é a ''menor'' rexión do plano comprendida entre os dous lados, só teríamos ángulos de ata media volta de circunferencia (entre 0º e 180º). Neste caso, un ángulo pode ser:
[[Ficheiro:Angle obtuse acute straight.svg|miniatura|231px|Ángulos: agudo (<var>a</var>), obtuso (<var>b</var>), e raso (<var>c</var>). <var>a</var> e <var>b</var> son [[ángulos suplementarios]].]]
* [[Ángulo agudo]], de menos dun cuarto de volta.
* [[Ángulo recto]], dun cuarto de volta (90º ou π/2 rad). Dúas rectas que forman un ángulo recto chámanse [[rectas perpendiculares|perpendiculares]], [[ortogonalidade|ortogonais]] ou [[normal (xeometría)|normais]].
* [[Ángulo obtuso]], de máis dun cuarto de volta.
* [[Ángulo raso]]<ref>{{Cita libro |título=Vocabulario de matemáticas (galego-español-inglés-portugués) |nome=Xosé M. |apelidos=Masa Vázquez (coord.) |ligazónautor= |coautores= |ano=1995 |editor=[[Universidade de Santiago de Compostela]] |localización=Santiago de Compostela |isbn=84-8121-369-1 |páxina=16 }}</ref>, de media volta (180º ou π rad).

Dous ángulos agudos dinse [[Ángulos complementarios|complementarios]] se suman un cuarto de volta. Se un ángulo mide α graos, o seu complementario mide 90º&nbsp;−&nbsp;α graos.

Dous ángulos dinse [[Ángulos suplementarios|suplementarios]] se suman o ángulo raso. Se un ángulo mide α graos, o seu complementario mide 180º&nbsp;−&nbsp;α graos. O suplementario do ángulo recto é el mesmo; o suplementario dun ángulo agudo é un ángulo obtuso e viceversa.

=== Ángulos de ata unha volta completa ===
[[Ficheiro:Reflex angle.svg|miniatura|96px|[[Ángulo cóncavo]].]]
Introducindo unha difereciación entre os dous lados que delimitan o ángulo (lado ''orixe'' ou ''inicial'' e lado ''extremo'', ''final'' ou ''terminal''), unha certa orientación que indica o sentido de xiro desde o lado orixe ata o lado extremo, e definindo a rexión que abarca o ángulo como a que ''varre'' o xiro; haberá ángulos de ata unha volta completa de circunferencia (entre 0º e 360º). Neste suposto, un ángulo pode ser:
* [[Ángulo convexo]], de menos de media volta que, á súa vez, pode ser:
** Agudo, de menos dun cuarto de volta.
** Recto, dun cuarto de volta.
** Obtuso, de entre un cuarto e media media.
* [[Ángulo raso]], de media volta.
* [[Ángulo cóncavo]], de máis de media volta.
* [[Ángulo completo]], dunha volta completa (360º ou 2π rad).

Dous ángulos dinse [[Ángulos conxugados|conxugados]] se suman o ángulo completo. Se un ángulo mide α graos, o seu conxugado mide 360º&nbsp;−&nbsp;α graos.

==== Outros ángulos relacionados ====
[[Ficheiro:Vertical angles.svg|miniatura|Dous [[ángulos opostos polo vértice]].]]
* Dous ángulos son [[Ángulos consecutivos|consecutivos]] cando teñen o mesmo vértice e un lado común.
* Dous ángulos chámanse [[Ángulos adxacentes|adxacentes]] cando son simultaneamente consecutivos e suplementarios.
* Dous ángulos son [[Ángulos opostos polo vértice|opostos polo vértice]] cando teñen o mesmo vértice e os lados son semirrectas opostas. Os ángulos opostos polo vértice son congruentes.
* Chámanse [[ángulos correspondentes]] aos oito ángulos que se forman ao se cortar dúas [[rectas paralelas]] por unha [[transversal (xeometría)|transversal]].Entre ángulos correspondentes hai dous grupos de catro ángulos congruentes, que se reduce a un único grupo de oito ángulos congruentes cando a transversal é perpendicular ás paralelas.

=== Ampliación do concepto de ángulo ===
[[Ficheiro:Спираль от комаров.jpg|miniatura|[[Espiral]] con sentido de xiro negativo: necesítanse ángulos negativos maiores que unha volta para identificar os puntos da espiral.]]
[[Ficheiro:Angulo positivo.svg|miniatura|Un [[ángulo agudo]] positivo de 45º.]]
En moitos contextos son suficientes os ángulos anteriores, mais noutros, como a identificación dun punto movéndose nunha curva [[espiral]], é necesario traballar con ángulos cun xiro maior ca unha volta completa de circunferencia, e considerando o sentido do xiro.

Para este tipo de ángulos é necesaria unha nova definición: nun [[sistema de coordenadas]] cartesiano bidimensional, defínese un ángulo mediante as semirrectas que o delimitan, chamadas lado orixe ou inicial e lado extremo, final ou terminal; sitúase o vértice na orixe de coordenadas e o lado orixe coincidindo co semieixe positivo horizontal, mentres que o lado extremo se define pola medida desde o lado orixe en graos, radiáns ou voltas. Se o sentido de xiro desde o lado orixe ao extremo e contrario ao das agullas do reloxo, o ángulo é ''positivo''; se a rotación é no sentido das agullas do reloxo, o ángulo é ''negativo''.

En moitos contextos, un ángulo negativo de −''θ'' é equivalente a un ángulo positivo "dunha volta completa menos ''θ''". Por exemplo, unha orientación representada por &nbsp;−&nbsp;45° é equivalente a unha orientación representada por 360°&nbsp;−&nbsp;45° ou 315°. Porén, unha rotación de &nbsp;−&nbsp;45° podería non ser a mesma rotación que a de 315°.

Nos ángulos diedros tridimensionais é necesario fixar unha referencia para poder definir as orientacións positiva e negativa. Considérase para tal fin un vector sobre a aresta e defínense a cara inicial e a final. Un diedro ten unha medida positiva se, visto o ángulo no sentido que vai desde o extremo á orixe do vector anterior, o sentido de xiro desde a cara inicial á final é contrario ao das agullas do reloxo. En caso contrario, o ángulo é negativo<ref>{{Cita libro |título= Trigonometría plana y esférica con aplicaciones a la navegación |nome1=A. |apelidos1=Rodríguez Arós |nome2=F. |apelidos2=Blanco |nome3=M. |apelidos3=Muíños |ligazónautor= |coautores= |ano=2012 |editor=Paraninfo |localización=Madrid |isbn=978-84-9732-905-7 |páxina=149 |páxinas= |dataacceso=16 de xuño de 2013 |url=http://books.google.es/books?id=A6hWh8J4rfAC&printsec=frontcover&dq=Trigonometria+plana+y+esf%C3%A9rica+con+aplicaciones+a+la+navegaci%C3%B3n&hl=es&sa=X&ei=0dG9UeOJOeqN7AaplIGIDg&ved=0CDQQ6AEwAA |lingua=castelán}}</ref>

En navegación, o rumbo mídese tomando como referencia o [[norte]]. Por convenio, visto desde arriba, un rumbo positivo é o que ten o mesmo sentido que o das agullas do reloxo, así un rumbo de 45º corresponde a unha orientación [[nordeste]]. Os rumbos negativos non se usan en navegación, así unha orientación [[noroeste]] corresponde a un rumbo de 315º.

=== Nomeando ángulos ===
Nas expresións matemáticas, é habitual usar [[Alfabeto grego|letras gregas]] (<var>α</var>, <var>β</var>, <var>γ</var>, <var>θ</var>, <var>φ</var>, ...) para nomear os ángulos, agás a letra π para evitar confusións co [[número π]].
[[Ficheiro:RechtwinkligesDreieckABC.svg|miniatura|Lados, vértices e ángulos nun [[triángulo rectángulo]].]]
En figuras xeométrica, adóitase usar letras [[maiúscula]]s para nomear os vértices dos ángulos, e [[minúscula]]s para os lados da figura; en particular, nos [[triángulo]]s úsase a mesma letra para un lado (en minúscula) e o vértice oposto (en maiúscula). Para nomear ángulos úsanse os tres vértices que o definen, os dous vértices contiguos que están nos lados do ángulo e, entre estes, o vértice do ángulo. Por exemplo, o ángulo con vértice en A e lados AB e AC denótase por ∠BAC ou <math>\scriptstyle \widehat{\rm BAC}.</math> (ou tamén ∠CAB ou <math>\scriptstyle \widehat{\rm CAB}.</math>). Ás veces, cando non hai risco de confusión, acostúmase nomear ao ángulo simplemente polo seu vértice ("ángulo A").

Potencialmente, un ángulo denotado por, digamos, ∠BAC pode referirse a catro ángulos distintos con vértice en A: o ángulo positivo de B a C, o ángulo negativo de B a C, o ángulo positivo de C a B, e o ángulo negativo de C a B. Porén, en moitas situacións xeométricas é obvio polo contexto que ∠BAC é, de entre os catro anteriores, o ángulo positivo menor ou igual que 180º, sen ambigüedade posíbel. Noutro caso, adóitase a convención de que ∠BAC refírese ao ángulo positivo de B a C e ∠CAB ao ángulo positivo de C a B.

== Ángulos nun polígono ==
[[Ficheiro:ExternalAngles.svg|miniatura|Ángulos [[ángulo exterior|exterior]] e [[ángulo interior|interior]] nun [[pentágono]].]]
* Un ''[[ángulo interior]]'' ou ''interno'' nun [[polígono]] é aquel que ten o seu vértice nun vértice do polígono, os seus lados nos lados do polígono que conflúen no vértice, e a rexión que abarca é a correspondente ao interior do polígono. Un [[polígono cóncavo]] ten polo menos un ángulo interior maior que 180º.
*: Os tres ángulos interiores dun triángulo suman 180º, ou ''π'' radiáns, ou media volta; os ángulos interiores dun [[cuadrilátero]] suman 360º, ou 2''π'' radiáns, ou unha volta. En xeral, a suma dos ángulos interiores dun polígono de ''n'' lados é [(''n''&nbsp;−&nbsp;2)&nbsp;×&nbsp;180]°, ou [(''n''&nbsp;−&nbsp;2)&nbsp;×&nbsp;''π''] radiáns, ou (''2n''&nbsp;−&nbsp;4) ángulos rectos, ou (''n/2''&nbsp;−&nbsp;1) voltas.
* O ángulo suplementario dun ángulo interior é un ''[[ángulo exterior]]'' ou ''externo''. Comparte co ángulo interior o vértice e un lado, o outro lado é a prolongación do lado do ángulo interior que non é común. Se o correspondente ángulo interior é cóncavo, o ángulo exterior debe considerarse negativo.
*: Tódolos ángulos exteriores dun polígono suman 360º, ou 2''π'' radiáns, ou unha volta.
* Algúns autores usan o nome de ''ángulo exterior'' para referirse ao ángulo conxugado (non o suplementario) do correspondente ángulo interior<ref>{{Cita web |url=http://mathworld.wolfram.com/ExteriorAngle.html |título=Exterior angle |autor=Eric W. Weisstein |data= |obra=MathWorld |editor=Wolfram Web |lingua=inglés |dataacceso=18 de xuño de 2013}}</ref>. Esta definición entra en conflito coa precedente.

== Ángulos nunha circunferencia ==
[[Ficheiro:Angulos del circulo1.svg|miniatura|220px|Ángulos na circunferencia.]]
[[Ficheiro:Goldener Winkel.svg|miniatura|O [[ángulo áureo]] é o ángulo ψ subtendido polo arco menor dos dous arcos en que se divide a circunferencia que están na [[número áureo|proporción áurea]].]]
Dada unha circunferencia, defínense os seguintes ángulos relacionados con ela:
* ''[[Ángulo central]]'', se ten o seu vértice no centro da circunferencia.
* ''[[Ángulo inscrito]]'', se o seu vértice é un punto da circunferencia e os seus lados córtana en dous puntos.
:A medida dun ángulo inscrito é a metade da do ángulo central que abarca o mesmo [[arco (xeometría)|arco]] de circunferencia.
* ''[[Ángulo semi-inscrito]]'', se o seu vértice está na circunferencia, un dos seus lados córtaa e o outro é [[Recta tanxente|tanxente]], sendo o punto de tanxencia o propio vértice. 
:A medida dun ángulo semi-inscrito é a metade da do ángulo central que abarca o mesmo arco de circunferencia.
* ''Ángulo interior'', se o seu vértice está no interior da circunferencia. 
:A medida dun ángulo interior é a metade da suma das medidas de dous ángulos centrais: o que abarca o mesmo arco que o ángulo interior, e o que abarca o mesmo arco que o ángulo que forman as prolongacións dos lados do ángulo interior.
* ''Ángulo exterior'', se ten o seu vértice no exterior desta.
:Se os lados do ángulo exterior son secantes, tanxentes ou un é [[recta secante|secante]] e outro tanxente á circunferencia, a medida do ángulo exterior é igual á diferenza das medidas dos ángulos centrais que abarcan os arcos comprendidos entre as interseccións dos lados do ángulo coa circunferencia.
=== Ángulo áureo ===
Ao dividir a circunferencia en dous arcos que estean na [[número áureo|proporción áurea]], o [[ángulo áureo]] é o ángulo central que abarca o menor dos dous arcos obtidos.

O ángulo áureo é un ángulo obtuso cuxo valor é de <math>\scriptstyle \pi(3 - \sqrt{5})</math> radiáns ou <math>\scriptstyle 180(3 - \sqrt{5})</math> graos. Aproximadamente 2,39996 rad ou 137.508°.

== Ángulos entre curvas ==
[[Ficheiro:Curve angles.svg|miniatura|O ángulo entre as dúas [[curva]]s en P defínese como o ángulo entre as [[recta tanxente|tanxentes]] <var>A</var> e <var>B</var> en <var>P</var>]]
O ángulo entre unha liña e unha [[curva]] (ángulo mixto) ou entre dúas curvas que se cortan (ángulo curvilíneo), defínese como o ángulo entre as tanxentes no punto de intersección.

== Ángulos entre vectores ==
* Tanto no plano como no espazo, o [[coseno]] do ángulo θ que forman dous [[vector]]es <math>\scriptstyle \vec u</math> e <math>\scriptstyle \vec v</math> é igual ao [[produto escalar]] dos vectores, <math>\scriptstyle \vec u \cdot \vec v</math>, dividido polo produto dos [[Módulo (vector)|módulos]] (lonxitudes), <math>\scriptstyle | \vec u|</math> e <math>\scriptstyle | \vec v|</math>, dos dous vectores, é dicir:
<center>
<math>\theta=\arccos \frac {\vec u \cdot \vec v}{| \vec u| \cdot | \vec v|}</math><br />
</center>

Como os módulos son positivos, o signo do coseno do ángulo dependerá do signo do produto escalar. Polo tanto:
:* Se o produto escalar é positivo, o coseno será positivo e, xa que logo, o ángulo que forman os vectores é agudo (menor de 90º).
:* Se o produto escalar é negativo, o coseno tamén o será e o ángulo que forman os vectores é obtuso (entre 90º e 180º).
:* Se o produto escalar é cero, o coseno é nulo, o cal indica que os vectores son perpendiculares (forman un ángulo de 90º).

Esta fórmula proporciona un método fácil para achar o ángulo que forman dúas rectas (no plano ou no espazo), unha recta e un plano (no espazo) e dous planos (no espazo) a partir dos vectores directores das rectas e os [[vector normal|vectores normais]] dos planos:
* O ángulo que forman dúas [[recta]]s é o menor dos ángulos que forman as súas direccións. É igual ao ángulo que forman cadanseus [[vector director|vectores directores]] ou, se é obtuso, o suplementario deste.
* O ángulo que forman unha recta e un plano é o suplementario do que forman a recta e a recta normal ao plano no punto de intersección.
* O ángulo entre dous [[plano (xeometría)|planos]] é o menor ángulo diedro que forman. É igual ao que forman dúas [[recta normal|rectas normais]] a cada un dos planos nun mesmo punto da aresta común.
=== Coordenadas angulares tridimensionais ===
* Os [[ángulos de Euler]], son tres coordenadas angulares que indican a orientación dun sistema de referencia de eixes ortogonais, normalmente móbil, respecto doutro fixo.

== Ángulos en xeografía e astronomía ==
[[Ficheiro:Horizontal coordinate system 2.svg|miniatura|Un [[sistema de coordenadas astronómicas]] baseado en [[coordenadas esféricas]]: [[acimut]] (liña vermella) e [[altitude (astronomía)|altitude]] (liña verde).]]
En [[xeografía]], a localización de calquera punto da [[Terra]] pode facerse usando un [[sistema de coordenadas xeográficas]]. Este sistema especifica a [[latitude]] e a [[lonxitude (cartografía)|lonxitude]] de calquera localización por medio de ángulos subtendidos ao centro da Terra, usando o [[Ecuador terrestre|ecuador]] e (xeralmente) o [[meridiano de Greenwich]] como referencias.

En [[astronomía]], un punto dado da [[esfera celeste]] (isto é, a posición aparente dun obxecto astronómico) pode identificarse usando algún dos [[sistema de coordenadas astronómicas|sistemas de coordenadas astronómicas]], onde as referencias varían segundo o sistema particular que se elixa. Os astrónomos miden a ''separación angular'' de dúas [[Estrela (astronomía)|estrelas]] imaxinando dúas liñas que, partindo do centro da Terra, intersecan a cada unha das estrelas. O ángulo con vértice no centro da Terra e lados as liñas mencionadas pode ser medido, e a súa medida é a separación angular das dúas estrelas.

Os astrónomos tamén miden o ''tamaño aparente'' dos obxectos como un [[diámetro angular]]. Por exemplo, a [[lúa chea]] ten un diámetro angular de aproximadamente 0,5º, cando se mira desde a Terra. Pódese dicir que "o diámetro da Lúa subtende un ángulo de medio grao". Mediante a [[aproximación para ángulos pequenos]] pódese converter esta medida angular nunha [[proporción]] distancia/tamaño.

== Notas ==
{{Listaref}}
== Véxase tamén ==
{{Commons|Category:Angles}}
{{wiktionary|ángulo}}
{{Control de autoridades}}

{{ORDENAR:Angulo}}
[[Categoría:Xeometría]]
[[Categoría:Artigos que toda Wikipedia debería ter (Ciencia)]]